【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 3.2 双曲线 Word版含解析.docx，共(15)页，1.155 MB，由小赞的店铺上传

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3.2双曲线一、单选题1．已知椭圆221(1)xyaa+=和双曲线221(0)xymm−=有相同焦点，则（）A．2am=+B．2ma=+C．222am=+D．222ma=+【答案】A【解析】由题得椭圆221(1)xyaa+=的半焦距为1a−，双曲线221(0)xymm−=的半焦距为1m+，

所以1a−1,11,2mamam=+−=+=+.故选：A2．已知12,FF是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且121260,3FPFPFPF==，则C的离心率为（）A．72B．132C．7D．13【答案】A【解析】因为213PFPF=，由双曲线

的定义可得12222PFPFPFa−==，所以2PFa=，13PFa=；因为1260FPF=,由余弦定理可得2224923cos60caaaa=+−，整理可得2247ca=，所以22274ace==，即72e=.故选：A3．

设(),Pxy是双曲线22154xy−=的右支上的点，则代数式22222169xyyxyx+−+−+−+的最小值为（）A．10B．2510−C．105−D．563+−【答案】B【解析】()222222222169(1

)3xyyxyxxyxy+−+−+−+=+−−−+，设()()0,1,3,0AF,上式表示PAPF−,由于双曲线22154xy−=的左焦点为()()3,0,3,0FF−,双曲线的实轴225a=,225PFPFaPF=−=−,()2525PAPFPAPFPFPA−=−+=

−−+,223110PFPAAF−=+=,当P在FA的延长线与双曲线右支的交点处时取到等号，所以()25PAPFPFPA−=−−+的最小值为2510−.故选：B4．已知椭圆22122:1(0)xyCabab+=，双曲线22212222:1,,2−=−xyCFFbab为2C的焦点

，P为1C和2C的交点，若12PFF△的内切圆的圆心的横坐标为2，1C和2C的离心率之积为32，则a的值为（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】不妨设点P在第一象限内，12PFF△的内切圆与边1122,,PFFFPF的切点分别为,,ABC，双曲线的焦距为2c.则()()12

12PFPFPAAFPCCF−=+−+()()12PABFPABF=+−+12BFBF=−()()224cc=+−−=，因为点P在双曲线上，所以1224PFPFb−==，则2b=，又因为1C和2C的离心率之积为32，而椭圆的离心率2121bea=−，双曲线的离心率为22

2221abeb−=+，所以2222122222483111142babaeeaba−−=−+=−+=，解得4a=.故选：C.5．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则

C的离心率为（）A．21+B．3C．31+D．22【答案】C【解析】由题意(),Fco−，四边形MNOF为菱形，如图，则MNONOFc===且//MNOF，,MN分别为C的左，右支上的点，设M点在第二象限，N在第一

象限.由双曲线的对称性，可得2Ncx=，过点N作NHx⊥轴交x轴于点H，则11,222cOcOHMNNNO====，所以60NOH=,则32NHc=，所以3,22cNc，所以22223144ccab−=，则22222234cbcaab−=，即42e8e40−+

=，解得2e423=+，或2e423=−，由双曲线的离心率e1，所以取2e423=+，则e31=+故选：C6．设双曲线222:1(0)4xCyaa−=与直线:1lxy+=相交于两个不同的点A，B，则双曲线C的离心率e的取值范围是（）A．(2,)+

B．6,2(2,)2+C．6,2+D．6,22【答案】B【解析】2221,41xyaxy−=+=()222214880axaxa−+−=，所以()2422140,Δ6448140,aaaa−=+−

2214120aaa2161,2(2,)42ea=++，故选：B7．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点到渐近线的距离为1，且与椭圆22182

xy+=有公共焦点.则双曲线C的渐近线方程为（）A．77yx=B．7yx=C．55yx=D．5yx=【答案】C【解析】由题意已知椭圆的焦点坐标为(6,0)，即为双曲线的焦点坐标，双曲线中6c=，渐近线方程为byxa=，其中一条为0bxay−=，于

是有226616bbab==+，1b=，∴5a=，∴渐近线方程为55yx=．故选：C．8．方程22(10)xy++－22(10)xy−+＝12的化简结果为（）A．236x－264y＝1B．264x－236y＝1C．236x－264y＝1(x＞0)

D．264x－236y＝1(x＞0)【答案】C【解析】解：设A(−10,0)，B(10,0)，(,)Pxy，由于动点P(x,y)的轨迹方程为22(10)xy++－22(10)xy−+＝12，则|PA|−|PB|=12，故点P到定点A(−10,0)与到定点B(10,0)的距离差为12，则动点P(x

,y)的轨迹是以(±10,0)为焦点，以12为实轴长的双曲线的右支，由于2a=12，c=10，则2221003664bca=−=−=，故P的轨迹的标准方程为236x－264y＝1(x＞0).所以原方程可以化简为236x－264y＝1(x＞0).故选：C二、多选题9．已知双曲线C：2213xy−=

，下列对双曲线C判断正确的是（）A．实轴长是虚轴长的2倍B．焦距为4C．离心率为3D．渐近线方程为30xy=【答案】BD【解析】∵双曲线C：2213xy−=∴23a=.21b=.∴2224cab=+=∴2c=.∴双曲线的实轴长是223a=，虚轴长是21b=，A错误；焦距为24c=.B正确；离心率

为233ca=，C错误：渐近线方程为33yx=，D正确.故选：BD10．已知圆1C：2210100xyxy+−−=和圆2C：2262400xyxy+−+−=则（）A．两圆相交B．公共弦长为410C．两圆相离D．公切线长410【答案】AB【解析】圆1C的标准方程

为：()()225550xy−+−=，圆心为（5，5）半径为152r=圆2C的标准方程为：()()223150xy−++=，圆心为（3，-1）半径为252r=所以两圆心的距离：()()225351210d=−+−−

=，120,drr+两圆相交，选项A正确，选项C错误；设两圆公共弦长为L，则有：()2221222Ldrrrr+===410L=，选项B正确，选项D错误.故选：AB11．已知点()1,1A，点P是双曲线22:197xyC

−=左支上的动点，Q是圆221:(4)4Dxy++=上的动点，则（）A．C的实轴长为6B．C的渐近线为377yx=C．PQ的最小值为12D．PAPD−的最小值为610−【答案】ACD【解析】A：由双曲线方程知：3a=，则C的实轴长为6，正确；B：由双曲线方程知：C的渐近

线为73yx=，错误；C：双曲线、圆如下：(4,0)D−为左焦点，当且仅当P为x轴交点，Q为x轴右交点时，PQ最小为12，正确；D：由(4,0)F为右焦点，||||26PFPDa−==，则6||PAPDPAPF−=+−，要使PAPD−最小只需,,PAF共线，此时min()6||6

10PAPDAF−=−=−，正确.故选：ACD.12．已知曲线2212:1,,9xyCFFm+=分别为曲线C的左右焦点，则下列说法正确的是（）A．若3m=−，则曲线C的两条渐近线所成的锐角为3B．若曲线C的离心率2e=，则27m=−C．若3m=，则曲线C上不存

在点P，使得122FPF=D．若3,mP=为C上一个动点，则12PFF△面积的最大值为32【答案】ABD【解析】对于A选项，当3m=−时，曲线22:193xyC−=表示焦点在x轴上的双曲线，渐近线方程为33yx=，故渐近线

的倾斜角分别为5,66，所以曲线C的两条渐近线所成的锐角为3，故A选项正确；对于B选项，离心率2e=，则曲线C为焦点在x轴上的双曲线，3,2ae==，故6c=，所以2236927mca−=−=−=，所以27m=−，故B选项正确；对于C选项，

若3m=，则曲线22:193xyC+=表示焦点在x轴上的椭圆，此时2229,3,6abc===，设椭圆C的短轴的一个顶点坐标为()0,3M，则222122461cos02183aacFMFa+−−===−，故12FMF为钝角，所以线C上存在点P，使得122FP

F=，故C选项错误；对于D选项，若3m=，则曲线22:193xyC+=表示焦点在x轴上的椭圆，此时2229,3,6abc===，P为C上一个动点，则12PFF△面积的最大值为1122633222Scb===max，故D选项正确.故选：AB

D三、填空题13．双曲线()22122:10,0xyCabab−=的焦距为4，且其渐近线与圆()222:21Cxy−+=相切，则双曲线1C的标准方程为______．【答案】2213xy−=【解析】因为双曲线()22122:10,0xyCabab−=的焦距为4，所以

2c=．由双曲线1C的两条渐近线byxa=与圆()222:21Cxy−+=相切，可得2221bab=+．又224ab+=，所以1b=，3a=，所以双曲线1C的标准方程为2213xy−=．故答案为：2213xy−=14．与双曲

线221xy−=有相同的渐近线，且过点(1,2)的双曲线的标准方程为_________.【答案】22133yx−=【解析】依题意，设双曲线方程为：22(0)xy−=，于是得22123=−=−，则有223xy−=−，所以双曲线的标准方程为22133yx−=.故答案为：22133yx−=1

5．若坐标原点O和点(2,0)F−分别为双曲线2221(0)xyaa−=的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则OPFP的最小值为________.【答案】323+【解析】解：由题意得：(2,0)F−是已知双曲线的左焦点214

a+=，即23a=双曲线方程为2213xy−=设点00(,)Pxy，则有220001(3)3xyx−=，解得220001(3)3xyx=−00(2,)FPxy=+，00(,)OPxy=，222000000004(2)(2)12

133xxOPFPxxyxxx=++=++−=+−03x根据二次函数的单调性分析可知函数在)3,+上单调递增当03=x时，OPFP取得最小值432313233+−=+，故答案为：323+

16．已知F为双曲线C：22221xyab−=（0a，0b）的右焦点，O为坐标原点，点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点.若点F关于点A的对称点也在双曲线C上，则双曲线C的渐近线的斜率为___________.【答案】23【解析】

因点A是以OF为直径的圆与双曲线C的一个公共点，则OAAF⊥，设点F关于点A的对称点为B，双曲线C的左焦点为F，则//OAFB，有BFBF⊥，如图，令AFm=，则2AFma=+，2BFm=，22BFma=−，又OFc=，在RtBFF中，222||||||BFBFFF+=，

即()2222244mamc−+=，在RtBFA中，222||||||BFABAF+=，即()()222222mamma−+=+于是得()()()2222222222244222mamcmammacab−+=−+=+=+，解得23ba=，即23ba=，所以双曲

线C的渐近线的斜率为23.故答案为：23四、解答题17．解答下列两个小题：（1）双曲线E：()222210,0xyabab−=离心率为2，且点()2,2在双曲线E上，求E的方程；（2）双曲线C实轴长为

2，且双曲线C与椭圆22184xy+=的焦点相同，求双曲线C的标准方程．【解析】（1）由2e=，得2ca=，即2ca=，又()2222222bcaaaa=−=−=，即ab=，双曲线E的方程即为22221xyaa−=，点

()2,2坐标代入得22421aa−=，解得22a=．所以，双曲线E的方程为22122xy−=．（2）椭圆22184xy+=的焦点为()2,0，设双曲线C的方程为()222210,0xyabab−=，所以22a=，且224ab+=，所以1a=，23b=所以，双曲线C的方程为2213y

x−=．18．根据下列已知条件求曲线方程.(1)求与双曲线221169xy−=共渐近线且过(23A，3)−点的双曲线方程；(2)求与椭圆22143xy+=有相同离心率且经过点(2,3)−的椭圆方程.【解析】(1)设与双曲线22

1169xy−=共渐近线的双曲线方程为：22(0)169xy−=点(23A，3)−在双曲线上，12911694=−=−所求双曲线方程为：2211694xy−=−，即221944yx−=.(2)若焦点在x轴上，设所求椭圆方程为22(0)43xytt+=

，将点(2,3)−代入，得2t=，故所求方程为22186xy+=.若焦点在y轴上，设方程为22(0)43yx+=代入点(2,3)−，得2512=，221252534yx+=.19．已知点1F、2F，为双曲线2

22:1(0)yCxbb−=的左、右焦点，过2F作垂直于x轴的直线，在x轴的上方交双曲线C于点M，且1230MFF=o．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线l过点（0，1）且与双曲线C交于A、B两点，若A、B中点的横坐标为1，求直线l的方程

；（3）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂直，垂足分别为1P、2P，求证：12PPPP为定值．【解析】（1）由双曲线的方程可得1a=，在直角三角形12MFF中，1230MFF=o，221MFFF⊥，可得122MFMF=，且1222MFMFa−==，解得22MF=

，又222bMFba==，所以22b=，则双曲线的方程为2212yx−=；（2）由题意可得直线l的斜率存在，设为k，直线l的方程为1ykx=+，联立22122ykxxy=+−=，可得()222230kxkx−−

−=，()2241220kk=+−，解得33k−设A，B的横坐标分别为1x，2x，则12222kxxk+=−由A、B中点的横坐标为1，可得212kk=−，解得1k=或2−（舍去），所以直线l的方程为

1yx=+；（3）证明：设(),Pmn，则2222mn−=，由()222yxynxm=−=−，解得1222,33mnmnP++，由()222yxynxm=−−=−，解得2222,33mnmnP−−+，所以12222222,,3333

nmmnmnmnPPPP−−−−−−=()()()()22222299nmmnmnmn−−−−−−=+22224229mnnm−+−=222299mn−==，即1229PPPP=．20．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=

的离心率为2，右顶点D到一条渐近线的距离为32.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l与双曲线C交于,AB两点，且0,OAOBO=为坐标原点，点O到直线l的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意，得双曲线C的渐

近线方程为byxa=，右顶点为(),0Da.又222+=abc，且222223,221bbabcecababaa=====++，所以12ac=，故3b=.又2234aa+=，解得21a=，所以双曲线C的方程为22

13yx−=.(2)设()()1122,,,AxyBxy.当直线l和轴线平行时，1122,xyxy==，解得112262xyxy====，所以点O到直线l的距离为62.当直线l和轴线不平行时，设直线l的方程为xm

yt=+，由221,3yxxmyt−==+得()222316330mymtyt−++−=，()()()22222Δ(6)4313312310mtmtmt=−−−=+−，所以2121222633,3131mttyyyy

mm−−+==−−.又1122,xmytxmyt=+=+，所以()()()()2212121212121210OAOBxxyymytmytyymyymtyyt=+=+++=++++=，得()()()2222222133631031mtmttmm+−−+−=−，解得2223

3tm=+.又点O到直线l的距离为21tdm=+，则222312tdm==+，故62d=，所以点O到直线l的距离为定值62.21．已知椭圆2222:1xyEab+=，双曲线22:162xyF−=，设椭圆E与

双曲线F有相同的焦点，点331,22A，331,22B−分别为椭圆E与双曲线F在第一、二象限的交点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线AB与y轴相交于点M，过点M作直线交椭圆E于P，Q两点（不同于A，B），求证：直线AP与直线BQ的交

点N在一定直线上运动，并求出该直线的方程．【解析】（1）因为椭圆E与双曲线F有相同的焦点，所以22628ab−=+=，将点331,22A代入椭圆方程得22271144ab+=，联立两式解得，29a=，21b=，所以椭圆E的标准方

程为：2219xy+=．（2）依题意，直线AB：12x=，则点M坐标为1(0,)2，直线PQ与直线AB不重合，于是得直线PQ的斜率不为0，设直线PQ的方程为1()2xmy=−，由22191()2xyxmy+==−得2222(9

)904mmymy+−+−=，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，00(,)Nxy，则21229myym+=+，2122364(9)myym−=+，由A，P，N共线得：01110113333133()33222211121222xxmymyyyy−−−−===−−−−−，即：0

10333321212xmyy−=−−−，同理，由B，Q，N共线得：020333321212xmyy+=+−−，两式相减并整理得，)()(121212022114212yyyyyyy+−=−++−，从而得22220222212

9136231299mmmmymm−+==−−−+++，解得02y=，综上所述，直线AP与直线BQ的交点N在定直线2y=上运动．22．已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的右焦点为(2,0)F，渐近线方程为3yx

=．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点()()1122,,,PxyQxy在C上，且1210,0xxy．过P且斜率为3−的直线与过Q且斜率为3的直线交于点M.从下面①②③中

选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M在AB上；②PQAB∥；③||||MAMB=．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【解析】（1）右焦点为(2,0)F，∴2c=,∵渐近线方程为3yx=，∴3ba=，∴3ba=，∴222244caba=+==，∴1a=，

∴3b=．∴C的方程为：2213yx−=；（2）由已知得直线PQ的斜率存在且不为零，直线AB的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M为线段AB的中点，假若直线AB的斜率不存在

，则由双曲线的对称性可知M在x轴上，即为焦点F,此时由对称性可知P、Q关于x轴对称，与从而12xx=，已知不符；总之，直线AB的斜率存在且不为零.设直线AB的斜率为k,直线AB方程为()2ykx=−,则条件①M在AB上，等价于

()()2000022ykxkykx=−=−；两渐近线的方程合并为2230xy−=,联立消去y并化简整理得：()22223440kxkxk−−+=设()()3334,,,AxyBxy,线段中点为()

,NNNxy,则()2342226,2233NNNxxkkxykxkk+===−=−−,设()00,Mxy,则条件③AMBM=等价于()()()()222203030404xxyyxxyy−+−=−+−,移项并利用平方差公式整理得：()()()()3403434034220xxx

xxyyyyy−−++−−+=，()()3403403434220yyxxxyyyxx−−++−+=−,即()000NNxxkyy−+−=,即200283kxkyk+=−；由题意知直

线PM的斜率为3−,直线QM的斜率为3,∴由()()101020203,3yyxxyyxx−=−−−=−,∴()1212032yyxxx−=−+−,所以直线PQ的斜率()12012121232xxxyymxxx

x+−−==−−−,直线()00:3PMyxxy=−−+,即0033yyxx=+−,代入双曲线的方程22330xy−−=,即()()333xyxy+−=中，得：()()000032333yxxyx+−

+=,解得P的横坐标：10000133233xyxyx=+++,同理：20000133233xyxyx=−+−−，∴00120120022220000331,2,333yxxxyxxxxyxyx−=++−=−−−−

∴003xmy=,∴条件②//PQAB等价于003mkkyx==，综上所述：条件①M在AB上，等价于()2002kykx=−；条件②//PQAB等价于003kyx=；条件③AMBM=等价于200283kxkyk+=−；选①②推③:由①②解得

：2200002228,433kkxxkyxkk=+==−−,∴③成立；选①③推②：由①③解得：20223kxk=−，20263kkyk=−，∴003kyx=，∴②成立；选②③推①：由②③解得：20223kxk=−，20263kkyk=−，∴

02623xk−=−，∴()2002kykx=−，∴①成立.