【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.4.1 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示含解析.docx，共(6)页，115.232 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(八)空间中点、直线和平面的向量表示[A级基础巩固]1．若A(0，2，1)，B(3，2，－1)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(－3，0，－6)B．(9，0，－6)C．(－2，0，2)D．(－2，1，3)解析：选BAB―→＝(3，0，－2)＝13(

9，0，－6)，故选B.2．(多选)若PA―→是平面ABCD的法向量，且四边形ABCD为菱形，则以下各式成立的是()A.PA―→⊥AB―→B.PA―→⊥CD―→C.PC―→⊥BD―→D.PC―→⊥AB―→解析：选ABC由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面

内的线AB，CD都垂直，A、B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．3．已知平面内的两个向量a＝(2，3，1)，b＝(5，6，4)，则该平面的一个法向量为()A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)C．(－2，1，1)D．(－1，

1，－1)解析：选C显然a与b不平行，设平面的法向量为n＝(x，y，z)，则有a·n＝0，b·n＝0，即2x＋3y＋z＝0，5x＋6y＋4z＝0.取z＝1，得x＝－2，y＝1.∴n＝(－2，1，1)．4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2

)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列各点中，在平面α内的是()A．P(1，－1，1)B．Q1，3，32C．M1，－3，32D．N－1，3，－32解析：选B对于B，AQ―→＝－1，

4，－12，则n·AQ―→＝(3，1，2)·－1，4，－12＝0，∴n⊥AQ―→，则点Q1，3，32在平面α内．5．(多选)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则不可能使l∥α的是()A．m＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)B．m＝(1，3，

5)，n＝(1，0，1)C．m＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)D．m＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)解析：选ABC若l∥α，则需m⊥n，即m·n＝0，根据选择项验证可知：A中，m·n＝－2；B中，m·n＝6；C中

，m·n＝－1；D中，m·n＝0，故选A、B、C.6．已知直线l1的一个方向向量为(－5，3，2)，另一个方向向量为(x，y，8)，则x＝________，y＝________．解析：∵直线的方向向量平行，∴x－5＝y3＝82，∴x＝－20，y＝12.答案：－20127.棱长为1的正

方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示，则直线DB1的一个方向向量为________．解析：由题意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以DB1―→＝(1，1，1)，即直线DB1的一个方向向量是(1，1，1)．答案：

(1，1，1)(答案不唯一)8．已知向量b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，若在直线AB上，存在一点E，使得OE―→⊥b(O为原点)，则E点的坐标为________．解析

：OE―→＝OA―→＋AE―→＝OA―→＋tAB―→＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，因为OE―→⊥b，则OE―→·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝95，因此存在点E，使

得OE―→⊥b，此时E点的坐标为－65，－145，25.答案：－65，－145，259.如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，AB＝2A1B1，B1D＝2DC1，CE＝EC1，设AB―→＝a，AC―→＝b，AA1―→＝c，以{a，b，c}为空间的一个基底，

求直线AE，AD的一个方向向量．解：AD―→＝AA1―→＋A1D―→＝AA1―→＋A1C1―→＋C1D―→＝AA1―→＋A1C1―→＋13C1B1―→＝AA1―→＋12AC―→＋1312AB―→－12AC―→＝16AB―→＋13AC―→＋AA1―→＝16a＋

13b＋c，所以直线AD的一个方向向量是16a＋13b＋c.AE―→＝AC―→＋CE―→＝AC―→＋12CC1―→＝AC―→＋12CA―→＋AA1―→＋12AC―→＝34AC―→＋12AA1―→＝34b＋12c，所以直线AE的一个方向向量为34b＋12c.10.如图，在四棱锥P

-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．解：因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴

建立空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(0，3，0)，E0，32，12，B(1，0，0)，C(1，3，0)，于是AE―→＝0，32，12，AC―→＝(1，3，0)．设n＝(x，y，z)为平面

ACE的法向量，则n·AC―→＝0，n·AE―→＝0，即x＋3y＝0，32y＋12z＝0，所以x＝－3y，z＝－3y，取y＝－1，则x＝z＝3.所以平面ACE的一个法向量为n＝(3，－1，3)．[B级综合运用]1

1．已知A(1，1，0)，B(1，0，1)，C(0，1，1)，则平面ABC的一个单位法向量是()A．(1，1，1)B.33，33，33C.13，13，13D.33，33，－33解析：选B设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，又AB―→＝(0，

－1，1)，BC―→＝(－1，1，0)，则AB―→·n＝－y＋z＝0，BC―→·n＝－x＋y＝0.∴x＝y＝z，又∵单位向量的模为1，故只有B正确．12．(多选)已知平面α内两向量a＝(1，1，1)，b＝(0，

2，－1)，且c＝ma＋nb＋(4，－4，1)，若c为平面α的一个法向量，则()A．m＝－1B．m＝1C．n＝2D．n＝－2解析：选ACc＝ma＋nb＋(4，－4，1)＝(m，m，m)＋(0，2n，－

n)＋(4，－4，1)＝(m＋4，m＋2n－4，m－n＋1)，由c为平面α的一个法向量，得c·a＝0，c·b＝0，得m＋4＋m＋2n－4＋m－n＋1＝0，2（m＋2n－4）－（m－n＋1）＝0，解得m＝－1，n＝

2.13．已知空间直角坐标系Oxyz中的点A(1，1，1)，平面α过点A并且与直线OA垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则直线OA的一个方向向量为________，点P的坐标满足的条件为_______

_．解析：由题意知，OA⊥α，直线OA的一个方向向量为OA―→＝(1，1，1)．因为P∈α，所以OA―→⊥AP―→，所以(1，1，1)·(x－1，y－1，z－1)＝0，所以x＋y＋z＝3.答案：(1，1，1)(答案不唯一

)x＋y＋z＝314．求证：点P在直线AB上的充要条件是对空间任意一个确定的点O，存在实数t使得OP―→＝(1－t)OA―→＋tOB―→.证明：如图，根据直线的向量表示可知点P在直线AB上等价于存在实数t

，使得AP―→＝tAB―→.又因为AP―→＝OP―→－OA―→，AB―→＝OB―→－OA―→，所以OP―→－OA―→＝t(OB―→－OA―→)．整理，得OP―→＝(1－t)OA―→＋tOB―→.[C级拓展探究]15.如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90

°，SA⊥底面ABCD，且SA＝AB＝BC＝1，AD＝12，建立适当的空间直角坐标系，求平面SCD与平面SBA的一个法向量．解：以A为坐标原点，AD，AB，AS所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D12，0

，0，C(1，1，0)，S(0，0，1)，因此DC―→＝12，1，0，DS―→＝－12，0，1.显然向量AD―→＝12，0，0是平面SAB的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面SDC的法向量，则n·DC―→＝12x＋y＝0，n·DS―→＝－12x＋z＝0，即y

＝－12x，z＝12x.取x＝2，则y＝－1，z＝1，故平面SDC的一个法向量为(2，－1，1)．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com