【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.3.1　空间直角坐标系含解析.docx，共(6)页，130.837 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(六)空间直角坐标系[A级基础巩固]1．点A(－2，3，－4)关于坐标平面Ozx对称点A′的坐标为()A．(－2，－3，－4)B．(2，－3，4)C．(－2，－3，4)D．(2，3，－4)解析：选A点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得A′的

坐标为(－2，－3，－4)．2．已知i，j，k分别是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴的正方向上的单位向量，且OB―→＝－i＋j－k，则点B的坐标是()A．(－1，1，－1)B．(－i，j，－k)C．(1，－1，－1)D．不确定解析：选A由空间直角坐

标系中点的坐标的定义可知点B的坐标为(－1，1，－1)．3.如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，点P是B1C1的中点，则点P的坐标为()A．(3，5，4)B.32，3，4C.32，5，4D.5，32，2解析：选C由题图知，点P在x轴、

y轴、z轴上的射影分别为P1，P2，P3，它们在坐标轴上的坐标分别是32，5，4，故点P的坐标是32，5，4.4．已知OA―→＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则点

A的坐标为()A．(12，14，10)B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析：选AOA―→＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)＝12i＋14j＋10k＝(12，14，10)．5．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{AB―→，AD―→，AA

1―→}下的坐标为(2，1，－3)，则向量a在基底{DA―→，DC―→，DD1―→}下的坐标为()A．(2，1，－3)B．(－1，2，－3)C．(1，－8，9)D．(－1，8，－9)解析：选B∵a＝2AB―→＋AD―→－3AA1―→＝2DC―→－DA―→－3DD1―→＝－DA―→＋2

DC―→－3DD1―→，∴向量a在基底{DA―→，DC―→，DD1―→}下的坐标为(－1，2，－3)，故选B.6．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a＋b的坐标是________．解析：a＋b＝3i－2j＋2k＝(3，－2，2

)．答案：(3，－2，2)7.三棱锥P-ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分别是PC，AC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则向量MN―→的坐标为________．解析：因为AB＝BC＝PB＝1，所以可设BA

―→＝i，BC―→＝j，BP―→＝k，所以MN―→＝MB―→＋BN―→＝－12(BP―→＋BC―→)＋12(BA―→＋BC―→)＝12BA―→－12BP―→＝12i－12k＝12，0，－12.答案：12，0，－128．在长方体ABCD-A1B1C1

D1中，若AB―→＝3i，AD―→＝2j，AA1―→＝5k，则向量AC1―→在基底{i，j，k}下的坐标是________．解析：AC1―→＝AB―→＋BC―→＋CC1―→＝AB―→＋AD―→＋AA1―

→＝3i＋2j＋5k，∴向量AC1―→在基底{i，j，k}下的坐标是(3，2，5)．答案：(3，2，5)9.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体，E，F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB1―→，DE

―→，DF―→的坐标．解：DB1―→＝DA―→＋DC―→＋DD1―→＝2i＋2j＋2k＝(2，2，2)．DE―→＝DA―→＋DC―→＋12DD1―→＝2i＋2j＋k＝(2，2，1)．DF―→＝12DC―→＝j

＝(0，1，0)．10．已知PA垂直于正方形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，试建立适当的空间直角坐标系并写出向量MN―→，DC―→的坐标．解：如图所示，因为PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，所以可设DA―→＝i，AB

―→＝j，AP―→＝k，以{i，j，k}为基底建立空间直角坐标系Axyz.因为MN―→＝MA―→＋AP―→＋PN―→＝MA―→＋AP―→＋12PC―→＝MA―→＋AP―→＋12(PA―→＋AD―→＋DC―→)＝－12j＋k＋12(－k－i＋j)＝－12i＋12k，DC―→＝

AB―→＝j，所以MN―→＝－12，0，12，DC―→＝(0，1，0)．[B级综合运用]11．若p＝xa＋yb＋zc，则称(x，y，z)为p在基底{a，b，c}下的坐标．若一向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(1，2，3)，则向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为()A.

12，32，3B.32，－12，3C.3，－12，32D.－12，32，3解析：选B设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝a＋2b＋3c＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，所以x＋y＝1，x－

y＝2，z＝3，解得x＝32，y＝－12，z＝3，故p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为32，－12，3.12．已知a＝(3，4，5)，e1＝(2，－1，1)，e2＝(1，1，－1)，e3＝(0，3，

3)，若a＝xe1＋ye2＋ze3，则x＝________，y＝________，z＝________．解析：由题意设a＝3i＋4j＋5k，e1＝2i－j＋k，e2＝i＋j－k，e3＝3j＋3k，又a＝xe1＋ye2＋ze3，所以3i＋4j＋5

k＝x(2i－j＋k)＋y(i＋j－k)＋z(3j＋3k)＝(2x＋y)i＋(－x＋y＋3z)j＋(x－y＋3z)k，所以2x＋y＝3，－x＋y＋3z＝4，x－y＋3z＝5，解得x＝

76，y＝23，z＝32.答案：76233213.如图所示，正四面体ABCD的棱长为1，G是△BCD的中心，建立如图所示的空间直角坐标系，则AG―→的坐标为________，AB―→的坐标为_______

_．解析：设{i，j，k}为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底，由题意可知，BG＝23BE＝23×32＝33，所以AG＝AB2－BG2＝63，所以AG―→＝－63k＝0，0，－63，AB―→＝GB―→－GA―→＝－33j－63k＝

0，－33，－63.答案：0，0，－630，－33，－6314.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别在线段A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC，以点D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图

所示)．(1)试求向量EF―→的坐标；(2)求证：EF∥BD1.解：(1)∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，根据题意知{DA―→，DC―→，DD1―→}为单位正交基底，设DA―→＝i，DC

―→＝j，DD1―→＝k，∴向量EF―→可用单位正交基底{i，j，k}表示．∵EF―→＝ED―→＋DC―→＋CF―→，ED―→与DA1―→共线，CF―→与CA―→共线，∴设ED―→＝λDA1―→，CF―→＝μCA―→，则EF―→＝λDA1―→＋DC―→＋μCA―→＝λ(DA―→

＋DD1―→)＋DC―→＋μ(DA―→－DC―→)＝(λ＋μ)DA―→＋(1－μ)DC―→＋λDD1―→＝(λ＋μ)i＋(1－μ)j＋λk，∵EF⊥A1D，EF⊥AC，即EF―→⊥A1D―→，EF―→⊥AC―→，∴EF―→·A1D―→＝0，EF―→·AC―→＝0，又A1D―→＝－i－k，AC―→＝

－i＋j，∴[（λ＋μ）i＋（1－μ）j＋λk]·（－i－k）＝0，[（λ＋μ）i＋（1－μ）j＋λk]·（－i＋j）＝0，整理得－（λ＋μ）－λ＝0，－（λ＋μ）＋1－μ＝0，即2λ＋μ＝0，λ＋2μ＝1，解得λ＝－

13，μ＝23.∴EF―→＝13i＋13j－13k，∴EF―→的坐标是13，13，－13.(2)证明：∵BD1―→＝BD―→＋DD1―→＝－i－j＋k，又由(1)知EF―→＝13i＋13j－13k，∴EF―→＝－13BD1―→，即EF―→∥BD

1―→，又EF与BD1无公共点，∴EF∥BD1.[C级拓展探究]15.如图，在空间直角坐标系中，BC＝2，原点O是BC的中点，点D在平面Oyz内，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，求点D的坐标．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E.在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，BC＝2

，得|BD―→|＝1，|CD―→|＝3，∴|DE―→|＝|CD―→|sin30°＝32，|OE―→|＝|OB―→|－|BE―→|＝|OB―→|－|BD―→|cos60°＝1－12＝12，∴点D的坐标为0，－12，32.获得更多资源请扫码加入享学资源网微

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