【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题39 双曲线及其性质（原卷版）.docx，共(33)页，2.452 MB，由envi的店铺上传

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专题39双曲线及其性质【考点预测】知识点一：双曲线的定义平面内与两个定点12,FF的距离的差的绝对值．．．．．等于常数（大于零且小于12FF）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为12122(02)MMFMFaaFF−=．注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲

线仅为双曲线中的一支．（2）当122aFF=时，点的轨迹是以1F和2F为端点的两条射线；当20a=时，点的轨迹是线段12FF的垂直平分线．（3）122aFF时，点的轨迹不存在．在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：①条件“122FFa”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确

定2a，2b的值），注意222abc+=的应用．知识点二：双曲线的方程、图形及性质双曲线的方程、图形及性质标准方程22221(0,0)xyabab−=22221(0,0)yxabab−=图形焦点坐标1(

,0)Fc−，2(,0)Fc1(0,)Fc−，2(0,)Fc对称性关于x，y轴成轴对称，关于原点成中心对称顶点坐标1(,0)Aa−，2(,0)Aa1(0,)Aa，2(0,)Aa−范围xaya实轴、虚轴实轴长为2a，虚轴长

为2b离心率221(1)cbeeaa==+渐近线方程令22220xybyxaba−==，焦点到渐近线的距离为b令22220yxayxabb−==，焦点到渐近线的距离为bA2点和双曲线的位置关系00222200001,(,)1,(,

)1,(,)xyxyxyabxy−=点在双曲线内（含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外00222200001,(,)1,(,)1,(,)xyyxxyabxy−=点在双曲线内（

含焦点部分）点在双曲线上点在双曲线外共焦点的双曲线方程2222221()xyakbakbk−=−+−2222221()yxakbakbk−=−+−共渐近线的双曲线方程2222(0)xyab−=2222(0)yxab−=切线

方程0000221,(,)xxyyxyab−=为切点0000221,(,)yyxxxyab−=为切点切线方程对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中2x换为0xx，2y换成0yy便得．切点弦所在直线方程0000221,(,)xxyyxyab−=为双曲线外一点0000

221,(,)yyxxxyab−=为双曲线外一点点00(,)xy为双曲线与两渐近线之间的点弦长公式设直线与双曲线两交点为11(,)Axy，22(,)Bxy，ABkk=．则弦长212122111(0)ABkxxyykk=+−=+−，()212121

24xxxxxxa−=+−=，其中“a”是消“y”后关于“x”的一元二次方程的“2x”系数．通径通径（过焦点且垂直于12FF的弦）是同支中的最短弦，其长为22ba焦点三角形双曲线上一点00(,)Px

y与两焦点12,FF构成的12PFF成为焦点三角形，设12FPF=，11PFr=，22PFr=，则2122cos1brr=−，12202120,1sinsin,21costan2PFFcyxbSrrbcxy====−焦点在

轴上焦点在轴上，焦点三角形中一般要用到的关系是12121212222121212122(22)1sin22cosPFFPFPFaacSPFPFFPFFFPFPFPFPFFPF−===+−等轴双曲线等轴双曲线满足如下充要条件

：双曲线为等轴双曲线ab=离心率2e=两渐近线互相垂直渐近线方程为yx=方程可设为22(0)xy−=．【方法技巧与总结】（1）双曲线的通径过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段

，称为双曲线的通径．通径长为22ba．（2）点与双曲线的位置关系对于双曲线22221(0)xyabab−=，点00()Pxy，在双曲线内部，等价于2200221xyab−．点00()Pxy，在双曲线外

部，等价于2200221xyab−结合线性规划的知识点来分析．（3）双曲线常考性质性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数b；顶点到两条渐近线的距离为常数abc;性质2：双曲线上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数222abc；（4）双曲线焦点

三角形面积为2tan2b（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大）（5）双曲线的切线点00()Mxy，在双曲线22221xyab−=(00)ab，上，过点M作双曲线的切线方程为00221xxyyab−=．若点00()Mxy，在双曲线22

221xyab−=(00)ab，外，则点M对应切点弦方程为00221xxyyab−=【题型归纳目录】题型一：双曲线的定义与标准方程题型二：双曲线方程的充要条件题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题题型四：双曲线上两点距离的最值问题题型五：双曲线上两线段

的和差最值问题题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式方向3：利用22cea=，其中2c为焦距长，122aPFPF=−方向4：坐标法方向5：找几何关系，利用余弦定理

方向6：找几何关系，利用正弦定理方向7：利用基本不等式方向8：利用渐近线的斜率求离心率方向9：利用双曲线第三定义方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围[)ca，+−题型七：双曲线的简单几何性质问题题型八：利用第一定义求解轨迹题型九：双曲线的渐近线题型十：共焦点的椭圆与双曲

线【典例例题】题型一：双曲线的定义与标准方程例1．（2022·全国·高三专题练习）22(3)xy+−－22(3)xy++＝4表示的曲线方程为（）A．24x－25y＝1(x≤－2)B．24x－25y＝1(x≥2)C．24y－25x

＝1(y≤－2)D．24y－25x＝1(y≥2)【方法技巧与总结】求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径：（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a，b，c，即利用待定系数法求方程.（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双

曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：22197xy−=的左、右焦点分别为1F，2F.双曲线C上有一点P，若17PF=，则2PF=______.例3．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条渐

近线方程为2yx=，且经过点()443，，则该双曲线的标准方程为________．例4．（2022·全国·高三专题练习）与双曲线221164xy−=有公共焦点，且过点()32,2的双曲线的标准方程为______．例5．（2022·全国·高三专题练习）已知()

13,0F−，()23,0F分别是双曲线()222210,0xyabab−=的左､右焦点，点P是双曲线上一点，若126PFPFa+=，且12PFF△的最小内角为6，则双曲线的标准方程为（）A．22163xy−=B．22136xy−=C．22

18yx−=D．2218xy−=例6．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知点(2,0)(2,0)AB−、，将函数1yx=的图像绕原点顺时针旋转4得到曲线C，在C上任取一点P，则||||||PAPB−=（）A．22B．2C．2D．不确定例7．（202

2·全国·高三专题练习）已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的离心率为5，左､右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P.若2||2PF=，则该双曲线的标准方程为（）A．2214yx

−=B．2214xy−=C．22128xy−=D．22182yx−=例8．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线的左，右焦点分别为1F（3−，0），2F（3，0），P为双曲线上一点且124PFPF−=，则双曲线的标准方程为（）

A．22145xy−=B．22154xy−=C．22145yx−=D．22154yx−=例9．（2022·全国·高三专题练习（文））双曲线C的两焦点分别为(－6，0)，(6，0)，且经过点(－5，2)，则双

曲线的标准方程为（）A．221204xy−=B．2212016xy−=C．2212016yx−=D．221204yx−=例10．（2022·江苏·高三阶段练习）已知双曲线22221(0,0)xyabaa−=的左、右

焦点分别为1,F2F，过2F且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若2121()0FFFAFA+=，则此双曲线的标准方程可能为（）A．2743xy−=B．22134xy−=C．221169xy−=D．221916xy−=例

11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的两个焦点分别为()10,5F−，()20,5F，双曲线上一点P与1F，2F的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（）A．221916xy−=B．221169xy−=C．221916yx−=D．

221169yx−=例12．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F，()20,3F−，P是双曲线上一点且124PFPF−=，则双曲线的标准方程为（）A．22145xy−=B．22154xy−=C．22145yx−=D．22154yx−=例13．（

2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左､右焦点分别为1F，2F，一条渐近线方程为2yx=，过双曲线C的右焦点2F作倾斜角为3的直线l交双曲线的右支于A，B两点，若

1AFB△的周长为36，则双曲线C的标准方程为（）A．22124xy−=B．22142xy−=C．2212yx−=D．2212xy−=例14．（2022·全国·高三阶段练习（理））与椭圆22:11612yxC+=共焦点且过点()

1,3的双曲线的标准方程为（）A．2213yx−=B．2221yx−=C．22122yx−=D．2213yx−=例15．（2022·全国·高三专题练习）1F、2F是双曲线()222210,0xyabab−=的两个焦点，抛物线245yx=的准线l过双曲线的焦点1F，准线与渐近线交于点A，

124FFA=，则双曲线的标准方程为（）A．22116xy−=B．22116yx−=C．2214yx−=D．2214xy−=例16．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=满足52ba=，且与椭圆2

21123xy+=有公共焦点，则双曲线C的方程为（）A．22145xy−=B．221810xy−=C．22154xy−=D．22143xy−=例17．（2022·全国·高三专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程

：(1)顶点在x轴上，焦距为10，离心率是54；(2)一个顶点的坐标为()0,2，一个焦点的坐标为()0,5−；(3)焦点在y轴上，一条渐近线方程为34yx=，实轴长为12；(4)渐近线方程为34yx=?，焦点坐标

为()52,0−和()52,0．例18．（2022·全国·高三专题练习（理））根据下列条件，求双曲线的标准方程：(1)4a=，经过点41013A−，；(2)与双曲线221164xy−=有相同的焦点，且经

过点(32,2)．题型二：双曲线方程的充要条件例19．（2022·四川内江·模拟预测（理））“0mn”是“221mxny+=为双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【方法技巧与总结】221xymn+=表示椭圆的充要条件为：0,0,mnm

n；221xymn+=表示双曲线方程的充要条件为：0mn；221xymn+=表示圆方程的充要条件为：0mn=.例20．（2022·广东·高三阶段练习）“k<2”是“方程221259xykk+=−−表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．

充要条件D．既不充分也不必要条件例21．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）若曲线C的方程为()2222102xymmm+=−，则（）A．当22m=时，曲线C表示椭圆，离心率为12B．当3m=时，曲线C表示双曲线，渐近线方程为33y

x=C．当1m=时，曲线C表示圆，半径为1D．当曲线C表示椭圆时，焦距的最大值为4例22．（多选题）（2022·重庆八中模拟预测）曲线C的方程为221169xy+=++，则下列说法正确的是（）A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆B．存在实

数使得曲线C的轨迹为椭圆C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D．无论（16−且9−）取何值，曲线C的焦距为定值例23．（多选题）（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知曲线C：21mmxnym+=−，则（）A．当m=n=2时，C为圆B．当m=n=1时，C为抛物

线C．C不可能为椭圆D．C可能为双曲线例24．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）已知曲线C：22115xykk+=−−，则下列说法正确的是（）A．若曲线C表示双曲线，则5kB．若曲线C表示椭圆，

则15k且3kC．若曲线C表示焦点在x轴上的双曲线且离心率为233，则7k=D．若曲线C与椭圆22142xy+=有公共焦点，则4k=题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题例25．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线x2－224y＝1的两个焦点为F1，F

2，P为双曲线右支上一点．若|PF1|＝43|PF2|，则△F1PF2的面积为（）A．23B．24C．25D．26又|F1F2|＝10，故12PFF△为直角三角形，因此12PFFS＝12|PF1|·|PF2|＝24.故选：

B.【方法技巧与总结】对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即aPFPF221=−，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用sin212121PFPFSFPF=，aPFPF221=−及余弦定理等知识；若未知角，

则用022121ycSFPF=.例26．（2022·全国·高三专题练习）已知F是双曲线2213xy−=的右焦点，若直线)(0ykxk=与双曲线相交于A，B两点，且120AFB，则k的范围是___________

.例27．（2022·全国·高三竞赛）设双曲线2214xy−=，1F是它的左焦点，直线l通过它的右焦点2F，且与双曲线的右支交于A，B两点，则11FAFB的最小值为________.例28．（2022·全国·高三专题练习

）设1F，2F是双曲线C：221169xy−=的两个焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C上且5OP=，则12PFF△的面积为________.例29．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为3，焦点分别为1F，2F，点A在双曲线C上．若12AF

F△的周长为14a，则12AFF△的面积是________.例30．（2022·贵州·凯里一中三模（文））已知双曲线C：2213yx−=的左､右焦点分别为1F,2F，点M，N分别为渐近线和双曲线左支上的动点，当2MNNF+取得最小值时，12MFF△面积为________

___.例31．（2022·河南·高三阶段练习（理））已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的离心率为3，焦点分别为1F，2F，点A在双曲线C上．若12AFF△的周长为14a，则12AFF△的面积是（）A．217aB．215aC．2214aD．2215a例32．（2022·河北邯

郸·模拟预测）已知1F､2F是双曲线()222104xybb−=的左､右焦点，点P为双曲线右支上一点，且P在以12FF为直径的圆上，若1212PFPF=，则2tanPOF=（）A．34B．43C．35D．

45例33．（2022·山西·太原五中模拟预测（文））已知双曲线22:12xCy−=的左右焦点为1F，2F，点M为双曲线C上任意一点，则12MFMF的最小值为A．1B．2C．2D．3题型四：双曲线上两点距离的最值问题例34．（2022·全国·高三专题练习）已知A()3,2是双曲

线2213xy−=上一点，1F是左焦点，B是右支上一点，1AF与1ABF的内切圆切于点P，则1FP的最小值为（）A．3B．23C．332−D．6322−111AFBFABFP2+−==2253BFAB

53AF22+−−=23,当且仅当A,B,2F共线时取等【方法技巧与总结】利用几何意义进行转化.例35．（2022·黑龙江·漠河市高级中学高三阶段练习（文））已知双曲线222:1(0)3xyCaa−=，F为左焦点，若2a=，则双曲线离心率为_____；若对于双曲线C上任意一点P，线段P

F长度的最小值为1，则实数a的值为_____.例36．（2022·全国·高三专题练习）过椭圆221(9)9xymmm+=−右焦点F的圆与圆22:4Oxy+=外切，该圆直径FQ的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点

，则FP长度最小值为__________.例37．（2022·吉林吉林·高三阶段练习（文））已知1F､2F为双曲线2214xy−=的左､右焦点，P为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若12PFF△内切圆的

圆心为I，则圆心I到圆22(1)1yx+−=上任意一点的距离的最小值为____________.例38．（2022·湖北·一模（理））平面内，线段AB的长度为10，动点P满足6PAPB=+，则PB的最小值为__________．例39．（多选题）（20

22·全国·高三专题练习）已知点()1,1A，点P是双曲线22:197xyC−=左支上的动点，Q是圆221:(4)4Dxy++=上的动点，则（）A．C的实轴长为6B．C的渐近线为377yx=C．PQ的最小值为12D．PAPD−的最小值为61

0−题型五：双曲线上两线段的和差最值问题例40．（2022·全国·模拟预测（理））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、有焦点分别为1F，2F，实轴长为4，离心率2e=，点Q为双曲线右支上的一点，点(0,4)P．当1||QFPQ+取最小值时，2QF的值为（）A．6

(21)+B．6(21)−C．621−D．621+【方法技巧与总结】在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的

定义，往往问题能迎刃而解．例41．（2022·浙江·高三专题练习）设P是双曲线221916xy−=上一点，M，N分别是圆()2254xy−+=和()2251xy++=上的点，则PMPN−的最大值为______，最小值为______．例42．（2

022·江西鹰潭·二模（文））已知双曲线221(0)5xymm−=的一条渐近线方程为520+=xy，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆22(4)1xy+−=上运动，则||||PQPF+的最小值为（）A．224+B．8C．225+D．9例43．（2

022·贵州遵义·一模（文））过双曲线22115yx−=的右支上一点P，分别向圆1C：22(4)4xy++=和圆2C：22(4)1xy−+=作切线，切点分别为M，N，则22PMPN−的最小值为A．16B．15C．14D．13例44．（2022·广

西桂林·一模（文））设P为双曲线22=115yx－右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，设|PM|－|PN|的最大值和最小值分别为m、n，则|m－n|＝()A．4B．5C．6D．7例45．（2022·安徽蚌埠·三模（文））已知双

曲线C：2219xy−=，点F是C的左焦点，若点P为C右支上的动点，设点P到C的一条渐近线的距离为d，则dPF+的最小值为（）A．6B．7C．8D．9例46．（2022·全国·高三专题练习）若点P在曲线221:1169xyC−=上，点Q在曲线()222:51Cxy−+=上，点R在

曲线()223:51Cxy++=上，则PQPR−的最大值是（）A．9B．10C．11D．12例47．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线22142xy−=的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|A

F2|的最小值为__________．题型六：离心率的值及取值范围方向1：利用双曲线定义去转换例48．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高三阶段练习）设双曲线222:1yCxb−=的左､右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，且12FPFP⊥，若12PFF△的面积为4，则双曲线C的离心率为

（）A．2B．2C．3D．5例49．（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知双曲线222:1(0)5xyCaa−=的左焦点为(,0)Fc−，点P在双曲线C的右支上，(0,4)A．若||||PAPF+的最小值是9，则双曲线C的离心率是_____．例50．（2

022·全国·高三专题练习）已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点，以12FF为直径的圆与双曲线C有一个交点P，设12PFF△的面积为S，若()21212PFPFS+=，则双曲线C的离心率为（）A．2B．62C．2D．22例

51．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，P为第一象限内一点，且满足24FPa=，()11220FPFFFP+=，线段2FP与C交于点Q，若222FPFQ=，则C的离心率为（）A．6B．5C．2D．3例

52．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为()12,0F−，()22,0F，P为双曲线上位于第二象限内的一点，点Q在y轴上运动，若21PQ

QFPF+−的最小值为233，则双曲线的离心率为（）A．3B．23C．33D．43方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式例53．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称

点为B，满足120AFB=，且2BFAF=，则双曲线C的离心率是________．例54．（2022·四川·高三阶段练习（理））已知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别是1F，2F，过右焦点2F且不与x轴垂直的直线交C的

右支于A，B两点，若1AFAB⊥，且12ABAF=，则C的离心率为（）A．2B．12+C．3D．13+例55．（2022·湖北·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为

12,FF，过1F作直线l与C的左、右两支分别交于,MN两点，且2MNF是以2MNF为顶角的等腰直角三角形，若C的离心率为e，则2e=（）A．533+B．532+C．522+D．523+例56．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()2222:10,0xyCa

bab−=的左、右焦点分别为1F，2F，以12FF为直径的圆与C在第一象限的交点为A，直线1AF与C的左支交于点B，且2ABAF=．设C的离心率为e，则2e=（）A．422−B．522−C．422+D．522+例57．（2022·甘肃酒泉·模拟预

测（文））过双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右焦点(),0Fc作直线byxa=的垂线，垂足为点B，交C的左支于点D，若FBBD=，则C的离心率为（）A．2B．3C．3D．5方向3：利用22cea=，其中2c为焦距长，122aPFPF=−例58．（2022·江苏·高

二单元测试）已知1F、2F是双曲线()22122:10,0xyCabab−=与椭圆222:1259xyC+=的公共焦点，点P、Q分别是曲线1C、2C在第一、第三象限的交点，四边形12PFQF的面积为66，设双曲线1C与椭圆2C的离心率依次为

1e、2e，则12ee+=___________.例59．（2022·重庆八中模拟预测）已知1F、2F分别是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左右焦点，点P在双曲线右支上且不与顶点重合，过2F作12FPF的角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若OAb=，

则该双曲线的离心率为（）A．2B．233C．2D．52例60．（2022·全国·高三专题练习）过双曲线22xa－22yb＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延

长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．5B．52C．5＋1D．512+又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的定义，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2

＝c2，所以e＝5，故选A.例61．（2022·吉林长春·模拟预测（文））在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1C与双曲线2C共焦点，双曲线2C实轴的两顶点将椭圆1C的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2

C的离心率为（）A．3B．2C．5D．6例62．（2022·全国·高三专题练习（理））过双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点(,0)(0)Fcc−作圆2229axy+=的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，O为坐标原点

，若E为FP的中点，则双曲线的离心率为（）A．10B．173C．172D．102方向4：坐标法例63．（2022·全国·高三专题练习）双曲线C：()222210,0xyabab−=的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上.当BFAF⊥时，AFBF=.求双曲线C的离心率.例64．（2022

·全国·高三专题练习）已知12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左､右焦点，A是其左顶点.若双曲线上存在点P满足1232PAPFPF=+，则该双曲线的离心率为___________.例65．（2022·河南·宝丰县第一高级中学高三开

学考试（理））已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点为F，P为C右支上一点，P与x轴切于点F，与y轴交于A，B两点，若APB△为直角三角形，则C的离心率为______.例66．（2022·山东青岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)xyEaba

b−=的左､右焦点分别为1212,,4FFFF=，若线段()4028xyx−+=−上存在点M，使得线段2MF与E的一条渐近线的交点N满足：2214FNFM=，则E的离心率的取值范围是___________.例67．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221()

00axyabb−=，的左、右焦点分别为12FF，，过点1F作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点AB，（AB，在同一象限内），且满足1FAAB=．联结2AF，满足21AFBF⊥．若该双曲线的离心率为e，求2e的值

_______．例68．（2022·湖南·长沙市明德中学高三开学考试）己知双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若1FAAB=，

120FBFB=，则C的离心率为（）A．2B．5C．31+D．51+例69．（2022·安徽·合肥市第十中学模拟预测）设点Р为双曲线()2222:10,0xyEabab−=的渐近线和抛物线2:4Cyx=的一个公共点，若P到C的焦点距离为4，则双曲线E的离心率为（）A．33B．

233C．153D．213例70．（2022·福建省福州第一中学高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=以正方形ABCD的两个顶点为焦点，且经过该正方形的另两个顶点，若正方形ABCD的边长为2，则双曲线E的离心率为（）A．21+B．21−C．222+D．222

−例71．（2022·江西南昌·三模（理））已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别是1F，2F，P是双曲线右支上一点，且212PFFF⊥，I和G分别是12PFF△的内心和重心，若IG与x轴平行，则双曲线的离心率为（）A．3B．2C．3D．4方向5：找几何关系，

利用余弦定理例72．（2022·全国·模拟预测（文））设双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过1F且斜率为52的直线与双曲线C的右支交于点A．若212AFFF=，则双曲线C的离心率为（）A．2B．2C．3

D．3例73．（2022·安徽省舒城中学高三阶段练习（文））已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点分别为()1,0Fc−、()2,0Fc，A、B是圆()2224xcyc−+=与C位于x轴上方的两个交点（A在左支，B在右支)，且12//FAFB，则双

曲线C的离心率为（）A．233+B．453+C．3174+D．5114+例74．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知1F，2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左右焦点，过1F的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接2AF，2BF，在2ABF中，2ABBF=，231

cos32ABF=，则双曲线的离心率为（）A．2B．2C．3D．322例75．（2022·山西·模拟预测（文））已知12,FF为双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点，直线:3()lyxc=+与双

曲线的左支交于点A，且1112OFFAac=−，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．1334+D．3313−例76．（2022·全国·高三专题练习）已知1F，2F分别是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点，过1F的直线l与双曲线C左、右支分别交于A，B两点，

若2||ABBF=，12BFF△的面积为233b，双曲线C的离心率为e，则2e=（）A．3B．2C．23+D．523+例77．（2022·河南·通许县第一高级中学模拟预测（文））已知双曲线()2222:10,0xyCab

ab−=的左、右焦点分别为12,FF，过点1F的直线l与C的左、右两支分别交于点,AB，若2ABF是边长为4的等边三角形，则C的离心率为（）A．3B．7C．5D．2方向6：找几何关系，利用正弦定理例78．（多选题）（2022·湖南·高二期末）已知双曲线()2222:10xyC

baab−=的左、右焦点分别为12,FF，双曲线上存在点P（点P不与左、右顶点重合），使得21123PFFPFF=，则双曲线C的离心率的可能取值为（）A．62B．3C．102D．2例79．（2022·全国·高三专题练习（理））已知双曲线()22221

0,0xyabab−=的左､右焦点分别为12,FF，M为双曲线右支上的一点，若M在以12FF为直径的圆上，且215,312MFF，则该双曲线离心率的取值范围为（）A．(1,2B．)2,+

C．()1,31+D．2,31+例80．（2022·河南·商丘市第一高级中学高三开学考试（文））已知1F、2F分别为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，O为原点，双曲线上的点P满足OPb=，且122

1sin3sinPFFPFF=，则该双曲线C的离心率为（）A．2B．62C．2D．3方向7：利用基本不等式例81．（2022·四川成都·高三开学考试（文））已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=，F为右焦点，过点F作FAx⊥轴交双曲线于第一象限内的点A，点

B与点A关于原点对称，连接AB，BF，当ABF取得最大值时，双曲线的离心率为______．例82．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右顶点为A、

B，若该双曲线上存在点P，使得直线PA、PB的斜率之和为1，则该双曲线离心率的取值范围为__________．例83．（2022·四川·高三开学考试（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐·金筐宝钿团化纹

金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐朝金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线()2222:10,0xyCabab−=的部分的旋转体．若该双曲线上存在点P，使得直线PA，PB（点A，B为双曲线的左、右顶点

）的斜率之和为4，则该双曲线离心率的取值范围为______．例84．（2022·全国·高三专题练习）已知12,FF是双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若221PFPF的最

小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（）A．(1,3)B．(1,2)C．(1,3]D．(1,2]方向8：利用渐近线的斜率求离心率例85．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知双曲线()2222:10,0xyEabab−=的左、右焦点分别为1F，2F，

圆222:Oxya+=与E的一条渐近线的一个交点为M.若21222MFFF=，则E的离心率为（）A．2B．3C．5D．6例86．（2022·四川·模拟预测（文））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的一个焦点(c,0)F到C的一条渐近线的距离为27c，则C的离心率为（）A．112

15B．335C．7515D．1615例87．（2022·陕西·西乡县教学研究室一模（文））若双曲线2221yxb−=的一个焦点到渐近线的距离为3，则该双曲线的离心率为（）A．12B．22C．2D．2例88．（2022·天

津·二模）已知双曲线()222:109xyCbb−=的左、右焦点分别为12,FF，点M在C的左支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为N，若2MFMN+的最小值为9，则该双曲线的离心率为（）A．2B

．3C．32D．53方向9：利用双曲线第三定义例89．（多选题）（2022·云南·罗平县第一中学高二期中）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=的左焦点为F，过点F作C的一条渐近线的平行线交C于点A，交另一条渐近线于点B.若2=FAAB，则下列说法正确的是（）A．双曲线C的离心率

为3B．双曲线C的渐近线方程为2yx=C．点A到两渐近线的距离的乘积为24bD．O为坐标原点，则2tan4AOB=例90．（2022·湖南郴州·高二期末）双曲线()2222:1,0xyCabab−=的左右顶点为,

AB，过原点的直线l与双曲线C交于,MN两点，若,AMAN的斜率满足2AMANkk=，则双曲线C的离心率为_________．例91．（2022·云南·罗平县第一中学高二开学考试）已知双曲线()222210,0xyabab−=的两个顶点分

别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率为1k，2k，若128kk=，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．3例92．（2022·全国·高二课时练习）已知A，B，P是双曲线22221xyab−=（0a，0

b）上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A．22B．62C．2D．213例93．（2022·全国·高三专题练习）已知A，B，P是双曲线22221

xyab−=（0a，0b）上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为43，则该双曲线的离心率为（）A．52B．62C．2D．213例94．（多选题）（2022·河北秦皇岛·高三开学考试）已知双曲线2222:1(0,0)xyCa

bab−=的左、右焦点分别为12,FF，且124FF=，A，P，B为双曲线上不同的三点，且A，B两点关于原点对称，直线PA与PB斜率的乘积为1，则（）A．2ab==B．双曲线C的离心率为2C．直线AB倾斜角的取值范围为3,44

D．若120PFPF=，则三角形12PFF的面积为2例95．（2022·云南大理·模拟预测）已知12,AA分别为双曲线2222:1(0)xyCabab−=的左、右顶点，点P为双曲线C上任意一点，记直线1PA，直线2PA的斜率分别为12,kk．若122kk=，

则双曲线C的离心率为（）A．3B．51−C．2D．31+方向10：利用对应焦点焦半径的取值范围[)ca，+−例96．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)xyMabab−=的左､右焦点分别为1212,,2FFFFc=.若双曲线M的右

支上存在点P，使12213sinsinacPFFPFF=，则双曲线M的离心率的取值范围为___________.例97．（2022·吉林长春·二模（文））已知双曲线22221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为1F

，2F，点P在双曲线的右支上，且124PFPF=，则双曲线离心率的取值范围是()A．5,23B．51,3C．(1,2D．5,3+例98．（2022·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−

=的焦距为2(0)cc，左、右焦点分别是1F，2F，点P在C的右支上，且21cPFaPF=，则C的离心率的取值范围是（）A．()1,2B．()2,+C．(1,12+D．)12,++例9

9．（2022·山西·朔州市朔城区第一中学校高二开学考试）设双曲线22221(0,0)xyabab−=的左､右焦点分别为1F､2F，点P在双曲线的右支上，且213PFPF=，则双曲线离心率的取值范围是（）A．(1,2]B．5(1,]3C．[2,)+D．4[,)3+例100．（2022·湖南

·衡阳市八中一模（文））已知双曲线()222210,0xyabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在双曲线的右支上，且124PFPF=，则此双曲线的离心率e的最大值为（）A．54B．65C．53D．85【方法技巧与

总结】求离心率的本质就是探究,ac之间的数量关系，知道,,abc中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.题型七：双曲线的简单几何性质问题例101．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知F1，F2是双曲线C：

22221xyab−=（0a，0b）的两个焦点，C的离心率为5，点00(,)Pxy在C上，120PFPF，则0x的取值范围是（）A．()3,3aa−B．()3,,3aaaa−−C．77,55aa−D．77,,55aaaa−

−【方法技巧与总结】处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混．例102．（多选题）（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知双曲线222:1(0)3xyCaa−=的左､

右焦点分别为12,FF，离心率为2,P为C上一点，则（）A．双曲线C的实轴长为2B．双曲线C的一条渐近线方程为3yx=C．122PFPF−=D．双曲线C的焦距为4例103．（多选题）（2022·湖南益阳·模拟预测）已知双曲线22

21(0)4xyEaa−=：经过点()222P，，则（）A．E的实轴长为2B．E的焦距为42C．E的离心率为2D．E的渐近线方程是12yx=题型八：利用第一定义求解轨迹例104．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知ABC的顶点()30A−,，()3,0B，其内切

圆圆心在直线2x=上，则顶点C的轨迹方程为（）A．()221245xyx−=B．()221395xyx−=C．()2210295xyx+=D．()2210394xyx+=【方法技巧与总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点

P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨

迹方程的题中，要注意x和y的取值范围.例105．（2022·全国·高三专题练习）已知(5,0)B−，(5,0)C是ABC的两个顶点，且3sinsinsin5BCA−=，则顶点A的轨迹方程为（）A．221(3)916xyx−=−B．221(3)916xyx−=−„C

．221916xy−=D．221(3)916xyx−=例106．（2022·全国·高三专题练习（理））一动圆P过定点()4,0M−，且与已知圆N：()22416xy−+=相切，则动圆P的轨迹方程是（）A．221412xy−=（2x）B．221412xy−=（2x）C．221412yx−

=D．221412xy−=例107．（2022·重庆九龙坡·二模）在平面直角坐标系中，一动圆C与x轴切于点(4,0)A，分别过点(5,0)M−、(5,0)N作圆C的切线并交于点P（点P不在x轴上），则点P的轨迹方程为（）A．221(4)169

xyx−=B．221(4)169xyx−=−C．221(4)2516xyx+=D．221(4)2516xyx+=−例108．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知圆2220xyy+−=的圆心为A，过点()0,1B−的直线l交圆A于CD、两点，过

点B作AC的平行线，交直线AD于点E，则点E的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线例109．（2022·全国·高三专题练习）已知两圆C1：(x＋4)2＋y2＝2，C2：(x－4)2＋y2＝2，动圆M与两

圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）A．x＝0B．221(2)214xyx−=C．221214xy−=D．221214xy−=或x＝0例110．（2022·江苏·南京市第二十九中学高三开学考试）已知两圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆

C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为（）A．2218yx−=B．2218xy−=C．()22118yxx−=D．2218yx−=(x≤－1)例111．（2022·全国·高三专题练习（文））已知动圆C与圆221:(2)1Fxy++=内切，

与圆222:(2)1Fxy−+=外切，则动圆圆心C的轨迹方程为（）A．2213yx−=B．221(1)3yxx−=−C．221(0)5xyx+=D．2215xy+=例112．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC的顶点A(－5，0)，B(5，0)，ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则

顶点C的轨迹方程是（）A．221(2)421xyx−=B．221(2)421yxy−=C．221x－24y＝1D．24y－22x=1题型九：双曲线的渐近线例113．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2

2221(0,0)xyabab−=的左、右焦点分别为12,FF，过1F作圆222xya+=的切线，交双曲线右支于点M，若1260FMF=，则双曲线的渐近线方程为（）A．(33)yx=+B．2yx=C．333yx+=D．(13)yx=+【方法技巧与总结】掌握双曲线方程与其渐近线方程

的互求；由双曲线方程容易求得渐近线方程；反之，由渐近线方程可得出a，b的关系式，为求双曲线方程提供了一个条件.另外，焦点到渐近线的距离为虚半轴长b.例114．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1xyCab−=（其中0a，0b）

的焦距为45，其中一条渐近线的斜率为2，则=a______．例115．（2022·全国·高三专题练习（理））已知左、右焦点分别为1F，2F的双曲线222:1(0)16xyCaa−=上一点P到左焦点1F的距离为6，点O为坐标原点，点M为1PF的中点，若||5OM=，则双曲线C的渐近线方程

为（）A．2yx=B．43yx=C．45yx=D．4yx=例116．（2022·全国·高三专题练习）若1F，2F是双曲线22221(0,0)yxabab−=与椭圆2251162xy+=的共同焦点，点P是两曲线的一个交点，且12PFF△为等腰三角形，则该双曲线的渐近线方程

是（）A．22yx=B．24yx=C．73yx=D．377yx=例117．（2022·全国·高三专题练习（文））已知12,FF分别是双曲线2222:1xyCab−=(0,0)ab的左、右焦点，1F的

坐标为()7,0−，若双曲线的右支上有一点P，且满足124PFPF−=，则该双曲线的渐近线方程为（）A．32yx=B．232yx=C．34yx=?D．43yx=例118．（2022·江西·新余市第一中学模

拟预测（理））已知左、右焦点分别为1F，2F的双曲线C：2221(0)16xyaa−=上一点P到左焦点1F的距离为6，点O为坐标原点，点M为1PF的中点，若5OM=，则双曲线C的渐近线方程为（）A．2yx=B．yx=C．43yx=D．4yx=例119．

（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C：2214xy−=的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点.若POPF=，则OPF△的面积为________.例120．（2022·全国·高三

专题练习）已知双曲线E：()222104xyaa−=的离心率为2，若有一直线过E的右顶点A且与一条渐近线平行，交y轴于点B，则△OAB的面积是________.例121．（2022·全国·高三专题练习）若双曲线()222:104xyCaa−=的一条渐近线与直线:3220lxy+

−=相互垂直，则双曲线C的两个焦点与虚轴的一个端点构成的三角形的面积为________.例122．（2022·重庆·高三阶段练习）已知双曲线()222210,0xyabab−=的左右焦点分别为1F，2

F，O为坐标原点，点P在双曲线上，若122FFOP=，212PFPF=，则此双曲线的渐近线方程为______.题型十：共焦点的椭圆与双曲线例123．（2022·全国·高三专题练习）已知共焦点的椭圆和双曲线

，焦点为1F，2F，记它们其中的一个交点为P，且12120FPF=，则该椭圆离心率1e与双曲线离心率2e必定满足的关系式为（）A．1213ee144+=B．221231ee144+=C．22123114e4e+=D．22121314e4e+=【方法技巧与总结】椭圆离心率1e与双曲线离心率2

e必定满足的关系式为：2212122212sincos221eeFPFFPF+=.例124．（2022·福建莆田·二模（文））已知椭圆22221(0)xyabab+=与双曲线22221(0,0)xymnmn

−=有共同的焦点1F，2F，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为1e，2e．若123FPF=，则12ee的最小值是（）A．12B．22C．32D．32例125．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）（多选）已知12,FF是椭圆2

222111xyab+=（110ab）和双曲线2222221xyab−=（220ab）的公共焦点，P是他们的一个公共点，且123FPF=，则以下结论正确的是（）A．22221122abab−=−B．22123bb=C．22121114

4ee+=D．2212ee+的最小值为312+例126．（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））已知椭圆和双曲线有相同的焦点12,FF，它们的离心率分别为12,ee，P是它们的一个公共点，且1223FPF=.若123ee=，则2e=（）A．6+12B．6+22C．6+32D

．6+22例127．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））已知椭圆1C和双曲线2C有相同的左、右焦点1F，2F，若1C，2C在第一象限内的交点为P，且满足2122POFPFF=，设1e，2e分别是1C，2C的离心率，则1e，2e的关

系是（）A．122ee=B．22122ee+=C．2211222eeee++=D．222212122eeee+=【过关测试】一、单选题1．（2022·山西大附中高三阶段练习）若直线47xy=+与双曲线C：()2210axya−=的一条渐近线平行；则a的值为（）A．

116B．14C．4D．162．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））若双曲线2221xyb−=的两条渐近线与圆224xy+=的交点等分圆周，则b=（）A．1B．1−C．D．23．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））

已知12,FF为双曲线2222:1(0,0)xyEabab−=的左、右焦点，过点2F作直线l与E的右支交于,AB两点，2121,AFFBFF的平分线分别交y轴于,MN两点，O为坐标原点.若,2,OMaON成等比数列，则E的离心

率为（）A．2B．3C．2D．34．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））双曲线()222210,0xyabab−=的一条渐近线方程为22yx=，则其离心率为（）A．3B．3C．5D．55．（2022·全国·高三开

学考试（理））已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=与斜率为1的直线交于A，B两点，若线段AB的中点为(4,1)，则C的离心率e=（）A．2B．103C．52D．36．（2022·山东·济南市历城第二

中学模拟预测）由伦敦著名建筑事务所SteynStudio设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221yxab−=（0a，0b）下支的一部分，且此双曲线的一条渐近线为370xy+=，下

焦点到下顶点的距离为1，则该双曲线的方程为（）A．22197yx−=B．22179yx−=C．2213yx−=D．2216349yx−=7．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4nCmxymn−=

的一个焦点坐标为(1,0)−，当mn+取最小值时，C的离心率为（）A．52B．3C．2D．28．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习）已知直线:0lxy+=与双曲线()2222:1,0xyCabab−=无公共交点，则双曲线C离心率e的取值范围为（）．A．(1,3B．)3

,+C．(1,2D．)2,+9．（2022·安徽·高三开学考试）若双曲线221(04)4xymmm−=−的左、右焦点分别为12,FF，点P为圆224xy+=与此双曲线的一个公共点，则12PFF△的面积（

）A．有最大值4B．有最小值2C．为4m−D．为m二、多选题10．（2022·云南省下关第一中学高三开学考试）已知1F，2F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点，过1F的直线l与双曲线C交于，M、N两点，且113FNFM=，22FMFN=则下列说法正确的是（）A．2FMN

是等边三角形B．双曲线C的离心率为7C．双曲线C的渐近线方程为6yx=D．点1F到直线60xy−=的距离为6a11．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线22221xyab−=（a＞0，b＞0）的左、右两个顶点分别是A1、A2，左

、右两个焦点分别是F1、F2，P是双曲线上异于A1、A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（）A．122PAPAa−=B．直线PA1、PA2的斜率之积等于定值22baC．使得△PF1F2为等腰三角形的点P有且仅有8个D．△PF1F2的面积为21

2tan2bAPA12．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知线段BC的长度为4，线段AB的长度为m，点D,G满足ADDC=，0DGAC=，且G点在直线AB上，若以BC所在直线为x轴，BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则（）A．当4m=时，点G的

轨迹为圆B．当68m时，点G的轨迹为椭圆，且椭圆的离心率取值范围为12,23C．当2m=时，点G的轨迹为双曲线，且该双曲线的渐近线方程为3yx=D．当5m=时，BCG面积的最大值为3三、填空题1

3．（2022·全国·高三专题练习）双曲线22:148xyC−=，已知O是坐标原点，A是双曲线C的斜率为正的渐近线与直线233x=的交点，F是双曲线C的右焦点，D是线段OF的中点，若B是圆221xy+=上的一点，则△ABD

的面积的最大值为________.14．（2022·全国·高三专题练习）如果一双曲线的实轴及虚轴分别是另一双曲线的虚轴及实轴，则称此两双曲线互为共轭双曲线．已知双曲线1C，2C互为共轭双曲线，1C的焦点分别为1F，2F，顶点分别为1A，2A，2C的焦点分别为3F，4F，顶点分别为1B，2B，过

四个焦点的圆的面积为1S，四边形1122ABAB的面积为2S，则21SS的最大值为________.15．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线:C22145xy−=的左、右焦点分别为1F，2F，已知点P在双曲

线右支上且在第一象限，点()2,1M为三角形12PFF的内心，则12PMFPMFSS−=________.四、解答题16．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:2Cypx=（0p）的焦点F与双曲线22:13xEy−

=的一个焦点重合.(1)求抛物线C的方程；(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且6AB=，求线段AB的中点M到准线的距离.17．（2022·全国·高三专题练习）设1F､2F分别为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左右焦点，且

2F也为抛物线28yx=的的焦点，若点()0,2Pb，1F，2F是等腰直角三角形的三个顶点.(1)双曲线C的方程；(2)若直线l：112yx=−与双曲线C相交于A､B两点，求AB.18．（2022·全国·模拟预测）已知()13,0F−，()23,0F

分别是双曲线()2222:10xyCabab−=的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，12AFF△的内切圆与x轴交于点()1,0P．(1)求双曲线C的方程；(2)设圆22:2Oxy+=上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：QMQN是否为定值

？若是，求出此定值；若不是，说明理由．19．（2022·江苏·苏州市第六中学校三模）已知双曲线C：()222210,0xyabab−=过点()22,1，渐近线方程为12yx=，直线l是双曲线C右支的一条切线，且与C的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线C的方程；(2)设点A，B的中点为

M，求点M到y轴的距离的最小值．