【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.2 第一课时　空间向量基本定理含解析.docx，共(7)页，149.128 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(四)空间向量基本定理[A级基础巩固]1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可

以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇒/q，q⇒p.2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝OA―→＋OB―→＋OC―→，向量b＝OA―→＋OB―→－OC―→，则与a，b不能构成空间基底的是()A.

OA―→B.OB―→C.OC―→D.OA―→或OB―→解析：选C∵OC―→＝12(a－b)，∴OC―→与a，b共面，∴a，b，OC―→不能构成空间基底．3．若向量MA―→，MB―→，MC―→的起点M与终点A，B，C互不重合且无三点共线

，且满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MA―→，MB―→，MC―→成为空间一个基底的关系的是()A.OM―→＝13OA―→＋13OB―→＋13OC―→B.MA―→≠MB―→＋MC―→C.OM―→＝OA―→＋OB―→＋OC―→D.MA―→＝2MB―→－MC―→

解析：选CA中，因为13＋13＋13＝1，所以M，A，B，C四点共面；B中，MA―→≠MB―→＋MC―→，但可能MA―→＝λMB―→＋μMC―→，所以M，A，B，C四点可能共面；D中，因为MA―→＝2MB―→－MC―

→，所以M，A，B，C四点共面．故选C.4．在空间四点O，A，B，C中，若{OA―→，OB―→，OC―→}是空间的一个基底，则下列命题不正确的是()A．O，A，B，C四点不共线B．O，A，B，C四点共面，但不共线C．O，A，B，C四点不共面D．O，A，B，C四点

中任意三点不共线解析：选B选项A对应的命题是正确的，若四点共线，则向量OA―→，OB―→，OC―→共面，构不成基底；选项B对应的命题是错误的，若四点共面，则OA―→，OB―→，OC―→共面，构不成基底；选项C对应的命题是正确的，若四点共面，则OA―→，OB―→，OC―→构不成基底；选项D对应的命题

是正确的，若有三点共线，则这四点共面，向量OA―→，OB―→，OC―→构不成基底．5．在四面体OABC中，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若OG―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→，则(x，y，z)为()A.14，14，14B.34，34

，34C.13，13，13D.23，23，23解析：选A如图所示，连接AG1交BC于点E，则E为BC中点，AE―→＝12(AB―→＋AC―→)＝12(OB―→－2OA―→＋OC―→)，AG1―→＝23AE―→＝13(OB―→－2OA―→＋OC―→)．因为OG―→＝3GG1―→＝3

(OG1―→－OG―→)，所以OG＝34OG1.则OG―→＝34OG1―→＝34(OA―→＋AG1―→)＝34OA―→＋13OB―→－23OA―→＋13OC―→＝14OA―→＋14OB―→＋14OC―→.6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x

，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．解析：若x≠0，则a＝－yxb－zxc，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝07.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2C

D，点O为空间任一点，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，则向量OD―→用a，b，c表示为________．解析：∵AB―→＝－2CD―→，∴OB―→－OA―→＝－2(OD―→－OC―→)，∴b－a＝－2

(OD―→－c)，∴OD―→＝12a－12b＋c.答案：12a－12b＋c8.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，AM―→＝12MC1―→，点N为B1B的中点，则|MN―→|等于________．解析

：∵MN―→＝AN―→－AM―→＝AN―→－13AC1―→＝AB―→＋BN―→－13(AB―→＋AD―→＋AA1―→)＝23AB―→＋16AA1―→－13AD―→，∴|MN―→|＝23AB―→＋16AA1―→－13AD―→2＝

49|AB―→|2＋136|AA1―→|2＋19|AD―→|2＝216a.答案：216a9．已知平行六面体OABC-O′A′B′C′中，OA―→＝a，OC―→＝b，OO′―→＝c.(1)用a，b，c表示向量AC′―→；(2)设G，H分别

是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示GH―→.解：(1)AC′―→＝AC―→＋CC′―→＝OC―→－OA―→＋OO′―→＝b－a＋c.(2)GH―→＝GO―→＋OH―→＝－OG―→＋O

H―→＝－12(OB―→＋OC′―→)＋12(OB′―→＋OO′―→)＝－12(a＋b＋c＋b)＋12(a＋b＋c＋c)＝12(c－b)．10．如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB―→＝

a，AD―→＝b，AA1―→＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．(1)用基底{a，b，c}表示向量DB1―→，BE―→，AF―→；(2)化简DD1―→＋DB―→＋CD―→，并在图中标出化简结果

．解：(1)DB1―→＝DC―→＋CB1―→＝DC―→＋BB1―→－BC―→＝a－b＋c.BE―→＝BA―→＋AA1―→＋A1E―→＝－a＋12b＋c.AF―→＝AB―→＋BF―→＝a＋12(b＋c)＝a＋12b＋12c.(2)DD1―→＋DB―→＋CD―→＝DD1―→＋

(CD―→＋DB―→)＝DD1―→＋CB―→＝DD1―→＋D1A1―→＝DA1―→.如图，连接DA1，则DA1―→即为所求．[B级综合运用]11．已知空间四边形OABC中，M在AO上，满足AMMO＝12，N是

BC的中点，且AO―→＝a，AB―→＝b，AC―→＝c，用a，b，c表示向量MN―→为()A.13a＋12b＋12cB.13a＋12b－12cC．－13a＋12b＋12cD.13a－12b＋12c解析：选C因为空间四

边形OABC中，M在AO上，满足AMMO＝12，N是BC的中点，且AO―→＝a，AB―→＝b，AC―→＝c，所以MN―→＝MA―→＋AB―→＋12BC―→＝MA―→＋AB―→＋12(AC―→－AB―→)＝MA―→＋

12AB―→＋12AC―→＝－13a＋12b＋12c.故选C.12．(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若点F是侧面CDD1C1的中心，且AF―→＝AD―→＋mAB―→－nAA1―→，则()A．m＝12B．m＝－12C．n＝12D．n＝－12解析：选AD根据空间向量基本定

理，有AF―→＝AD―→＋12AB―→＋12AA1―→，所以m＝12，－n＝12，即n＝－12.13.如图所示，四面体OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，D为BC的中点，则OG―→＝________，GH―→＝________

．解析：因为OG―→＝OA―→＋AG―→，而AG―→＝23AD―→，AD―→＝OD―→－OA―→，又D为BC的中点，所以OD―→＝12(OB―→＋OC―→)，所以OG―→＝OA―→＋23AD―→＝OA―→＋23(OD―→－OA―→)＝

OA―→＋23×12(OB―→＋OC―→)－23OA―→＝13(OA―→＋OB―→＋OC―→)＝13(a＋b＋c)．又因为GH―→＝OH―→－OG―→，OH―→＝23OD―→＝23×12(OB―→＋OC―

→)＝13(b＋c)，所以GH―→＝13(b＋c)－13(a＋b＋c)＝－13a.所以OG―→＝13(a＋b＋c)，GH―→＝－13a.答案：13(a＋b＋c)－13a14.如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N

.设AB―→＝a，AC―→＝b，AA1―→＝c.(1)试用a，b，c表示向量MN―→；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．解：(1)MN―→＝MA1―→＋A1B1―→＋B1N―→＝13BA1―→＋AB―→＋13B1C1―→＝13(A

A1―→－AB―→)＋AB―→＋13(B1A1―→＋A1C1―→)＝13(c－a)＋a＋13(b－a)＝13a＋13b＋13c.(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋

1＋0＋2×1×1×12＋2×1×1×12＝5，∴|a＋b＋c|＝5，∴|MN―→|＝13|a＋b＋c|＝53，即MN＝53.[C级拓展探究]15．如果三个向量a，b，c不共面，求证：对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y

，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.证明：如图，已知a，b，c不共面，过点O作OA―→＝a，OB―→＝b，OC―→＝c，OP―→＝p.过点P作直线PP′∥OC，交平面OAB于点P′，在平面OAB内过点P′作P′A′∥OB，P′B′∥OA，分别与直线O

A，OB交于点A′，B′，连接OP′.于是存在唯一的三个实数x，y，z，使OA′―→＝xOA―→＝xa，OB′―→＝yOB―→＝yb，P′P―→＝zOC―→＝zc，则OP―→＝OP′―→＋P′P―→＝OA′―→＋OB′―→＋P′P―→＝xOA―→＋yOB―→＋zOC―→，所以p＝x

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