【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：3.1.2 第二课时　直线与椭圆的位置关系含解析.docx，共(8)页，77.083 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(二十七)直线与椭圆的位置关系[A级基础巩固]1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：x225＋y236＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为()A．1B．1或2C．2D．0解析：选C因为直线过定

点(3，－1)且3225＋（－1）236＜1，所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．2．若直线y＝kx＋2与椭圆x23＋y22＝1相切，则斜率k的值是()A.63B．－63C．±63D．±33解析：选C把y＝kx＋2代入x23＋y22＝1，得(2＋3k2)x2＋12kx

＋6＝0，由题意知Δ＝0，∴k2＝23，∴k＝±63.3．过椭圆x2＋2y2＝4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB，则弦AB的长为()A.67B.167C.716D.76解析：选B易求直线AB的方程为y＝3(x＋2)．由y＝3（x＋2），x2＋2y2＝4消去y并整理，得

7x2＋122x＋8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－1227，x1x2＝87.由弦长公式，得|AB|＝1＋k2·|x1－x2|＝1＋（3）2×－12272－4×87＝167.4．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为

其短轴长的14，则该椭圆的离心率为()A.13B.12C.23D.34解析：选B设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，不妨设直线方程为xc＋yb＝1.∵椭圆的中心到l的距离为其短轴长的14，∴11c2＋1b2＝b2

，即4＝b21c2＋1b2，∴b2c2＝3，a2－c2c2＝3，∴e＝ca＝12.故选B.5．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点是M(－4，1)，则椭圆的

离心率是()A.12B.22C.32D.55解析：选C设直线x－y＋5＝0与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2，直线AB的斜率k＝y1－y2x1－x2＝1.由x

21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1得（x1＋x2）（x1－x2）a2＋（y1＋y2）（y1－y2）b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2×x1＋x2y1＋y2＝1，∴b2a2＝14，故椭圆的离心率

e＝ca＝1－b2a2＝32.故选C.6．过椭圆x24＋y23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为________．解析：过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为2a＝4；最短弦为垂直于长轴的弦，因为c＝1，将x＝1代入x24＋y23＝1，得124＋y23

＝1，解得y2＝94，即y＝±32，所以最短弦的长为2×32＝3.答案：4，37．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆x22＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝423，则k＝________．解析：设M(x1，y1)，N(x2，y2

)，由y＝kx＋1，x22＋y2＝1消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－4k1＋2k2，x1x2＝0.由|MN|＝423，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝329，所以(1＋k2)(

x1－x2)2＝329，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝329，即(1＋k2)－4k1＋2k22＝329.化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.答案：±18．过椭圆x25＋y24＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两

点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．解析：由题意知，右焦点的坐标为(1，0)，直线的方程为y＝2(x－1)，将其与x25＋y24＝1联立，消去y，得3x2－5x＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝53，x1x2＝0，所以|AB|＝1＋k

2·|x1－x2|＝1＋22×532－4×0＝553.设原点到直线的距离为d，则d＝|－2|12＋22＝25.所以S△OAB＝12|AB|·d＝12×553×25＝53.答案：539．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)过点(0，4)，离心率为35.(1)

求椭圆C的方程；(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被椭圆C所截线段的中点的坐标．解：(1)将(0，4)代入椭圆C的方程得16b2＝1，∴b＝4.又e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，即1－16a2＝925，∴a＝5，∴椭圆C的方程为x225＋y216

＝1.(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与椭圆C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程y＝45(x－3)代入椭圆C的方程，得x225＋（x－3）225＝1，即x2－3x－8＝0，

则x1＋x2＝3，∴x1＋x22＝32，y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即所截线段中点的坐标为32，－65.10.如图，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一

点B.(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且AF2―→＝2F2B―→，求椭圆的方程．解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.所以a＝2c，e＝ca＝22.(2)由题知

A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由AF2―→＝2F2B―→，解得x＝32，y＝－b2.代入x2a2＋y2b2＝1，得94a2＋b24b2＝1，即94a2＋14＝1，解得a2＝3，b2＝2，所以椭圆方程为x23＋y22＝1.[B级综合运用]11．已知椭圆C：

x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)及点B(0，a)，过点B与椭圆相切的直线交x轴的负半轴于点A，F为椭圆的右焦点，则∠ABF等于()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：选B由题意知，切线的斜率存在

，设切线方程为y＝kx＋a(k>0)，与椭圆方程联立得y＝kx＋a，x2a2＋y2b2＝1，消去y，整理得(b2＋a2k2)x2＋2a3kx＋a4－a2b2＝0，由Δ＝4a6k2－4(b2＋a2k2)·(a4－a2b2)＝0，得k＝ca，从而y＝cax＋a.因为直线交x轴的负半轴于点

A，所以A－a2c，0.又F(c，0)，所以BA―→＝－a2c，－a，BF―→＝(c，－a)，则BA―→·BF―→＝0，故∠ABF＝90°，故选B.12．(多选)1970年4月24日，我国发射了自己

的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长

、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是()A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小解析：选ABD

根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；由卫星的向径在相同的时间内扫过的面积相等，当卫星在左半椭圆弧运行时，由面积守恒规律知时间更长，B正确；a－ca＋c＝1－e1＋e＝21＋e－1，当比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律可知，卫星在近地

点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．故选A、B、D.13．已知动点P(x，y)在椭圆x225＋y216＝1上，若A点坐标为(3，0)，|AM―→|＝1，且PM―→·AM―→＝0，则|PM―→|的最小值是________．解析：易知点A(3，0)是

椭圆的右焦点．∵PM―→·AM―→＝0，∴AM―→⊥PM―→.∴|PM―→|2＝|AP―→|2－|AM―→|2＝|AP―→|2－1，∵椭圆右顶点到右焦点A的距离最小，故|AP―→|min＝2，∴|PM―→|min＝3.答案：314．在平面直角坐标系O

xy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝22，且点P(2，1)在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；(2)斜率为－1的直线与椭圆C相交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．解：(1)由题意得e＝ca＝22，4a2＋1b2＝1，a2＝b2＋c2，∴a＝6，b＝3，∴

椭圆C的方程为x26＋y23＝1.(2)设直线AB的方程为y＝－x＋m，联立y＝－x＋m，x26＋y23＝1，得3x2－4mx＋2m2－6＝0，∴Δ>0，x1＋x2＝4m3，x1x2＝2m2－63，∴|AB|＝1＋（－1）2|x1－x2|＝4

39－m2，原点到直线的距离d＝|m|2.∴S△OAB＝12×439－m2·|m|2＝23（9－m2）m2≤23·9－m2＋m22＝322.当且仅当m＝±322时，等号成立，∴△AOB面积的最大值为322.[C级拓

展探究]15．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A，B分别是它的左、右焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A

沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A时，求小球经过的路程．解：(1)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；(2)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点

A时，小球经过的路程是2(a＋c)；(3)静放在点A的小球(小球的半径不计)从点A沿直线出发，经椭圆壁非左、右顶点反弹后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.综上可知，三种情况均有可能．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiang

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