【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第03讲 函数概念与性质以及函数应用（原卷版）.docx，共(22)页，1.703 MB，由envi的店铺上传

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第03讲函数的概念与性质以及函数应用【学习目标】1、学习用集合语言和对应关系刻画函数概念．2、通过函数的不同表示方法加深对函数概念的认识．3、学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习函数研究函数

的基本内容、过程和方法．【考点目录】考点一：函数的概念考点二：定义域考点三：值域考点四：函数的表示考点五：单调性考点六：奇偶性考点七：函数的零点与方程的根考点八：二分法考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题【基础知识】知识点一、函数

的概念1、函数的定义设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数()fx和它对应，那么就称:fAB→为从集合A到集合B的一个函数．记作：(

)yfx=，xA．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合(){|}fxxA叫做函数的值域．2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于

值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）；②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关．3、区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间

；（3）区间的数轴表示．区间表示：{|}(,);xaxbab={|}[],xaxbab=；({|},xaxbab=；){|},xaxbab=；({|},xxbb=−；){|},xaxa=+．知识点二、函数的表

示法1、函数的三种表示方法：解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系．优点：直观形象，反应变化趋势．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系．优点：

不需计算就可看出函数值．2、分段函数：分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．知识点三、函数定义域的求法（1）确定函数定义域

的原则①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意

义的限制条件．②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义．③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．（2）抽象函数定义域的确定所谓抽象函数是指用()fx表示的函数，而

没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内．（3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，

其结果必须用集合或区间来表示．知识点四、函数值域的求法实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有：观察法：通过对函数解析式的简单变形

，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域；配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域；判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式

”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围；换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域．求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合

法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约．知识点五、函数的单调性1、增函数、减函数的概念一般地，设函数()fx的定义域为A，区间DA：如果对于D内的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时

，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间D上是增函数．如果对于D内的任意两个自变量的值12,xx，当12xx时，都有12()()fxfx，那么就说()fx在区间D上是减函数．2、单调性与单调

区间（1）单调区间的定义如果函数()fx在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()fx在区间D上具有单调性，D称为函数()fx的单调区间．函数的单调性是函数在某个区间上的性质．3、证明函数单调性的步骤（1）取值．

设12xx，是()fx定义域内一个区间上的任意两个量，且12xx；（2）变形．作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；（3）定号．判断差的正负或商与1的大小关系；（4）得出结论．4、函数单调

性的判断方法（1）定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．（2）图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．（3）直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次

函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．（4）记住几条常用的结论①若是增函数，则()fx−为减函数；若是减函数，则()fx−为增函数；②若和()gx均为增（或减）函数，则在()fx和()gx的公共

定义域上()()fxgx+为增（或减）函数；③若()0fx且为增函数，则函数()fx为增函数，1()fx为减函数；若()0fx且()fx为减函数，则函数()fx为减函数，1()fx为增函数．5、单调性定义的等价形式（1）函数()fx在区间,ab上是增函数：任取12

,,xxab，且12xx，()()120fxfx−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120fxfxxx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()()12120xxfxfx−

−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120xxfxfx−−．（2）函数()fx在区间,ab上是减函数：任取12,,xxab，且12xx，()()120fxfx−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120fxfx

xx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()()12120xxfxfx−−；任取12,,xxab，且12xx，()()12120xxfxfx−−．6、复合函数单调性的判断讨论复合函数(

)yfgx=的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下：（1）若(),()ugxyfu==在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则()

yfgx=为增函数；（2）若(),()ugxyfu==在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则()yfgx=为减函数．()fx()fx()fx()fx列表如下：()ugx=()yfu=()yfgx=增增增增减减减增减减减增复

合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减．因此判断复合函数的单调性可按下列步骤操作：（1）将复合函数分解成基本初等函数：()yfu=，()ugx=；（2）分别确定各

个函数的定义域；（3）分别确定分解成的两个基本初等函数的单调区间．若两个基本初等函数在对应的区间上的单调性是同增或同减，则()yfgx=为增函数；若为一增一减或一减一增，则()yfgx=为减函数．7、利用函数单调性求函数最值时应先判断函数的单调性，再求最值．常

用到下面的结论：（1）如果函数()yfx=在区间(,ab上是增函数，在区间),bc上是减函数，则函数()(,)yfxxac=在xb=处有最大值()fb．（2）如果函数()yfx=在区间(,ab上是减函数，在区间),bc上是增

函数，则函数()(,)yfxxac=在xb=处有最小值()fb．若函数()yfx=在,ab上是严格单调函数，则函数()yfx=在,ab上一定有最大、最小值．（3）若函数()yfx=在区间,ab上是单调递增函数，则(

)yfx=的最大值是()fb，最小值是()fa．（4）若函数()yfx=在区间,ab上是单调递减函数，则()yfx=的最大值是()fa，最小值是()fb．8、利用函数单调性求参数的范围若已知函数的单调性，求参数a的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数a的不等

式，利用下面的结论求解．（1）()afx在,mn上恒成立()afx在,mn上的最大值．（2）()afx在,mn上恒成立()afx在,mn上的最小值．实际上将含参数问题转化成为恒成立问题，进而转化

为求函数在其定义域上的最大值和最小值问题．知识点六、基本初等函数的单调性1、正比例函数(0)ykxk=当0k时，函数ykx=在定义域R是增函数；当k<0时，函数ykx=在定义域R是减函数．2、一次函数(0)ykxbk=+当0k时，函数ykxb=+在

定义域R是增函数；当k<0时，函数ykxb=+在定义域R是减函数．3、反比例函数(0)kykx=当0k时，函数kyx=的单调递减区间是()(),0,0,−+，不存在单调增区间；当0k时，函数kyx=的单调递增区间是()(),0,0,−+

，不存在单调减区间．4、二次函数2(0)yaxbxca=++若0a，在区间(]2ba−−，，函数是减函数；在区间[)2ba−，+，函数是增函数；若0a，在区间(]2ba−−，，函数是增函数；在

区间[)2ba−，+，函数是减函数．知识点七、函数的最大（小）值1、最大值：对于函数()yfx=，其定义域为D，如果存在0xD，()fxM=，使得对于任意的xD，都有()fxM，那么，我们称M是函数()yfx=的最大值，即当0xx=时，()0fx

是函数()yfx=的最大值，记作()max0yfx=．2、最小值：对于函数()yfx=，其定义域为D，如果存在0xD，()fxM=，使得对于任意的xD，都有()fxM，那么，我们称M是函数()yfx=的最小值，即当0xx=时，()0fx是函数()

yfx=的最小值，记作()min0yfx=．3、几何意义：一般地，函数最大值对应图像中的最高点，最小值对应图像中的最低点，它们不一定只有一个．知识点八、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意

一个x，都有()()fxfx−=，那么()fx称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有()()fxfx−=−，那么()fx称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）x在定义域中，那么x−在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关

于原点对称的；（3）()()fxfx−=的等价形式为：()()()0,1(()0)()fxfxfxfxfx−−−==，()()fxfx−=−的等价形式为：()()()01(()0)()fxfxfxfxfx−+−==−，；（4）由定义不难

得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有(0)0f=；（5）若()fx既是奇函数又是偶函数，则必有()0fx=．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对

称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于y轴对称；反之，如果一个函数的图像关于y轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数()fx的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不

是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数()fx的定义域，化简函数()fx的解析式；（3）求()fx−，可根据()fx−与()fx之间的关系，判断函数()fx的奇偶性．若()()fxfx−=−，则()fx是奇函数；若()fx−

=()fx，则()fx是偶函数；若()()fxfx−，则()fx既不是奇函数，也不是偶函数；若()()fxfx−=且()()fxfx−=−，则()fx既是奇函数，又是偶函数知识点九、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定

义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()fx−与()fx之一是否相等．（2）验证法：在判断()fx−与()fx的关系时，只需验证()

()0fxfx−=及()1()fxfx−=是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与

一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查

函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()fx−与()fx的关系．首先要特别注意x与x−的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()fx与()fx−对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点十、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义

域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数()fx是偶函数函数()fx的图象关于y轴对称；函数()fx是奇函数函数()fx的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数()yfx=在0x=处有意义，则有(0)0f=；偶函数()yfx=

必满足()(||)fxfx=．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数()fx的定义域关于原点对称，则函数()fx

能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2gxfxfx=+−，1()[()()]2hxfxfx=−−，则()()()fxgxhx=+．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式

通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如()(),()(),()(),()()fxgxfxgxfxgxfxgx+−．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=

奇；偶()偶=偶．（7）复合函数[()]yfgx=的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．知识点十一：函数的零点1、函数的零点（1）一般地，如果函数()yfx=在实数处的值等于零，即()0f=，则a叫做这个函数的零点.知识点诠释：①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等

于零；②函数的零点也就是函数()yfx=的图象与x轴交点的横坐标；③函数()yfx=的零点就是方程()0fx=的实数根．归纳：方程()0fx=有实数根函数()yfx=的图象与x轴有交点函数()yfx=有零点．（2）二次函数的零点二次函数2yaxbxc=++

的零点个数，方程20axbxc++=的实根个数见下表.判别式方程的根函数的零点0两个不相等的实根两个零点0=两个相等的实根一个二重零点0无实根无零点（3）二次函数零点的性质①二次函数的图象是连

续的，当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号.②相邻两个零点之间的所有的函数值保持同号.引伸：对任意函数，只要它的图象是连续不间断的，上述性质同样成立.2、函数零点的判定（1）利用函数零点存在性的判定定理如果函数

()yfx=在一个区间ab，上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数值异号，即()()0fafb，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点()0xab，，使()00fx=，这个0x也就是方程()0fx=的根.知识点十二：二分法1、二分法对

于区间,ab上图象连续不断且()()0fafb的函数()fx，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到近似值的方法．2、用二分法求函数零点的一般步骤：已知函数()yfx=定义在区间D上，求它在D上的一个零点x0的近似值x，使

它满足给定的精确度．第一步：在D内取一个闭区间00,abD，使()0fa与()0fb异号，即()()000fafb，零点位于区间00,ab中．第二步：取区间00,ab的中点，则此中点对应的坐标为()()0000001122xabaab=+−=+．计算()0fx和()0fa，

并判断：①如果()00fx=，则0x就是()fx的零点，计算终止；②如果()()000fafx，则零点位于区间00,ax中，令1010,aabx==；③如果()()000fafx，则零点位于区间00,xb中，令1010,axbb==第三步：取区间11,a

b的中点，则此中点对应的坐标为()()1111111122xabaab=+−=+．计算()1fx和()1fa，并判断：①如果()10fx=，则1x就是()fx的零点，计算终止；②如果()()110fafx，则零点位于区间11,

ax中，令2121,aabx==；③如果()()110fafx，则零点位于区间11,xb中，令2121,axbb==；……继续实施上述步骤，直到区间,nnab，函数的零点总位于区间,nnab上，当na和nb按照给定的精确度所取的近似值相同时

，这个相同的近似值就是函数()yfx=的近似零点，计算终止．这时函数()yfx=的近似零点满足给定的精确度．知识点十三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审

题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，

然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为

具体问题作出解答．【考点剖析】考点一：函数的概念1．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）下列图象中不能表示函数的图象的是（）A．B．C．D．2．（2022·安徽省舒城晓天中学高一期中）下列四个式子中，y是x函数的是（）A．2y=xB．y=121

xx−+−C．22,0,0xxyxx=−D．0,1xyx=为有理数，为实数3．（2022·北京广渠门中学教育集团高一期中）下列四组中的给出的两个函数，为同一个函数的是（）A．()2fxxx=−，()2gxxx=−B．()1fxx

=−，2()1tgtt=−C．2()fxx=，4()()gxx=D．2()fxx=，()gtt=考点二：定义域4．（2022·陕西·大荔县教学研究室高一期末）函数21xyxx=+−+的定义域为（）A．()1,2-B．()0,2C．)1,2−D．(1,2−5．（2022·贵州毕节·高一期末）

已知函数(1)fx+的定义域为[1,5]，则(2)fx的定义域为（）A．[1,3]B．[1,4]C．[2,5]D．[2,6]6．（2022·黑龙江·勃利县高级中学高一期末）已知函数()yfx=的定义域

为[2,3]−，则函数(21)1fxyx+=+的定义域为()A．3[,1]2−B．3[,1)(1,1]2−−−C．[3,7]−D．[3,1)(1,7]−−−考点三：值域7．（2022·上海徐汇·高

一期末）函数224yxx=−−+的值域是________________．8．（2022·上海市第三女子中学高一期末）函数211yx=+的值域是______.9．（2022·全国·高一专题练习）已知,abR，且221abab++=，则b的取值范围是___________.10．（2022·

辽宁营口·高一期末）x为不超过x的最大整数，若函数()[]fxx=，(,)xab，()fx的值域为{1,0,1,2}−，则ba−的最大值为______．考点四：函数的表示4．（2022·黑龙江·哈尔滨市第一中学校高一阶段练习）已知()fx是一次函数，2

(2)3(1)5ff−=，()()2011ff−−=−，则()fx=（）A．32x+B．32x−C．23x+D．23x−5．（2022·北京十五中高一期中）若()132fxx−=+，则（）A．()35fxx=−B．()31fxx=−C．()31fx

x=+D．()35fxx=+6．（2022·山东菏泽·高一期中）已知函数()()2,01,0xxfxfxx=+，则32f−=（）A．1−B．1C．12D．3考点五：单调性12．（2022·福建·泉州七中高一期中）已知定

义在R的函数()fx满足：①对x，yR，()()()1fxyfxfy+=+−；②当0x时，()1fx；③()12f=-.(1)求()0f，判断并证明()fx的单调性；(2)若1,1x−，使得()225fxmam−−，对

11a−，成立，求实数m的取值范围；(3)解关于x的不等式()()()226faxfax++.13．（2022·山东·济宁市兖州区教学研究室高一期中）已知函数()fx满足1()23fxfxx+=．(1)求函数()fx的解析式；(2)用定义证明函数()fx在(

)0,+上的单调性．14．（2022·浙江省春晖中学高一期中）已知函数()211xfxx−=+．(1)判断函数()fx在()1,−+的单调性；(2)求函数()fx在(),20,−−+上的值域；(3)作出

函数()yfx=，)0,x+的图象．考点六：奇偶性20．（2022·湖北武汉·高一期末）已知函数()32fxxbxx=++为定义在21,3aa−−上的奇函数，则ab+的值为________．15．（2022·山东枣庄·高

一期中）已知()yfx=是定义在R上的偶函数，当0x时，2()23fxxx=−−．(1)写出函数()yfx=的解析式；(2)写出()yfx=的单调递增区间和值域（无需过程）．16．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知()fx的定义域为R，且满足下列三个条件

：①()fx在0,1上为严格增函数；②()12f=；③对任何实数,xy，都有()()()()11fxyfxyfxfy++=−+−.(1)求()()0,1ff−的值；(2)从对称中心和对称轴两方面讨论()fx的对称性，如果具有对称性，请写出一个对称中心､一条对称轴

，并给出证明；如果没有对称性，请说明理由.(3)解不等式：()1fx.17．（2022·福建三明·高一期中）已知函数()249xabfxax+−=+定义在()3,3−上的奇函数，且()8213f=.(1)求,ab；(2)判断函数()fx在()3,3−上的单调性并加以证明；(3)解不等式(

)2105fx++.考点七：函数的零点与方程的根7．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）函数()212xfxx−=−的零点所在的区间是（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,48．（2022·河南·民权县第一高级

中学高一阶段练习）已知函数()()()222log4log4fxxkxk=+−+−在区间1,4上有零点，则实数k的取值范围是（）A．132,3B．132,3C．164,3D．164,3

18．（2022·江西·高一阶段练习）已知函数()()2log1(0xafxakxa=++，且1)a是偶函数.(1)求k的值；(2)若2a=，函数()()()246gxfxmfxmm=+−+，讨论()gx零点的个数.19．

（2022·上海师大附中高一阶段练习）函数()()4log41xfx=+，()()1gxkx=−，记()()()Fxfxgx=−，且()Fx为偶函数.(1)求常数k的值；(2)若对一切aR，不等式(

)12Fam−恒成立，求实数m的取值范围；(3)设()44log23xMxaa=−，若函数()Fx与()Mx的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.考点八：二分法9．（2022·黑龙江·哈师大附中高一期中）用二分法求方程383xx=−在()1,2

内的近似解时，记()338xfxx=+−，若(1)0f，(1.25)0f，(1.5)0f，(1.75)0f，据此判断，方程的根应落在区间（）A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,1.75)D．(1.75,2)10．（2022·全国·高一课时练习）下列图像表示的函数中

能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．11．（2022·全国·高一课时练习）用二分法求函数()3222fxxxx=+−−的一个零点的近似值（误差不超过0.1）时，依次计算得到如下数据：()12f=-，()1.50.625f=，()1.250.984f=−，()1.3750.260f=−，关

于下一步的说法正确的是（）A．已经达到对误差的要求，可以取1.4作为近似值B．已经达到对误差的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.4375fD．没有达到对误差的要求，应该接着计算()1.3125f考点九：选择恰当的数学模型解决实际应用问题

20．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）2020年初，一场突如其来的“新冠肺炎”袭击了我国，给人民的身体健康造成了很大的威胁，也造成了医用物资的严重短缺，为此，某公司决定大量生产医用防护服.已知该公司生产防护服的固定成本为

30万元，每生产一件防护服需另投入40元.设该公司一个月内生产该产品x万件，且能全部售完.若每万件防护服的销售收入为()hx万元，且()()12020,03,20056030,32xxhxxxxx−=−+−(1)求月利润P（

万元）关于月产量x（万件）的函数关系式（利润=销售收入一成本）；(2)当月产量x为多少万件时，该公司可获得最大利润，并求该公司月利润的最大值.21．（2022·山东枣庄·高一期中）设矩形ABCD的周长为20，其中ABAD．如图所示，把A

BC它沿对角线AC向ADC△折叠，AB折过去后交DC边于点P．设ADx=，DPy=．(1)将y表示成x的函数，并求定义域；(2)当AD长为多少时，ADP△的面积最大，并求出最大值．【真题演练】1．（2022·天津·高考真题）函数()21xfxx−=的图像为（）A．B．C．D．2．（2021·全

国·高考真题（文））设()fx是定义域为R的奇函数，且()()1fxfx+=−.若1133f−=，则53f=（）A．53−B．13−C．13D．533．（2021·全国·高考真题（理））设函数1()

1xfxx−=+，则下列函数中为奇函数的是（）A．()11fx−−B．()11fx−+C．()11fx+−D．()11fx++4．（2022·北京·高考真题）函数1()1fxxx=+−的定义域是_________．5．（202

1·浙江·高考真题）已知Ra，函数24,2()3,2,xxfxxax−=−+若()63ff=，则=a___________.6．（2021·全国·高考真题）已知函数()()322xxxafx−=−是偶函数，则=a______.7．（2022·浙江·高考

真题）已知函数()22,1,11,1,xxfxxxx−+=+−则12ff=________；若当[,]xab时，1()3fx，则ba−的最大值是_________．8．（2022·北京·高考真题）设函数()()21,,2,.axxafxxxa−

+=−若()fx存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________．【过关检测】一、单选题1．（2022·山东枣庄·高一期中）我们知道：()yfx=的图像关于原点成中心对称图形的充要条件是()yfx=为奇函数，有同学发现可

以将其推广为：()yfx=的图像关于(,)ab成中心对称图形的充要条件是()yfxab=+−为奇函数，若32()3fxxx=−，则(1)(2)(2022)afff=+++，(0)(1)(2020)bfff=+−++−，则ab+=（）A．8086−B．80

84−C．8084D．80862．（2022·山东枣庄·高一期中）函数2()1fxxax=−+，对12,(,2)xx−且12xx，1212()[()()]0xxfxfx−−，则实数a的范围为（）A．

(,4]−B．[4,)+C．(,2]−D．[2,)+3．（2022·上海市嘉定区安亭高级中学高一阶段练习）游泳池原有一定量的水．打开进水阀进水，过了一段时间关闭进水阀．再过一段时间打开排水阀排水，直到水排完．已知进水时的流量、排水时的流量各保

持不变．用h表示游泳池的水深，t表示时间．下列各函数图象中能反映所述情况的是（）A．B．C．D．4．（2022·湖南·溆浦县第一中学高一期中）定义在R上的偶函数()fx满足：在[0,)x+上单调递减，则满足()()211fxf−的x的取值范围是（）A．()1,0−B．(1,)

(,0)+−C．(,0)−D．()0,15．（2022·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知定义在R上的函数()fx是奇函数，且()()2=fxfx−，()12f=，则()()20222023ff+=（）A．2

−B．0C．2D．46．（2022·河南·民权县第一高级中学高一阶段练习）已知函数3212axyaxax−=++的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．()0,8B．0,6C．(0,6D．)0,87．（202

2·浙江·温州外国语学校高一阶段练习）函数()2ln4xfxx=+−的零点所在的一个区间为（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,48．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知函数

()()21,01,0xxfxfxx−−+=−，则下列命题中正确的个数是（）①函数()fx在)1,−+是周期函数②函数()fx在()(),1mmm+N上严格增③函数()fx在()x

mm=N取得最大值0，且无最小值④若方程()()log2(01)afxxa=+有且仅有两个实根，则11,32aA．1B．2C．3D．4二、多选题9．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知函数()1xfxx=+，则（）A．()fx是奇函数B．()

fx在)0,+上单调递增C．方程()0fxx−=有两个实数根D．函数()fx的定义域是()(),11,−−−+10．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知函数()21,23,21xxfxxx−=−

若方程()0fxa−=有三个不同的实数根，则实数a的取值可能是（）A．0B．12C．13D．111．（2022·安徽省怀宁县新安中学高一期中）对于定义在R上的函数()fx，下列说法正确的是（）A．若()f

x是奇函数，则()1fx−的图象关于点(1,0)对称B．若对xR，有()()11fxfx=+−，则()fx的图象关于直线1x=对称C．若函数()1fx+的图象关于直线=1x−对称，则()fx为偶函数D．若()()112fxfx++−=，则()

fx的图象关于点(1,1)对称12．（2022·广东·惠州一中高一期中）一般地，若函数()fx的定义域为,ab，值域为,kakb，则称,kakb为()fx的“k倍跟随区间”；若函数()fx的定义域为,ab，值域也为,ab，则称

,ab为()fx的“跟随区间”.下列结论正确的是（）A．若1,b为()222fxxx=−+的跟随区间，则2b=B．函数()11fxx=+存在跟随区间C．若函数()1fxmx=−+存在跟随区间，则1,0

4m−D．二次函数()212fxxx=−+存在“3倍跟随区间”三、填空题13．（2022·广东·珠海市第一中学高一期中）若()fx是定义在()1,1−上的奇函数，且在()1,1−上是增函数，则不等式()()1120fxfx−+−

的解集为___________.14．（2022·江苏·镇江市实验高级中学高一阶段练习）已知函数()21,,2xcfxxxxcx−=−，若()fx值域为1,24−，则实数c的范围是______.15．（2022·河北保定·高一阶段练习）已知函数()()2fx

axbxcabc=++的零点为0x和1，则0x的取值范围为______________.16．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）已知()fx的定义域为R,且()1fx+是奇函数,当1x时,()22,1244,2xxfxxxx−=

−+,.函数()()1,0gxkxk=−,则方程()()fxgx=的所有的根之和为___________.四、解答题17．（2022·广东·广州思源学校高一期中）近年来大气污染防治工作得到各级部门的重视，某企业现有设备下每日生产总成本y

（单位：万元）与日产量x（单位：吨）之间的函数关系式为()221541208yxkxk=+−++，现为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设备，每吨产品除尘费用为k万元，除尘后当日产量1x=时，总成本142y=.(

1)求k的值；(2)若每吨产品出厂价为48万元，试求除尘后日产量为多少时，每吨产品的利润最大，最大利润为多少？18．（2022·广东·佛山市顺德区东逸湾实验学校高一阶段练习）已知函数222(02)()2(20)xxxfxxxx−+=+−.(1)求23f−，12f

的值；(2)作出函数的简图；(3)由简图指出函数的值域；19．（2022·上海师大附中高一阶段练习）函数()()()21222111fxaaxxx=−−−−−的最小值为()()gaaR.(1)求()ga；(2)若()12ga=，求a及此时

()fx的最大值.20．（2022·江西·进贤县第二中学高一阶段练习）根据下列条件，求()fx的解析式.(1)已知()2285fxxx+=++(2)已知()()2232fxfxxx+−=−(3)已知()fx是二次

函数，且满足()()()01,12ffxfxx=+−=21．（2022·广东湛江·高一阶段练习）已知函数()fx的定义域为R，对任意的,Rab，都有()()()fafbfab=+.当0x时，()1f

x，且()00f.(1)求()0f的值，并证明：当0x时，()01fx；(2)判断()fx的单调性，并证明；(3)若()122f=，求不等式()215616ftt−的解集.22．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）设()f

x是(,)−+上的奇函数，(2)()fxfx+=−，当01x时，()fxx=.(1)求()fπ的值；(2)求13x−时，()fx的解析式；(3)当44x−时，求方程()(0)fxmm=的所有实根之和.（写出正确答案

即可）