【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第04讲 指数函数、对数函数、幂函数（原卷版）.docx，共(17)页，1.126 MB，由envi的店铺上传

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第04讲指数函数、对数函数、幂函数【学习目标】1、掌握5个幂函数的图象和性质。2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大小。4、

理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。【考点目录】【基础知识】知识点一、根式的概念和运算法则1、n次方根的定

义：若()1n*xynN,n,yR=，则x称为y的n次方根．n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；露的奇次方根为零，记为00n=．n为偶数时，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n=．2

、两个等式（1）当1n且*nN时，()nnaa=；（2）,()||()nnanaan=为奇数为偶数知识点二、分数指数幂的概念和运算法则为避免讨论，我们约定0a，n，*mN，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：1nnaa=()mnmmnnaaa==-1mnmnaa=知识点三、有

理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质()00,abQ，，（1）;aaa+=（2）();aa=（3）();abab=当0a，p为无理数时，pa是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运

算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：22()()ababab−=−+，222()2abaabb=+，33223()33ab

aababb=+，()3322()ababaabb−=−++，()3322()ababaabb+=+−+的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a（0a，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂

．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaars+=R．②

()sra=rsa(0,,)arsR．③()rab=rrab(0,0,)abrR．知识点六、指数函数的图象及性质：xya=01a时图象1a时图象图象性质①定义域R，值域(0,)+②01a=

，即0x=时，1y=，图象都经过()0,1点③xaa=，即1x=时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤0x时，1xa0x时，01xa⑤0x时，01xa0x时，1xa⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（

1）①xya=，②xyb=，③xyc=，④xyd=，则：01badc又即：,()0x+时，xxxxbadc（底大幂大）,0()x－时，xxxxbadc（2）特殊函数2xy=，3xy=，1()

2xy=，1()3xy=的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果()01baNaa=，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaNb=．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．知识点诠释：对数式alogNb

=中各字母的取值范围是：0a且1a，0N，bR．2、对数logaN（0a且1a）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N；（2）1的对数为0，即log10a=；（3）底的对数等于1，即log1a

a=．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10loglgNN简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e=）为底的对数叫做自然对数，logeN简记为lnN．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互

相转化．它们的关系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知logaM，logaN（0a且1a，M、0N）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()logloglogaaa

MNMN=+推广：()()121212loglogloglog0akaaakkNNNNNNNNN=+++、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logloglogaaaMMNN=−（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglogaaMM=知识点十

、对数公式1、对数恒等式：loglogabNaaNaNNb===2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）loglog()nnaaMMnR=令alogMb=，则有baM=，()bnnaM=，即()nbnaM=，即log

nnabM=，即：loglognnaaMM=．（2）loglog(0,1)logcacMMcca=，令alogMb=，则有baM=，则有loglog(0,1)bccaMcc=即loglogccbaM=，即log

logccMba=，即loglog(0,1)logcacMMcca=当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：1log(0,1,0,1)logabbaabba=．知识点十

一、对数函数的图象与性质1a01a图象性质定义域：()0,+值域：R过定点()1,0，即1x=时，0y=在()0,+上增函数在()0,+上是减函数当01x时，0y，当1x时，0y当01x时，0y，当1

x时，0y知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内

，当1a时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当01a时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、幂函数概念形如yx=的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点十四、幂函数的图象及性质1、

作出下列函数的图象：（1）yx=；（2）12yx=；（3）2yx=；（4）1yx−=；（5）3yx=．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（

1）所有的幂函数在(0,)+都有定义，并且图象都过点()1,1；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)+

上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+或[0,)+，作图已完成；若在(0)−

，或0]−(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数

的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()afxkx=是幂函数，求()fx的表达式，就应由定义知必有1k=，即()afxx=．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法

．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【考点剖析】考点一：指数运算例1．（2022·江西南昌·高一期末）（1）

若15xx−+=求22xx−+的值；（2）计算：112332234125416(22)(3)825−−+++−−．例2．（2022·吉林延边·高一期末）已知11223aa−+=，求下列各

式的值：(1)1aa−+；(2)1aa−−.例3．（2022·江苏连云港·高一期末）计算：（1）2022333(2020)()(3)(12)28−−++−（2）解不等式：211()273x−考点二：指

数函数图像与性质例4．（2022·湖北黄石·高一期末）函数()2||24xxfx=−的图象大致为（）A．B．C．D．例5．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数11xya−=+，（0a且1a）的图象

必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4例6．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数2()21xfxa=−+为奇函数，Ra.(1)求a的值；(2)判断函数()fx的单调性；(3)

若22(4)()0fxxfxk−++−−恒成立，求实数k的取值范围．例7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()33xxfx−=−．(1)利用函数单调性的定义证明()fx是单调递增函数；(2)若对任意1,1x−，()()2

4fxmfx+−恒成立，求实数m的取值范围．例8．（2022·广东惠州·高一期末）设函数()22()xxfxaaR−=−．(1)若函数()yfx=的图象关于原点对称，求函数3()()2gxfx=+的零点0x；(2)

若函数()()42xxhxfx−=++在[0x，1]的最大值为2−，求实数a的值．考点三：对数运算例9．（2022·上海长宁·高一期末）已知lg2a=，lg3b=，用a，b表示18log15=_____．例10．（2022·江苏南通·高一期末）()12ln

32elog80.25−++的值为______.例11．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算7log237log27lg25lg47log1++++=______.例12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程()255lo

g(21)log2xx+=−的解为___________．考点四：对数函数图像与性质例13．（2022·天津南开·高一期末）下列命题中：①2xy=与2logyx=互为反函数，其图像关于yx=对称;②已知函数()212

1fxxx−=−−，则()526f=;③当0a，且1a时，函数()23xfxa−=−必过定点()2,2−；④已知()231abkk==，且121ab+=，则实数8k=.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.例14．（2

022·浙江大学附属中学高一期末）已知()fx是在定义域()0,+上的单调函数，且对任意()0,x+都满足：()()22log4ffxx−=，则满足不等式()()22log3fxx−的x的取值范围是________.例15．（2022·辽宁·新民市第

一高级中学高一期末）已知函数()fx的图像与函数3xy=的图像关于直线yx=对称，则()9f=________．例16．（2022·天津南开·高一期末）已知函数()()212log32fxxx=−−.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.例17．（202

2·浙江大学附属中学高一期末）已知aR，函数()()22logfxxxa=++(1)若函数()fx过点()1,1，求此时函数()fx的解析式；(2)设0a，若对任意1,12t，函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的

取值范围.考点五：指对幂比较大小例18．（2022·江苏连云港·高一期末）已知130.20.0121.5,1.3,3abc−===，则（）A．cabB．bacC．acbD．bca例19．（2022

·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知322,log3,3abc===，则（）A．b<c<aB．bacC．c<a<bD．abc例20．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知20.320.3,2,log2abc===，则（）A．bcaB．bacC．cabD．ab

c例21．（2022·贵州六盘水·高一期末）在238，341681−，31log9，lg100四个数中，最大的是（）A．238B．341681−C．31log9D．lg100考点六：幂函数例22．（20

22·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数()223mmyxmN−−=的图象关于y轴对称，且在()0,+上单调递减，则满足()()33132mmaa−−+−的a的取值范围为________.例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Zmf

xmmxm+=−+为幂函数，且为奇函数.(1)求m的值，并确定()fx的解析式；(2)令()()21gxfxx=++，求()ygx=在1,12x−的值域.例24．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研

究院高一期末）已知函数()fxx=，()2gxx=−.(1)求方程()()fxgx=的解集；(2)定义：,max,,aababbab=.已知定义在)0,+上的函数()max(),()hxfxgx=，求函数

()hx的解析式；(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()hx的简图，并根据图象写出函数()hx的单调区间和最小值.例25．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数()()2133mfxmmx+=−+为偶函

数(1)求幂函数()fx的解析式；(2)若函数()()2agxfxx=−在2,4上单调，求实数a的取值范围.【真题演练】1．（2021·天津·高考真题）若2510ab==，则11ab+=（）A．1−B．lg7C．1D．7log102．（2021·全国·高考真题（文））青少年

视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV=+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A．1.5B．1.2C

．0.8D．0.63．（2020·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，

指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天4．（2020·全国·高考真题（

理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b5．（2020·全国·高考真题（文））设3log42a=，则4

a−=（）A．116B．19C．18D．166．（2022·天津·高考真题）已知0.72a=，0.713b=，21log3c=，则（）A．acbB．bcaC．abcD．cab7．（2022·浙江·高考真题）已知825,log3ab==，则34ab−=（）A．25

B．5C．259D．538．（2021·天津·高考真题）设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc===，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．c<a<bC．b<c<aD．acb9．（2021·全国·高考真题）已知5log2a=，8log3

b=，12c=，则下列判断正确的是（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【过关检测】一、单选题1．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知3log4a=，4log5b=，

32c=，则（）A．abcB．abcC．bcaD．bac2．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()21226log4xfxx+=+，则()fx有（）A．最小值8log3−B．最大值2log3−C．最小值32−

D．最大值32−3．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知103,105xy==，则用,xy表示9lg2为（）A．21xy−B．3xyC．21xy+−D．21xy−+4．（2022·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）A．21()xx−=−B．1262yy=C．

3131(0)xxx−=−D．123432[()](0)xxx−=5．（2022·陕西西安·高一阶段练习）函数23212xxy−+=的单调递减区间是（）A．(,1−B．1,2C．3,2+

D．3,2−6．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知函数()()log3afxax=−在0,1上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．()1,3C．()()0,11,3D．(

)0,37．（2022·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（）（lg20.3010,lg1.0730.031）A．7B．8C．9D．108．（2

022·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程1420xxa+++=有实数解，则a的取值范围是（）A．(0,)+B．[0,)+C．(),0−D．(,0]−二、多选题9．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练

习）下列运算中，正确的是（）A．2213log427228−=−B．若114aa+=，则14aa+=C．若77log3,log4ab==，则71log4212ba=++D．若469abc==，则112acb+=10．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已

知13aa−+=，则下列选项中正确的有（）A．227aa−+=B．11221aa−−=C．11225aa−+=D．332225aa−+=11．（2022·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对12(0,)xx+

，都有1212()()()22xxfxfxf++的是（）A．1()fxx−=B．3()fxx=C．()fxx=D．()xfxe−=12．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()()22

112022334xxfxxx−−=+−+−，设()yfx=的图象为曲线C，则（）A．曲线C是中心对称图形B．曲线C是轴对称图形C．()fx在()3,+上为增函数D．()fx在(),0−上为减函数三、填空题13．（2022·陕西·长安

一中高一阶段练习）函数()log238ayx=−+的图像恒过定点A，且点A在幂函数()fx的图像上，则()5f=__________.14．（2022·上海·华师大二附中高一阶段练习）函数114542xxy=++的值域为_______

____.15．（2022·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设函数()2121xfxx=−+，则使得()()31fxfx−成立的x的取值范围是___________16．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）若函数()()212log45fxxx=−++在区间()21

,1mm−+内单调递增，则实数m的取值范围为__________.四、解答题17．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高一阶段练习）计算：(1)32212313132332(423)48273aaaa−−−−+−−+

；(2)2log32231log3log4(lg5)lg5lg20lg162.2+++−18．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()133xxafxb+−=+是R上的奇函数（,ab为常数）.(1)求()fx的解析式；(

2)若存在1,1x−，使不等式()()1441220xxxfkkfk++−+−成立，求实数k的取值范围.19．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数1()lg1xfxx−=+.(1)求不等式(())(lg3)0f

fxf+的解集；(2)函数()2(0,1)xgxaaa=−，若存在1x，2[0,1)x，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围；20．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知()1log(0,1)1

axfxaax+=−(1)若2a=，判断()fx的奇偶性并予以证明；(2)若1a，判断()fx的单调性（不用证明）；(3)在（2）条件下求不等式()()211fxfx−−的解集．21．（202

2·陕西西安·高一阶段练习）已知21log3x，()()224log4logmfxxx=，m为实数，(1)当1m=时，求函数()fx的最大值；(2)求函数()fx的最大值()gm的解析式；(3)若()2gmtm++对任意4,0m−恒成立，求实数t的取值范围．22

．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一阶段练习）已知()()2Rxfxx=．(1)解不等式：()()2432fxfx−；(2)记()()()gxfxfx=+−，求函数()()22ygxgx=−的最小值．