【文档说明】《【寒假自学课】2023年高一数学寒假精品课（苏教版2019）》第04讲 指数函数、对数函数、幂函数（解析版）.docx，共(33)页，2.320 MB，由envi的店铺上传

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第04讲指数函数、对数函数、幂函数【学习目标】1、掌握5个幂函数的图象和性质。2、掌握指数的运算性质，理解分数指数幂的意义及分数指数幂与根式的互化。3、能画出具体的指数函数的图象，掌握指数函数的性质并会应用，能利用函数的单调性比较大

小。4、理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数运算。5、理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化。6、了解对数函数的概念，能结合图象分析对数函数的性质。【考点目录】【基础知识】知识点一、

根式的概念和运算法则1、n次方根的定义：若()1n*xynN,n,yR=，则x称为y的n次方根．n为奇数时，正数y的奇次方根有一个，是正数，记为ny；负数y的奇次方根有一个，是负数，记为ny；露的奇次方根为零，记为00n=．n为偶数时

，正数y的偶次方根有两个，记为ny；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为00n=．2、两个等式（1）当1n且*nN时，()nnaa=；（2）,()||()nnanaan=为奇数为偶数知识点二、分数指数幂的概念

和运算法则为避免讨论，我们约定0a，n，*mN，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义：1nnaa=()mnmmnnaaa==-1mnmnaa=知识点三、有理数指数幂的运算1、有理数指数幂的运算性质()00,abQ

，，（1）;aaa+=（2）();aa=（3）();abab=当0a，p为无理数时，pa是一个确定的实数，上述有理数指数幂的运算性质仍适用．2、指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负

数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数，先要化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式：22()()ababab−=−+，222()2abaab

b=+，33223()33abaababb=+，()3322()ababaabb−=−++，()3322()ababaabb+=+−+的运用，能够简化运算．知识点四、无理数指数幂一般地，无理数指数幂a

（0a，为无理数）是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点：①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果．（2）定义了无理数指数幂之后，幂的

指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围．知识点五、实数指数幂的运算性质①(0,,)rsrsaaaars+=R．②()sra=rsa(0,,)arsR．③()rab=rrab(0,0,)abrR．知识点六、指数函数的图象及性

质：xya=01a时图象1a时图象图象性质①定义域R，值域(0,)+②01a=，即0x=时，1y=，图象都经过()0,1点③xaa=，即1x=时，y等于底数a④在定义域上是单调减函数④在定义域上是单调增函数⑤0x时，1xa0x时，01xa⑤0x

时，01xa0x时，1xa⑥既不是奇函数，也不是偶函数知识点七、指数函数底数变化与图像分布规律（1）①xya=，②xyb=，③xyc=，④xyd=，则：01badc又即：,()0x+时，xxxxbadc（底大幂大）,0()x－时，xxxxbadc（2）特殊

函数2xy=，3xy=，1()2xy=，1()3xy=的图像：知识点八、对数概念1、对数的概念如果()01baNaa=，且，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：logaNb=．其中a叫做对数的底数，N叫做真数．知

识点诠释：对数式alogNb=中各字母的取值范围是：0a且1a，0N，bR．2、对数logaN（0a且1a）具有下列性质：（1）0和负数没有对数，即0N；（2）1的对数为0，即log10a=；（3）底的对数等于1，即log1a

a=．3、两种特殊的对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，10loglgNN简记作．以e（e是一个无理数，2.7182e=）为底的对数叫做自然对数，logeN简记为lnN．4、对数式与指数式的关系由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化．它们的关

系可由下图表示．由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化．知识点九、对数的运算法则已知logaM，logaN（0a且1a，M、0N）（1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；()loglog

logaaaMNMN=+推广：()()121212loglogloglog0akaaakkNNNNNNNNN=+++、、、（2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数；logloglogaaaMMNN=−（3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；loglog

aaMM=知识点十、对数公式1、对数恒等式：loglogabNaaNaNNb===2、换底公式同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0，a≠1，M>0的前提下有：（1）loglog()nnaaMMnR=令al

ogMb=，则有baM=，()bnnaM=，即()nbnaM=，即lognnabM=，即：loglognnaaMM=．（2）loglog(0,1)logcacMMcca=，令alogMb=，则有baM=，则有loglog(0,

1)bccaMcc=即loglogccbaM=，即loglogccMba=，即loglog(0,1)logcacMMcca=当然，细心一些的同学会发现（1）可由（2）推出，但在解决某些问题（1）

又有它的灵活性．而且由（2）还可以得到一个重要的结论：1log(0,1,0,1)logabbaabba=．知识点十一、对数函数的图象与性质1a01a图象性质定义域：()0,+值域：R过定点()1,0，即1x=时，0y=在()0,+上增函数在()0,+上是减函数当01

x时，0y，当1x时，0y当01x时，0y，当1x时，0y知识点十二、底数对对数函数图象的影响1、底数制约着图象的升降．如图知识点诠释：由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时，必须考虑底数是大于1还是小于1，不要忽略

．2、底数变化与图象变化的规律在同一坐标系内，当1a时，随a的增大，对数函数的图像愈靠近x轴；当01a时，对数函数的图象随a的增大而远离x轴．（见下图）知识点十三、幂函数概念形如yx=的函数，叫做幂函数，其中为常数．知识点十四、幂函数的图象及性质1、作出下

列函数的图象：（1）yx=；（2）12yx=；（3）2yx=；（4）1yx−=；（5）3yx=．知识点诠释：幂函数随着的取值不同，它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质：（1）所有的幂函数在(0,)+都有定义，并且图象都过点()1

,1；（2）0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0,)+上是增函数．特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0时，幂函数的图象在区间(0,)+上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点

时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴．2、作幂函数图象的步骤如下：（1）先作出第一象限内的图象；（2）若幂函数的定义域为(0,)+或[0,)+

，作图已完成；若在(0)−，或0]−(，上也有意义，则应先判断函数的奇偶性如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象．3、幂函数解析式的确定（1）借助幂函数的定义，设幂

函数或确定函数中相应量的值．（2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征．（3）如函数()afxkx=是幂函数，求()fx的表达式，就应由定义知必有1k=，即()afxx=．4、幂函数值大小的比较（1）比较函数值的大小问题一

般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．（2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性，然后由单调性判断值的大小．（3）常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．【考点剖析】考点一：指数运算例1．（20

22·江西南昌·高一期末）（1）若15xx−+=求22xx−+的值；（2）计算：112332234125416(22)(3)825−−+++−−．【解析】（1）()2221225223−−+=

+−=−=xxxx（2）原式11323233242345222|3|25−=−+++−−5582(3)1322=−++++−=−例2．（2022·吉林延边·高一期末）已知11223aa−+=，求下列各

式的值：(1)1aa−+；(2)1aa−−.【解析】（1）()11222129aaaa−−+=++=，所以17aa−+=（2）()2212249aaaa−−=+=++，所以2247aa−+=；()2122247245aaaa−−−=+−=−=，所以13

5aa−−=例3．（2022·江苏连云港·高一期末）计算：（1）2022333(2020)()(3)(12)28−−++−（2）解不等式：211()273x−【解析】（1）2022333(2020)()(3)(12)28−−++−223323

1()(())1232=++−4912194=++−21=+（2）由211()273x−，得12333x−又因为3xy=是增函数，123x−，解得1x−.所以解集为1xx−考点二：指数函数图像与性质例4．（2022·湖北黄石·高一期末）函数()2||24xxfx=−的图象大致为

（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数()224xxfx=−的定义域为2xx，()()()222424xxxxfxfx−−−−===−−，所以()fx是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A，B；当()0,2x时124x，()2

024xxfx=−，当()2,x+时，()2024xxfx=−，排除C．故选：D．例5．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数11xya−=+，（0a且1a）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）A．

()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4【答案】B【解析】令10x−=，解得1x=，所以当1x=时，10112xyaa−=+=+=，所以函数11xya−=+过定点()1,2.故选：B例6．（2022·安徽合肥·高一期末）已知函数2()21xfxa=

−+为奇函数，Ra.(1)求a的值；(2)判断函数()fx的单调性；(3)若22(4)()0fxxfxk−++−−恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）函数定义域为R.因为函数2()21xfxa=−+为奇函数，所以有()()fxfx−=−，即(

)()0fxfx−+=.又222()2121xxxfxaa−−=−=−++，则()()2222121xxxfxfxaa−+=−+−++222222021xxaa+=−=−=+，所以，1a=.（2）由（1）知，2()121xfx=−+.任取12,Rxx，不妨设12xx，()()1212

22112121−=−−−++xxfxfx()()()12122222121xxxx−=++，∵12xx，∴1222xx，∴12220xx−.又1210x+，2210x+，∴(

)()120fxfx−，即()()12fxfx，∴函数()fx是R上的增函数.（3）因为，函数2()121xfx=−+为奇函数，所以22(4)()0fxxfxk−++−−等价于()222(4)()fxx

fxkfxk−+−−−=+，∵()fx是R上的单调增函数，∴224xxxk−++，即2240xxk−+恒成立，∴()()2442820kk=−−=−−，解得2k.例7．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()33xxfx−=−

．(1)利用函数单调性的定义证明()fx是单调递增函数；(2)若对任意1,1x−，()()24fxmfx+−恒成立，求实数m的取值范围．【解析】（1）由已知可得()fx的定义域为R，任取12,xxR，

且12xx，则()()12fxfx−()()1122121121333331313xxxxxxxxx−−−+=−−−=−+，因为130x，121103xx++，21130xx−−，所以()()120fxfx−，即()()12fxfx，所以()fx在R上是单调递增函数．（

2）()()()()223333xxxxfxmfxm−−+=−+−，令33xxt−=−，则当1,1x−时，88,33t−，所以()()22fxmfxtmt+=+．令

()2httmt=+，88,33t−，则只需()min4ht−．当823m−−，即163m时，()ht在88,33−上单调递增，所以()min86484393hthm=−=−−，解得256m，与163m矛盾，舍去；当88323m−−，即161

633m−时，()ht在8,32m−−上单调递减，在8,23m−上单调递增，所以()2min424mmhth=−=−−，解得44m−；当823m−即163m−时，()ht在88,33−上

单调递减，所以()min86484393hthm==+−，解得256m−，与163m−矛盾，舍去．综上，实数m的取值范围是4,4−．例8．（2022·广东惠州·高一期末）设函数()22()xxfxaaR−=−．(

1)若函数()yfx=的图象关于原点对称，求函数3()()2gxfx=+的零点0x；(2)若函数()()42xxhxfx−=++在[0x，1]的最大值为2−，求实数a的值．【解析】（1）()fx的图象关

于原点对称，()fx为奇函数，()()0fxfx−+=，22220xxxxaa−−−+−=，即(1)(22)0xxa−−+=，1a=．所以()22xxfx−=−，所以3()222xxgx−=−+，令3()2202xxgx−=−+=，则22(2)3(2)20

xx+−=，(22)(221)0xx+−=，又20x，2210x−=，解得=1x−，即01x=−，所以函数()gx的零点为1−．（2）因为()2242xxxxhxa−−=−++，0,1x，令2xt=，则1,2t，()2httat=+

，1,2t，对称轴2at=−，当322a−„，即3a−…时，()()2422maxhtha==+=−，3a=−；②当322a−，即3a−时，()()112maxhtha==+=−，3a=−（舍)；综上：实数a

的值为3−．考点三：对数运算例9．（2022·上海长宁·高一期末）已知lg2a=，lg3b=，用a，b表示18log15=_____．【答案】12baba−++【解析】由题意，18lg15lg3lg5lg31lg21log15lg18lg22lg3lg22lg32baba++−−+====+++故

答案为：12baba−++．例10．（2022·江苏南通·高一期末）()12ln32elog80.25−++的值为______.【答案】11【解析】原式623(2)236211log=++=++=．故答案为：11．例11．（2022·吉林·农安县教师进修学校高一期末）计算7log237l

og27lg25lg47log1++++=______.【答案】7【解析】7log237log27lg25lg47log1++++()3lg2542=++52=+7=.故答案为：7.例12．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）方程

()255log(21)log2xx+=−的解为___________．【答案】3【解析】由()255log(21)log2xx+=−得2212xx+=−，且2>02x−，21>0x+，即2230xx−−=，所

以()()130xx+−=，解得=1x−或3x=，检验：当=1x−，210202xx+−，，不满足真数大于0，故舍去，当3x=，21>2>020xx+−，，所以方程()255log(21)log2xx+=−的解为：3x=．故答案为：3考点四：对数函数图

像与性质例13．（2022·天津南开·高一期末）下列命题中：①2xy=与2logyx=互为反函数，其图像关于yx=对称;②已知函数()2121fxxx−=−−，则()526f=;③当0a，且1a时，函数()23xfxa−=−必过定点()2,2−；

④已知()231abkk==，且121ab+=，则实数8k=.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.【答案】①③【解析】对于①，因为xya=与2logyx=互为反函数，其图像关于yx=对称；所以当2a=时，2xy=与2logyx=互为反函数，其图像关于yx=对称，故

命题①正确；对于②，因为()2121fxxx−=−−，所以令6x=，得()25626123f=−−=，故命题②错误；对于③，因为()23xfxa−=−，所以令20x−=，即2x=，则()22232fa−=−=−，故()fx过定点()2,2−，故命题③正确；对

于④，因为()231abkk==，所以23log,logakbk==，所以231111log2,log3loglogkkakbk====，故由121ab+=得log22log31kk+=，即()2log231k=，即log181k=，所以18k=，故

命题④错误.故答案为：①③.例14．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知()fx是在定义域()0,+上的单调函数，且对任意()0,x+都满足：()()22log4ffxx−=，则满足不等式()()22log3fxx−的x的取值范围是_____

___.【答案】(0,3)【解析】由题意得()22logfxx−为正常数，令()22log,0fxxtt−=，则22l)o(gxtfx=+，且2()2log4fttt=+=，解得2t=，原不等式为222loglog(3)xx，可得203xxx

，解得03x，故答案为：(0,3)例15．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一期末）已知函数()fx的图像与函数3xy=的图像关于直线yx=对称，则()9f=________．【答案】2【解析】因为已知函数()fx的图像与函数3xy=的图像关于

直线yx=对称，所以()fx与3xy=互为反函数，所以()3logfxx=.所以()39log92f==.故答案为：2例16．（2022·天津南开·高一期末）已知函数()()212log32fxxx=−−.(1)求该函数的定义域；(2)求该函数的单调区间及值域.【解析】（1）由2032xx

−−得：31x−，()fx\的定义域为()3,1−.（2）令223xx=−−+，在()3,1−−上单调递增；在()1,1−上单调递减；又()12logf=在()0,+上单调递减，()fx\的单调递增区间为()1,1−；单调递减

区间为()3,1−−，()()212134−−−−+=，1122loglog42=−，()fx\的值域为)2,−+.例17．（2022·浙江大学附属中学高一期末）已知aR，函数()()22logfxxxa=++(1)若函数()fx过点()1,1，求

此时函数()fx的解析式；(2)设0a，若对任意1,12t，函数()fx在区间,1tt+上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【解析】（1）因为函数()fx过点()1,1，即()()21log21fa=+=，解得0a=，故()()22

logfxxx=+；（2）因为()()22logfxxxa=++是复合函数，设2()uxxxa=++，()2log()fxux=，1,12t，2()uxxxa=++在区间,1tt+单调递增，()2log()fxux=单调递增，故函数()fx在区间

,1tt+上单调递增，()()()()2222minmax()log,(1)log32fxftttafxfttta==++=+=+++，由题意(1)()1ftft+−对任意1,12t恒成立，即()()2222log32log1ttatta+++−++对任意1,12t

恒成立，即2232222ttatta+++++对任意1,12t恒成立，即22tta−++对任意1,12t恒成立，设2()2gttt=−++，1,12t，只需max()gta即

可，因为2()2gttt=−++的对称轴为12t=，图像是开口向下的抛物线，故2()2gttt=−++在1,12t单调递减，故max19()()24gtg==，故94a≥.考点五：指对幂比较大小例18．（2022·江苏连云港·高一期末）已知130.

20.0121.5,1.3,3abc−===，则（）A．cabB．bacC．acbD．bca【答案】B【解析】0.201.51.51a−==，1510.230.23221.5233ac−−

====，0.0101.31.31b==，故bac.故选：B例19．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知322,log3,3abc===，则（）A．b<c<aB

．bacC．c<a<bD．abc【答案】A【解析】在同一直角坐标系中画出22,,logxyyxyx===的图象如下：所以233l32og．故选：A．例20．（2022·江苏·连云港市赣马高级中学高一期末）已知20.320.3,2,log2abc===，则

（）A．bcaB．bacC．cabD．abc【答案】D【解析】因为2log22c==，2000.30.31a==，00.3112222b===，所以abc.故选：D.例21．（2022·贵州六盘水·高一期末）在238，34

1681−，31log9，lg100四个数中，最大的是（）A．238B．341681−C．31log9D．lg100【答案】A【解析】因为2338644==，33124441681327811628−===，331logl

og929=−=−，lg1002=，所以四个数中最大的是238，故选：A.考点六：幂函数例22．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数()223mmyxmN−−=的图象关于y轴对称，且在()0,+上单调递减，则满足()()33132mmaa−−+−

的a的取值范围为________.【答案】()23,1,32−−【解析】幂函数()223mmyxmN−−=在()0,+上单调递减，故2230mm−−，解得13m−.*mN，故0m=，1，2.当0m

=时，3yx−=不关于y轴对称，舍去；当1m=时，4yx−=关于y轴对称，满足；当2m=时，3yx−=不关于y轴对称，舍去；故1m=，()()1133132aa−−+−，函数13yx−=在(),0−和()0,+上单调递减，

故1320aa+−或0132aa+−或1032aa+−，解得1a−或2332a.故答案为：()23,1,32−−例23．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Zmfxmmxm+=−+为幂函数，且为奇函数.(1)

求m的值，并确定()fx的解析式；(2)令()()21gxfxx=++，求()ygx=在1,12x−的值域.【解析】（1）因为函数()()()2151Zmfxmmxm+=−+为幂函数，所以2511mm−+=，解得0m=或5m=，当0m=时，函数

()fxx=是奇函数，符合题意，当5m=时，函数()6fxx=是偶函数，不符合题意，综上所述，m的值为0，函数()fx的解析式为()fxx=.（2）由（1）知，()fxx=，所以()()2121gxfxxxx=++=++，令

21tx=+，则212tx−=，11,0123,032xxt−+，所以2211()222ttgttt−=+=+−，0,3t，根据二次函数的性质知，()gt的对称轴为11122t=−=−，开口向上，所以(

)gt在0,3上单调递增；所以2min011()(0)0222gtg==+−=−，()2max31()(3)33122gtg==+−=+所以函数()gx在1,12−的值域为1,312−+.例24．（2022·湖北·武汉东湖新技术开发区教育发展研究院高一期末）已知

函数()fxx=，()2gxx=−.(1)求方程()()fxgx=的解集；(2)定义：,max,,aababbab=.已知定义在)0,+上的函数()max(),()hxfxgx=，求函数()hx的解析式；

(3)在（2）的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数()hx的简图，并根据图象写出函数()hx的单调区间和最小值.【解析】（1）由2xx=−，得2540xx−+=且0x，解得11x=，24x=；所以方程()()fxgx=的解集为1,4}（2）

由已知得()2,01,2,142,22,4xxxxxhxxxxxxxx−−==−−−.（3）函数()hx的图象如图实线所示：函数()hx的单调递减区间是0,1，单调递增区间是()1

,+，其最小值为1.例25．（2022·湖北·监利市教学研究室高一期末）已知幂函数()()2133mfxmmx+=−+为偶函数(1)求幂函数()fx的解析式；(2)若函数()()2agxfxx=−在2,4

上单调，求实数a的取值范围.【解析】（1）依题意有：2331mm−+=，解得1m=或2m=；又函数()fx为偶函数，则1m=，所以()2fxx=.（2）()22agxxx=−；由题知：222a或242a，所以2a或3a.【真题演练】1．（2021·天津·高考真题

）若2510ab==，则11ab+=（）A．1−B．lg7C．1D．7log10【答案】C【解析】2510ab==，25log10,log10ab==，251111lg2lg5lg101log10log10ab+=+=+==.故选：C.2．（2021·全国·高考真题（文））青少年视力是社会普

遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足5lgLV=+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（10101.259）A．1.5B．1.

2C．0.8D．0.6【答案】C【解析】由5lgLV=+，当4.9L=时，lg0.1V=−，则10.110101110100.81.25910V−−===.故选：C.3．（2020·海南·高考真题）基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均

人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e)rtIt=描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0=1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情

初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69)（）A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天【答案】B【解析】因为03.28R=，6T=，01RrT=+，所以3.2810.386r−==，所以()0.38rttItee==，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感

染病例数增加1倍需要的时间为1t天，则10.38()0.382tttee+=，所以10.382te=，所以10.38ln2t=，所以1ln20.691.80.380.38t=天.故选：B.4．（2020·全国·高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=l

og53，b=log85，c=log138，则（）A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【解析】由题意可知a、b、()0,1c，()222528log3lg3lg81lg3lg8lg3lg8l

g241log5lg5lg522lg5lg25lg5ab++====，ab；由8log5b=，得85b=，由5458，得5488b，54b，可得45b；由13log8c=，得138c=，由45138，得451313c，54c，

可得45c.综上所述，abc.故选：A.5．（2020·全国·高考真题（文））设3log42a=，则4a−=（）A．116B．19C．18D．16【答案】B【解析】由3log42a=可得3log42a=，所以49a=，所以有149a

−=，故选：B.6．（2022·天津·高考真题）已知0.72a=，0.713b=，21log3c=，则（）A．acbB．bcaC．abcD．cab【答案】C【解析】因为0.70.7221120log

1log33=，故abc.故答案为：C.7．（2022·浙江·高考真题）已知825,log3ab==，则34ab−=（）A．25B．5C．259D．53【答案】C【解析】因为25a=，821log3log33b==，即323b=，所以()()223232324525

44392aaabbb−====．故选：C.8．（2021·天津·高考真题）设0.3212log0.3,log0.4,0.4abc===，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．c<a<bC．b<c<aD．a

cb【答案】D【解析】22log0.3log10=，<0a，122225log0.4log0.4loglog212=−==，1b，0.3000.40.41=，01c，acb.故

选：D.9．（2021·全国·高考真题）已知5log2a=，8log3b=，12c=，则下列判断正确的是（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【答案】C【解析】55881log2log5log22log32ab=

===，即acb.故选：C.【过关检测】一、单选题1．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知3log4a=，4log5b=，32c=，则（）A．abcB．abcC．bcaD．bac

【答案】D【解析】因为()()22234ln3ln5ln4ln4ln3ln5ln4ln52log4log5ln3ln4ln3ln4ln3ln4ab+−−−=−=−=()()22ln4ln150ln3ln4−=，即ab，又因为333log4log332ac===，因此

，bac.故选：D.2．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()21226log4xfxx+=+，则()fx有（）A．最小值8log3−B．最大值2log3−C．最小值32−D．最大值32−【答案】B【解析】()22222242624

444xxxxxx+++==+++++，令242tx=+，()2gttt=+，任取1t、)22,t+且12tt，则120tt−，124tt，所以，()()()()()()12121212121212121222220tttttt

gtgttttttttttt−−−−=+−+=−−=，则()()12gtgt，所以，函数()gt在)2,+上单调递增，故当2t时，()()23gtg=，所以，2222624344xxxx+=++++，又因为函数12logyu

=为减函数，故()21122226loglog3log34xfxx+==−+，故选：B.3．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知103,105xy==，则用,xy表示9lg2为（）A．21

xy−B．3xyC．21xy+−D．21xy−+【答案】C【解析】103lg3xx==，105lg5yy==，()9lglg9lg22lg31lg52lg3lg51212xy=−=−−=+−=+−.故选：

C4．（2022·山东枣庄·高一期中）下列根式与分数指数幂的互化，正确的是（）A．21()xx−=−B．1262yy=C．3131(0)xxx−=−D．123432[()](0)xxx−=【答案】D【解析】A.12xx−=−，故

A错误；B.212663yyy==，故B错误；C.3131(0)xxx−=，故C错误；D.()3124233324[()](0)xxxx−==，故D正确.故选：D5．（2022·陕西西安·高一阶段练习）函数23212xxy−+=的单调递减区间是（）A．(

,1−B．1,2C．3,2+D．3,2−【答案】C【解析】内层函数232uxx=−+在区间3,2−单调递减，在3,2+单调递增，外层函数12u

y=为减函数，所以函数23212xxy−+=的单调递减区间是3,2+，故选：C6．（2022·陕西西安·高一阶段练习）已知函数()()log3afxax=−在0,1上是减函数，则实数a的取值范围是（）A

．()0,1B．()1,3C．()()0,11,3D．()0,3【答案】B【解析】依题意30ax−在0,1上恒成立且0,1aa，()()300,11,3aa−又()fx可看成log,3ayuuax==−的复合函数，3uax=−单调递减，欲使()fx是减函数，只

需logayu=递增，()1,1,3aa.故选：B7．（2022·江苏连云港·高一期末）假若我国国民经济生产总值平均每年增长7.3%，则国民经济生产总值是现在的两倍需要经过（）（lg20.3010,lg1

.0730.031）A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】设经过x年国民经济生产总值是现在的两倍，现在的国民经济生产总值是a.根据题意，得17.3()%2xaa=+，即1.0732x=，则1.073lg2log2lg1.

073x==≈0.30100.031≈10.所以约经过10年国民经济生产总值是现在的两倍．故选：D．8．（2022·江苏连云港·高一期末）设a为实数，若关于x的方程1420xxa+++=有实数解，则a的取值范围是（）A．(0,)+B．[0,)+C．(),0−D．(,

0]−【答案】C【解析】因为1420xxa+++=，所以()2142222xxxxa+−=+=+，令2xt=（0t），则22att−=+（0t），要想方程1420xxa+++=有实数解只需ya=−与()22fttt=+有交点即可；设()()2221

1ftttt=+=+−，当0t时，()ft单调递增，所以()()00ftf=，即0a−时，解得：a<0，故a的取值范围是为：(),0−.故选：C.二、多选题9．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）下列运算中，正确的是（）A．2213log4

27228−=−B．若114aa+=，则14aa+=C．若77log3,log4ab==，则71log4212ba=++D．若469abc==，则112acb+=【答案】AB【解析】对于A，221log34

2331319[()]42272()8442=−=−−=−，A正确；对于B，因114aa+=，则2111()24aaaaaa+=+=++=，B正确；对于C，因77log3,log4ab==，则7777771log42log7log3log21log3log412

2ba=++=++=++，C不正确；对于D，当0abc===时，469abc==成立，但112acb+=无意义，D不正确.故选：AB10．（2022·江苏·赣榆智贤中学高一阶段练习）已知13aa−+=，则下列选项中正确的有（）A．2

27aa−+=B．11221aa−−=C．11225aa−+=D．332225aa−+=【答案】ABD【解析】13aa−+=两边平方得：()212229aaaa−−+=++=，所以227aa−+=，A正

确；2111222321aaaa−−−=−+=−=，因为1122,aa−的大小不确定，所以11221aa−−=，B正确；2111222325aaaa−−+=++=+=，因为11220,0aa−，所以1

1225aa−+=，C错误；由立方和公式可得：()()333311111222222153125aaaaaaaa−−−−+=+=+−+=−=，D正确.故选：ABD11．（2022·山东枣庄·高一期中）下列函数中，满足对

12(0,)xx+，都有1212()()()22xxfxfxf++的是（）A．1()fxx−=B．3()fxx=C．()fxx=D．()xfxe−=【答案】ABD【解析】由题意可知：当0x时，满足条件1212()()()22xxfxfx

f++的函数()fx的图象是凹形曲线，对于A，函数1()fxx−=在第一象限的图象是一条凹形曲线，故当210xx时，1212()()()22xxfxfxf++，故选项A满足；对于B，函数3()fxx=的图象在第一象限是凹形曲线，故当21

0xx时，1212()()()22xxfxfxf++，故选项B满足；对于C，函数()fxx=的图象在第一象限是凸形曲线，故当210xx时，1212()()()22xxfxfxf++，故选项C不满足；对于D，函数()xfxe−=的图象在第一象

限是凹形曲线，故当210xx时，1212()()()22xxfxfxf++，故选项D满足；综上，满足条件的是ABD，故选：ABD.12．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()()22112022334xxfxxx−−=+−+−

，设()yfx=的图象为曲线C，则（）A．曲线C是中心对称图形B．曲线C是轴对称图形C．()fx在()3,+上为增函数D．()fx在(),0−上为减函数【答案】BD【解析】函数()()22112022334xxfxxx

−−=+−+−的定义域为(,0)(0,4)(4,)−+，2224()2022(33)(2)4xxfxx−−=+−−−，令2xt−=，有(,2)(2,2)(2,)t−−−+，24()2022(334)ttgtt−=+−−，显然

(,2)(2,2)(2,)t−−−−+，24()2022(33())4ttgtgtt−−=+−=−，即函数()gt是定义域上的偶函数，其图象关于y轴对称，令()33,0xxhxx−=+，1212,(,0),xxxx−，112212()()33(

33)xxxxhxhx−−−=+−+，12121(33)(1)33xxxx=−−，因120xx，则120331xx，即12121330,1033xxxx−−，因此12()()0hxhx−，即12()()hxhx，函数()hx在(,0)−上单调递减，

而函数244x−−在(,2),(2,0)−−−上单调递减，于是得函数()gt在(,2),(2,0)−−−上单调递减，在(0,2),(2,)+上单调递增，函数()ygt=的图象不是中心对称图形，显然函数()ygt=的图象向右平移2个单位得函数()yfx=的图象，

因此函数()yfx=的图象不是中心对称图形，是轴对称图形，对称轴为2x=，A不正确，B正确；由函数()gt在(,2)−−上单调递减，得函数()fx在(,0)−上单调递减，D正确；由函数()gt在(0,2),(2,)+上单调递增，得函数()fx在(2,4)

,(4,)+上单调递增，C不正确.故选：BD三、填空题13．（2022·陕西·长安一中高一阶段练习）函数()log238ayx=−+的图像恒过定点A，且点A在幂函数()fx的图像上，则()5f=__________.【答案】125【解析】函数()log238a

yx=−+，由log10a=，当231x−=，即2x=时，8y=，点A的坐标是(2,8)．幂函数()fxx=的图像过点(2,8)A，所以82=，解得3=；所以幂函数为3()fxx=，则3(5)5125f==．故答案为：12514．（2022·上海

·华师大二附中高一阶段练习）函数114542xxy=++的值域为___________.【答案】()5,+【解析】函数114542xxy=++的定义域

为R.因为2111145454222xxxxy=++=++，令102xt=，则245ytt=++.又函数245ytt=++在()0,+上单调递增，所以在()0,+上，有2455ytt=++恒成立.所以函数114542xxy

=++的值域为()5,+.故答案为：()5,+.15．（2022·福建省华安县第一中学高一阶段练习）设函数()2121xfxx=−+，则使得()()31fxfx−成立的x的取值范围是__________

_【答案】11,42【解析】()fx的定义域是R，2211()22()1()1xxfxfxxx−−=−=−=+−+，()fx是偶函数，0x时，设120xx，1222xx，2212xx，2212011xx++，从而2212111

1xx++，所以122212112211xxxx−−++，即12()()fxfx，21()21xfxx=−+是增函数，不等式()()31fxfx−化为()()31fxfx−，所以31xx−，22(31)xx−，解得1142x．故答案为：11,42

16．（2022·天津市南开中学滨海生态城学校高一阶段练习）若函数()()212log45fxxx=−++在区间()21,1mm−+内单调递增，则实数m的取值范围为__________.【答案】322m【解析】要使函数()()212log45fxxx=−++有意义，则有245

0xx−++，解得：15x−，令22()45(2)9uxxxx=−++=−−+，函数()ux在(1,2)−上单调递增，在[2,5)上单调递减，又因为12logyu=在(0,)+上单调递减，由复合函数的单调性可知：函数()()212log45fxxx=−++在[2,5)上单调递增，又因为

函数()()212log45fxxx=−++在区间()21,1mm−+内单调递增，所以(21,1)[2,5)mm−+，则有12121215mmmm+−−+，解得：322m，故答案为：322m.四、解答题17．（2022·江苏·南京田家炳高级中学高一阶段练习

）计算：(1)32212313132332(423)48273aaaa−−−−+−−+；(2)2log32231log3log4(lg5)lg5lg20lg162.2+++−【解析】（1）()3122233311223342348273aaaa

−−−−+−−+()()1111231223223133223134233aaaa−−−−=+−−+1111123322213423()(

)13131aa−=+−−+=+−−+1.=（2）2log32231log3log4(lg5)lg5lg20lg1622+++−4lg3lg41lg5(lg5lg20)lg23lg2lg32=+++−2l

g2lg5lg(520)2lg23lg2=++−22lg52lg23=++−2lg101=−1.=18．（2022·湖南·新邵县第八中学高一阶段练习）已知函数()133xxafxb+−=+是R上的奇函数（,ab为常数）.(1)求()fx的解析

式；(2)若存在1,1x−，使不等式()()1441220xxxfkkfk++−+−成立，求实数k的取值范围.【解析】（1）因函数()133xxafxb+−=+是R上的奇函数，则有3(0)01afb−==+，解得3a=，即133()3xxfxb+−=+，R

x，111333333()()3313xxxxxxfxfxbbb−+++−−−−−===−=−+++，即Rx，313xxbb+=+，解得1b=，所以133()31xxfx+−=+.（2）由（1）知，3(132()3(1)3131)xxxfx−

==−++在R上单调递减，而11(441)))(220(441)(22xxxxxxfkkfkfkkfk+++−+−+−−+，即21441(22224)221xxxxxxkkkk++++−−++，则221(

21)3xxk+++，依题意，存在1,1x−，221(21)3xxk+++，当11x−时，32132x+，2211133(21)363212(21)2121xxxxxx+==+++++++，当且仅当32121xx+=+，即2log(31)x=−取等号，又2log(31)[

1,1]−−，因此当2log(31)x=−时，221(21)3xx+++取得最大值36，则36k，所以实数k的取值范围是3(,)6−.19．（2022·江苏·扬州中学高一阶段练习）已知函数1()lg1xfxx−=+.(1)

求不等式(())(lg3)0ffxf+的解集；(2)函数()2(0,1)xgxaaa=−，若存在1x，2[0,1)x，使得()()12fxgx=成立，求实数a的取值范围；【解析】（1）1()lg1xf

xx−=+，定义域为(1,1)−()()fxfx−+=11lglglg1011xxxx−++==+−，函数()fx是奇函数.又2()lg11fxx=−++在(1,1)x−时是减函数，故不等式(())(lg3)0ffxf+等价于(())(lg3)ffxf−即1()lg3fx，又1

()1fx−，∴1111013xx−+解得19211x故不等式(())(lg3)0ffxf+的解集为19,211.（2）由题意知：[0,1)x时，()fx与()gx值域有交集.[0,1)x时，2()lg11fxx=−++是减函数

∴()(,0]fx−，当1a时，()2xgxa=−，[0,1)x时单调递减，()(2,1]gxa−，∴20a−∴2a当01a时，()2xgxa=−，[0,1)x时单调递增，()[1,2)gxa−，显然不符合综上：a的取值范围为

(2,)+20．（2022·广东·雷州市第一中学高一阶段练习）已知()1log(0,1)1axfxaax+=−(1)若2a=，判断()fx的奇偶性并予以证明；(2)若1a，判断()fx的单调性（不用证明）；(3)在（2）条件下求不等式()()211fxfx−−的解集．【解析】

（1）若2a=，函数()fx是奇函数．证明：若2a=，则()21log1xfxx+=−.由101xx+−得，11x−，函数()fx的定义域为()1,1−，关于原点对称，()()()1222111logloglog111xxxfxxxx−+−−+−===

−−+−()21log1xfxx+=−=−−，若2a=，函数()fx是奇函数．（2）令11xtx+=−.12111xtxx+−==−−−在()1,1−上单调递增，且0t，当1a时，logayt=在()0,+上单调递增，()fx\在()1,1−上单调递增．（3）由（2

）知()fx在()1,1−上单调递增，则由()()211fxfx−−可得，2211111111xxxx−−−−−−，即2202020xxxx−，解得12x.所以，不等式的解集为()1,2.21．（2022·

陕西西安·高一阶段练习）已知21log3x，()()224log4logmfxxx=，m为实数，(1)当1m=时，求函数()fx的最大值；(2)求函数()fx的最大值()gm的解析式；(3)若()2gmtm++对任意

4,0m−恒成立，求实数t的取值范围．【解析】（1）当1m=时()()()()222222224()log4loglog4loglog4log4logfxxxxxx==+−=−，因为21log3x，所以当2log1x=时()fx取得最大值，

()fx的最大值为3.（2）()()()22222222()log2loglog4log4(22)loglogmfxxxmmxx=+−=+−−，令2()(22)4httmtm=−+−+，13t，所以二次函数()ht的对称轴为1tm=−，①当11m−即0m时，1t=时

()ht取最大值，()max21htm=+；②当113m−即20m−，1tm=−时()ht取最大值，()2max21htmm=++；③当13m−即2m−时，3t=时()ht取最大值，()max23ht

m=−−，综上221,0()21,2023,2mmgmmmmmm+=++−−−−.（3）()2gmtm++对任意4,0m−恒成立，仅需min()2gmmt−−即可，由（2）得21,20()235,2mm

mgmmmm+−−−−=−−−，当20m−时，21mm+−的对称轴为12m=−，所以()2min11511424mm+−=−−=−，当2m−时，35m−−单调递减，所以()min351m−−=，综上min5()24gmm−−=−，所以54t−.22

．（2022·安徽·合肥世界外国语学校高一阶段练习）已知()()2Rxfxx=．(1)解不等式：()()2432fxfx−；(2)记()()()gxfxfx=+−，求函数()()22ygxgx=−的最小值．【解析】（1）()2(

R)xfxx=，所以2(2)2xfx=，不等式()()2432fxfx−，即2242320xx−−，即()()24280xx+−，240x+恒成立，故28x，解得3x，即不等式的解集为3]−（，．（2）

()()()22xxgxfxfx−=+−=+，则()()22(2)2()22222xxxxygxgx−−=−=+−+，令22xxt−=+，则222222xxxxt−−=+=，当且仅当22−=xx，0x=时取等号，则()2222222222xx

xxt−−+=+−=−，所以问题转化为求函数()222httt=−−，)2,t+的最小值，因为()()213htt=−−对称轴为1t=，开口向上，所以()ht在)2,+上单调递增，所以()()min22hth==−，所以函数(2

)2()ygxgx=−的最小值为2−．