【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.4.1 第三课时　空间中直线、平面的垂直含解析.docx，共(8)页，210.573 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-caa1f3ec9c24dc42b558607547d5ea89.html

以下为本文档部分文字说明：

课时跟踪检测(十)空间中直线、平面的垂直[A级基础巩固]1．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AB―→＝(2，－1，－4)，AD―→＝(4，2，0)，AP―→＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是()A．相交B．垂直C．不垂直D．成60°角解析：

选B因为AP―→·AB―→＝0，AP―→·AD―→＝0，AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD.2．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()A．ACB．BDC．A1DD．A1A解析：选B建立如图所示的空间直角坐标系

Dxyz.设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E12，12，1，∴CE―→＝12，－12，1

，AC―→＝(－1，1，0)，BD―→＝(－1，－1，0)，A1D―→＝(－1，0，－1)，A1A―→＝(0，0，－1)．∵CE―→·BD―→＝(－1)×12＋(－1)×－12＋0×1＝0.∴CE⊥BD.3．已知AB―→＝(1，5，－2)，BC―→＝(3，1，z)，若AB―→⊥BC―→

，BP―→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为()A.337，－157，4B.407，－157，4C.407，－2，4D．4，407，－15解析：选B∵AB―→⊥BC―→，∴AB―

→·BC―→＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，又BP⊥平面ABC，∴BP―→⊥AB―→，BP―→⊥BC―→，则x－1＋5y＋6＝0，3（x－1）＋y－12＝0，解得x＝407，y＝－157.4.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正

方形，E为CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AFFD＝()A.12B．1C．2D．3解析：选B建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E12，1，0，P(0，

0，a)．设F(0，y，0)，则BF―→＝(－1，y，0)，PE―→＝12，1，－a.因为BF⊥PE，即BF―→·PE―→＝(－1)×12＋y＝0，解得y＝12，即F0，12，0是AD的中点，故AFFD＝1.5．(多选)下列命题是

真命题的有()A．直线l的方向向量为a＝(1，－1，2)，直线m的方向向量为b＝2，1，－12，则l与m垂直B．直线l的方向向量为a＝(0，1，－1)，平面α的法向量为n＝(1，－1，－1)，则l⊥αC．平面α，β的法向

量分别为n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，则α∥βD．平面α经过三点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，则u＋t＝1解析：选AD∵a＝(1，－1，2)，b＝2，1，－12，∴a·b

＝1×2－1×1＋2×－12＝0，则a⊥b，∴直线l与m垂直，故A正确；a＝(0，1，－1)，n＝(1，－1，－1)，则a·n＝0×1＋1×(－1)＋(－1)×(－1)＝0，则a⊥n，∴l∥α或l⊂α，故B错误；∵n1＝(0，1，3)，n2＝(1，0，2)，∴n1与n2不共线，∴α∥

β不成立，故C错误；∵点A(1，0，－1)，B(0，1，0)，C(－1，2，0)，∴AB―→＝(－1，1，1)，BC―→＝(－1，1，0)．∵向量n＝(1，u，t)是平面α的法向量，∴n·AB―→＝0，n·BC―→＝0，即

－1＋u＋t＝0，－1＋u＝0，解得u＋t＝1，故D正确．6．已知u＝(a＋b，a－b，2)是直线l的一个方向向量，n＝(2，3，1)是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________．解析：∵l⊥α，∴u∥n，∴a＋b2＝a－b3＝

21，∴a＝5，b＝－1.答案：5，－17.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是棱D1D上一点，N是A1B1的中点，则当DMDD1＝________时，ON⊥AM.解析：以A为原点，分别以AB―→，AD―→，AA1―→所在直线为x轴

、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，设正方体的棱长为1，则A(0，0，0)，O12，12，0，N12，0，1.设M(0，1，a)(0≤a≤1)，则AM―→·ON―→＝(0，1，a)·0，－12，1＝－12＋a＝0，∴a＝12.

∴当DMDD1＝12时，ON与AM垂直．答案：128．已知空间三点A(0，0，1)，B(－1，1，1)，C(1，2，－3)，若直线AB上一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．解析：设M(x，y，z)，

则由已知，得AM―→＝λAB―→＝λ(－1，1，0)＝(－λ，λ，0)．又AM―→＝(x，y，z－1)，∴x＝－λ，y＝λ，z＝1.∴M(－λ，λ，1)．又CM―→·AB―→＝0，CM―→＝(－λ－1，λ－2，4)

，AB―→＝(－1，1，0)，∴(－λ－1，λ－2，4)·(－1，1，0)＝0，∴(λ＋1)＋(λ－2)＝0，λ＝12.∴M点坐标为－12，12，1.答案：－12，12，19．如图，四棱柱ABCD-A1B1

C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝2.求证：A1C⊥平面BB1D1D.证明：由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB＝AA1

＝2，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)，A1(0，0，1)．由A1B1―→＝AB―→，易得B1(－1，1，1)．∵A1C―→＝(－1，0，－1)，BD―→

＝(0，－2，0)，BB1―→＝(－1，0，1)，∴A1C―→·BD―→＝0，A1C―→·BB1―→＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.10.如图，在三棱锥P-ABC中，PA，PB，PC三条侧棱

两两互相垂直且相等，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面GEF⊥平面PBC.证明：如图，以三棱锥的顶点P为坐标原点，以PA，PB，PC所在直线分别为x轴、y

轴、z轴建立空间直角坐标系．设PA＝PB＝PC＝3，则P(0，0，0)，A(3，0，0)，B(0，3，0)，C(0，0，3)，E(0，2，1)，F(0，1，0)，G(1，1，0)．于是PA―→＝(3，0，0)，FG―→＝(1，0，0)，故PA―→＝3FG―→，∴PA∥FG.∵AP⊥平面PB

C，∴FG⊥平面PBC.又∵FG⊂平面GEF，∴平面GEF⊥平面PBC.[B级综合运用]11．(多选)(2021·全国统一考试模拟演练)如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中()A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE解

析：选BCD将正方体的平面展开图复原为正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1.则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，E(1，0，1)，F(1，1，1)，G(0，1

，1)，H(0，0，1)．AE―→＝(0，0，1)，CD―→＝(0，－1，0)，所以AE―→≠λCD―→，故AE不平行CD，A错误；CH―→＝(0，－1，1)，BE―→＝(0，－1，1)，所以CH―→＝BE―→，故CH∥BE，B正确；DG―→＝(0，1，1)，BH―→＝(－1，

－1，1)，所以DG―→·BH―→＝0，故DG⊥BH，C正确；BG―→＝(－1，0，1)，DE―→＝(1，0，1)，所以BG―→·DE―→＝0，故BG⊥BE，故D正确．12．(多选)如图，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面

后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是()A.AB―→·AC―→＝0B．AB⊥DCC．BD⊥ACD．平面ADC的法向量和平面ABC的法向量互相垂直解析：选BC建立以D为坐标原点，分别以DB，DC，DA所在直线为x轴、y轴、

z轴的空间直角坐标系(图略)，设等腰直角三角形ABC的斜边BC＝2，则B(1，0，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A(0，0，1)，所以AB―→＝(1，0，－1)，AC―→＝(0，1，－1)，DC―→＝(0

，1，0)，BD―→＝(－1，0，0)，从而有AB―→·AC―→＝0＋0＋1＝1，故A错误；AB―→·DC―→＝0，故B正确；BD―→·AC―→＝0，故C正确；易知平面ADC的一个法向量为向量BD―→＝(－1，0，0)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，由AB―→·n

＝x－z＝0，AC―→·n＝y－z＝0，取y＝1，则x＝1，z＝1，故n＝(1，1，1)，BD―→·n＝－1，故D错误．13．在直角坐标系Oxyz中，已知点P(2cosx＋1，2cos2x＋2，0)和点Q(cosx，－1

，3)，其中x∈[0，π]．若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由题意得OP―→⊥OQ―→.∴cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.∴2cos2x－cosx＝0.∴cosx＝0或cosx＝12.又x∈[0，π]，∴x＝π2或x＝π3.答案：π2或π3

14．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证：A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．解：(1)证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体棱

长为a，则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，C1(0，a，a)．设E(0，a，b)(0≤b≤a)，A1E―→＝(－a，a，b－a)，BD―→＝(－a，－a，0)，A1E―→·BD―→＝a2－a2＋(b－a)·0＝0，∴A1E―→⊥BD―

→，即A1E⊥BD.(2)设平面A1BD，平面EBD的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．∵DB―→＝(a，a，0)，DA1―→＝(a，0，a)，DE―→＝(0，a，b)，∴a

x1＋ay1＝0，ax1＋az1＝0，ax2＋ay2＝0，ay2＋bz2＝0.取x1＝x2＝1，得n1＝(1，－1，－1)，n2＝1，－1，ab，由平面A1BD⊥平面EBD，得n1⊥n2

，∴2－ab＝0，即b＝a2.∴当E为CC1的中点时，平面A1BD⊥平面EBD.[C级拓展探究]15．在长方体ABCD-A′B′C′D′中，已知AB＝1，AD＝2，AA′＝3.(1)在四边形BCC′B′内是否存在一点N，使得AN⊥平面A′BD?(2)求证：AC′与平面A′BD的交点恰为线

段AC′的三等分点．解：(1)以点A为原点，AB，AD，AA′所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(0，2，0)，A′(0，0，3)．故BD―→＝(－1，2，0)

，BA′―→＝(－1，0，3)．设N(1，y，z)是四边形BCC′B′内一点，则0≤y≤2，0≤z≤3，AN―→＝(1，y，z)．令AN―→·BD―→＝0，AN―→·BA′―→＝0，得－1＋2y＝0，－1＋3z＝0.解得y＝12，z＝13.故在四边形BCC′B′内

存在一点N1，12，13，使得AN⊥平面A′BD.(2)证明：由(1)可知AN―→＝1，12，13是平面A′BD的一个法向量，又B(1，0，0)，所以平面A′BD可用下式表示1，12，13·(x－1，

y－0，z－0)＝0.化简，得(6，3，2)·(x－1，y，z)＝0，即6x＋3y＋2z＝6.①设点E为线段AC′的一个三等分点，且满足AE―→＝13AC′―→.由AC′―→＝(1，2，3)，可知AE―→＝13，23，1，即点E的坐标为13，23，1.

代入①检验可知，点E的坐标满足平面A′BD的表达式①.所以AC′的三等分点E在平面A′BD内，即AC′与平面A′BD的交点是线段AC′的三等分点．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com