【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 1.3 两条直线的平行与垂直（七大题型）（原卷版）.docx，共(13)页，1.530 MB，由小赞的店铺上传

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1．3两条直线的平行与垂直课程标准学习目标（1）能说明两条直线平行或垂直（几何关系）与两条直线斜率的关系（代数关系）的内在统一性，能根据斜率判定两条直线平行或垂直．（2）能利用两条直线平行或垂直的条件解决问题，体会坐标法思想，发展直观想象、数学运算等素养．（1）理解并掌握两条

直线平行与垂直的条件．（2）会运用条件判定两直线是否平行或垂直．（3）运用两直线平行或垂直时的斜率关系求直线方程，解决相应的几何问题．知识点01两条直线相交、平行与重合1、代数方法判断两条直线11112222:0,:0++=++=lAxByClAxByC的位置关系，可以用

方程组11122200++=++=AxByCAxByC的解进行判断（如下表所示）方程组的解位置关系交点个数代数条件无解平行无交点12210−=ABAB而12120−BCCB或21120−ACAC或()1112222220=ABCABCABC有唯一解相交

有一个交点12210−ABAB或()1122220ABABAB有无数个解重合无数个交点121212,,(0)===AABBCC或()1112222220==ABCABCABC2、几何方法判断（1）若两直线的

斜率均不存在，则两条直线平行．（2）若两直线的斜率均存在，我们可以利用斜率和在y轴上的截距判断两直线的位置关系，其方法如下：设111222:,:=+=+lykxblykxb，（1）1l与2l相交12kk；（2）

1212//=llkk且12bb；（3）1l与2l重合12=kk且12=bb．简记表：类型斜率存在斜率不存在条件1290=1290==对应关系1212//＝llkk12//ll两直线斜率都不存在图示【即学即练1】根据下列给定的

条件，判断直线1l与直线2l是否平行．(1)1l经过点()2,3A，()4,0B−，2l经过点()3,1M−，()2,2N−；(2)1l平行于y轴，2l经过点()0,2P−，()0,5Q；(3)1l经过点()0,1E，()2,1F−−，2l经过点()3,4G，()2,3H．知识点02两条直线的垂直

1、两条直线垂直的几何方法判断对应关系1l与2l的斜率都存在，分别为12,kk，则12121⊥=−llkk1l与2l中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则1l与2l的位置关系是12⊥ll图示2、两条直线垂直的代数方法判断已知直线1

2,ll的方程分别是1111:0++=lAxByC（11,AB不同时为0），2222:0++=lAxByC（22,AB不同时为0）（1）若1212120+=⊥AABBll（2）若12211212210//0−=

−ABABllACAC【即学即练2】判断下列各题中1l与2l是否垂直．(1)1l经过点()()1,2,1,2AB−−；2l经过点()()2,1,2,1MN−−；(2)1l的斜率为10−；2l经过点()()10,2,20,3AB；(3

)1l经过点()()3,4,3,10AB；2l经过点()()10,40,10,40MN−．题型一：由斜率可以判断两条直线是否平行例1．（2023·江西上饶·高二统考期末）下列与直线420xy−−=平行的直线的方程是（）.A．440xy−−=B．420xy+

−=C．420xy−−=D．420xy++=例2．（2023·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）直线10xy+−=与直线10xy++=的位置关系是（）A．垂直B．平行C．相交D．重合例3．（

2023·全国·高二专题练习）“直线1l与2l平行”是“直线1l与2l的斜率相等”的（）条件A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既非充分又非必要变式1．（2023·高二课时练习）判断下列各题中直线1l与2l是否平行．(1)1l经过点(1,2)A

−−，(2,1)B，2l经过点(3,4)M，(1,1)N−−；(2)1l经过点(3,2)A−，(3,10)B−，2l经过点(5,2)M−，(5,5)N．变式2．（2023·全国·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行，并说明理由．(1)1l经过点(2,3),(4,0)AB−，2l经过点(3

,1),(2,2)MN−−；(2)1l的斜率为10−，2l经过点(10,2),(20,3)AB.【方法技巧与总结】判断两条不重合直线是否平行的步骤题型二：两条直线相交、平行、重合的判定例4．（2023·高二单元测试）已知直线()1:6180lxty+−−=与直线()

()2:46160txtly+++−=．当t为何值时，(1)1l与2l相交？(2)1l与2l平行？(3)1l与2l重合？(4)1l与2l垂直．例5．（2023·高二课时练习）直线320++=xya与直线640xyb+−

=的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．不能确定例6．（2023·全国·高二假期作业）过点()1,2A和点()1,2B−的直线与直线3y=的位置关系是（）A．相交B．平行C．重合D．以上都不对变

式3．（2023·安徽安庆·高二安徽省宿松中学校考开学考试）已知Ra，则直线1:20lxay−−=与直线()2:1220laxy−−−=相交的充要条件是（）A．0aB．2aC．1a−D．2a且1a−变式4．（2023·高二课时练习）已知直线1:330lmxym+++=，直线()2:2

20lxmy+−+=，求：当m为何值时，直线1l与2l分别有如下位置关系：相交、平行、重合．【方法技巧与总结】设111222:,:=+=+lykxblykxb，（1）1l与2l相交12kk；（2）1212//=llkk且12

bb；（3）1l与2l重合12=kk且12=bb．题型三：两条直线垂直的判定例7．（2023·全国·高三专题练习）直线1:10laxy+−=与直线2:10lxay−−=的位置关系是（）A．垂直B．相交且不垂直C．平行D．平行或重合例8

．（2023·全国·高二专题练习）直线12,ll的斜率是方程2310xx--=的两根，则1l与2l的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．重合例9．（2023·江西九江·高二校考阶段练习）与直线530xy+=的垂直的直

线是（）A．062xy−=B．13xy+=C．1106xy−=D．1610xy−+=变式5．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线1l与2l是否垂直．(1)1l的斜率为10−，2l经过点()10,2A，()20,3B；(2)1l经过点()3,

4A，()3,10B，2l经过点()10,40M−，()10,40N；(3)1l经过点()1,2A−，()5,1B−，2l经过点()1,0C，()4,6D．变式6．（2023·江苏·高二假期作业）判断下列各组直线是否平行或垂直，

并说明理由．(1)1:3270lxy−−=，2:2310lxy+−=；(2)1:20ly−=，2:10ly+=．变式7．（2023·全国·高二假期作业）已知四边形MNPQ的顶点(1,1),(3,1),(4,0),(2,2)MNPQ−

.(1)求斜率MNk与斜率PQk；(2)求证：四边形MNPQ为矩形.变式8．（2023·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考阶段练习）根据下列给定的条件，判断两直线的位置关系.(1)l1经过点A(2，1)，B(－3，5)，l2经过点C(3，－3)，D(8

，－7)；(2)l1的斜率为－10，l2经过点A(10，2)，B(20，3).【方法技巧与总结】使用斜率公式判定两直线垂直的步骤（1）一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第一步．（2）二用：就是将点的坐标代

入斜率公式．（3）求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．总之，1l与2l一个斜率为0，另一个斜率不存在时，12⊥ll；1l与2l斜率都存在时，满足12·1＝−kk．题型四：直线平行与垂直的综合应用例10．（2023·全国·高二专

题练习）在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为()0,Aa，(),0Bb，(),0Cc，点()0,Pp是线段AO上的一点（异于端点），设,,,abcp均为非零实数，直线,BPCP分别交,ACAB于点,EF，若BEAC⊥，求证：CFAB⊥.例11．（2023·高二课时练习）已

知(1,3),(5,1),(3,7)ABC，A，B，C，D四点构成的四边形是平行四边形，求点D的坐标.例12．（2023·全国·高二专题练习）已知()1,2A，()5,0B，()3,4C.（1）若A，B，C，D可以构成平行四边形，求点D的坐标；（2）在（1）的条件下，判断A，B

，C，D构成的平行四边形是否为菱形.变式9．（2023·全国·高一假期作业）在平面直角坐标系xOy中，四边形OPQR的顶点坐标分别为()0,0O，()1,Pt，()12,2Qtt−+，()2,2Rt−，其中0t

且12t.试判断四边形OPQR的形状.变式10．（2023·高二课时练习）已知A（1，－1），B（2，2），C（3，0）三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．变式11．（2023·全国·高二专题练习）设(5

,1)A−，(3,0)B−，(2,)Cm，问是否存在正实数m，使ABC为直角三角形?【方法技巧与总结】已知直线12,ll的方程分别是1111:0++=lAxByC（11,AB不同时为0），2222:0++=lAxByC（22,AB不同时

为0）（1）若1212120+=⊥AABBll（2）若12211212210//0−=−ABABllACAC题型五：两直线的夹角例13．（2023·上海黄浦·高二统考期末）直线60x−=与直线30xy−+=的夹角为；例14．（2023·上海闵行·高二上海市七宝

中学校考期末）直线1:330lxy−+=与直线2:0lxy+=的夹角记为，则cos=.例15．（2023·上海·高二专题练习）直线310xy++=与直线310xy++=的夹角为变式12．（2023·上海黄浦·高二格致中学校考期中）直线1x=与直线

310xy−+=的夹角大小为.变式13．（2023·湖北襄阳·高二襄阳五中校考阶段练习）若直线30xmy++=与直线210xy++=的夹角为π4，则实数m的值为.变式14．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为a

的正三角形ABC，,DE分别在边,ABBC上，满足3aADBE==，连接,AECD，则AE和CD的夹角为.【方法技巧与总结】夹角公式tantantan()1tantan−−=+题型六：已知直线平行求参数例16．（2023·全国·

高二课堂例题）若直线1:210laxy+−=与直线2:902alxy++=平行，则=a.例17．（2023·陕西渭南·高一统考期末）已知直线12:3610,:20lxylxmy+−=−+=，若12ll//，则m的值为．例18．（2023·黑龙江大庆·统考二

模）直线l经过点(),2Am，()1,Bm−，若直线l与直线1yx=+平行，则m=．变式15．（2023·陕西延安·高一校考期末）已知两直线方程分别为12:1,:20lxylaxy+=+=，若12ll//，则=a．变式16．（2023·浙江台州·高一温岭中学校考期末

）已知直线1:260laxy++=和直线22:(1)10lxaya+−+−=，若12ll//，则=a变式17．（2023·高二课时练习）若直线121:lyxaa=−−与直线2:31lyx=−互相平行，则=a．题型七：已知直线垂直求参数例19．（2023·安徽马鞍山·高二校联考期中）已知直

线1:210laxy++=与直线()2:120laxay−−+=垂直，则实数a的值为．例20．（2023·上海·高二期末）直线21210,20::lxlyaxy−−=++=，若12ll⊥，则=a.例21．（20

23·高二课时练习）已知直线12,ll的斜率分别为12,kk，且1122,kll=⊥，则2k=．变式18．（2023·陕西汉中·高一统考期末）若直线210xy++=与230mxy−+=垂直，则m=.变式19．（2023·全国

·高二假期作业）已知两点(2,0)A，(3,4)B，直线l过点B，交y轴于点(0,)Cy，O是坐标原点，且O，A，B，C四点共圆，那么y的值是．变式20．（2023·上海虹口·高二统考期末）若直线1l：230axya++=.与直线2l：()2140

xay+−+=互相垂直，则实数a的值为.一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）“32a=”是“直线210xay+−=和直线()110axay−++=平行”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件2．（2023·高二课时练习）已知过点(2,)Am−和点(

,4)Bm的直线为l1，2311:21,:lyxlyxnn=−+=−−.若1223//,llll⊥，则mn+的值为（）A．10−B．2−C．0D．83．（2023·山东青岛·统考三模）瑞士数学家欧拉在《

三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知ABC的顶点()30A−,，()3,0B，()3,3C，若直线l：()2390axay+−−=与ABC的欧拉线平行，则实数a的值为（）A．－2B．－1C．－1或3D．34．（2023·四川南充·统考

三模）已知倾斜角为的直线l与直线20xy+−=垂直，则tan(π)−+=（）A．12B．2C．12−D．2−5．（2023·全国·高一专题练习）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出

定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知ABC的顶点为(0,0)A，(,0)Bm，(2,)Cn

，且欧拉线方程为250xy+−=，则ABC的重心到垂心的距离为（）A．53B．54C．55D．566．（2023·全国·高二专题练习）已知点()2,2A−，()6,4B，()5,2H，H是ABC的垂心．则点C的坐标为（）A．()

6,2B．()2,2−C．()4,2−−D．()6,2−7．（2023·全国·高三专题练习）已知直线():120lxay+−+=，2:30lbxy+=，且12ll⊥，则22ab+的最小值为（）A．14B．12C．22D．13168．（2023·上海长宁

·高二上海市延安中学校考期中）已知直线1:10lxy−−=，动直线()()2:10Rlkxkykk+++=，则下列结论错误的是（）A．存在k，使得2l的倾斜角为2；B．对任意的k，1l与2l都有公共点；C．对任意的k，1l与2

l都不重合；D．对任意的k，1l与2l都不垂直；二、多选题9．（2023·高二课时练习）若(,3),(2,4),(1,3),(1,0)AmBmmCmD++，且直线AB与CD平行，则m的值为（）A．1−B．

0C．1D．210．（2023·全国·高三专题练习）以下四个命题表述错误的是（）A．()4120mxym+−=R恒过定点()0,3B．若直线1:210lmxy−+=与()2:120lmxmy−++=互相垂

直，则实数32m=C．已知直线1:10laxy+−=与22:0lxaya+−=平行，则1a=或1−D．设直线l的方程为()cos30yx−+=R，则直线l的倾斜角的取值范围是3,4411．（2023·黑龙江牡丹

江·高三统考期中）已知直线1:(1)20laxay+++=，2:(1)10laxay+−−=，则（）A．1l恒过点(2,2)−B．若12ll//，则212a=C．若12ll⊥，则21a=D．当01a时，2l不经过第三象限12．（2023·全国·高一专题练习）已知直线1:320lxym+−=

，2:sin10lxy−+=，则（）A．当m变化时，1l的倾斜角不变B．当变化时，2l过定点C．1l与2l可能平行D．1l与2l不可能垂直三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线l：3470xy+−=，则与已知直线l平行且与两坐标轴围成的三角形的面

积为6的直线方程为．14．（2023·江苏连云港·高二期末）已知直线l与直线340xy+=平行，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线l的方程是．15．（2023·上海·高二专题练习）已知直线1:(3)553lmxym++=−，2:2(6)8lxmy++=，若12ll//，则m的

值是.16．（2023·北京大兴·高二统考期中）已知直线1:10lxy−+=和直线()()2:10Rlkxkykk+++=，给出下列四个结论：①存在k，使得2l的倾斜角为30；②不存在k，使得1l

与2l重合；③对任意的k，1l与2l都有公共点；④对任意的k，1l与2l都不垂直.其中，所有正确结论的序号是.四、解答题17．（2023·广东深圳·高二校考期中）已知两直线()12:3210,:220lmxmylmxym−++=++=.

当m为何值时，1l和2l.(1)平行；(2)垂直.18．（2023·全国·高二专题练习）已知四边形ABCD的顶点为()()()()7,0,2,3,5,6,4,9ABCD−−−，求证：四边形ABCD为正方形．19．（2023·广东佛山·高二校联考期中）

在菱形ABCD中，对角线BD与x轴平行，(3,1),(1,0)DA−−，点E是线段BC的中点．(1)求直线AE的方程；(2)求过点A且与直线DE垂直的直线．20．（2023·全国·高二专题练习）已知ABC的顶点为(5,1)A−，(1,1)B，(2,)Cm，是否存在Rm使ABC为直角三角

形，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．