【文档说明】《【挑战满分】八年级数学下册阶段性复习精选精练（华东师大版）》专题17.5 函数及其图象反比例函数（基础篇）专项练习.docx，共(26)页，728.925 KB，由管理员店铺上传

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1专题17.5函数及其图象-反比例函数（基础篇）专项练习一、单选题1．已知点A（1，-3）关于x轴的对称点A'在反比例函数ky=x的图像上，则实数k的值为（）A．3B．13C．-3D．1-32．给出的六个关系式：①x(y＋1)；②y＝2x2+；③y＝21x；④y＝－12

x；⑤y＝2x；⑥y＝23x；其中y是x的反比例函数是()A．①②③④⑥B．③⑤⑥C．①②④D．④⑥3．反比例函数3yx=−，下列说法不正确的是（）A．图象经过点(1,-3)B．图象位于第二、四象限C．图象关于直线y=x对称D．y随x的增大而增大4．若反比例函数y=kx图象经过点（5，-1

），该函数图象在（）A．第一、二象限B．第一、三象限C．第二、三象限D．第二、四象限5．若反比例函数y＝kx的图象经过点（﹣3，4），则它的图象也一定经过的点是（）A．（﹣4，﹣3）B．（﹣3，﹣4）C．（2，﹣6）D．（6，2）6．一次函数y

=ax－a与反比例函数y=ax(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．7．若双曲线y＝k1x−位于第二、四象限，则k的取值范围是()A．k＜1B．k≥1C．k＞1D．k≠18．在反比例函数1kyx−=的图象的每一条曲线上，y都随x

的增大而增大，则k的值可以是()A．－1B．0C．1D．229．反比例函数y＝kx图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，则n＝（）A．1B．3C．﹣1D．﹣310．如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的

一组对边与x轴平行，点()P4a,a是反比例函数ky(k0)x=的图象上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于16，则k的值为（）A．16B．1C．4D．-16二、填空题11．若点(2)m−，在反比例函数6yx=的图像

上，则m=______．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为_____．13．已知菱形的面积是12cm2，菱形的

两条对角线长分别为x和y，则y与x之间的函数关系是________________．14．已知反比例函数的解析式为y＝||2ax−．则a的取值范围是_____．15．在平面直角坐标系xOy中，直线yx=与双曲线myx=交于A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为12,y

y，则12yy+的值为_______．16．如图，函数y＝－x与函数y＝－4x的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，则四边形ACBD的面积________．317．若函数y＝（m

+2）x|m|﹣3是反比例函数，则m的值为_____．18．如图，在反比例函数y＝2x(x>0)的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1＋S2＋S3＝___

________．19．如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．20．如图，正比例函数yx=−与反比例函数6yx=−的图象交于A，C两点，过点A作ABx⊥轴于点B，过点C

作CDx⊥轴于点D，则ABD△的面积为_________．421．如图，一次函数()0yxkk=+的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B与反比例函数kyx=上的图象在第一象限内交于点,CCDx⊥轴，CEy⊥轴，垂足分别为点,DE，当矩形ODCE与OAB的面积相等时，k

的值为__________．22．如图，菱形OABC的顶点O是原点，顶点B在y轴上，菱形的两条对角线的长分别是8和6（AC＞BC），反比例函数y=kx（x＜0）的图象经过点C，则k的值为_____.23．如

图，△OPQ是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象只经过点P，则它的解析式是_______．三、解答题24．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于A、B两点，且与反比例函数kyx=（0k）的图象在第一象限交于点C，如果点B的坐标为（0，2

），OA=OB，B是线段AC的中点．（1）求点A的坐标及一次函数解析式．5（2）求点C的坐标及反比例函数的解析式．25．如图，一次函数3yx=−的图象与反比例函数(0)kykx=的图象交于点A与点(,4)Ba−．（1）求反比例函数的表达式；（2）若动点P是第一象限内双曲线上的点（不与点A重

合），连接OP，且过点P作y轴的平行线交直线AB于点C，连接OC，若POC的面积为3，求出点P的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边BC交x轴于点D，ADx⊥轴，反比例函数(0)kyxx=的图象经过点A，点D的坐

标为(3,0)，ABBD=．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P为y轴上一动点，当PAPB+的值最小时，求出点P的坐标．627．如图1，点(0,8)A、点(2,)Ba在直线2yxb=−+上，反比例函数kyx=（0x）的图象经过点B．（1）求a和k的值；（2）将线段AB向右平移

m个单位长度（0m），得到对应线段CD，连接AC、BD．①如图2，当3m=时，过D作DFx⊥轴于点F，交反比例函数图象于点E，求DEEF的值；②在线段AB运动过程中，连接BC，若BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m

的值．28．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数myx=与nyx=(x＞0，0＜m＜n)7的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4．（1）当m=4，n=20时．①若点P

的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式．②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由．（2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由．8参考答案1．A【分析】先求出A'坐标，代入函数解析式即可求出k.【详解】

解：点A（1，-3）关于x轴的对称点A'的坐标为：（1，3），将（1，3）代入反比例函数ky=x，可得：k=1×3=3，故选A.【点拨】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，根据对称的性质求出A'的坐标是解题关键.2．D【解析】【分析】根据反比例函数的一般形式是kyx=（k≠0），可得答

案．【详解】①x(y＋1)是整式的乘法，②y＝2x2+不是反比例函数；③y＝21x不是反比例函数，④y＝－12x是反比例函数，⑤y＝2x是正比例函数，⑥⑥y＝23x是反比例函数，故选D.【点拨】本题考查了正比例函数及反比例函数

的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是kyx=（k≠0）．93．D【分析】通过反比例图象上的点的坐标特征，可对A选项做出判断；通过反比例函数图象和性质、增减性、对称性可对

其它选项做出判断，得出答案．【详解】解：由点()1,3−的坐标满足反比例函数3yx=−，故A是正确的；由30k=−，双曲线位于二、四象限，故B也是正确的；由反比例函数的对称性，可知反比例函数3yx=−关于yx=对称是正确的，故C也是正确的，由反比例函数的性质

，0k，在每个象限内，y随x的增大而增大，不在同一象限，不具有此性质，故D是不正确的，故选D．【点拨】考查反比例函数的性质，当0k时，在每个象限内y随x的增大而增大的性质、反比例函数的图象是轴对称图象，yx=和yx=−是它的对称轴，同时也是中心对称图形；熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征

和反比例函数图象和性质是解答此题的关键.4．D【解析】∵反比例函数y=kx的图象经过点（5，-1），∴k=5×（-1）=-5＜0，∴该函数图象在第二、四象限．故选D．5．C【分析】根据题意得k＝﹣12，将A，B，C，D各个点坐标代入反比例函数y＝kx可

求解．【详解】解：根据k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12∴将A，B，C，D各个点坐标代入反比例函数y＝kx得到k1＝12，k2＝12，k3＝﹣12，k4＝1012故选C．【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，关键是熟练运用k＝xy解决问题．6

．D【详解】解：A、由一次函数y=a（x-1）的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0，即a＜0，与y=ax（x≠0）的图象a＞0相矛盾，故A选项错误；B、由一次函数y=a（x-1）的图象y轴的正半轴相交可知-a＞0

，即a＜0，与y=ax（x≠0）的图象a＞0相矛盾，故B选项错误；C、由一次函数y=a（x-1）的图象与y轴的负半轴相交可知-a＜0，即a＞0，与y=ax（x≠0）的图象a＜0相矛盾，故C选项错误；D、由一次函数y=a（x-1）的图象可知a＜0，与y

=ax（x≠0）的图象a＜0一致，故D选项正确．故选D．【点拨】本题考查反比例函数的图象；一次函数的图象．7．A【解析】∵双曲线1kyx−=位于第二、四象限，∴k-1＜0，∴k＜1．故选A．【点拨】本题主要考查了反

比例函数的图象及其性质，用到的知识点：对于反比例函数y=kx来说，当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．8．D

11【分析】对于函数y＝kx来说，当k＜0时，每一条曲线上，y随x的增大而增大；当k＞0时，每一条曲线上，y随x的增大而减小．【详解】反比例函数y=1kx−的图象上的每一条曲线上，y随x的增大而增大，所以1-k＜0，解得k＞1．故选D．9

．C【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到：k=1×2=-2n，然后解方程即可．【详解】解：∵反比例函数y＝kx图象经过A（1，2），B（n，﹣2）两点，∴k＝1×2＝﹣2n．解得n＝﹣1．故选C．【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征．图象上的点（x，y）的

横纵坐标的积是定值k，即xy=k．10．C【分析】割补法求解即可.【详解】利用割补法可知一个小正方形边长为4，所以a=1，所以k=4.【点拨】利用割补法求小正方形的边长是解题的关键.11．-3【分析】12将点(2)m−，代入反比例函数6yx=，即可求出m的值

．【详解】解：将点(2)m−，代入反比例函数6yx=得：632m==−−．故答案为-3．【点拨】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，就一定满足函数的解析式12．2【分析】由反比例函数

中k值的含义，可知△OAC与△OBD的面积为1，则可求出答案.【详解】在函数2yx=中k=2,∴S△OAC=S△OAD=2k=1，∴S△OAC+S△OBD=2【点拨】此题主要考察反比例函数中k值的含义.13．24yx

=【分析】根据菱形面积＝12×对角线的积，可列出关系式．【详解】解：由题意得：12xy＝12，可得：24yx=，故答案为：24yx=．【点拨】本题考查菱形的性质，反比例函数等知识，解题的关键是记住菱形的面积公式，属于中考常考题型．14．a≠±213【分析

】根据反比例函数解析式中k是常数，且不能等于0解答即可．【详解】解：由题意可得：|a|﹣2≠0，解得：a≠±2，故答案为a≠±2．【点拨】此题主要考查了反比例函数的定义，关键是根据反比例函数关系式中k的取值范围解答．15．0【分析】根据“正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称”即可求解.【

详解】解：∵正比例函数和反比例函数均关于坐标原点O对称，∴正比例函数和反比例函数的交点亦关于坐标原点中心对称，∴120yy+=，故答案为：0.【点拨】本题考查正比例函数和反比例函数的图像性质，根据正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称这个

特点即可解题.16．8【分析】根据函数y=-x与函数y=-4x的图象相交于A，B两点，可以得到点A和点B的坐标，然后根据过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，即可得到四边形ACBD的形状，然后根据平行四边形的面积公式即可解答本题．【详解】∵函数y=-x与函数y=-4x的图象相交

于A，B两点，14∴4yxyx−−＝＝,解得，22xy−＝＝,或=22xy−=，∴点A的坐标为（-2，2），点B的坐标为（2，-2），∵A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D，∴AC=BD=2，AC∥B

D，CD=4，∴四边形ADBC是平行四边形，∴四边形ACBD的面积是2×4=8．【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．17．2【分析】由于函数y=（m+2

）x|m|﹣3是反比例函数，根据反比例函数的定义得到m+2≠0且|m|﹣3=﹣1，然后去绝对值和解不等式即可得到m的值．【详解】∵函数y=（m+2）x|m|﹣3是反比例函数，∴m+2≠0且|m|﹣3=﹣1，∴m=2．故答案为2．【点拨】本题考查了反比例函数的定义：若两个变

量x与y满足y=kx（k≠0）的关系式，则y与x是为反比例函数．18．32【解析】试题分析：根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积．由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1）

，（3，23），（4，12）∴由反比例函数的几何意义可知：15S1+S2+S3=2-1×12=1．5．故答案为1．5．考点：反比例函数系数k的几何意义．19．3【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横

坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=12×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AO

B=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【详解】解：∵A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且

A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=12×4=2．∵S四边形AO

DB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=12（BD+AC）•CD=12（1+2）×2=3，∴S△AOB=3．故答案是：3．【点拨】16主要考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线

所围成的直角三角形面积S的关系即S=12|k|．20．6【分析】根据函数解析式算出A、D的坐标,再根据三角形面积公式求出即可．【详解】令6xx−=−,解得6x=,∴A(6,6−),C(66,−)．∴B(6,0−),D(6,0)．则BD=26,AB=6,∴S△ABD=11266622BDAD

==．故答案为:6．【点拨】本题考查一次函数与反比例函数的结合,关键在于利用联立解析式求解交点．21．2【分析】根据题意由反比例函数k的几何意义得：,ODCESk=矩形再求解,AB的坐标及21,2ABOSk=V建立方程求解即可．【详解】解：Q矩形ODCE，C在kyx=上，,OD

CESk=矩形把0x=代入：,yxk=+,yk=()0,,Bk17把0y=代入：,yxk=+,xk=−(),0,Ak−21,2ABOSk=V由题意得：21,2kk=解得：2,0kk==（舍去）2.k=故答案为：2.【点拨】本题考查的是一次函数与反比

例函数的性质，掌握反比例函数中k的几何意义，一次函数与坐标轴围成的三角形面积的计算是解题的关键．22．−12【分析】先根据菱形的性质求出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数的解析式即可得出k的值．【详解】设菱形的两条对角线相交于点D，如图，∵

四边形ABCD为菱形，又∵菱形的两条对角线的长分别是8和6，∴OB⊥AC，BD=OD=3，CD=AD=4，∵菱形ABCD的对角线OB在y轴上，∴AC∥x轴，∴C(−4,3)，18∵点C在反比例函数y=kx的图象上，∴3=4k−，解得k=−12.故答案为：−12.【点拨】本题考查反比例函数

和菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的性质.23．y=3x【分析】设反比例函数为：y=kx（k≠0），把P点坐标求出并代入解析式即可．【详解】由题意可知，点P的坐标为（1，3），设反比例函数为：y=kx（k≠0），因为反比例函数的

图象过点P，所以k=3．所以所求解析式为：y=3x．故答案为y=3x．【点拨】本题考查函数解析式的求解，属基础题，难度不大，要熟练掌握求解析式的常用方法．24．（1）A（﹣2，0），2yx=+；（2）C（2，4），8yx=．【解析】试题分析：(1)、首先根据OA=OB以及点B的坐

标得出点A的坐标，然后利用待定系数法求出一次函数的解析式；(2)、根线段中点的性质得出点C的坐标，然后将点C坐标代入反比例函数解析式得出答案.试题解析：(1)、∵OA=OB，点B的坐标为(0,2)∴点

A的坐标为(－2,0)A、B在一次函数y=kx+b(k≠0)的图象上∴20{2kbb−+==解得：12kb==∴一次函数的解析式为：y=x+2(2)、∵B是线段AC的中点∴点C的坐标为(2,4)19又∵点C在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上∴k=8∴反比例函数的解析式为：

y=8x.考点：(1)、反比例函数解析式；(2)、一次函数解析式25．（1）反比例函数的表达式为4yx=；（2）点P的坐标为4(5,)5或(1,4)或(2,2)．【解析】【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）设点

P的坐标为4(,)(0)mmm，利用三角形面积公式进行求解.【详解】解：（1）将(,4)Ba−代入一次函数3yx=−中得：1a=−∴(1,4)B−−将(1,4)B−−代入反比例函数(0)kykx=中得：4k=∴反比例函数的表达式为4yx=；（2）如图：设点P的坐标为4(,)(0

)mmm，则(,3)Cmm−20∴4|(3)|PCmm=−−，点O到直线PC的距离为m∴POC的面积14|(3)|32mmm=−−=解得：5m=或2−或1或2∵点P不与点A重合，且(4,1)A∴4m又∵0m∴5m=或1或2∴点P

的坐标为4(5,)5或(1,4)或(2,2)．【点拨】本题考查反比例函数，解题的关键是熟练掌握反比例函数.26．（1）9yx=；（2）12(0,)5【分析】（1）根据矩形的性质及等腰直角三角形得到OD=AD，即可求出A点坐标，

故可求出反比例函数解析式；（2）过点B作BEAD⊥垂足为E，先求出B点坐标，再求出点B关于y轴的对称点1B，直线1AB与y轴的交点就是所求点P，此时PAPB+最小，根据待定系数法确定直线AB1的关系式，再求出与y轴的交点即为所求.【详解】

解：（1）∵OABC是矩形，∴90BOAB==，∵ABDB=，∴45BADADB==，∴45OAD=o，又∵ADx⊥轴，∴45OADDOA==，21∴ODAD=，∵(3,0)D∴3ODAD==，即(3,3)A把

点(3,3)A代入的kyx=得，9k=∴反比例函数的解析式为：9yx=．答：反比例函数的解析式为：9yx=．（2）过点B作BEAD⊥垂足为E，∵90B=o∠，ABBD=，BEAD⊥∴1322AEEDAD===，∴39322ODBE+=+=，∴93(,)22B，则点B关于y轴的

对称点193(,)22B−，直线1AB与y轴的交点就是所求点P，此时PAPB+最小，设直线AB1的关系式为ykxb=+，将(3,3)A,193(,)22B−，代入得，339322kbk+=−+=解得：15k=，125b=，∴直线1AB的关系式为11255yx=

+，当0x=时，125y=，∴点12(0,)5P答：点P的坐标为12(0,)5．22【点拨】此题主要考查一次函数的图像，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式与对称性.27．（1）4a=，8k=；（2）①32D

EEF=；②BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条件的m的值为4或5．【分析】（1）先将点A坐标代入直线AB的解析式中，求出a，进而求出点B坐标，再将点B坐标代入反比例函数解析式中即可得出结论；（2）①先确定出点(5,4)D，进而求出点E坐

标，进而求出DE，EF，即可得出结论；②先表示出点C，D坐标，再分两种情况：Ⅰ、当BCCD=时，判断出点B在AC的垂直平分线上，即可得出结论；Ⅱ、当BCBD=时，先表示出BC，用BCBD=建立方程求解即可得出结论．【详解】（1）∵点(0,8)A在

直线2yxb=+上，∴208b−+=，∴8b=，∴直线AB的解析式为28yx=−+，将点(2,)Ba代入直线AB的解析式28yx=−+中，得228a−+=，∴4a=，∴(2,4)B，将(2,4)B在反比例函数解析式kyx=（0x）中，得248kxy===；（2）①由（1）知

，(2,4)B，8k=，∴反比例函数解析式为8yx=，23当3m=时，∴将线段AB向右平移3个单位长度，得到对应线段CD，∴(23,4)D+，即：(5,4)D，∵DFx⊥轴于点F，交反比例函数8yx=的图象于点E，∴

8(5,)5E，∴812455DE=−=，85EF=，∴1235825DEEF==；②如图，∵将线段AB向右平移m个单位长度（0m），得到对应线段CD，∴CDAB=，ACBDm==，∵(0,8)A，(2,4)B，∴(,8)Cm，((2),4)Dm+，

∵BCD是以BC腰的等腰三形，∴Ⅰ、当BCCD=时，∴BCAB=，∴点B在线段AC的垂直平分线上，∴224m==，Ⅱ、当BCBD=时，∵(2,4)B，(,8)Cm，∴22(2)(84)BCm=−+−，∴22(2)(84)mm−+−=，∴5m=，即：BCD是以BC为腰的等腰三形，满足条

件的m的值为4或5．24【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平移的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．28．（1）①132yx=−+；②四边形ABCD是菱形，理由见解析；（2）四边形ABCD能是正方形

，理由见解析，m+n=32.【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论；②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论；（2）先确定出B（4，4m），D（4，4n），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论．【详

解】（1）①如图1，4m=Q，反比例函数为4yx=，当4x=时，1y=，()4,1B，25当2y=时，42x=，2x=，()2,2A，设直线AB的解析式为ykxb=+，2241kbkb+=+=，123kb=−=，直线AB的解析式为132

yx=−+；②四边形ABCD是菱形，理由如下：如图2，由①知，()4,1B，//BDyQ轴，()4,5D，Q点P是线段BD的中点，()4,3P，当3y=时，由4yx=得，43x=，26由20yx=得，203x=，4

8433PA=−=，208433PC=−=，PAPC=，PBPD=Q，四边形ABCD为平行四边形，BDAC⊥Q，四边形ABCD是菱形；（2）四边形ABCD能是正方形，理由：当四边形ABCD是正方形，记AC，BD的交点为P，BDAC=,当4x=时，4

mmyx==，4nnyx==4,4mB，4,4nD，4,8mnP+，8(mAmn+，)8mn+，8(nCmn+，)8mn+ACBD=Q，8844nmnmmnmn−=−++，32mn+=.【点拨】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形

的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键．