【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.3.2　空间向量运算的坐标表示含解析.docx，共(7)页，123.441 KB，由管理员店铺上传

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课时跟踪检测(七)空间向量运算的坐标表示[A级基础巩固]1．已知A(3，－2，4)，B(0，5，－1)，若OC―→＝23AB―→(O为坐标原点)，则C的坐标是()A.2，－143，103B.－2，143，－103C.2，－143，－103D.－2，－143，

103解析：选B∵AB―→＝(－3，7，－5)，∴OC―→＝23(－3，7，－5)＝－2，143，－103.∴点C的坐标为－2，143，－103.故选B.2．(多选)若向量a＝(1，2，0)，b＝(－

2，0，1)，则()A．cos〈a，b〉＝－25B．a⊥bC．a∥bD．|a|＝|b|解析：选AD∵向量a＝(1，2，0)，b＝(－2，0，1)，∴|a|＝5，|b|＝5，a·b＝1×(－2)＋2×0＋0×1＝－2，cos〈a，b〉＝a·b|a||b|＝－25＝－25.故A、D正确，B、C不正

确．3．已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则实数k的值为()A.25B.15C.35D.75解析：选D由已知得ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，2a－b＝(

3，2，－2)．由ka＋b与2a－b互相垂直，得(k－1，k，2)·(3，2，－2)＝0，即5k－7＝0，解得k＝75，故选D.4．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则()A．x＝13，y＝1B．x＝12，y＝－4C．x＝2，y＝－14D．x＝1，y＝

－1解析：选B由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴2x＋1＝λ（2－x），4＝3λ，4－y＝λ（－2y－2），解得λ＝43，x

＝12，y＝－4.5．在空间直角坐标系中，已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC一定是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：选C∵AB―→＝(3，4，－8)，AC―

→＝(5，1，－7)，BC―→＝(2，－3，1)，∴|AB―→|＝32＋42＋（－8）2＝89，|AC―→|＝52＋12＋（－7）2＝75，|BC―→|＝22＋（－3）2＋1＝14，∴|AC―→|2＋|BC―→|2＝|AB―→|2，∴△ABC一定为直角三角形．6．已知M1(2，5，－3)，

M2(3，－2，－5)，O为坐标原点，设在线段M1M2上的一点M满足M1M2―→＝4MM2―→，则向量OM―→的坐标为________．解析：设M(x，y，z)，则M1M2―→＝(1，－7，－2)，MM2―→＝(3－x，－2－y，－5－z)．又

∵M1M2―→＝4MM2―→，∴1＝4（3－x），－7＝4（－2－y），－2＝4（－5－z），∴x＝114，y＝－14，z＝－92.答案：114，－14，－927．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是________．解析：

由已知，得b－a＝(2，t，t)－(1－t，1－t，t)＝(1＋t，2t－1，0)．∴|b－a|＝（1＋t）2＋（2t－1）2＋02＝5t2－2t＋2＝5t－152＋95.∴当t＝15时，|b－a|取最小值，最小值为355.答案：3558．已知a＝(2

，－1，3)，b＝(－1，4，2)，c＝(－3，5，λ)．若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________．解析：由题意可知存在实数m，n满足c＝ma＋nb，所以可得方程组－3＝2m－n，5

＝－m＋4n，λ＝3m＋2n，解得m＝－1，n＝1，λ＝－1.答案：－19.如图所示，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，平面PBC⊥底面ABCD.用向量方法证明：(1)PA⊥BD；(2)

平面PAD⊥平面PAB.证明：(1)取BC的中点O，连接PO，如图所示，∵△PBC为等边三角形，∴PO⊥BC.∵平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩底面ABCD＝BC，PO⊂平面PBC，∴PO⊥底面A

BCD.以BC的中点O为坐标原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．不妨设CD＝1，则AB＝BC＝2，PO＝3，∴A(1，－2，0)，B(1，0，0)，D(－1，－1，0)，P(0，0，3)，∴BD―→＝(－2，－1，0)

，PA―→＝(1，－2，－3)．∵BD―→·PA―→＝(－2)×1＋(－1)×(－2)＋0×(－3)＝0，∴PA―→⊥BD―→，∴PA⊥BD.(2)取PA的中点M，连接DM，如图所示，则M12，－1，32.∵DM―→＝32，0，32，PB―→＝(1，0，－3)，∴DM―→·

PB―→＝32×1＋0×0＋32×(－3)＝0，∴DM―→⊥PB―→，即DM⊥PB.∵DM―→·PA―→＝32×1＋0×(－2)＋32×(－3)＝0，∴DM―→⊥PA―→，即DM⊥PA.又∵PA∩PB＝P，PA⊂平面PAB，PB⊂平面P

AB，∴DM⊥平面PAB.∵DM⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.10.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)求BP的长；(2

)求直线PA与BC所成角的余弦值．解：(1)如图，建立空间直角坐标系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得∠PAD为PA与平面ABCD

所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0，0，23)．∴BP＝（0－2）2＋（0－4）2＋（23－0）2＝42.(2)由(1)得，PA―→＝(2，0，－23)，BC―→＝(－2，－3，0)，∴cos〈PA―

→，BC―→〉＝2×（－2）＋0×（－3）＋（－23）×04×13＝－1313，∴直线PA与BC所成角的余弦值为1313.[B级综合运用]11．若a＝(x，2，2)，b＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．解析：a·b＝2x－2×3＋

2×5＝2x＋4，设a，b的夹角为θ，因为θ为钝角，所以cosθ＝a·b|a||b|<0，又|a|>0，|b|>0，所以a·b<0，即2x＋4<0，所以x<－2，又a，b不会反向，所以实数x的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)12．△AB

C的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的中线BM的长为________；高BD的长为________．解析：由题设易知M1，1，12，所以BM―→＝－4，7，－32.故|BM

―→|＝2692，设AD―→＝λAC―→，又AC―→＝(0，4，－3)，则AD―→＝(0，4λ，－3λ)．又∵AB―→＝(4，－5，0)，∴BD―→＝AD―→－AB―→＝(－4，4λ＋5，－3λ)，由AC―→·BD―→＝0，得0＋4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－

45，∴BD―→＝－4，95，125，∴|BD―→|＝5.答案：2692513.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则异面直线ON，AM所成角的大小为________，线段MN的长度为________

．解析：以A为原点，分别以AB―→，AD―→，AA1―→所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0，0，0)，M0，1，12，O12，12，0，N12，0，1.AM―→·ON―→＝0，1，12·

0，－12，1＝0，∴异面直线ON与AM所成角的大小为90°.又MN―→＝12，－1，12，∴MN＝|MN―→|＝122＋（－1）2＋122＝62.答案：90°6214．已知空间三点A(1，2，3)，B(

2，－1，5)，C(3，2，－5)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中AB边上的高．解：(1)由已知，得AB―→＝(1，－3，2)，AC―→＝(2，0，－8)，∴|AB―→|＝1＋9＋4＝14，|AC―→|＝4＋0＋64＝217，AB―→·

AC―→＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14.∴cos〈AB―→，AC―→〉＝AB―→·AC―→|AB―→|·|AC―→|＝－14217，∴sin〈AB―→，AC―→〉＝1－1468＝2734.∴S△ABC＝12|AB―→|·|AC―→|

·sin〈AB―→，AC―→〉＝12×14×217×2734＝321.(2)设AB边上的高为CD，则|CD―→|＝2S△ABC|AB―→|＝36，即△ABC中AB边上的高为36.[C级拓展探究]15.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，

CD＝2，∠CDA＝45°.设AB＝AP，在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？并说明理由．解：∵PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD.又AB⊥AD，∴AP，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD.在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.设AB＝AP＝t，则P(0，0，t)．由AB＋AD＝4，得AD＝4－t，∴E(0，3

－t，0)，C(1，3－t，0)，D(0，4－t，0)．假设在线段AD上存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等，设G(0，m，0)(其中0≤m≤4－t)，则GC―→＝(1，3－t－m，0)，GD―→＝(0，4－t－m，0)，GP―→＝(0，

－m，t)．由|GC―→|＝|GD―→|，得12＋(3－t－m)2＝(4－t－m)2，即t＝3－m.①由|GD―→|＝|GP―→|，得(4－t－m)2＝m2＋t2.②由①②消去t，化简得m2－3m＋4＝

0.③由于方程③没有实数根，∴在线段AD上不存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com