【文档说明】《鲁教版（五四制）九年级数学专题复习训练》专题6锐角三角函数—6.9新定义题目+答案.doc，共(15)页，1.890 MB，由管理员店铺上传

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1锐角三角函数新定义、探索类题目：1.一般地，当α、β为任意角时，sin（α+β）与sin（α﹣β）的值可以用下面的公式求得：sin（α+β）=sinα•cosβ+cosα•sinβ；sin（α﹣β）=sinα•cosβ﹣cosα•sinβ．例如sin

90°=sin（60°+30°）=sin60°•cos30°+cos60°•sin30°=21212323•+•=1．类似地，可以求得sin15°的值是_______．2.规定：sin（﹣x）=﹣sinx

，cos（﹣x）=cosx，sin（x+y）=sinx•cosy+cosx•siny．据此判断下列等式成立的是（写出所有正确的序号）①cos（﹣60°）=﹣21；②sin75°=426+；③sin2x=2sinx•cosx；④sin（x﹣y）=sinx•cosy﹣cosx

•siny．3.若方程()01242=++−mxmx的两根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求m的值。4.观察下列等式：①sin30°=21，cos60°=21；②sin45°=22，cos45°=22；2③sin60°=23，cos30°=23.(1

)根据上述规律，计算sin2α+sin2(90°−α)=______.(2)计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°.5.如图，矩形ABCD的对角线长为a，对角线与一边的夹角为α（α≤45°），①则CD=（用α的三角函

数和a来表示），S△BCD=（用α的三角函数和a来表示）=（用2α的三角函数和a来表示）；②猜想并直接写出sin2α，sinα，cosα之间的数量关系．6.如图，平面内的两条直线l1、l2，点A、B在直线l2上，过点A、B两点分别作直线l1的垂线，垂足分别为A1、B1，我们把线段A1B1叫做

线段AB在直线l2上的正投影，其长度可记作T（AB，CD）或T（AB，l2），特别地，线段AC在直线l2上的正投影就是线段A1C，请依据上述定义解决如下问题.（1）如图1，在锐角△ABC中，AB=5，T

（AC，AB）=3，则T（BC，AB）=；（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，T（AC，AB）=4，T（BC，AB）=9，求△ABC的面积；（3）如图3，在钝角△ABC中，∠A=60°，点D在AB边上，∠ACD=9

0°，T（AD，AC）=2，T（BC，AB）=6，求T（BC，CD）.37.阅读下列材料：如图1.在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，可以得到：S△ABC=21absinC=21acsinB=2

1bcsinA.证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D．在Rt△ABD中，sinB=ADc，∴AD=c·sinB∴S△ABC=21a·AD=21acsinB.同理，得S△ABC=21absinC，S△ABC=21bcsinA.

∴S△ABC=21absinC=21acsinB=21bcsinA.（1）通过上述材料证明：asinA=bsinB=csinC.（2）运用（1）中的结论解决问题：如图②，在△ABC中，∠B=15°，∠C=60°，AB=203，求AC的长度.4（3）如图3，为了开发公路旁的城市荒地，测量人员选

择A、B、C三个测量点，在B点测得A在北偏东75°方向上，沿笔直公路向正东方向行驶18km到达C点，测得A在北偏西45°方向上，根据以上信息，求A、B、C三点围成的三角形的面积．（参考数据：sin15°≈0.3，sin120°≈0.9，2≈1.4，结果取整数）8.理数学兴趣

小组在探究如何求tan15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路：思路一如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD.设AC=1，则BD=BA=2，BC=3.tanD=tan15°=321+=32)32)(32(32−=−+−.思路二利

用科普书上的和(差)角正切公式：tan(α±β)=tanα+−tanβ1−+tanαtanβ.假设α=60°，β=45°代入差角正切公式:tan15°=tan(60°−545°)=+−45tan60tan145tan60tan=3113+−=2−3思路三在顶角为

30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以…思路四…请解决下列问题(上述思路仅供参考).(1)类比：求出tan75°的值；(2)应用：如图2，某电视塔建在一座小山上，山高BC为30米，在地平面上有一点A，测

得A，C两点间距离为60米，从A测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD的高度；(3)拓展：如图3，直线y=21x−1与双曲线y=x4交于A，B两点，与y轴交于点C，将直线AB绕点C旋转45°后，是否仍与双曲线相交?若能，求出交点P的坐标；若不能，请说明理由。参考答案61.【解析】s

in15°=sin(60°−45°)=sin60°⋅cos45°−cos60°⋅sin45°=22212223•−•=426−故答案为426−.2.【解析】①cos(−60°)=cos60°=21，命题错误；②sin75°=sin(3

0°+45°)=sin30°⋅cos45°+cos30°⋅sin45°=21×22+23×22=4642+=426+命题正确；③sin2x=sinx⋅cosx+cosx⋅sinx=2sinx⋅cosx，命题正确；④si

n(x−y)=sinx⋅cos(−y)+cosx⋅sin(−y)=sinx⋅cosy−cosx⋅siny，命题正确。故答案为：②③④。3.【解析】设直角三角形的两锐角分别为α，β，根据题意得：方程()01242=++−mx

mx的两根为cosα与cosβ∴cosα+cosβ=4)1(2+−m，cosα•cosβ=04m根据题意有α+β=90°故有sin²α+cos²α=1，sinα=cosβ∴sin²α+cos²α=(sinα+cosα)²-2sinαcosα=(

cosβ+cosα)²-2cosβcosα=71424)1(22=−+−mm=1整理得：m2=3，解得：m=3或m=−3(舍去)，则m的值为3.4.【解析】答案：1.当α=30°时，sin2α+si

n2(90°-α)可化为sin230°+sin2(90°-30°)=sin230°+sin260°=(21)2+(23)2=1.当α=45°时，sin2α+sin2(90°-α)可化为sin245°+sin2(90°-45°)=sin245°+sin245°=(22)2+(22)2=1.当

α=60°时，sin2α+sin2(90°-α)可化为sin260°+sin2(90°-60°)=sin260°+sin230°=(23)2+(21)2=1.8故sin2α+sin2(90°-α)=1.故答案为：1.（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin

289°=(sin21°+sin289)+(sin22°+sin288°)+…+sin245°=1+1+…1+21=44+21=289.5.【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，∠DBC=α，AC=a，∴∠BCD=90°，OA=

OC=OB=OD=21a，BD=a，∴CD=asinα，BC=acosα，∴S△BCD=21BC•CD=21×acosα×asinα=21a2sinαcosα，作CE⊥BD于点E，∵OB=OC，∠OBC=

α，∴∠OBC=∠OCB，∴∠EOC=2α，∴EC=OC•sin2α=21asin2α，∴S△BCD=21BD•CE=21a•21asin2α=41a2sin2α，故答案为：asinα，21a2sinαcosα，4

1a2sin2α；9（2）sin2α=2sinαcosα，理由：∵S△BCD=21a2sinαcosα，S△BCD=41a2sin2α，∴21a2sinαcosα=41a2sin2α，∴sin2α=2sinαcosα．6.【解析】(1)如图1中，作C

H⊥AB，∵T(AC，AB)=3，∴AH=3，∵AB=5，∴BH=5−3=2，∴T(BC，AB)=BH=2；(2)如图2中，作CH⊥AD于H，∵T(AC，AB)=4，T(BC，AB)=9，∴AH=4，BH=9，∵∠ACB=∠CHA=∠CHB=90

°，∴∠A+∠ACH=90°，∠ACH+∠BCH=90°，∴∠A=∠BCH，∴△ACH∽△CBH，10∴CH/BH=AH/CH，∴CH/9=4/CH，∴CH=6，∴S△ABC=21⋅AB⋅CH=21×13×6=39.(3)如图3中，作CH⊥AD于H，BK⊥CD于K.∵∠AC

D=90°，T(AD，AC)=2，∴AC=2，∵∠A=60°，∴∠ADC=∠BDK=30°，∴CD=3AC=23，AD=2AC=4，AH=21AC=1，DH=AD−AH=3，∵T(BC，AB)=6，CH⊥AB，∴BH=6

，∴DB=BH−DH=3，在Rt△BDK中，∵∠K=90°，BD=3，∠BDK=30°，∴DK=BD⋅cos30°=233，∴CK=CD+DK=23+233=237，11∴T(BC，CD)=CK=2377.【解析】（1）证明：∵21absin

C=21acsinB=21bcsinA，∴CcBbsinsin=，BbAasinsin=，∴CcBbAasinsinsin==；（2）根据（1）中的结论可得CABBACsinsin=，∴=15sin60sin320AC，∴AC=12.（3）根据题意，可知∠ABC=90°-75°

=15°，∠ACB=90°-45°=45°，∴∠A=180°-15°-45°=120°，∴=120sin15sinBCAC，∴AC=6，∴△ABC的面积为21×6×18×sin45°=272≈38（

km2）.128.【解析】(1)方法一：如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，延长CB至点D，使BD=BA，连接AD.设AC=1，则BD=BA=2，BC=3.tan∠DAC=tan

75°=ACBCDBACDC+==132+=2+3方法二：tan75°=tan(45°+30°)=−+30tan45tan130tan45tan=331331−+=2+3(2)如图2，在Rt△ABC中，AB=22BCAC−=223060−=303，sin∠BAC=BC/AC=30/60=

21，即∠BAC=30°.∵∠DAC=45°，∴∠DAB=45°+30°=75°.在Rt△ABD中，tan∠DAB=DB/AB，∴DB=AB⋅tan∠DAB=303⋅(2+3)=603+90，13∴DC=DB−BC=603+90−30=603+60.答：这座电视塔CD的高度为(603+60

)米；(3)①若直线AB绕点C逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P，如图3.过点C作CD∥x轴，过点P作PE⊥CD于E，过点A作AF⊥CD于F.解方程组=−=xyxy4121，得==14yx或−=

−=22yx，∴点A(4，1)，点B(−2，−2).对于y=21x−1，当x=0时，y=−1，则C(0，−1)，OC=1，∴CF=4，AF=1−(−1)=2，∴tan∠ACF=AF/CF=2/4=21，∴tan∠PCE=

tan(∠ACP+∠ACF)=tan(45°+∠ACF)=ACFACF−+tan45tan1tan45tan=3211211=−+，即PE/CE=3.设点P的坐标为(a，b)，14则有=+=314abab，解得：−=−=41ba

或==334ba，∴点P的坐标为(−1，−4)或(34，3)；②若直线AB绕点C顺时针旋转45°后，与x轴相交于点G，如图4.由①可知∠ACP=45°，P(34，3)，则CP⊥CG.过点P作PH⊥y轴于H，则∠GOC=∠CHP=90

°，∠GCO=90°−∠HCP=∠CPH，∴△GOC∽△CHP，∴GO/CH=OC/HP.∵CH=3−(−1)=4，PH=34，OC=1，∴3414=GO，∴GO=3，G(−3，0).设直线CG的解析式为y=kx+b，则有−==+−103bbk，解得

−=−=131bk，15∴直线CG的解析式为y=−31x−1.联立=−−=xyxy4131，消去y，得x4=−31x−1，整理得：x2+3x+12=0，∵△=32−4×1×12=−39<0，∴方程没有实数根，∴点P不存在。综上所述：直线

AB绕点C旋转45°后，能与双曲线相交，交点P的坐标为(−1，−4)或(34，3).