【文档说明】《【一隅三反】2023年高考数学一轮复习（基础版）（新高考地区专用）》9.4 单调性的分类讨论（精讲）（基础版）（解析版）.docx，共(9)页，656.211 KB，由envi的店铺上传

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9.4单调性的分类讨论（精讲）（基础版）思维导图考点一一根型【例1】（2022·河北邯郸·高三开学考试）已知函数()()ln0fxxaxa=−，讨论函数()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】由题意得函数()fx

的定义域为()()0,,1axafxxx−+=−=，当0a时，令()0fx，得xa，所以()fx在(),a+上单调递增；令()0fx，得0xa，所以()fx在()0,a上单调递减；当0a时，因为()0fx恒成立，所以()fx在()0,+上单调递增；【一隅三反】1．（

2022·福建·高三阶段练习）已知函数()e2xfxax−=+−，讨论()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】因为e()22exxafxaxx−=+−=+−，所以()eexxafx−=.若0a，则()0f

x恒成立；若0a，则当(),lnxa−时，()0fx，当()ln,xa+时，()0fx.故当0a时，()fx的单调递增区间为(),−+，无单调递减区间；当0a时，()fx的单调递增区间为()ln,a+，单调递减区间为(),lna−.考点呈现例题

剖析2．（2022·河南）已知函数()()ln0fxaxaxa=−，讨论()fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】()fx的定义域为()0,+，()()1axafxaxx−=−=．当0a时，令()0fx，得01x，令()0fx，得1x，所以()fx在()0

,1上单调递增，在()1,+上单调递减；当0a时，令()0fx，得1x，令()0fx，得，01x，所以()fx在()1,+上单调递增，在()0,1上单调递减．综上，当0a时，()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上

单调递减；当0a时，()fx在()1,+上单调递增，在()0,1上单调递减．3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数()ln(1),fxxaxa=+−R，讨论函数()fx在(0,)+上的单调性

;【答案】答案见解析；【解析】由题意得，111(1)(1,),()111axaaxxfxaxxx−−−+−+=−==+++，当0a时，()0fx，则函数()fx在(1,)−+上单调递增；当0a时，令()0fx=，解得111axaa−==−；当1(1,1)xa

−−时，()0fx，则函数()fx在11,1a−−上单调递增；当11,xa−+时，()0fx，函数()fx在11,xa−+上单调递减，综上，当0a时，函数()fx在(1,)−+上单调递增；当0a时，函

数()fx在1(1,1)a−−上单调递增，在11,a−+上单调递减．考点二两根型【例2-1】（2022·辽宁·沈阳市第四中学高三阶段练习）已知函数221()23ln2fxxaxax=−−，讨论函数()

fx的单调性；【答案】答案见解析【解析】()fx的定义域为()0,+，()2'3(3)()2axaxafxxaxx−+=−−=.当0a时，()fx在区间()()()'0,,0,afxfx−递减；在区间()()()',,0,afxfx−+递增.当0a=时，()()'0

,fxxfx=在()0,+上递增.当0a时，()fx在区间()()()'0,3,0,afxfx递减；在区间()()()'3,,0,afxfx+递增.【例2-2】（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习）已知函数(

)()()2212lnRfxaxaxxa=+−−.(1)当0a=时，求曲线()yfx=在点()()e,ef的切线方程；(2)讨论函数()yfx=的单调性.【答案】(1)22eyx=−(2)答案见解析【解析】（

1）由0a=，则()22lnfxxx=−，()e2e2f=−，()22fxx=−，()2e2ef=−，切线方程：()()22e22eeyx−−=−−，则22eyx=−.（2）由()()2212lnfxaxaxx=+−−，求导得()()()()122222

1xaxfxaxaxx−+=+−−=，①当0a=时，()22xfxx−=，()0fx，解得()0,1x，()0fx，解得()1,x+，则()fx：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+；②当0a时，令()0fx=，解得1x=或1xa=−（舍去）当()0,1x时，(

)0fx，当()1,x+时，()0fx，则()fx：单减区间：()0,1，单增区间：()1,+；③当1a−时，令()0fx=，解得1x=或1xa=−，当()10,1,xa−+时，()0fx，当1,

1xa−时，()0fx，则()fx：单减区间：10,a−和()1,+，单增区间：1,1a−；④当1a=−时，()()221xfxx−−=，则()fx：单减区间：()0,+；⑤当10a−时，令()0fx=，解得1x=或1xa=−，当()10,

1,xa−+时，()0fx，当11,xa−时，()0fx，则()fx：单减区间：()0,1和1,a−+，单增区间：11,a−；综上，当0a时，单减区间：()0,1，单增区间：()1,+当1a−时，单减区间：10,a−

和()1,+，单增区间：1,1a−当1a=−时，单减区间：()0,+当10a−时，单减区间：()0,1和1,a−+，单增区间：11,a−.【一隅三反】1．（2022·辽宁锦州）已知函数()32

4fxxax=−+−，其中a为实常数．(1)当3a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；(2)讨论()fx的单调性；【答案】(1)35yx=−(2)答案详见解析【解析】（1）()()32'234,36fxxxfxxx=−+−=−+，所以()()'12,13ff=−=，所以切

线方程为()()231,35yxyx−−=−=−.（2）()fx的定义域为R,()'223233fxxaxxxa=−+=−−，当0a时，()fx在区间()()()'2,,0,,0,3afxfx−+递减

；在区间()()'2,0,0,3afxfx递增.当0a=时，()'0fx，()fx在R上递减.当0a时，()fx在区间()()()'2,0,,,0,3afxfx−+递减；在区间()()'20,,0,3afxfx递增.2．（2

022·全国·高二课时练习）求函数()()32123fxxaxa=−+R的单调区间.【答案】见解析【解析】因为()32123fxxax=−+，所以()22fxxax=−.由()220fxxax=−=，解得x＝0或x＝2a.当a＝0时，()20fxx=

，所以f（x）在R上严格增，单调增区间为(),−+；当0a时，当()(),02,xa−+时，()0fx；当()0,2xa时，()0fx，所以f（x）的单调增区间为(),0−及()2,a+，单调减区间为（0，2a）；当0a时

，当()(),20,xa−+时，()0fx；当()2,0xa时，()0fx，所以f（x）的单调增区间为(),2a−及()0,+，单调减区间为（2a，0）.3．（2022·湖北·襄阳五中高三开学考试）已知

函数2()2(1)exfxaxx=−−（其中,eaR为自然对数的底数）．讨论()fx的单调性；【答案】见解析【解析】由2()2(1)exfxaxx=−−可得()()2e1xfxxa=−，当0a„时，e10xa−，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，

从而()fx的单调递增区间为(,0)−，单调递减区间为(0,)+；当0a时，由()0fx=得，10x=，21lnxa=，①若1ln0a=，即1a=时，()0fx…恒成立，故()fx在R上单调递增：②若1ln0a，即1a时，由()0fx

可得，1lnxa或0x．令()0fx可得1ln0xa，此时()fx的单调递增区间为1,lna−和(0,)+，单调递减区间为1ln,0a；③若1ln0a，即01a时，由()0fx可得，0x

或1lnxa，令()0fx可得10lnxa，此时()fx的单调递增区间为(,0)−和1ln,a+，单调递减区间为10,lna；综上所述，当0a„时，()fx的单调递增区间为(,0)−

，单调递减区间为(0,)+；当1a=时，()fx在R上单调递增；当1a时，()fx的单调递增区间为1,lna−和(0,)+，单调递减区间为1ln,0a；当01a时，()fx的单调递增区间为(,0)−和1ln,a+，单调递减区间为10,lna

；考点三判别式型【例3】（2022·福建泉州·模拟预测）已知函数()()2e23xfxxaxa=−+++讨论()fx的单调性；【答案】(1)当22a−时，()fx在R上单调递增；当2a−或2a时，()fx在2

244,22aaaa−−+−上单调递减，()fx在24,2aa−−−和24,2aa+−+上单调递增.【解析】由()()()22e23,Rfxxaxax=−+++

，求导得()()()()22e2322e1xxfxxaxaxaxax=−++++−+=−+，易知e0x恒成立，故看21xax−+的正负，即由判别式24a=−进行判断，①当240a=−时，即22a−，()0fx，则()fx在R上单调递增；②当240a=

−时，即2a−或2a，令()0fx=时，解得242aax−−=或242aax+−=，当224422aaaax−−+−时，()0fx，则()fx在2244,22aaaa−−+−上单调递减；当242aax−−或242aax+−，()0fx

，则()fx在24,2aa−−−和24,2aa+−+上单调递增；综上所述，当22a−时，()fx在R上单调递增；当2a−或2a时，()fx在2244,22aaaa−−+−

上单调递减，()fx在24,2aa−−−和24,2aa+−+上单调递增.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()211ln2fxxaxaxxaR=+−+，记()fx的

导函数为()gx，讨论()gx的单调性；【答案】见解析【解析】由已知可得()1lngxxaxx=−−，故可得()222111axaxgxxxx−=+=+−．当(2a−，时，()0gx，故()gx在()0,+单调递增；当()2,a+时，由()0gx=，解得242aax−−=，

或242aa+−，记2142aa−−=，2242aa+−=，则可知当x变化时，()(),gxgx的变化情况如下表：x()10,1()12,2()2,+()gx+0−0+()gx极大值极小值所以，函数()gx

在区间240,2aa−−单调递增，在区间2244,22aaaa−−+−单调递减，在区间24,2aa+−+单调递增．2.（2022山西）若函数()21ln22fxaxxax=+−，0a，a为常数，求函数

()fx的单调区间；【答案】见解析【解析】()fx的定义域为()0,+，()22'xaxafxx−+=①当01a，2440aa=−，所以()22'0xaxafxx−+=，()fx的单调增区间为()0,+，无单调减区间；②当1a时，2440aa=−，解()22'0x

axafxx−+==得210xaaa=−−，2210xaaax=−−，所以()fx的单调增区间为()20,aaa−−，()2,aaa+−+，单调递减区间为()22,aaaaaa−−+−3（2022黑龙

江）已知函数2()(1)ln1fxaxxx=+−+，令()'()gxfx=，讨论函数()gx的单调性；【答案】详见解析【解析】()()1ln2gxfxaxxax==+−+，()2221122aaxxgxxxx−−

=−−=，0x当0a时，()0gx恒成立，函数的单调递减区间是()0,+，无单调递增区间；当0a时，()2221xaxgxx−+=−，（ⅰ）280a=−时，即22a时，()0gx的解集是2288,44aaaa−−+−

，()0gx的解集是22880,,44aaaa−−+−+，所以函数的单调递增区间是2288,44aaaa−−+−，函数的单调递减区间是22880,,,44aaaa−−+−+；（

ⅱ）当280a=−时，即022a时，函数()0gx恒成立，即函数的单调递减区间是()0,+，无单调递增区间；综上可知，当22a时，函数的单调递减区间是()0,+，无单调递增区间；当22a时，函数的单调递增区间是2288,44aaaa−−+−

，函数的单调递减区间是22880,,,44aaaa−−+−+.