【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 第1章 直线与方程综合能力测试 Word版含解析.docx，共(15)页，1.867 MB，由小赞的店铺上传

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第1章直线与方程综合能力测试第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线20230xy+−=的倾斜角为（）A．π4−B．π4C．π2D．3π4【答案】D【解析】由于直线

20230xy+−=的斜率为1−，倾斜角范围是)0,所以倾斜角为3π4.故选：D2．不论k为任何实数，直线(21)(3)(11)0kxkyk−−+−−=恒过定点，则这个定点的坐标为（）A．(2,3)−B．(2,3)

C．(2,3)−D．(2,3)−−【答案】B【解析】直线(21)(3)(11)0kxkyk−−+−−=即(21)(311)0kxyxy−−+−−+=，根据k的任意性可得2103110xyxy−−=−−+=，解得23xy==，不论k取什么实数时，直线(21)(3)(11

)0kxkyk−++−−=都经过一个定点(2,3)．故选：B3．已知直线1l过()()2,3,4,0AB−，且12ll⊥，则直线2l的斜率为（）A．23B．23−C．12D．12−【答案】B【解析】设直线1l斜率为1k，直线2l斜率为2k，因为直线1l过3(2,)A−，(4,0)B，

所以1l斜率为1303242k−−==−，因为12ll⊥，所以121kk?-，所以223k=−，即直线2l的斜率为23−.故选：B.4．如图，若直线123,,lll的斜率分别为123,,kkk，则（）A．132kkkB．312kkkC．123kkkD．321kkk【

答案】A【解析】解析设直线123,,lll的倾斜角分别为123,,，则由图知321090180，所以123tan0,tantan0，即1230,0kkk．故选：A5．设点3(2,)A−､(3,2)

B−−，若直线l过点(1,1)P且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．34k或4k−B．34k或14k−C．344k−D．344k−【答案】A【解析】如图所示：依题意，312134,2

1314PAPBkk−−−−==−==−−−，要想直线l过点(1,1)P且与线段AB相交，则34k或4k−，故选：A6．已知三条直线为123:240;:60;:240(0)lxyalxyalxyaa−+=−−

=−−=，则下列结论中正确的一个是（）A．三条直线的倾斜角之和为90B．三条直线在y轴上的截距123,,bbb满足1322bbb+=C．三条直线的倾斜角123,,满足1322+=D．三条直线

在x轴上的截距之和为12||a．【答案】C【解析】设三条直线123:240;:60;:240(0)lxyalxyalxyaa−+=−−=−−=的倾斜角123,,，且)123,,0,π则1231112tan,tan1,tan2

2211=−==−==−=−−−，所以232πtantan4=，所以23π2+，且1为锐角，所以三条直线的倾斜角之和大于90，故A不正确；对于直线1:240lxya−+=，令0x=，得纵截距12ba=，同理236,4baba=

−=−，所以1322bbb+，故B不正确；由于131tantan212==，且13,为锐角，所以13π2+=，由2π4=，故1322+=，故C正确；直线123,,lll在x轴上的截距分别为4,6,2aaa−，截距之和为4a，故D不正确.故选：C.7．设直线1:220lx

y−−=与2l关于直线:240lxy−−=对称，则直线2l的方程是（）A．112220xy+−=B．11220xy++=C．5110xy+−=D．10220xy+−=【答案】A【解析】联立220240xyxy−−=−−=，得20xy==，取直线1:220lxy−−=上一点

()0,1−，设点()0,1−关于直线:240lxy−−=的对称点为(),ab，则112124022baab+=−−−−=，解得：1211,55ab==−，直线2l的斜率112k=−，所以直线

2l的方程为()1122yx=−−，整理为：112220xy+−=.故选：A8．在等腰直角三角形ABC中，3ABAC==，点P是边AB上异于AB､的一点，光线从点P出发，经BCCA､反射后又回到点P，如图，若光线QR经过ABC的重心，则AP=

（）A．32B．34C．1D．2【答案】C【解析】根据题意，建立如图所示的坐标系，可得(3,0)B，(0,3)C，故直线BC的方程为3xy+=，又由(0,0)A，(3,0)B，(0,3)C，则ABC的重心为(1,1)，设(,0)Pa，其

中0<<3a，点P关于直线BC的对称点1(,)Pxy，则有03220(1)1axyyxa+++=−−=−−，解得33xya==−，即1(3,3)Pa−，易得P关于y轴的对称点2(,0)Pa−，由光的反射原理可知1P，Q，R，2P四点共成直线QR的斜率33

aka−=+，故直线QR的方程为3()3ayxaa−=++，由于直线QR过ABC的重心(1,1)，代入化简可得20aa−=，解得：1a=或0(a=舍)，即(1,0)P，故1AP=，故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知直线()2:110laaxy++−+=，其中Ra，下列说法正确的是（）.A．若直线l与直线0xy−=平行，则0a=B．当1a=−时，直线l与直线0

xy+=垂直C．当0a=时，直线l在两坐标轴上的截距相等D．直线l过定点()0,1【答案】BD【解析】对于A，直线l与直线0xy−=平行，则211aa++=，即20aa+=，解得0a=或1a=−，A错误；对于B，当1a=−时，直线()2

:110laaxy++−+=为10xy−+=，直线10xy−+=与0xy+=斜率之积为1−，此时直线l与直线0xy+=垂直，B正确；对于C，当0a=时，()2:110laaxy++−+=为10xy−+=，直线在x轴上截距为1−，在y轴上截距为1，二者不相等，C错误；对于D，()2:110la

axy++−+=即()210aaxxy++−+=，由于Ra，令0x=，则1y=，即直线l过定点()0,1，D正确，故选：BD10．已知点()()()()4,2,6,4,12,6,2,12PQRS−−，则下列结论正确的是（）A．//PQSRB．PQPS⊥C．//

PSQRD．PRQS⊥【答案】ABCD【解析】由斜率公式知423645PQk−−==−+，12632125SRk−==−−，122532435PSk−==−+，PQSRkk=，且,,,PQRS四点不共线，则//PQSR，A选项正确；35153PQPSkk=

−=−，PQPS⊥，B选项正确；6(4)51263QRPSkk−−===−，//PSQR，C选项正确；124426QSk+==−−，6211244PRk−==+，1414QSPRkk=−=−，PRQS⊥，D选项正确．故选：ABCD．11．下列结论正确的是（）A．若直线10ax

y++=与直线420xay++=平行，则它们的距离为55B．点()5,0关于直线2yx=的对称点的坐标为(3,4)−C．原点到直线(21)310kxkyk++−−=的距离的最大值为2D．直线122xym

m+=+与坐标轴围成的三角形的面积为2mm+【答案】BC【解析】对于A，直线10axy++=与直线420xay++=平行，显然0a，所以4aa−=−，且21a−−，解得2a=−，故两条平行直线即为直线210xy−−=与直线210xy−+=，则它们之间的距离为22555=，所以

A不正确；对于B，假设点()5,0关于直线2yx=的对称点的坐标为(),ab，则015205222baba−=−−++=，解得3a=−，4b=，即点()5,0关于直线2yx=的对称点的坐标为(3,4)−，故B正确；对于C，由(21)310kxkyk++−−=，得(23)10kxy

y+−+−=，由2301xyy+−==，得1xy==，故直线(21)310kxkyk++−−=过定点(1,1)，所以原点到直线(21)310kxkyk++−−=的距离的最大值为22112+=，故C正确；对于D，令0x=，得22ym=

+，令0y=，得xm=，所以直线122xymm+=+与坐标轴围成的三角形的面积为21|22|||||2mmmm+=+，故D不正确.故选：BC．12．对于两点11(,)Axy，22(,)Bxy，定义一种“距离”：1212ABxxyy=−+−，则（）A．若点C是线段AB的中点，则2ABA

C=B．在ABC中，若90C=，则222ACCBAB+=C．在ABC中，ACCBAB+D．在正方形ABCD中，有ABBC=【答案】ACD【解析】A中，若点C是线段AB的中点，则点C坐标为1212(,)22xxyy++，则121212121112122||||2||2||2||2||||||2

222xxyyxxyyACxyxxyy++−−=−+−=+=−+−||||AB=，故A正确；B中，因为ABC中，若090C=，取00(0,0),(,0),(0,)CAxBy，00(0)xy，则00|||||

0||00|||ACxx=−+−=，00|||||00||0|||CByy=−+−=，0000|||||0||0|||||ABxyxy=−+−=+，故222200||||||||ACCBxy+=+，2222000000||||(||||)

2||ABxyxyxy=+=++，显然222||||||||||||ACCBAB+，故B不正确；对于C，设33(,)Cxy，则13231323ACCBxxxxyyyy+=−+−+−+−，因为1323132

312()()xxxxxxxxxx−+−−−−=−，同理132312yyyyyy−+−−，所以1212||||xxyACCBABy−+−=+，故C正确;D中，因为ABCD为正方形，设正方形边长为a，可取(0

,),(0,0),(,0),(,)AaBCaDaa，则|||||00||0|ABaa=−+−=，|||||0||00|BCaa=−+−=，故D正确．故选：ACD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共

20分。13．过直线240xy−+=与50xy−+=的交点，且垂直于直线20xy−=的直线的斜截式．．．方程为.【答案】28yx=−+【解析】由方程组24050xyxy−+=−+=，解得16xy==，即直线240xy−+=与50xy−+=的交点为(1,6)，因为所求直线垂

直于直线20xy−=，所以其斜率为2k=−，则直线方程为()621yx−=−−，所以直线的斜截式方程为28yx=−+.故答案为：28yx=−+14．已知斜率为2的直线l与x轴交于点A，直线l绕点A逆时针旋转60得到直线l，则直线l的斜率为．【答案】85311

+−【解析】设直线l，l的倾斜角分别为，，则tan2=，因为直线l绕点A逆时针旋转60°得到直线l，所以60=+，所以直线l的斜率为()tantan6023853tan601tantan6011123k+++=+===−−−．故答案为：85311+

−.15．若动点A，B分别在直线1:70lxy+−=和直线2:50lxy+−=上移动，求线段AB的中点M到原点的距离的最小值为．【答案】32【解析】由题意线段AB的中点M的集合为与直线1:70lxy+−=和直线2:50lxy+−=距离相等的直线，记为l，则M到原点距离最小值为

原点到l的距离，设直线:0lxym++=，则|7||5|22mm++=，解得6m=−，所以:60lxy+−=，根据点到直线的距离公式可得，M到原点的距离的最小值为6322=．故答案为：32．16．设()11

1,Pxy，()222,Pxy为直线l上的两个不同的点，则()122121,PPxxyy=−−，我们把向量12PP及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量．当直线l与x轴不垂直时，()122111,PPkxx=−（其中2

121yykxx−=−叫做直线l的斜率）也是直线l的一个方向向量．如果直线l经过点()11,2P，且它的一个方向向量是()1,3，则直线l上任意一点(),Pxy的坐标x，y满足的关系式为．【答案】31

yx=−【解析】由题意知，1(1,2)PPxy=−−，因为方向向量是()1,3，所以()231yx−=−即31yx=−，故答案为：31yx=−.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．（10分）根据下列条件分别写出直线的方

程，并化为一般式方程：(1)斜率是3，且经过点()5,3A；(2)经过点()()1,5,2,1AB−−两点；(3)在x轴，y轴上的截距分别为3,1−−；(4)经过点()4,2B，且平行于x轴．(5)求过点()1,3A，斜率是3的直线方程.(6)求经过点()5,2A−，且在y轴上截距为

2的直线方程.【解析】（1）由点斜式得直线方程为33(5)yx−=−，即35330xy−−+=.（2）由两点式得直线方程为()()151521xy−−−=−−−−，即230xy+−=.（3）由截距式得直线方程为131xy+=−−，即330xy++=.（4）因为平行于x轴，所以直线的斜率为0，又因为

直线过点()4,2B，所以直线方程为：20y−=（5）由点斜式得直线方程为33(1)yx−=−，即30xy−=.（6）由题意可知该直线斜率存在，又因为直线在y轴上截距为2，所以可设直线方程为2ykx=+，又因为该直线过点()5,2A−，则252k=−+，解得0k=，所以

直线方程为2y=.18．（12分）已知ABC三个顶点是()()()4,4,4,0,2,0ABC−.(1)求AB边中线CD所在直线方程；(2)求AB边上的高线所在方程；【解析】（1）因为线段AB的中点4440,22D−+，即()0,2D，又()2,0C，因此直线CD的横纵

截距均为2，其方程为：221xy+=，即20xy+−=，所以AB边中线CD所在直线方程为20xy+−=；（2）因为直线AB的斜率：401442ABk−==+，所以AB边上的高线的斜率：12ABkk=−=−，又()2,0C，所以AB边上的高线所在方程为

：()022yx−=−−，即240xy+−=.19．（12分）已知直线l：20kxyk−+−=（Rk）交x轴正半轴于A，交y轴正半轴于B．(1)O为坐标原点，求AOB的面积最小时直线l的方程；(2)设点P是直线l经过

的定点，求PAPB的值最小时直线l的方程．【解析】（1）作图可知0k．因为直线l的方程为20kxyk−+−=，令0y=，21xk=−，所以21,0Ak−，令0x=，2yk=−，所以()0,2

Bk−，所以21,2OAOBkk=−=−，所以()1122122222AOBkSOAOBkkk==−−=−−△．因为20,02kk−−，由基本不等式可得222222kkkk−−−−=

，当且仅当2k=−时取等号，所以222242AOBkSk=−−+=，当且仅当2k=−时取等号，所以AOB面积最小时，直线l的方程为240xy+−=．（2）因为直线l的方程可化为()()120k

xy−+−=，所以直线l经过的定点()1,2P，所以()2,2,1,PAPBkk=−−=−−所以()22,21,2cosπPAPBkkPAPBPAPBkk=−−−−=+==−，又2

0,20kk−−，所以()222224PAPBkkkk=−−−−=，当且仅当1k=−时等号成立，所以PAPB的值最小时，直线l的方程为30xy+−=．20．（12分）（1）求函数224848yxxxx=+++−+的最小值．（2）过点()3,0

P作直线l，使它被两条相交直线220xy−−=和30xy++=所截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程．【解析】（1）由2222(2)(02)(2)(02)yxx=++−+−+−，表示x轴上点D到(2,2),(2,2)AB−两点的距离之和

，又(2,2)A−关于x轴对称点为(2,2)C−−，显然||||DADC=，如上图，||||||42yDBDCBC=+=，仅当D与原点重合时等号成立，所以函数最小值为42.（2）若直线l与220xy−−=和30xy++=分别交于1122(,22),(

,3)MxxNxx−−−，则P是,MN的中点，故121262230xxxx+=−−−=，即121262230xxxx+=−−−=，可得1211373xx==，所以1116716(,),(,)3333MN−，则161633811733lk+==

−，故直线l的方程为8(3)yx=−，即8240xy−−=.21．（12分）在ABC中，已知点()()()1,0,0,1,2,2ABC−−(1)在BC边上是否存在一点D，使ADBD⊥，若存在，求BDBC的值；若不

存在，说明理由(2)求ABC的面积.【解析】（1）()()0,1,2,2BC−,BC的斜率为：213202+=−,ADBD⊥,所以AD的斜率为：23−,所以BC的方程为：312yx=−,AD的方程()213

yx=−+,()213312yxyx=−+=−,解210,1313D−,()()22202113BC=−++=,222101301131313BD−=−++=

,113BDBC=（2）ABC的面积：2211210513102213132SBCAD==−−++=22．（12分）如图，OAB是一张三角形纸片，90,1,2AOBOAOB===，设直线l与

边,OAAB分别交于点,MN，将AOB沿直线l折叠后，点A落在边OB上的点A处．(1)若12OA=，求点N到OB的距离；(2)设(0)OAmm=，求点N到OB距离的最大值．【解析】（1）依题意，以O为原点，直线

,OAOB分别为,xy轴建立平面直角坐标系，如图，显然点1(1,0),(0,2),(0,)2ABA¢，直线AB的方程为112xy+=，即220xy+−=，直线AA的斜率12k=−，而直线l垂直平分线段AA，于是直线l过点11(

,)24，斜率为2，因此直线l的方程为112()42yx−=−，即324yx=−，由220xy+−=与324yx=−联立消去y得：1116x=，即点N的横坐标为1116，所以点N到OB的距离为1116.（2）由（1）知，点(1,0)A，直线AB的方程为220xy+−

=，显然(0,)Am(01)m，直线AA的斜率001AAmkm−==−−，而直线l垂直平分线段AA，于是直线l过点1(,)22m，斜率为1m，因此直线l的方程为：11()22myxm−=−，即11122yxmmm=+−，由220xy+−=与11122yxm

mm=+−联立消去y得：2142(21)mmxm+−=+，即点N的横坐标为2142(21)mmm+−+，因此点N到OB的距离214,012(21)mmdmm+−=+，当01m时，224164510(21)(21)5

15[(21)]8(21)8(21)4821mmmmdmmmm+−−++−+===−+++++，显然1213m+，55(21)2(21)252121mmmm+++=++，当且仅当52121mm+=+

，即512m−=时取等号，于是当512m−=时，max515525484d−=−=，所以当512m−=时，点N到OB距离取得最大值554−.