【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 1.4 两条直线的交点 Word版含解析.docx，共(12)页，831.729 KB，由小赞的店铺上传

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1.4两条直线的交点一、单选题1．直线l经过两条直线10xy−+=和2320xy++=的交点，且平行于直线240xy−+=，则直线l的方程为（）A．210xy−−=B．210xy−+=C．220xy−+=D．

220xy+−=【答案】B【解析】由102320xyxy−+=++=得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与240xy−+=相同，为12，则直线l方程为y－0＝12(x＋1)，即x－2y＋1＝0.故选：B.2．已知三条直线2310xy−+=，4350xy++=，10mxy−−=不能构成三角形

，则实数m的取值集合为（）A．42,33−B．42,33−C．424,,333−D．422,,333−−【答案】D【解析】由题知：①当直线10mxy−−=与直线2310xy−+=平行时，三条直线不能构成

三角形.即23m=.②当直线10mxy−−=与直线4350xy++=平行时，三条直线不能构成三角形.即43m=−.③当直线10mxy−−=过直线2310xy−+=与直线4350xy++=交点时，三条直线不能构成三角形

.所以23104350xyxy−+=++=，解得113xy=−=−，将11,3−−代入10mxy−−=，解得23m=−.所以实数m的取值集合为422,,333−−.故选：D.3．若三条直线2380xy++=，

10xy−−=和102xkyk+++=相交于一点，则k=（）A．2−B．12−C．2D．12【答案】B【解析】联立238010xyxy++=−−=，解得12xy=−=−，即直线2380xy++=与直线10xy−−=交于点()1,2−−A，将点A的坐标代入直

线102xkyk+++=的方程中，得102k−−=，解得12k=−.故选：B.4．无论k为何值，直线(2)(1)450kxkyk++−−−=都过一个定点，则该定点为（）A．(1,3)B．(1,3)−C．(3,1)D．(3,

1)−【答案】D【解析】直线方程可化为(25)(4)0xykxy+−+−−=，则此直线过直线250xy+−=和直线40xy−−=的交点．由250,40xyxy+−=−−=解得3,1.xy==−因此所求定点为(3,1)−．故选：D．5．设集合()3,2,,1yAxyxyR

x−==−，(),4160,,BxyxayxyR=+−=，若AB，则实数a的取值范围为（）A．()(),44,−+B．()(),22,−−−+C．()()(),22,44,−−

−+D．()()(),44,22,−−−+【答案】C【解析】由题知集合A表示直线()321yx−=−，即21yx=+上的点，但除去点（1，3），集合B表示直线4160xay+−=上的点，易知直线21y

x=+与直线4160xay+−=不重合，所以当AB时，直线21yx=+与直线4160xay+−=相交且交点不是点（1，3），当0a=时，两条直线相交且交点为（4，9），符合题意；当0a时，由42a−且43160a−−，得0a且2a−且4a.综上，2a−

且4a.故选：C.6．经过直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点，且垂直于直线l1的方程为（）A．2x﹣y+13＝0B．x+2y+13＝0C．2x﹣y﹣13＝0D．x+2y﹣13＝0【答案】B【解析】联立直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y

﹣2＝0的方程，解得x＝﹣3，y＝﹣5，所以直线l1：2x﹣y+1＝0和l2：x﹣y﹣2＝0的交点为（﹣3，﹣5），又直线l1的斜率为2，故所求直线的斜率为12−，所以所求直线的方程为()1532yx+=−+，即x+2y+13＝0．故选：B7．已知线段AB两端点的坐标分

别为()2,3A−和()4,2B，若直线:10lxmym++−=与线段AB有交点，则实数m的取值范围是（）A．()3,1,4−−+B．31,4−C．31,4−D．(3,1,4−−+

【答案】C【解析】直线:10lxmym++−=恒过的定点()1,1P−，4,13APBPkk=−=.当0m=时，直线l方程为1x=，与线段AB有交点，符合题意.当0m时，直线l的斜率为1m−，则)14,1,3m−−−+

，解得10m−或304m，综上，31,4m−.故选：C8．直线l经过两条直线3x+4y﹣5＝0和3x﹣4y﹣13＝0的交点，且与直线x+2y+1＝0垂直，则l的方程是（）A．2x+y﹣7＝0B．2x﹣y﹣7＝0C．2

x+y+7＝0D．2x﹣y+7＝0【答案】B【解析】联立方程345034130xyxy+−=−−=，解得x＝3，y＝﹣1，故所求直线l过点（3，﹣1），由直线x+2y+1＝0的斜率为12−，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1＝2（x﹣3），即2x﹣y﹣7＝0，故选：B

二、多选题9．下列说法正确的是（）A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率B．点(0,2)关于直线1yx=+的对称点为(1,1)C．经过点(1,1)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=D．直线20xy−

−=与两坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【解析】当倾斜角为90°时，斜率不存在，故A选项正确；设(0,2)关于直线1yx=+的对称点为(),mn，则满足212122nmnm−=−+=+，解得：11mn==，故点(0,2)关于直线1yx=+的对称点为(1,

1)，B正确；当在x轴和y轴上截距都等于0时，此时直线为yx=，故C错误；直线20xy−−=与两坐标轴的交点坐标为()2,0与()0,2−，故与两坐标轴围成的三角形的面积为12222=，D正确故选：ABD10．已知△ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，

AB上的点，且AEEB=，2ADDC=uuuruuur，BD与CE交于点O，则（）A．0OCEO+=B．0ABCE=C．3OAOBOCOD+++=D．EDBCuuuruuur在方向上的投影向量的模为76【答案】BD【解析】如图，以

B为坐标原点，BC所在直线为x轴，垂直BC的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则()0,0B，()2,0C，()1,3A，因为AEEB=，故E为AB的中点，所以13,22E，设(),Dmn，则()1,3ADmn=−−uuur，()2,DCm

n=−−uuur，因为2ADDC=uuuruuur，故()()1,322,mnmn−−=−−，即14232mmnn−=−−=−，解得：5333mn==，则53,33D设直线BD：ykx=，则53,33D代入，解得

：35k=，所以直线BD：35yx=，设直线CE：yaxb=+，把()2,0C，13,22E代入，解得：33a=−，233b=所以直线CE：32333yx=−+，联立3233335yxyx=−+=，解得：54

34xy==，故53,44O，A选项：0OCEOEC+=，A选项错误；B选项：()331,3,022ABCE=−−−=uuuruur，故B选项正确；133,44

OA=−uur，53,44OB=−−uuur，33,44OC=−uuur，53,1212OD=uuur所以13,33OAOBOCOD+++=−

，故22132333OAOBOCOD+++=−+=，C选项错误；EDBCuuuruuur在方向上的投影向量的模为()73,2,066726EDBCBC−==uuuruuuruuur，故EDBCuuuruuur在方向

上的投影向量的模为76，D选项正确.故选：BD11．已知平面上三条直线1:210lxy−+=，2:10−=lx，3:0+=lxky不能构成三角形，则实数k的值可以为（）A．2−B．1−C．0D．1【答

案】ABC【解析】依题：三条直线交于一点或其中两条平行且与第三条直线相交，①当直线0xky+=经过直线210xy−+=与直线10x−=的交点()1,1时，10k+=，解得1k=−.②当直线0xky+=与直线210xy−+=平行时，10121k=−，解得2k=−；当直线0xky+=与

直线10x−=平行时，可得0k=，综上：2k=−或0k=或1k=−.故选:ABC.12．瑞士数学家欧拉（LeonharEuler）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.若已知A

BC的顶点()4,0A−，()0,4B，其欧拉线方程为20xy−+=，则下列正确的是（）A．ABC重心的坐标为12,33−或21,33−B．ABC垂心的坐标为()0,2或()2,0−C．ABC顶点C的坐标为()2,0或()0,2−D．欧拉线将ABC分成的两部分的面积

之比为45【答案】BCD【解析】AB的中点为()2,2−，AB的中垂线方程为()22yx−=−+，即0xy+=，联立020xyxy+=−+=，解得11xy=−=.∴ABC的外心为()1,1−，设(),Cmn

，由重心坐标公式得，三角形ABC的重心为44,33mn−++，代入欧拉线方程得：442033mn−++−+=，整理得：20mn−−=①又外心为()1,1−，所以()()()()222211410110mn++−=−++−=，整理得

：22228mnmn++−=②联立①②得：2m=，0n=或0m=，2n=−，所以顶点C的坐标是()2,0或()0,2−.ABC重心的坐标为24,33−或42,33−；由于OBAC⊥或OABC⊥，所以垂心的坐标为()0,2M或()2,0N

−.因为直线AB与欧拉线平行，所以两部分的面积之比是22216436165NCACNC==−−或22216436165MCACMC==−−.故选：BCD三、填空题13．经过2380xy++=和10xy−−=的交点，且与20xy+=垂直的直

线方程为______.【答案】20xy−=##+2yx=【解析】解法1：由238010xyxy++=−−=得12xy=−=−.又20xy+=的斜率为12−，故所求直线的斜率为2，由点斜式得22(1)yx+=+，即20xy−=．解法2：设所求的直线方程为238(1)0xyx

y+++−−=，即(2)(3)80xy++−+−=，由题意得22(3)0++−=，得8=，所以所求直线方程为20xy−=．故答案为：20xy−=.14．若直线2100xy−−=经过直线43100xy+−=和280axy++=的交点，则=a___________.【答

案】1−【解析】由题意，直线2100xy−−=，43100xy+−=，280axy++=交于一点，所以210043100xyxy−−=+−=，得42xy==−，所以直线280axy++=过点()4,2−，得()42

280a+−+=，求解得1a=−.故答案为：1−15．已知直线l经过两条直线23100xy−+=和3420xy+−=的交点，且垂直于直线3240xy−+=，则直线l方程为___________.【答案】2320xy+−=【解析】由2310

03420xyxy−+=+−=，解可得22xy=−=，所以两直线的交点坐标为()2,2−，则直线l过点()2,2−，因为直线l与3240xy−+=垂直，所以直线l的斜率为23−，所以直线l的方程为：()2223yx−=−+，即2320xy+−=，故答案为：2320xy+−=.16．经过

两条直线2310xy++=和2330xy−+=的交点，并且平行于直线yx=的直线的一般式方程为______．【答案】3340xy−+=【解析】由23102330xyxy++=−+=解得113xy=−

=，故交点坐标为11,3−，由平行于直线yx=可得斜率为1，故方程为113yx−=+，化为一般方程为3340xy−+=.故答案为：3340xy−+=.四、解答题17．过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：280xy+−=和l2：3100xy−+=截得的线段恰好被点P平

分，求直线l的方程.【解析】设l1与l的交点为A(a，8-2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(-a，2a-6)在l2上，代入l2的方程得:-a-3(2a-6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在

直线l上，∴直线l的方程为041004yx−−=−−即x＋4y-4＝0.18．求过直线1:5230lxy+−=和2:3580lxy−−=的交点P，且与直线470xy+−=垂直的直线l的方程.【解析】解法一：由5230,3580xyxy+−=−

−=，解得(1,1).−直线470xy+−=的斜率为14−，直线l的斜率为4.因此满足条件的直线l的方程为：14(1)yx+=−，即450xy−−=.解法二：直线l垂直于直线470xy+−=.设直线l的方程为40xyc−

+=.1l与2l的交点为(1,1)P−，41(1)0c−−+=，解得从而5c=−.所以直线l的方程为450xy−−=.解法三：因为直线l过1l与2l的交点，设直线l的方程为(523)(358)0xyxy+−

+−−=，即(53)(25)380xy++−−−=，l与直线470xy+−=垂直，53425lk+=−=−，解得1317=.直线l的方程为450xy−−=.19．已知ABC的一个顶点()2,4A−，

且BÐ，C的角平分线所在直线的方程依次是20xy+−=，360xy−−=，求ABC的三边所在直线的方程.【解析】记BÐ的角平分线交AC于点E，C的角平分线交AB于点F.由角平分线的性质，知点A关于直线BE，CF的对称点()'11,Axy，()22,

Axy均在直线BC上.∵直线BE的方程为20xy+−=，()2,4A−，则()111141122+4+2022yxxy−−−=−−−=，解得1160xy==，∴()6,0A.∵直线CF的方程为360xy−−=，∴同理求得24,55A，∴直线A

A的方程是()4056265yx−=−−，即760xy+−=，这也是BC所在直线的方程.由76020xyxy+−=+−=，得42,33B，由760360xyxy+−=−−=

，得()6,0C，∴AB所在直线的方程是7100xy+−=，AC所在直线的方程是60xy−−=.20．三条直线1:10lxy++=､2:280lxy−+=､3:350laxy+−=有且只有两个交点，求实数a的值.【解析】由10280xyxy++=−+=得：32xy=−=，

即12,ll有一个交点()3,2−，31//ll或32//ll；即130a−=或230a+=，解得：3a=或6a=−.21．已知直线1l：320xy++=与直线2l：210xy+−=的交点为M，求经过点M且满足下列条件的直线l的方程：（方程结果用一般式表示）

(1)与直线250xy++=平行；(2)与直线3240xy+−=垂直.【解析】(1)由320210xyxy++=+−=，解得11xy=−=，所以交点为()1,1M−，直线250xy++=的斜率为-2，因为所求直线与直线250xy++=平行，可得所求直线的

斜率2k=−，所以所求直线方程为()121yx−=−+，即210xy++=；(2)因为直线3240xy+−=的斜率为32−，因为所求直线与直线3240xy+−=垂直，故所求直线的斜率23k=，所以所求直线方程为()2113yx

−=+，即2350xy−+=.22．已知△ABC中，BC边上的高所在的直线方程为210xy−+=，∠A的平分线所在的直线方程为y=0，点C的坐标为(1，2).（1）求点A和点B的坐标；（2）过点C作直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于点M、N，求△MON（O为坐标原点）的面积最小值及此时

直线l的方程.【解析】（1）因为点A在BC边上的高所在的直线x-2y+1=0上，且在∠A的平分线所在的直线y=0上，所以解方程组-2100xyy+==，，得A(-1，0).因为BC边上的高所在的直线方程为x-2y+1

=0，所以kBC=-2，因为点C的坐标为(1，2)，所以直线BC的方程为2x+y-4=0，因为kAC=1，kAB=-kAC=-1，所以直线AB的方程为x+y+1=0，解方程组1024=0xyxy++=+−，，得B(5，-6)，故点A，点B的坐标分别为(-1，0)，(5

，-6).（2）依题意得直线的斜率存在，设直线l的方程为y-2=k(x-1)(k<0)，则M20kk−，，N(0，2-k)，所以S△MON=12·2kk−·(2-k)=12·44kk−−≥1442()2kk+−−=4，当且仅当

4k−=k−，即2k=−时取等号，所以(S△MON)min=4，此时直线l的方程是2x+y-4=0.