【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 2.2 直线与圆的位置关系（十三大题型） Word版含解析.docx，共(68)页，7.276 MB，由小赞的店铺上传

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2.2直线与圆的位置关系课程标准学习目标(1)能用直线的方程、圆的方程解决具有一定综合性的数学问题和实际问题.(2)体会数形结合、函数与方程、转化与化归、特殊与一般等数学思想及方法，提升直观想象、数学运算、逻辑推理、数学抽象等数学素养.1、理解并掌握直线与圆的位

置关系的判断．2、理解并掌握直线与圆相切的问题．3、理解并掌握直线与圆的相交问题．4、理解并掌握直线与圆的综合应用问题.知识点01直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点

；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．2、直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解．如果有解，直线l与圆C有公共点．有两组实数解时，直线l与圆C相交；

有一组实数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离．（2）几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：当dr时，直线l与圆C相交；当=dr时，直线l与圆C相切；当dr时，直线l与圆C相离．知识点诠释：（1

）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得．（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问

题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理．（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决．【即学即练1】直线34120xy++=与圆22(1)(1)9xy−++=的位置关系是（）A．

过圆心B．相切C．相离D．相交但不过圆心【答案】D【解析】圆22(1)(1)9xy−++=的圆心为(1,1)−，半径3r=，则圆心到直线34120xy++=的距离22314(1)1211534d+−+==+，因为0dr，所以直线与

圆相交但不过圆心，故选：D知识点02圆的切线方程的求法1、点M在圆上，如图．法一：利用切线的斜率lk与圆心和该点连线的斜率OMk的乘积等于1−，即1=−OMlkk．法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．2、点()00,xy在圆外，则设

切线方程：00()−=−yykxx，变成一般式：000−+−=kxyykx，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k．知识点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．常见圆的切线

方程：（1）过圆222+=xyr上一点()00,Pxy的切线方程是200+=xxyyr；（2）过圆()()222−+−=xaybr上一点()00,Pxy的切线方程是()()()()200−−+−−=xaxaybybr．【即学即练2】圆2240xyx+−=在点(1,3)P处的切线方

程为（）A．320xy+−=B．340xy+−=C．340xy−+=D．320xy−+=【答案】D【解析】圆2240xyx+−=的圆心(2,0)C，显然点(1,3)P在此圆上，直线CP的斜率为30312−=

−−，所以所求切线斜率为13，切线方程为13(1)3yx−=−，即320xy−+=.故选：D知识点03求直线被圆截得的弦长的方法1、应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系2222=+lrd，这也是求弦长最常用的方法．2、利用交点坐标：若直线与圆的交点

坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长．【即学即练3】在平面直角坐标系xOy中，直线250xy+−=被圆()()22219xy−++=截得的弦长为.【答案】4【解析】圆()()22219xy−++=的圆心为

(2,1)C−，半径3r=，则圆心(2,1)C−到直线250xy+−=的距离为22225512d−−==+，所以所求弦长为2222954rd−=−=，故答案为：4题型一：不含参数的直线与圆的位置关系例1．（2023·高二课时练习）直线4340x

y+=和圆22100xy+=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】A【解析】圆22100xy+=的圆心()0,0，半径为10r=，因为圆心到直线4340xy+=的距离22|403040|8

1043dr+−===+，所以直线与圆相交．故选：A.例2．（2023·贵州·高二校联考期末）圆C：224210xyxy++−+=与直线l：043xy−=的位置关系为（）A．相切B．相离C．相交D．无法确定【

答案】A【解析】由224210xyxy++−+=得()()22214xy++−=，所以圆C的圆心坐标为()2,1−，半径为2，由043xy−=得340xy−=，圆心到直线l的距离为：222341234−−=+，故圆C与直线l相

切，故选：A例3．（2023·全国·高二专题练习）圆C：22(1)(1)1xy−+−=与直线l：143xy+=的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．无法确定【答案】A【解析】圆C：22(1)(1)1xy−+−=的圆心为()1,1C，半径1r=，直线l：143xy+=即3

4120xy+−=，则圆心到直线的距离223412134dr+−===+，所以直线l与圆C相切.故选：A变式1．（2023·全国·高二专题练习）00(,)Mxy为圆221xy+=内异于圆心的一点，则直线001xxyy+=与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．

相离D．相切或相交【答案】C【解析】由题意知00(,)Mxy为圆221xy+=内异于圆心的一点，则22001xy+，而圆：221xy+=的圆心到直线001xxyy+=的距离为220011drxy==+，故直线001xxyy

+=与该圆的位置关系为相离，故选：C【方法技巧与总结】判定直线与圆的位置关系采用几何法比采用代数法的计算量要小得多，因此，我们一般采用几何法来解决直线与圆的位置关系的有关问题．题型二：含参数的直线与圆的位置关系例4．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）直线()20Raxyaa−+=

与圆225xy+=的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不确定【答案】C【解析】由题知，圆心坐标()00，，半径5，将直线20axya−+=化为点斜式得()2yax=+，知该直线过定点()2,0−，又()22205−+，故该定点在圆内，所以该直线与圆225xy+=必相交.故选：C例5

．（2023·高二单元测试）直线240lxmym−−+=：与圆22420Oxyxy+−+=:的位置关系为（）A．相交B．相切C．相交或相切D．不确定【答案】A【解析】由直线240lxmym−−+=：，得()2410xmy−−−=，令10240yx−=−=，则12yx=

=，所以直线l过定点()2,1，因为2221422110+−+=−，所以点()2,1在圆22420Oxyxy+−+=:内，所以直线240lxmym−−+=：与圆22420Oxyxy+−+=:

相交.故选：A.例6．（2023·全国·高二专题练习）直线:10lxmym++−=与圆()()22:129Cxy−+−=的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定【答案】A【解析】已知直线:10lxmym++−=过定点()1,1−，将点()1,1−

代入圆的方程可得()()2211129−−+−，可知点()1,1−在圆内，所以直线:10lxmym++−=与圆()()22:129Cxy−+−=相交.故选：A.变式2．（2023·安徽亳州·高二统考开学考试）设mR，则直线l：10mxym+−−=与圆

222xy+=的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交或相切D．相交【答案】C【解析】因为10mxym+−−=，所以()110mxy−+−=，即直线恒过定点()1,1；因为点()1,1恰在222xy+=上，所以直线和圆的位置关系是相交或相切.故选：C.变式3．

（2023·内蒙古巴彦淖尔·高二校考阶段练习）直线()140Rkxykk+−+=与圆22(1)(2)25xy+++=的位置关系为（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定【答案】C【解析】由直线140kxyk+−+=得()410kxy++−=，令40,10xy+=−=，得4,1xy=−=，故直

线()140Rkxykk+−+=恒过点()4,1−，又22(41)(12)1825−+++=，即点()4,1−在圆22(1)(2)25xy+++=内，故直线()140Rkxykk+−+=与圆22(1)(2)25xy+++=的位置关系为相交.故选：

C.变式4．（2023·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）直线l：2axya+−=与圆C：()()22214xy−+−=的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．与a的值有关【答案】A【解析】∵直线l的方程为2axya+−=，即()12

0axy−+−=，∴直线l恒过定点()1,2，∵()()22122124−+−=，即该定点在圆C：()()22214xy−+−=内，∴直线l与圆C相交．故选：A．变式5．（2023·高二课时练习）直线l：()1ykx=+与圆C：221xy+=的位置关系为（）A．相交或相切B．相交或相离C．相切

D．相交【答案】D【解析】圆C：221xy+=，圆心为()0,0O，半径为1R=，直线l：()1ykx=+，即0kxyk−+=，圆心到直线的距离为222111kkdRkk===++，故直线与圆相交.故选

：D【方法技巧与总结】通过判定直线过圆内一定点，从而转化为点与圆的位置关系．题型三：由直线与圆的位置关系求参数例7．（2023·高二单元测试）若圆22:44100Cxyxy+−−−=上至少有三个不同的点到直线:0lxyc−+=的距离为22，则c的取值不可能是（）A．-2B．0C．1D．

3【答案】D【解析】圆C的方程可化为()()222218xy−+−=，则圆心C为()2,2，半径为32，要使条件成立，设圆心到直线的距离为d，则只需要()22222232222211ccdr−+==−=−=+−，即22c−，所以c的取值不可能是3.故选

：D.例8．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知点P为圆222:Oxyr+=上一点，点(1,2)Q在圆O外，若满足60OQP=的点P有且只有4个，则正数r的取值范围是（）A．15,52B．5,52C．15,2

+D．15,2+【答案】A【解析】由题意得22212r+，解得05r，如图所示，此时1260OQPOQP==且1OP⊥1QP，2OP⊥2QP，此时满足60OQP=的点P有2个，此时13sin602POOQ==，故223212r=

+，解得152r=，故要想满足60OQP=的点P有且只有4个，则要152r，综上：正数r的取值范围是15,52.故选：A例9．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）若直线:20lkxy−−=与曲线2:1(1)1Cyx−−=−有两个不

同的交点，则实数k的取值范围是（）A．4,23B．4,43C．442,,233−−D．4,3+【答案】A【解析】直线:20lkxy−−=恒过定点(0,2)−，曲线2:1(1)1Cyx−−=−表示以点(1,1)为圆心

，半径为1，且位于直线1x=右侧的半圆（包括点(1,2)，(1,0)）．当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时2k=，直线记为1l；当l与半圆相切时，由2|3|11kk−=+，得43k=，切线记为

2l．分析可知当423k时，l与曲线C有两个不同的交点，故选：A．变式6．（2023·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线243yxx=−+−与直线10kxyk−+−=有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（）A．12,23

B．30,4C．13,24D．12,43【答案】C【解析】曲线243yxx=−+−整理得22(2)1(0)xyy−+=，则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线10kxyk−+−=

，即()110kxy+−−=，则令1010xy+=−−=，解得11xy=−=−，则其过定点(1,1)−−，如图，当)12,kkk时，曲线与直线有两个不同的交点，由22111kkk+−=+，得34k=或

0k=，所以234k=，1101112k−−==−−，所以实数k的取值范围是13,24.故选：C．变式7．（2023·云南保山·高二校联考阶段练习）若直线10xy+−=是圆22()1xay−+=的一条对称轴，则=a（）A．12B．12

−C．1D．-1【答案】C【解析】由圆22()1xay−+=，可圆心坐标为(),0a，因为直线10xy+−=是圆的对称轴，所以圆心必在直线上，即010a+−=，解得1a=.故选：C.变式8．（2023·全国·高二专题练习）若圆22:1210250Cxyxy+−++=上有四个不同的点到直线:340l

xyc++=的距离为3，则c的取值范围是（）A．(),17−B．()17,13−C．()13,17−D．()12,18−【答案】C【解析】将圆C的方程化为标准方程为()()226536xy−++=，圆心为()6,5C−，

半径为6，设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为340xym++=，则22334mc−=+，解得15mc=+或15mc=−，所以，直线34150xyc++−=、34150xyc+++=均与圆

C相交，所以，3645156536451565cc−+−−++，解得1317c−，因此，实数c的取值范围是()13,17−.故选：C.变式9．（2023·云南曲靖·高二校考期中）若直线340xyb+−=与圆()()2211

1xy−+−=相切，则b的值是（）A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或12【答案】D【解析】由()()22111xy−+−=得圆的圆心坐标为(1,1),半径为1，因为直线340xyb+

−=与圆相切，所以22|34|1,234bb+−==+或12b=.故选：D.变式10．（2023·高二单元测试）直线2yxb=−与圆22(1)(2)2xy++−=没有公共点，则b的取值范围是（）A．410b−−或410b−+B．4

10410b−−−+C．410410b−−−+D．410b−−或410b−+【答案】A【解析】因为圆()()22121xy++−=的圆心为()1,2-，半径为2，则点()1,2-到直线2yxb=−的距离大于2，()2212212

b−−−+，即410b−+或410b−−；故选：A.变式11．（2023·高二课时练习）若直线1xyab+=与圆221xy+=相交，则（）A．22111ab+B．22111ab+C．221ab+D．221ab+【答案】B【解析】由直线1xyab+=，可化为0bxayab

+−=，因为直线0bxayab+−=与圆221xy+=相交，可得221abab−+，整理得2222abab+，所以22111ab+.故选：B.变式12．（2023·山东青岛·高二青岛二中校考期中

）已知圆224xy+=，直线l：()0yxbb=+，若圆224xy+=上恰有2个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为（）．A．2,32B．(0,2C．()2,32D．(2,32【答案】C【解析】由圆的方程：224xy+=，可得圆心为坐标原点()0,0O，半径为2．若圆上

恰有2个点到直线的距离等于1，则圆心到直线l的距离d满足13d，则()1302bdb=，解得232b．故选：C．【方法技巧与总结】抓住了直线与圆的位置关系的代数或几何特征，从而转化为对方程的解的研究，这

是研究直线与曲线的位置关系的基本方法．题型四：求直线与圆的交点坐标例10．（2023·高二课时练习）过直线240xy++=与圆222410xyxy++−+=的交点，且面积最小的圆的方程为．【答案】221364555xy

++−=【解析】由直线240xy++=得：yx=−−24①，把①式代入圆的方程中，得2330526xx+=+，解得：1115x=−，23x=−，代入到yx=−−24中，解得125y=，22y=，所以两交点为112,55

A−，()3,2B−要使圆的面积最小，只需线段AB作为圆的直径，．设AB的中点为(),Omn即为所求得圆的圆心则11313525m−−==−，226525n+==，所以136,55O−，设半径为r，则221311622555555rOA

==−++−=，此时圆的方程为221364555xy++−=．故答案为：221364555xy++−=例11．（2023·高二课时练习）

一个圆过圆2220xyx+−=与直线230xy+−=的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程为.【答案】()22210xy++=【解析】由2220230xyxxy+−=+−=，解得9535xy==或11xy==，所以交点为()931

155AB，，，，因为AB的斜率为12−，AB的中点为7455，，所以AB的垂直平分线为47255yx−=−，即22yx=−，又因为圆心在y轴，所以圆心为()02−，，半径为圆心到交点B的距离()()220

12110−+−−=，则所求圆的方程为()22210.xy++=故答案为：()22210.xy++=例12．（2023·辽宁·高二开学考试）已知直线3:233lyx=+与圆2212xy+=交于,AB两点，过,AB分别作l的垂线与x轴交于,CD两点，则||CD=.【答案】4【解析】2212323

3xyyx+==+，解得023xy==或33xy=−=，不妨设(0,23)A，(3,3)B−，33lk=，则所作直线斜率为3−，直线AC方程为323yx=−+，令0y=得2x=，所以(

2,0)C，直线BD方程为33(3)yx−=−+，令0y=得2x=−，所以(2,0)D−，所以4CD=.故答案为：4.变式13．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线:0lxy−=与圆22:(7)(1)36Cxy−+−=，试判断直线l与圆C的位置关系，若相交

求出交点坐标．【解析】圆22:(7)(1)36Cxy−+−=的圆心为(7,1)C，半径6r=，因为圆心(7,1)C到直线:0lxy−=的距离为()227132611d−==+−，所以直线与圆相交，由()

()2271360xyxy−+−=−=，得77xy==或11xy==，所以交点坐标为(7,7)或(1,1)变式14．（2023·江苏·高二假期作业）求直线10xy−−=和圆2213xy+=的公共点的坐标，并判断它们的位置关系．【解析】直线10xy−−=和圆221

3xy+=的公共点的坐标就是方程组221013xyxy−−=+=的解，解这个方程组，得32xy==或23xy=−=−，所以公共点的坐标为()3,2或()2,3−−．因为直线10xy−−=和圆22

13xy+=有两个公共点，所以直线和圆相交．变式15．（2023·全国·高二课堂例题）求经过直线0xy+=与圆222480xyxy++−−=的交点，且经过点(1,2)P−−的圆的方程．【解析】法一：解方程组2202480xyxyxy+=++−−=，得11xy=

=−或44xy=−=，∴直线与圆交于点(1,1),(4,4)AB−−．设所求圆的方程为220xyDxEyF++++=(2240DEF+−)，将A，B，P的坐标代入，得11016164401420DEFDEFDEF++−+=+−++=+−−+=，解得338DEF==−

=−，满足2240DEF+−，故所求圆的方程为223380xyxy++−−=．法二：设所求圆的方程为22248()0xyxyxy++−−++=，又(1,2)P−−在圆上，则22(1)(2)2(1)4(2)8(12)0−+−+−−−−+−−=，解得1

=，故所求圆的方程为222480xyxyxy++−−++=，即223380xyxy++−−=．【方法技巧与总结】直接联立求解．题型五：求过圆上一点的切线方程例13．（2023·福建福州·高二福州三中校考期末）过点()1,1P

作圆E：22420xyxy+−+=的切线，则切线方程为（）A．20xy+−=B．230xy+−=C．210xy−+=D．210xy−−=【答案】C【解析】圆E：22420xyxy+−+=，即()()22215xy−++=，圆心为()2,1E−，半径5r=，又()()2221

115PE=−+−−=，所以点P在圆上，且11221PEk−−==−−，所以切线的斜率12k=，所以切线方程为()1112yx−=−，即210xy−+=.故选：C例14．（2023·高二课时练习）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角∠AQB的一边QA上的两点，试在QB边上找一点P，使

得∠MPN最大．”如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线QB相切的圆与射线QB的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy中，给定两点2()1,M−，(1,4)N，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大

值时，点P的横坐标是（）A．1B．－7C．1或－7D．2或－7【答案】A【解析】(1,2),(1,4)MN−，则线段MN的中点坐标为(0,3)，易知1MNk=，则经过,MN两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线3yx=−上，设圆心为(),3Sa

a−，则圆S的方程为()()()222321xayaa−+−+=+，当MPN取最大值时，圆S必与x轴相切于点P（由题中结论得），则此时P的坐标为(),0a，代入圆S的方程得()()22213aa+=−，解得1a=或7

a=−，即对应的切点分别为(1,0)P和(7,0)P−，因为对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，又过点M，N，P的圆的半径大于过点M，N，P的圆的半径，所以MPNMPN，故点(1,0

)P为所求，即点P的横坐标为1.故选：A例15．（2023·全国·高二专题练习）过圆22240xyxy+−−=上一点()3,3P的切线方程为（）A．290xy−+=B．290xy+−=C．290xy++=D．290xy−−=【答案】

B【解析】由22240xyxy+−−=得：()()22125xy−+−=，则该圆的圆心为()1,2C，又()3,3P是该圆上一点，则直线PC的斜率为321312PCk−==−，所以过点P的切线的斜率2k=−，则过点()3,3P的切线方程为()323yx−=−−，即290xy+−=，

故选：B.变式16．（2023·江苏盐城·高二校考阶段练习）过圆22240xyxy+−−=上一点()2,4作圆的切线l，则直线l的方程为（）A．2100xy+−=B．280xy+−=C．260xy−+=D．20xy−=【答案】A【解析】设()2,4P，设圆心为()1,2C,

由于()2,4P在圆上，所以42221PAk−==−,所以切线的斜率为12−，由点斜式可得切线方程为()1422yx−=−−，即2100xy+−=，故选：A【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定

系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型六：求过圆外一点的切线方程例16．（2023·甘肃武威·高二天祝藏族自治县第一中学校考开学考试）过点()2,4M向圆()()22131x

y−++=引切线，则其切线方程为.【答案】247200xy−−=或2x=【解析】当切线斜率不存在时，切线方程为2x=，当切线斜率存在时，设切线方程为()42ykx−=−，即420kxyk−+−=，再根据圆心()1,3−到切线的距离等于半径

可得234211kkk++−=+，解得247k=，此时切线方程为247200xy−−=.故答案为：247200xy−−=或2x=例17．（2023·新疆昌吉·高二统考期中）过点()2,2P的圆()22:12Cxy+−=的切

线方程【答案】2x=或22520xy+−=【解析】由圆C方程知：圆心()0,1C，半径2r=；当过P的直线斜率不存在，即直线方程为：2x=时，直线与圆C相切；设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为：()22ykx−=−，即220kxyk−−+=，则圆心C到直线的距离21221kdk−==+，

即24k=−，该切线方程为：25042xy−−+=，即22520xy+−=；综上所述：所求切线方程为2x=或22520xy+−=.故答案为：2x=或22520xy+−=.例18．（2023·全国·高二课堂例题）经过点()4,5P，且与圆()2224xy−+=相切的直线的方程为．【答案】

4x=或2120160xy−+=【解析】因为()22425294-+=>，所以点P在圆()2224xy−+=外．方法一若直线的斜率存在，依题意，设直线的方程为()54ykx−=−，即540kxyk−+−=．又圆心为()2,0，半径2r=，且圆心到切线的距离等于半径，所以2205421kkk−+−=

+，解得2120k=，(过圆外一点有两条直线与圆相切，因此若解得只有一个k值时，另一直线的斜率一定不存在)所以直线的方程为2120160xy−+=．若直线的斜率不存在，则直线的方程为4x=，显然满足题意．综上可知，满足题意的直线的方程为2120160xy−+=或4x=．方法二

设所求切线方程为()002(2)4xxyy−−+=，其中00(,)xy是圆上的切点，将(4，5)代入后，得00()2254xy−+=．由()()0022002254,24,xyxy−+=−+=

解得004,0xy==或0016,2940.29xy==故所求切线方程为4x=或2120160xy−+=．故答案为：4x=或2120160xy−+=变式17．（2023·全国·高二专题练习）过点(

4,3)−的圆22(3)(1)1xy++−=的切线方程为．【答案】4x=−或340xy+=【解析】当切线的斜率不存在时，切线的方程为4x=−，圆心(3,1)−到该直线的距离等于半径1，符合题意，当切线的斜率存在时，设过点(4,3)−的切线方程为3(4)ykx−=+，即430kxyk−++=，∵圆心

到直线430kxyk−++=的距离等于半径，∴2|3143|11kkk−−++=+，解得34k=−，∴切线方程为340xy+=，综上所述，切线方程为4x=−或340xy+=．故答案为：4x=−或340xy+=．变式18．（2023·

高二单元测试）经过点()3,5M作圆225xy+=的切线，则切线的方程为.【答案】5y=或352750xy−−=【解析】圆225xy+=的半径为5，圆心为()0,0，当切线的斜率不存在时，方程3x=，与圆225xy+=不相

切，所以切线的斜率存在，设切线方程为()53ykx−=−，即350kxyk−−+=，圆心()0,0到切线的距离23551kk−+=+，解得0k=或352，所以切线的方程为5y=或352750xy−−=.故答案为：5y=或352750xy−−=.变式19．（2023·全国·高二专题练习）过点

()3,2P−且与圆C：222410xyxy+−−+=相切的直线方程为【答案】3x=或3410xy+−=【解析】将圆C方程化为圆的标准方程()()22124xy−+−=，得圆心()1,2C，半径为2r=，当过点()3,2P−的直线斜

率不存在时，直线方程为3x=是圆C的切线，满足题意；当过点()3,2P−的直线斜率存在时，可设直线方程为()23ykx+=−，即320kxyk−−−=，利用圆心到直线的距离等于半径得22421kk+=

+，解得34k=−，即此直线方程为3410xy+−=，故答案为：3x=或3410xy+−=．【方法技巧与总结】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法．一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况．题型

七：求切线长例19．（2023·全国·高二专题练习）过点()1,2P−引圆222220xyxy++−−=切线，则切线长是.【答案】3【解析】把圆的方程化为标准方程得：22(1)(1)4xy++−=，得到圆心A坐标为()1,

1−，圆的半径2r=，22(11)(21)13PA=++−−=，切线长是221343PAr−=−=，故答案为：3例20．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）由直线yx=上的点向圆()()2

2421xy−++=引切线，则切线长的最小值为.【答案】17【解析】圆()()22421xy−++=的圆心为()4,2,1Cr−=，在直线yx=上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A．连接,PCAC．

在RtPAC△中，1CAr==．要使PA最小，则PC应最小．又当PC与直线垂直时，PC最小，其最小值为42322+=．故PA的最小值为()2232117−=．故答案为：17.例21．（2023·全国·高二专题练习）由直线60x

y++=上一点P向圆()()22:354Cxy−++=引切线，则切线长的最小值为．【答案】2【解析】设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，则PECE⊥，圆C的圆心为()3,5C−，半径为2r=，则22PEPCr=−，当PC与直线60xy++=垂直时，PC取最小值，且最小值为356222−+=

，所以，22842PEPCr=−−=，即切线长的最小值为2.故答案为：2.变式20．（2023·河北唐山·高二统考期末）已知圆1O：221xy+=，圆2O：22(3)(4)100xy−+−=，过圆2O上的任意一点P作圆1O的两条切线，切点为A，B，则四边形1P

AOB面积的最大值为.【答案】414【解析】圆1O：221xy+=的圆心()10,0O，半径11r=，圆2O：22(3)(4)100xy−+−=的圆心()23,4O，半径210r=，四边形1PAOB面积11222

111112212△PAOBPAOSSPAAOPAPOAOPO====−=−，∵()()22112230401015POOOr+=−+−+=，∴四边形1PAOB面积的最大值为2151414−=.故答案为：414.变式21．（2023·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系xOy中，过x

轴上的点P分别向圆()()2217:14Cxy−++=和圆()()222:259Cxy−+−=引切线，记切线长分别为1d、2d.则12dd+的最小值为.【答案】52【解析】圆1C的圆心为()11,4C−，半径为17r=；

圆2C的圆心为()22,5C，半径为23r=.设点(),0Pt，则()()()222222111147103dPCrtt=−=−+−=−+−，所以，1d的几何意义是点P到点()1,3A的距离，()()()222222222259204dPCrtt=−=−+−=−++，所以，2d

的几何意义是点P到点()2,4B−的距离，如下图所示：()()2212123452ddPAPBAB+=+=−++=，当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，故12dd+的最小值为52.故答案为：52.变式22．（2023·

河北邢台·高二统考期中）过点()1,3A作圆()()22:214Mxy−++=的一条切线，切点为B，则AB=.【答案】13【解析】由圆的方程知：圆心()2,1M−，半径2r=，()()22123117AM=−++=，2213ABAMr=

−=.故答案为：13.【方法技巧与总结】利用切线长公式求解．题型八：已知切线求参数例22．（2023·全国·高二专题练习）若直线30xy−+=与圆22220xyxa+−+−=相切，则=a（）A．9B．8C．7D．6【答案】A【解析】圆22(1)1xya−+=−(1)a>的圆心(1,0)，半径1a−

，依题意，22|103|11(1)a−+=−+−，解得9a=，所以9a=.故选：A例23．（2023·全国·高二专题练习）若直线1(0,0)axbyab+=，与22:1Oxy+=e相切，则2+ab最大值为（）A．

3B．5C．3D．5【答案】B【解析】22:1Oxy+=e的圆心为()0,0，半径为1，因为直线1(0,0)axbyab+=，与22:1Oxy+=e相切，所以2211ab=+，即221ab+=，所以可设,ncossiab

==，所以()2cos2sin5sin5,5ab+=+=+−，其中1tan2=，故选：B例24．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：()()22114xy++−=，若直线5ykx=+上总存在

点P，使得过点P的圆C的两条切线夹角为60，则实数k的取值范围是（）A．815k−B．815k−或1kC．815k−或0kD．1k【答案】C【解析】设两切点为,AB，则PAPB=，60APB=o，所以||4PC=

,因此只要直线l上存在点P，使得4PC=即可满足题意．圆心(1,1)C−，所以圆心到直线的距离21541kdk−−+=+，解得0k或815k−．故选：C．变式23．（2023·河南周口·高二校考阶段练习）

已知直线:33lxy=+与圆22:430Cxyxmy+−++=相切，则m的值为（）A．23−B．23C．233D．233−【答案】A【解析】由22430xyxmy+−++=，得()2222124mmxy−++=+，所以圆心2,2mC−，半径214mr

=+.因为直线:33lxy=+与圆22:430Cxyxmy+−++=相切，所以232321413mm+−=++，解得23m=−，故选:A.变式24．（2023·高二课时练习）直线30mxym−++=与圆224xy+=相切，则m的值为（）A．3B．1C．33D

．3−【答案】C【解析】因为直线30mxym−++=与圆224xy+=相切，所以由圆心到直线的距离等于半径得：dr=，即2321mm+=+，解得：33m=.故选：C变式25．（2023·福建厦门·高二厦门一中校考阶段练习）若曲线y＝24−x与直线y＝k(x－2)＋4有两个交点，

则实数k的取值范围是（）A．3,14B．3,4+C．(1，＋∞)D．(1，3]【答案】A【解析】根据题意画出图形，如图所示．由题意可得，曲线y＝24−x的图象为以(0，0)为圆心，2为半径的半圆，直线l恒过A(2，4)，由图当直线l与半圆相

切时，圆心到直线l的距离d＝r，即2|42|1kk−+＝2，解得k＝34；当直线l过B点时，直线l的斜率k＝40122−=−(−)，则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的取值范围为3,14.故选：A.变式26．（2023·四川成都·高二成都七中校考期末）若直线2yxc=+先向右平移

一个单位，再向下平移一个单位，然后与圆225xy+=相切，则c的值为（）A．8或-2B．6或-4C．4或-6D．2或-8【答案】A【解析】将直线2yxc=+先向右平移一个单位，再向下平移一个单位所得直线方程为()211yxc=−+−，因直线230xyc−+−=与圆2

25xy+=相切，从而得22|3|52(1)c−=+−，即|3|5c−=，解得8c=或2c=−，所以c的值为8或-2.故选：A变式27．（2023·全国·高二专题练习）过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，当三角形OAB的面积最小时直线l与圆()()22

15xym++−=相切，则实数m的值为（）A．﹣1或4B．1或6C．0或5D．2或7【答案】C【解析】因为过点P（2，1）的直线l与坐标轴的正半轴交于A，B两点，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），其中k＜0，令y＝0，解得x＝12k−，令x＝0，则y＝1﹣2k，则A

（12k−，0），B（0，1﹣2k），所以11(2)(12)2OABSkk=−−＝1111(44)(244)22kkkk−−+−+−＝4，当其仅当14kk−=−，即k＝12−时取等号，此时直线l的方程为11(2)2yx−=−−，即x+2y﹣4＝0，因为直线l与圆()()221

5xym++−=相切，所以|124|514m−+−=+，解得m＝0或m＝5．故选：C【方法技巧与总结】利用切线定义进行转化，建立等量方程进行求解．题型九：求弦长问题例25．（2023·北京·高二北京十五中校考期中）圆224250xyxy+−+−=与直线250xy+−=相交于1P，2P两点，则12P

P=．【答案】25【解析】圆224250xyxy+−+−=的标准方程为()()222110xy−++=，则圆心为()2,1-，半径为10r=，圆心()2,1-到直线250xy+−=的距离为22225512d−−==+，如图所示，则由垂径定理可知，()(

)2222122210525PPrd=−=−=.故答案为：25.例26．（2023·全国·高二专题练习）若直线20xy−+=与圆224xy+=相交于,AB两点，则弦AB的长为．【答案】22【解析】由22

4xy+=可得圆心为()0,0，半径为2，圆心到直线的距离2211d==+，所以22||22(2)22AB=−=.故答案为：22.例27．（2023·全国·高二课堂例题）过点(0,2)P引一条直线l交圆22(1)4xy−+=于,AB两点，若23AB=，

则直线l的方程为．【答案】0x=或3480xy+−=【解析】当直线l的斜率不存在时，其方程为0x=，可求出它与圆22(1)4xy−+=的两交点坐标分别为()()0,3,0,3,−所以弦长23AB=，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2ykx=+，即20kxy−+=．圆心(1,0)到直

线20kxy−+=的距离2|2|1kdk+=+，依题意得2||24ABd=−，即22(2)23241kk+=−+，解得34k=−，此时，直线:3480lxy+−=.综上所述：直线l的方程为0x=或3480xy+−=.故答案为：0x=或3480xy+−=【方法技巧与总结】求弦长问题

主要使用几何方法，即解由半径、弦心距和弦长的一半组成的直角三角形，进一步求弦长．题型十：已知弦长求参数例28．（2023·北京海淀·高二清华附中校考期中）若直线ykx=被圆C：2220xyx++=截得的弦长为1，则k=．【答案】3【解析】圆C：2220xyx++=即22(1)1

xy++=，圆心为(1,0)，半径为1，则(1,0)到直线ykx=的距离为2||1kdk=+，由于直线ykx=被圆C：2220xyx++=截得的弦长为1，故2222||11()()21kk=++，解得3k=，故答案为：3例29．（2023·高二单元测试）经过点(3

,2)的直线l与圆()2229xy−+=交与P，Q两点，如果42PQ=，则直线l的方程为．【答案】3x=或3410xy−−=【解析】圆()2229xy−+=的圆心(2,0)C，半径3r=，因为圆C截直线l所得弦长为42

PQ=，则圆C到直线l的距离221(||)12drPQ=−=，因为直线l过点(3,2)A，则当直线l斜率不存在时，直线3x=，显然圆心C到直线3x=距离为1，因此直线l：3x=符合题意；当直线l斜率存在时，设其方程为2(3)ykx−=−，即320kxyk−−+=，于是22

|232|1(1)kkk−+=+−，解得34k=，方程为3410xy−−=，所以直线l的方程为3x=或3410xy−−=.故答案为：3x=或3410xy−−=例30．（2023·高二单元测试）过圆228470xyxy+−++=内一点()5,3A−的最短的弦所在的直线方

程是.【答案】80xy−−=【解析】将圆的方程整理成标准方程得22(4)(2)13xy−++=，则圆心C的坐标为(4,2)−，32154ACk−+==−−，所以由圆的几何性质得，当所求直线与直线AC垂直时，弦最短，此时所求直线的斜率为1，故所

求直线方程为31(5)yx+=−，即80xy−−=.故答案为：80xy−−=变式28．（2023·福建福州·高二校考期末）写出经过点(1,0)且被圆222210xyxy+−−+=截得的弦长为2的一条直线的方程．【答案】1yx=−或1yx=−+【解析】圆的方程可

化为()()22111xy−+−=，圆心为(1,1)，半径1r=．当过点(1,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为1x=，此时圆心在直线上，弦长22r=，不满足题意，所以过点(1,0)的直线的斜率存在，设过点(1,0)的直线的方程为(1)

ykx=−，即kxyk0−−=，则圆心(1,1)到直线kxyk0−−=的距为22|1|111kkdkk−−==++，依题意2222212221211krdkk=−=−=++，即21k=，解得1k=或1k=−，故所求直线的方程为

1yx=−或1yx=−+．故答案为：1yx=−或1yx=−+．变式29．（2023·全国·高二专题练习）若直线1:1lykx=+截圆()222:25Cxy−+=所得弦长AB4=，则k的值为.【答案】0或43−【解析】圆心()2,0到直线1:1

lykx=+的距离为2211kdk+=+，由222ABRd=−得()22214251kk+=−+，解得0k=或43k=−，故答案为：0或43−【方法技巧与总结】利用弦长公式进行转化求解．题型十一：切点弦问

题例31．（2023·河南南阳·高二统考期末）过坐标原点O作圆:C22430xyx+−+=的两条切线，切点分别为M，N，则MN=（）A．32B．32C．3D．2【答案】C【解析】圆22430xyx+−+=化为标准方程为()2221xy−+=，其圆心为()2,0C，半径为1，由题意知，

1MCNC==,=OMON,ONCN⊥,2OC=,所以1sin2CNNOCOC==,所以30NOC=.所以260MONNOC==,且2cos303ON==,所以MON△为等边三角形，所以3MNON==.故选:C．例32．（2023·福建

莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线4xy+=上一动点M，向圆22:4Oxy+=引两条切线，AB､为切点，线段AB的最小值为（）A．221+B．22C．23D．231+【答案】B【解析】圆22:4Oxy+=的圆心为原点，半径为

2r=，因为,AOAMBOBM⊥⊥，故,,,ABOM四点共圆，且OM为直径，设(),4Mmm−，则()224OMmm=+−，线段OM的中点坐标为4,22mm−，故以OM为直径的圆的方程为()2222244222mmmmxy

+−−−+−=，整理得：()2240xmxymy−+−−=，()2240xmxymy−+−−=与22:4Oxy+=相减得：直线AB的方程为()440mxmy+−−=，整理为()440mxyy−+−=，令0440xyy−

=−=，解得：11xy==，即直线AB恒过点()1,1D，要想线段AB取得最小值，只需ODAB⊥，即D为AB的中点，其中112OD=+=，则22222ABrOD=−=，故选：B例33．（2023·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知点M为直线10xy+−

=上的动点，过点M引圆221xy+=的两条切线，切点分别为,AB.则点()2,1P−到直线AB的距离的最大值为.【答案】5【解析】设00(,)Mxy，11(,)Axy，22(,)Bxy，由题得()()22101101110101,0yyyxxxxyyyxx−=−−+−−=，又22111xy+=

，所以01011xxyy+=，同理02021xxyy+=.即直线AB的方程是001xxyy+=，因为001xy+=，则001yx=−，代入001xxyy+=得()()0001110xxxyxxyy+−=−+

−=，则直线AB恒过定点()1,1，所以点()2,1P−到直线AB的距离()()2221115d−++=，所以点()2,1P−到直线AB的距离的最大值为5.故答案为：5.变式30．（2023·全国·高二专题练习）过点(2,2)P作圆224xy+=的两条切线，切点分别为A、B，则

直线AB的方程为．【答案】2+−xy0=【解析】方法1：由题知，圆224xy+=的圆心为()0,0，半径为2r=，所以过点(2,2)P作圆224xy+=的两条切线，切点分别为()0,2A、()2,0B，所以1A

Bk=−，所以直线AB的方程为2yx=−+，即20xy+−=；方法2：设()11,Axy，()22,Bxy，则由2211111142.12xyyyxx+=−=−−，可得112xy+=，同理可得222xy+=，所以直线A

B的方程为2+−xy0=.故答案为：20xy+−=变式31．（2023·江苏扬州·高二校考开学考试）已知圆22:4210Cxyxy+−−+=，点P是直线4y=上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，则AB的最小值为．【答案】453/453【解析】圆

22:4210Cxyxy+−−+=，即()()22214xy−+−=，由于PA，PB分别切圆C于点A，B，则PAPB=，CAPA⊥，CBPB⊥，所以2ACPAPBCSSCAPA==四边形△，因为2CACBr===，所以2APBCSPA=四边形，又PCAB⊥

，所以12APBCSABCP=四边形，所以14PAABCP=，即24441PAABCPCP==−，所以AB最短时，CP最短，点C到直线4y=的距离即为CP的最小值，所以min3CP=，所以AB的最小值为4454193−=故答案为：453变式32

．（2023·高二单元测试）过圆221xy+=外一点(2,1)P−引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程是．【答案】210xy−−=【解析】设切点分别为()()1122,,,AxyBxy，因为点,AB在圆221xy+=上，所以以,AB为切点的切

线方程分别为：11221,1xxyyxxyy+=+=，而点()2,1P−在两条切线上，所以112221,21xyxy−=−=，即点P满足直线21210xyxy−=−−=.故答案为：210xy−−=.变式33．（2023·吉林长春·高二长春吉大附中实验学

校校考阶段练习）已知圆C：()()22124xy−+−=，则过点()3,4P作的圆C的切线，切点分别为A､B，则直线AB方程为【答案】50xy+−=【解析】()()2222314242PAPCr=−=−+−−=，故以P为圆心，PA为半径的圆为()()2

2344xy−+−=，两圆方程相减得到50xy+−=即为直线AB方程.故答案为：50xy+−=.变式34．（2023·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）已知圆22:4Oxy+=，过动点(),4Paa+分

别作直线PM、PN与圆O相切，切点为M、N，设经过M、N两点的直线为l，则动直线l恒过的定点坐标为．【答案】()1,1−【解析】设点()00,Qxy为圆O上一点，当OQ的斜率存在且不为零时，直线OQ的斜率为00yx，此时，圆O在点()00,Qxy处的切线方程为()0000xy

yxxy−=−−，即2200004xxyyxy+=+=，当OQ与x轴重合时，00y=，204x=，此时切线方程为0xx=，满足004xxyy+=，当OQ与y轴重合时，00x=，204y=，此时切线方程为0yy=，满足004xxyy+=.综上所述，圆O在其上一点()00,

Qxy处的切线方程为004xxyy+=.设点()11,Mxy、()22,Nxy，则直线PM的方程为114xxyy+=，直线PN的方程为224xxyy+=，由题意可得()()11224444axayaxay++=++=，所以，点M、

N的坐标满足方程()440axay++−=，故直线MN的方程为()440axay++−=，即()()440axyy++−=，由0440xyy+=−=，解得11xy=−=，因此，直线l恒过的定点坐标为()1,1−.故答案为：()1,

1−.变式35．（2023·高二校考单元测试）已知点P是直线():0lyxmm=+上一点，过点P作圆22:4Oxy+=的两条切线，切点分别为A和B．若圆心O到直线AB的距离的最大值为2，则实数m=．【答案】4【解析】连接OA

，OB，OP，AB，设AB与OP相交于点E，易知AB被OP垂直平分，OAAP⊥，圆心O到直线AB的距离为OE，RtOAP△中，有2||||||OAOEOP=，即2||||4OEOPr==，∵圆心O到直线AB的

距离的最大值为2，则||OP的最小值为22，依题意，知||OP的最小值为点O到直线yxm=+的距离，∴||222m=，即||4m=，∵0m，∴4m=.故答案为：4.变式36．（2023·全国·高二期中）已知点Q是直线l：40xy−−=上的动点，过点

Q作圆O：224xy+=的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点.【答案】(1，－1)【解析】由题意可设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：224xy+=的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在

直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得nx＋ny＋4x－4＝0，则有0440xyx+=−=，解得11xy==−，则直线AB恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).【方法技巧与

总结】求切点弦问题利用同构法求解．题型十二：最值问题例34．（2023·广东佛山·高二校联考期中）过点()5,0P−作直线()()()121430mxmymm+−+−−=R的垂线，垂足为M，已知点()3,11N，则MN的最大值为．【答案】1310+/1013+【解析】

直线方程可化为：()()2430xymxy−−+−−=，由24030xyxy−−=−−=得：12xy==−，直线恒过定点()1,2Q−，PM与直线垂直，垂足为M，M点轨迹是以PQ为直径的圆，则圆心()2,1C−−，半径()()225102102−−++==r，()()22max3

2111101310MNCNr=+=++++=+.故答案为：1310+.例35．（2023·高二单元测试）已知点P在直线2yx=−上运动，点E是圆221xy+=上的动点，点F是圆22(6)(2)9xy−++=上的动点，则PFPE−的最大值为．【答案】8

【解析】如图所示，圆22(6)(2)9xy−++=的圆心为()6,2A−，半径为3，圆221xy+=的圆心为()0,0O，半径为1，可知33,11PAPFPAPOPEPO−+−+，所以()()314PFPEPAPOPAPO−+−−=−+

，若求PFPE−的最大值，转化为求PAPO−的最大值，设()0,0O关于直线2yx=−的对称点为B，设B坐标为(),mn，则1222nmnm=−=−，解得22mn==−，故B()2,2−，因为POPB=，可得4PAPOPAPBAB−=−=，当P，B，

A三点共线，即P点为()10,2P−时，等号成立，所以PFPE−的最大值为448+=.故答案为：8.例36．（2023·全国·高二专题练习）设点()0,1Mx，若在圆22:1Oxy+=上存在点N，使得

45OMN=，则07x的最大值是．【答案】17【解析】由题意知直线MN与圆O有公共点，即圆心O到直线MN的距离小于等于1，如图，作OAMN⊥，垂足为A，在直角OMA中，因为45OMN=，所以sin45OAOM=

212OM=，解得2OM，因为点()0,1Mx，所以2012OMx=+，解得011x−，故0x的取值范围是1,1−，所以07x的最大值是17.故答案为：17变式37．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆224230xyxy+−

−+=被直线12:20,:210laxyalxaya+−−=−+−=截得的两条弦长分别为,mn，则mn的最大值为．【答案】4【解析】因为圆224230xyxy+−−+=可化为()()22212xy−+−=，故圆心为()2,1C，半径为2r=，所以圆

心()2,1C到1:20laxya+−−=的距离为122212111aaadaa+−−−==++，则该圆被1l截得弦长满足()()222221224148448811aaamrdaa−−+=−=−=−++，圆心()2,1C到2:2

10lxaya−+−=的距离为222221111aaadaa−+−+==++，则该圆被2l截得弦长满足()()222221224148448811aaanrdaa+++=−=−=−++，所以2222881681amna++=−=+，则2228mnmn+=，即4mn，当且仅当2mn==，即0a

=时，等号成立，所以mn的最大值为4.故答案为：4.变式38．（2023·全国·高二专题练习）已知实数1x，2x，1y，2y满足22114xy+=，22229xy+=，12120xxyy+=，则11224

9xyxy+−++−的最大值是．【答案】1326+/2613+【解析】由22114xy+=，22229xy+=可知，点()11,Axy，()22,Bxy分别在圆224xy+=和圆229xy+=上，如图，作直线:lyx=−，过B作BDl

⊥于D，过A作AEl⊥于E，而11221122|4||9||4||9|222xyxyxyxy+−+−+−++−=+，其中11|4|2xy+−表示A到直线40xy+−=的距离1d，22|9|2xy+−表示B到直

线90xy+−=的距离2d，因为yx=−与40xy+−=，90xy+−=平行，且yx=−与40xy+−=的距离为322042211d−==+，yx=−与90xy+−=的距离为4220992211d−==+，要使112249xyxy+−++−的取最大值，则,AB需在直线:lyx=−的左下角

这一侧，所以1||22dAE=+，292||2dBD=+，由12120xxyy+=得OAOB⊥，设π,0,2DOB=，因为OAOB⊥，所以π2AOE=−，从而π||||sin3sin,||||sin2cos2BDBOAEAO

===−=，故()32||||3sin2cos13sincos13sin1313BDAE+=+=+=+，其中π20,,tan23=，故当π2=−时，||||BDAE+取最大值13，从而()11221213

2492226132xyxyddAEBD+−++−=+=+++，即1122|4||9|xyxy+−++−的最大值为2613+．故答案为：2613+．变式39．（2023·四川遂宁·高二统考期末）已知实数x，y满足2

2(2)1xy−+=，则2232xyxy−+的最大值为.【答案】32【解析】不妨设点(),Pxy是圆22(2)1xy−+=上任一点，则223321(3)xyxy−−=+的几何意义为点P到直线30xy−

=的距离，过P作30xy−=的垂线，垂足为T，则32xyPT−=，又22xy+表示点P到原点的距离||PO，从而223sin2xyPTPOTPOxy−==+，又直线ykx=与圆22(2)1xy−+=相切时，22211k=+，解得3k=，所以

当直线OP为圆的另一条切线30xy+=时，POT最大，sinPOT取最大值，此时ππ3sinsin2sin632POT===，所以2232xyxy−+的最大值为32，故答案为：32变式40．（2023·上海

静安·高二校考期末）已知实数1212,,,xxyy满足2222112211xyxy+=+=，，121212xxyy+=，则11221122xyxy+−+−+的最大值为.【答案】32+/23+【解析】设圆22:1Oxy+=，直线:10lxy+−=，11(,)Mxy，2

2(,)Nxy，则11(,)Mxy，22(,)Nxy都在圆221xy+=上，∵222222121212121212||()()221MNxxyyxxxxyyyy=−+−=+−++−=，1OMON==，∴△MON是等边三角形，∴60MON

=．1122|1||1|22xyxy+−+−+表示M和N到直线:10lxy+−=的距离和||||MMNN+，由图形得只有当M、N都在直线l的下方时，该距离之和才会取得最大值．取M、N的中点G，过G作GGl⊥

，垂足为G，则||||2||MMNNGG+=，∵MON△为等边三角形，G为MN的中点，∴32OG=，则G在圆2234xy+=上运动，则当MN∥l时，G到直线10xy+−=距离的最大值为3222+，∴||||2||M

MNNGG+=的最大值为3223222+=+．故答案为：32+变式41．（2023·河北衡水·高二校考阶段练习）已知直线l：320xy++=与x，y轴的交点分别为A，B，且直线1l：310

mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=相交于点P，则PAB面积的最大值是.【答案】10253+【解析】因为()110mm+−=，所以直线1l：310mxym−−+=与直线2l：310xmym+−−=垂直

，又直线1l方程310mxym−−+=可化为()13ymx−=−，所以直线1l过点()3,1M，因为直线2l方程310xmym+−−=可化为()31myx−=−，所以直线2l过点()1,3N，所以PMPN⊥，故点P的轨迹为以

MN为直径的圆，又线段MN的中点C的坐标为()2,2，22MN=，所以点P的轨迹方程为()()22222xy−+−=，因为()2,2C到直线320xy++=的距离32221010d++==，所以点P到直线l的距离的最大值为102+，由方程320xy++=取

0x=可得=2y−，取0y=可得23x=−，所以点A的坐标为203−，，点B的坐标为()0,2−，所以4210493AB=+=，所以PAB面积的最大值为()121010223+，即10253+，故答案为：10253+.变式42．（2023·江苏·高二假期作业

）已知实数,xy满足方程22(2)3xy−+=，求yx−的最大值和最小值．【解析】设yxb−=，即yxb=+，则当直线yxb=+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，圆22(2)3xy−+=的圆心为(2,0)，半径为3

r=，则2032b−+=，解得26b=−，所以yx−的最大值为26−+，最小值为26−−.变式43．（2023·高二课时练习）（1）如果实数x，y满足()2223xy−+=，求yx的最大值和最小值；（2）已知实数x，y满足方程()22114xy+−=，求()()2223xy−+−的取值范围．【

解析】（1）解法一：如图，当过原点的直线l与圆()2223xy−+=相切于上方时yx最大，过圆心()2,0A作切线l的垂线交于B，在RtABO△中，2,3OAAB==．∴切线l的倾斜角为60，∴yx的最大值为3．同理可得yx的最小值为3−．解法二：令ynx=，将ynx=与()2223xy−+=

联立，消去y得()221410nxx+−+=，()()224410n=−−+，即23n，∴33n−，即yx的最大值、最小值分别为3,3−．（2）22(2)(3)xy−+−可以看成圆上的点(),Pxy到()2,3A的距离．圆心()0,1C到()2,3A的距离为22(02

)(13)22d=−+−=．由图可知，圆上的点(),Pxy到()2,3A的距离的范围是1122,2222−+，则()()2223xy−+−的取值范围是1122,2222−+．变式44．（2023·全国·高二专题练习）已知(),M

xy为圆C：22414450xyxy+−−+=上任意一点，且点()2,3Q−．（1）求MQ的最大值和最小值．（2）求32yx−+的最大值和最小值．（3）求yx−的最大值和最小值．【解析】（1）圆C：()()22224

14450278xyxyxy+−−+=−+−=，如图所示，连接QC交圆C于AB两点，当M与A重合时MQ取得最小值，即()()2222732222QCr−=++−−=，与B重合时MQ取得最大值即62QC

r+=，故最大值为62，最小值为22；（2）易知32MQykx−=+，由图形知当MQ与圆C相切时取得最值，如图所示.可设():23MQlykx=++，则C到其距离为244221krk−==+，解得23k=，故最大值为23+，最小值为23−（3）设yxz−=，如图所示，z即过点M的直线

yxz−=的截距，如图所示，当该直线与圆相切时截距取得最值.圆心C到该直线的距离为5222zr−==，所以1z=或9，故最大值为9，最小值为1.变式45．（2023·全国·高二专题练习）已知半径为83的圆C的圆心在y轴的正半轴上，且直线12910xy−−=与圆C相切．

(1)求圆C的标准方程．(2)已知()0,1A−，P为圆C上任意一点，试问在y轴上是否存在定点B（异于点A），使得PBPA为定值？若存在，求点B的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在（2）的条件下，若点()4,6D，试求12PAPD+的最小值．【解析】（1）由题意设圆心坐标为

()0,(0)bb，则圆C的方程为()2264(0)9xybb+−=．因为直线12910xy−−=与圆C相切，所以点()0,Cb到直线12910xy−−=的距离()229183129bd−−==+−，因为0b，所以133b=，故圆C的标准方程为22136439xy+−=

．（2）假设存在定点B，设()()0,1Bmm−，(),Pxy，则222641326359333xyyy=−−=−+−，则()()()()222222222352626352333332322635113333mmyyyymxymPBPAxyyyyy−+−−+−+−+

−===++−+−+−++．当235262330323233mm−−=−，即3m=（1m=−舍去）时，PBPA为定值，且定值为12，故存在定点B，且B的坐标为()0,3．（3）由（2）知PBPA=12，故PB=12PA，从而12P

APD+=PBPD+，当且仅当PBD、、三点共线时，PBPD+的值最小，且()minPBPD+5BD==.变式46．（2023·全国·高二专题练习）已知P是直线3480xy++=上的动点，PA，PB是圆22:2210Cxyxy+−−+=的两条切线，A，B是切点．求四边形PACB面积的最小值.【解析

】圆22:2210Cxyxy+−−+=即圆()()22:111Cxy−+−=，所以圆心()1,1C，半径1r=，连接PC，由P点在直线3480xy++=上，可设P点坐标为3,24xx−−，所以1222PACPACBSSAPACAP===四边形△，因为22

221APPCCAPC=−=−，所以当2PC最小时，AP取最小值．因为()2222351121944xxPCx=−+++=++．所以当45x=−时，2min9PC=．所以min9122AP=−=，即四边形PACB面积的最

小值为22．变式47．（2023·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）已知直线():12530,Rlmxmymm−+−+=和圆()()22:214Cxy−+−=．(1)证明：圆C与直线l恒相交；(2)求出直线l被圆C截得的弦长的最小值．【解析】（1）(

):12530lmxmym−+−+=变形为()0253mxyx−+−=+，令25030xyx+−=−+=，解得31xy==，故直线l过定点()3,1A，因为()()22321114−+−=，故(

)3,1A在圆C内，故圆C与直线l恒相交；（2）因为直线l过定点()3,1A，且()3,1A在圆C内，故当直线l与AC垂直时，直线l被圆C截得的弦长最小，其中()23201CA=−+=，圆()()22:214Cxy−+−=的半径为2，故弦长最小值为2222123−=.变式48．（20

23·福建福州·高二福建省福州第一中学校考期末）已知圆22:(2)25Cxy−+=.(1)设点31,2M−，过点M作直线l与圆C交于A，B两点，若||8AB=，求直线l的方程；(2)设P是直线80−+=xy上一点，过P作圆C的切线PE，PF，

切点分别为E，F，求PCEF的最小值.【解析】（1）圆22:(2)25Cxy−+=的圆心(2,0)C，半径=5r，因为直线l被圆C截得的弦AB长为8，则圆心C到直线l的距离为221(||)32rAB−=，因为点(2,0)C到直线=1x−的距离为3，因此直线l的方程可为：=1x−，当直线l的斜率

存在时，设直线l的方程为：3(1)2ykx−=+，即22320kxyk−++=，则有2|432|344kkk++=+，解得34k=，直线l的方程为：33(1)24yx−=+，即3490xy−+=，所以直线l的方

程为=1x−或3490xy−+=.（2）由（1）知，圆心(2,0)C到直线80−+=xy的距离22|28|521(1)d+==+−，依题意，PECE⊥，PCF≌PCE，PC垂直平分弦EF，如图，四边形PECF面积11||||22|

|||5||22PCESPCEFSPECEPE====，于是2222||||10||10||||10||251025PCEFPEPCCEPCd==−=−−210(52)2550=−=，当且仅当PC垂直于直线80−+=xy

时取等号，所以PCEF的最小值为50.变式49．（2023·黑龙江佳木斯·高二富锦市第一中学校考阶段练习）已知圆C经过点()2,0和()0,2且圆心在直线4xy+=上．(1)求圆C的方程；(2)若点P为圆C上的任意一点，求点P到直线:220lxy++=距离

的最大值和最小值．【解析】（1）设圆心为(),Cab，半径为r()0r，则圆C的标准方程为()()222xaybr−+−=.由已知可得，()()()()22222220024abrabrab−+−=−+−=+=，解得222abr===，所以，圆C的标准方程为()()222

24xy−+−=.（2）由（1）知，圆心为()2,2C，半径2r=.圆心()2,2C到直线:220lxy++=的距离22222285521dr++==+.所以，直线l与圆C相离.所以，点P到直线:220lxy++=距离的最大值为8525dr+=+，最小值为8525dr−=

−.变式50．（2023·江苏南京·高二南京市第一中学校考期末）如图，圆()22:21Mxy−+=，点()1,Pt−为直线:1lx=−上一动点，过点P引圆M的两条切线，切点分别为,AB.(1)若1t=−，求切线所在直线方程；

(2)求AB的最小值.【解析】（1）由题意知：切线的斜率存在，可设切线方程为()11ykx+=+，即10kxyk−+−=，由圆的方程知：圆心为()2,0，半径1r=，则圆心M到切线的距离23111kdk−==+，解得：0k=或

34k=，所求切线方程为：1y=−或3410xy−−=.（2）连接,PMAB交于点N，设MPAMAN==，则2cos2cosABAM==，在RtMAP△中，1sinAMPMPM==，3PMQ，()max1sin3=，()min122cos193=−=，min42

3AB=.【方法技巧与总结】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题．这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形

结合．常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等．题型十三：三角形面积问题例37．（2023·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）设直线:5(0)lykxk=

+，交圆222xy+=于A，B两点，当OAB面积最大时，k=（）A．55B．255C．2D．12【答案】C【解析】由题意知圆O的圆心为()0,0，2r=，直线:5(0)lykxk=+经过定点()0,5，该点在圆外，

设圆心到直线l的距离为d，)0,2d，则222ABd=−，()22122AOBSABddd==−，令2dt=，则)0,2t，()2AOBStt=−，当1t=，即1d=时，AOBS最大，所以

2511dk==+，解得2k=.故选：C例38．（2023·云南曲靖·高二校考开学考试）直线0axbyc++=与圆22:16Oxy+=相交于两点M，N，若满足()2224cab=+，则MONS=.【答案】43【解

析】圆22:16Oxy+=圆心为()0,0O，半径4r=，所以圆心O到直线0axbyc++=的距离222214ccdabc===+，所以2222224243MNrd=−=−=所以1243432MONS==．故答案为：43．例39．（2023·辽

宁沈阳·高二沈阳二十中校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知直线20axy−+=与圆22:230Cxyx+−−=交于A，B两点，若钝角ABC的面积为3，则实数a的值是．【答案】34−/0.75−【解析】由圆22:230Cxyx+−−=，即()2214

xy−+=，可得圆心坐标为(1,0)C，半径为2r=，因为钝角ABC的面积为3，可得122sin32ABCSACB==，解得3sin2ACB=，因为2ACB，所以23ACB=，可得22||2cos23ABACBCACBCACB=+−=

，设圆心到直线的距离为d，又由圆的弦长公式，可得2423d−=，解得1d=，根据点到直线20axy−+=的距离公式2|2|11ada+==+，解得34a=−．故答案为：34−．变式51．（2023·高二课时练习）已知圆22:4Oxy+=，直线l过点(1,1)且

与圆O交于A，B两点，当AOB面积最大时，直线l的方程为．【答案】20yx+−=【解析】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为1x=，则由214y+=，得3y=，所以()()1,3,1,3AB−23AB=,12313

2AOBS==△当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为()11ykx−=−原点O到直线l的距离为：211kdk−=+222224ABRdd=−=−()()2222224144222AOBddddSdddAB+−−=

−===V当且仅当224dd=−，即2d=时取得等号.由2121kdk−==+，解得1k=−由23故直线l的方程为：()11yx−=−−，即20yx+−=故答案为：20yx+−=变式52．（2023

·江西南昌·高二进贤县第二中学校考期中）在平面直角坐标系xoy中，已知点(3,0)P及圆22:24270Cxyxy+−−−=，动直线AB过点P且交圆C于A、B两点，则ABC的面积的最大值为.【答案】8

3【解析】圆22:24270Cxyxy+−−−=即()()221232xy−+−=，圆心为()1,2C，半径42r=，设C到直线AB的距离为d，∵()()22310222CP=−+−=，∴022d，所以()2223216256ABC

Sddd=−=−−+，所以当22d=时()max83ABCS=．故答案为：83变式53．（2023·福建泉州·高二校考期中）在圆22:4240Mxyxy+−+−=内，过点()00O，的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则

四边形ABCD的面积为（）A．24B．12C．10D．8【答案】B【解析】化圆224240xyxy+−+−=为()()22219xy−++=，可得圆心坐标为()2,1M−,半径为3.由圆的性质可得，最长的弦即圆的直径，故=6AC.因为()00O，，所以5MO=.弦最短时，弦BD与MO垂直

，且经过点O,此时2954BD=−=.故四边形ABCD的面积为11641222ACBD==.故选:B.变式54．（2023·高二课时练习）已知直线:34200lxy+−=与圆()()22:5516Cxy−+−=（圆心为点C）交于A，B两点，则ABC的面积为（）A．

7B．372C．37D．67【答案】C【解析】由题得圆心坐标为(5,5),4r=.所以圆心到直线的距离为22|35+4520|33+4−=，所以弦长22||24327AB=−=.所以ABC的面积为1273=37

2.故选：C变式55．（2023·高二课时练习）点已知动直线:220lkxyk−−+=恒过定点A，B为圆()()22:132Cxy−+−=上一点，若OAOB=（O为坐标原点），则AOB的面积为（）A．85B．3C．165D．245【答案】C【解析】将直线l的方程变形得()

22ykx−=−，所以直线l过定点()2,2A，易知点()2,2A在圆C上．连接OC，因为OAOB=，ACBC=，OCOC=，则OACOBC≌，所以，AOCBOC=，即OC为AOB的角平分线，所以，OCAB⊥，又3OCk=，所以113ABOCkk=−=−，则直线AB的方程为()1

223yx−=−−，即380xy+−=，所以圆心C到直线AB的距离2219810513d+−==+，点O到直线AB的距离228410513d−==+．又2410225ABd=−=，所以114104

101622555AOBSABd===△，故选：C．变式56．（2023·福建龙岩·高二校联考期中）设直线20axy++=与圆()22:24Cxy+−=相交于A、B两点，且ABC的面积为2，则=

a（）A．2B．3C．5D．7【答案】D【解析】由三角形的面积公式可得212sin22ABCSACB==△，可得sin1ACB=，0ACB，故2ACB=，则ABC为等腰直角三角形，所以，圆心C到直线20axy+

+=的距离为2sin24d==，由点到直线的距离公式可得2421da==+，解得7a=.故选：D.【方法技巧与总结】利用弦长公式求解．一、单选题1．（2023·湖南郴州·高二校考阶段练习）已知圆22100xyy+−=,过点

P（2，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．22B．23C．42D．43【答案】D【解析】由题意，圆的方程可化为()22525xy+−=，圆心坐标为()0,5C，半径=5r，设圆心到直线的距离为d，则过()2,2P的直线与圆的相交弦长222ABrd=−，当直线与CP所

在直线垂直时，d最大，此时()()22202513dCP==−+−=，当d最大时，AB最小，所以最小的弦长()22251343AB=−=.故选：D.2．（2023·高二课时练习）如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10，净高CD为7，则此隧

道圆的半径是（）A．5B．377C．375D．7【答案】B【解析】∵ODAB⊥，∴1110522ADDBAB====，在RtOAD△中，设半径OAR=，则7ODCDRR=−=−，∴222OAODAD=+，即()22275RR=−

+，解得377R=.∴此隧道圆的半径OA是377.故选：B3．（2023·新疆·高二校联考期末）已知直线l与圆22:60Cxyx++=交于,AB两点，则ABC面积的最大值为（）A．4B．5C．72D．92【答案】D【解析】由圆C的方程知：圆心(

)3,0C−，半径21632r==，设圆心C到直线l的距离为d，则222229ABrdd=−=−，()22222219999222ABCddSABddddd+−==−=−=（当且仅当322d=时

取等号），则ABC面积的最大值为92.故选：D.4．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图为从空中某个角度俯视北京奥运会主体育场“乌巢”顶棚所得的局部示意图，在平面直角坐标系中，下列给定的一系列直线中（其中为参数，R），能形成这种效果的只

可能是（）A．cossinyx=+B．cosyx=+C．sin1yx=+D．2cos2sin10xy++=【答案】D【解析】由题意可知：直线为以()0,0O为圆心的圆的切线，则()0,0O到直线的距离为定值.对于选项A：因为cossinyx

=+，即cossin0xy−+=，则()0,0O到直线的距离()222sinsincos1cos1d==++−不是定值，故A错误；对于选项B：因为cosyx=+，即cos0xy−+=，则()0,0O到直线的距离()22cos2cos211d==+−不是定值，故B错

误；对于选项C：因为sin1yx=+，即sin10xy−+=，则()0,0O到直线的距离()22211sin1sin1d==++−不是定值，故C错误；对于选项D：因为2cos2sin10xy++=，则()0,0O到直线的距离()()221122cos2sind==+

是定值，故D正确；故选：D.5．（2023·全国·高二专题练习）已知圆C：226440xyxy+−+−=，则过点()4,1M−的最短弦所在直线l的方程为（）A．220xy+−=B．50xy−−=C．30xy+−=D．260xy−−=【答案】C【解析

】由于224(1)644(1)40+−−+−−，故点()4,1M−在圆内，226440xyxy+−+−=化为标准方程：22(3)(2)17xy−++=.如图，设CHl⊥，垂足为H，设直线l和圆的交点是,A

B，根据垂径定理，2222217ABRCHCH=−=−，为使得AB最小，必须CH最大，显然2CHCM=，,HM重合的时候取得等号，此时CMl⊥，由于1CMk=，所以直线l的斜率为1−，故直线l的方程为()()14yx−

−=−−，即30xy+−=.故选：C6．（2023·辽宁大连·高二大连八中校考期中）中学时期，我们学过“过圆内定点，最长弦为直径”那么最短的弦又如何去刻画呢？请处理如下问题：过圆222440xyxy+−+−=内的点(

3,0)M作一条直线l，使它被该圆截得的线段最短，则直线l的方程是（）A．30xy+−=B．30xy−−=C．430xy+−=D．430xy−−=【答案】A【解析】由于22302340410+−+−=−

，故点(3,0)M在圆内，222440xyxy+−+−=化为标准方程：22(1)(2)9xy−++=，圆心为(1,2)C−，半径为3.如图，设CHl⊥，垂足为H，设直线l和圆的交点是,AB，根据垂径定理，222229ABRCHCH=−=−，为使得AB最小，必须CH

最大，显然22CHCM=，,HM重合的时候取得等号，此时CMl⊥，由于1CMk=，所以直线l的斜率为1−，故直线l的方程为()03yx−=−−，即30xy+−=.故选：A7．（2023·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已

知圆O：224xy+=与x轴正半轴交于点A，点B为圆上动点，点C为弦AB中点，则到直线330xy−+=的距离为32的点C的个数为（）A．0B．1C．2D．4【答案】C【解析】由题意知(2,0)A，设(,)Cxy，则(22,2)Bxy-，由于点B为圆22

4xy+=上动点，故22(22)(2)4xy−+=，即得点C的轨迹方程为22(1)1xy−+=，原点到直线330xy−+=的距离为32，而直线30xy−=和330xy−+=平行，它们之间的距离为32；又因为(1,0)到直线30xy−=的距离为

112，即直线30xy−=和22(1)1xy−+=相交，故圆22(1)1xy−+=上有2个点到直线330xy−+=的距离为32，即符合题意的点C的个数为2，故选：C8．（2023·江苏南通·高二江苏省如皋中学校考开学考试）已知圆C：224

30xyy+−+=，一条光线从点()2,1P射出经x轴反射，则下列结论不正确的是（）A．圆C关于x轴的对称圆的方程为22430xyy+++=B．若反射光线平分圆C的周长，则入射光线所在直线方程为3240xy−−=

C．若反射光线与圆C相切于A，与x轴相交于点B，则2PBPA+=D．若反射光线与圆C交于M，N两点，则CNM面积的最大值为12【答案】C【解析】对于A，由圆C方程可得()2221xy+−=，故圆心()0,2C，半径1r=，圆C关于x轴对称的圆的圆心为()0,2C

−，半径为1，所求圆的方程为：()2221xy++=，即22430xyy+++=，A正确；对于B，反射光线平分圆C的周长，反射光线经过圆心()0,2C，入射光线所在直线经过点()0,2C−，12322

CPk+==，入射光线所在直线方程为：322yx+=，即3240xy−−=，B正确；对于C，反射光线经过点()2,1P关于x轴的对称点()2,1P−，PBBAPBBAPA+=+=，2123PAPC=−=，则23PBBA+=，C错误；对于D，设π0

2CMN=，则圆心()0,2C到直线()12ykx+=−的距离sind=，221sin2cosMN=−=，11sincossin222CNMSMNd===，则当π4=时，()m

ax12CNMS=，D正确.故选：C.二、多选题9．（2023·江西九江·高二永修县第一中学校考开学考试）直线()22:10lxkyk−++=与圆22:1Cxy+=的交点个数不可能为（）A．0B．1C．2D．

3【答案】ABD【解析】圆22:1Cxy+=的圆心(0,0)C，半径1r=，则点(0,0)C到直线l的距离22222111(1)kkdkk=+++，因此直线l与圆C相交，它们有两个公共点，ABD不可能.故选：ABD10．（2023·

江苏盐城·高二校联考期中）若圆()222:0Oxyrr+=上恰有相异两点到直线40xy−−=的距离等于2，则r的取值可以是（）A．2B．2C．22D．33【答案】BC【解析】圆心()0,0到直线40xy−−=的距离2||422

d−==，因为圆上恰有相异两点到直线的距离等于2，所以<2dr−，即22<2r−，解得，232r结合选项可知，BC正确，故选：BC．11．（2023·广东东莞·高二东莞实验中学校考期中）方程2(1)21kxx−+=−有两个不等实根，则k

的取值可以是（）A．34B．45C．1D．54【答案】BC【解析】方程21(1)2xkx−=−+有两个不等实根，即函数21yx=−的图象和直线(1)2ykx=−+有2个交点．而函数21yx=−是以原点为圆心，半径等于1的上半圆（位于x轴及

x轴上方的部分），直线(1)2ykx=−+，即20kxyk−+−=的斜率为k，且经过点(1,2)M，当直线和半圆相切时，由2|002|11kk++−=+，求得34k=．当直线经过点(1,0)A−时，由0(12)3k=−−+求得1k=．数形结合可得k的范围为3(4,1]，故选：BC．.12．（20

23·江苏盐城·高二盐城中学校考阶段练习）已知实数,xy满足曲线C的方程22220xyx+−−=，则下列选项正确的是（）A．22xy+的最大值是31+B．11yx++的最大值是26+C．3xy−+的最小值是223−D．

过点()0,2作曲线C的切线，则切线方程为220xy−+=【答案】BD【解析】由圆22:220Cxyx+−−=可化为()2213xy−+=，可得圆心()1,0，半径为3r=，对于A中，由22xy+表示圆C上的点到定点()0,0O的距离的平方，所以它的最大值为22

2[(10)03]423−++=+，所以A错误；对于B中，11yx++表示圆上的点与点()1,1P−−的斜率k，设11ykx+=+，即()11ykx+=+，由圆心()1,0到直线()11ykx+=+的距离22131kdk−=+，解得2626k−+，所以11yx+

+的最大值为26+，所以B正确；对于C中，由3xy−+表示圆上任意一点到直线30xy−+=的距离的2倍，圆心到直线的距离4222d==，所以其最小值为()222346−=−，所以C错误；对于D中，因为点()0

,2满足圆C的方程，即点()0,2在圆C上，则点C与圆心连线的斜率为12k=−，根据圆的性质，可得过点()0,2作圆C的切线的斜率为1122kk=−=，所以切线方程为22(0)2yx−=−，即220xy−+=，所以

D正确.故选：BD.三、填空题13．（2023·全国·高二课堂例题）与直线3yx=+平行且与圆228()(23)xy+--=相切的直线的方程为．【答案】50xy−+=或30xy−−=【解析】方法一：设直线的方程为yxm=+，即

0xym−+=，圆228()(23)xy+--=的圆心坐标为(2,3)，半径为22，由23222m−+=，解得5m=或3m=−．故所求直线的方程为5yx=+或3yx=−，即50xy−+=或30xy−−=．方法二：设直线的方程为yx

m=+，与圆的方程联立，得()()22,238,yxmxy=+−+−=消去y，得222210650()xmxmm+++--=，则222108650()()mmm−−+−==，即22150mm--

=，解得5m=或3m=−，故所求直线的方程为5yx=+或3yx=−，即50xy−+=或30xy−−=．故答案为：50xy−+=或30xy−−=．14．（2023·江西景德镇·高二统考期中）若(),Pxy在圆()()22429xy−+−=上运动，则1yx+的最大值为；【答案

】247/337【解析】设1ykx+=，可得10kxy−−=，又因为点(),Pxy在圆()()22429xy−+−=上运动，则直线10kxy−−=与圆()()22429xy−+−=有公共点，且圆心坐标为()4,2，半径为

3r=，由点到直线的距离公式可得24331kk−+，整理可得27240kk−，解得2407k.因此，1yx+的最大值为247.故答案为：247.15．（2023·安徽合肥·高二合肥一六八中学校考阶段练习）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微

.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与22()()xayb−+−相关的代数问题，可以转化为点(),Axy与点(),Bab之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数()sin1cos1x

fxx+=+，π0,2x的值域为.【答案】1,22【解析】()()()sin1sin1cos1cos1xxfxxx−−+==+−−，所以函数()fx的几何意义是连结()cos,sinxx和()1,1−−的直线的斜率，点()co

s,sinxx，π0,2x在单位圆221xy+=上，如图，()10B,，()0,1C,101112ABk−−==−−，11210ACk−−==−−,所以()fx的值域为1,22.故答案为：1,2216．（2023·江

苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:(2)(3)1Cxy−+−=，点A是直线12yx=上一个动点，若圆C上存在两个点,BD，使得60BAD=，则点A的纵坐标的取值范围为.【答案】91,5【解析】由22(2)(3)1xy−+−=知圆心(2

,3)C，半径为1，过点A作圆C的切线，切点为,PQ，连接,ACCQ，若60PAQ，显然圆C上不可能存在点,BD，使得60BAD=；若60PAQ=，则2sin30CQAC==，此时圆C上不可能再存在其他的点,BD，使得60BAD=，,BD就是,PQ；若

60PAQ，则2AC，显然此时圆C上存在其他的点,BD，使得60BAD=；所以当2AC时满足题意，设(2,)Amm，则()()222232ACmm=−+−，解得915m.故答案为：91,5

.四、解答题17．（2023·四川资阳·高二统考期末）已知O的圆心为坐标原点，O上的点到直线l：220xy+−=的距离的最小值为1.(1)求O的方程；(2)过点()4,2P作O的两条切线，切点分别为A，B.求四边形OAPB的面积.【解析】（1）由题意，O的圆心()0,0O到直

线l：220xy+−=的距离2222211d==+，设O的半径为r，则O上的点到直线l距离的最小值为2drr−=−，由21r−=，解得1r=，所以O的方程为221xy+=.（2）由题可知，PAOA⊥，PBOB⊥，连结OP，则四

边形OAPB的面积12212POASSPAPA===△，又2224220OP=+=，则2220119PAOPOA=−=−=，所以四边形OAPB的面积19S=.18．（2023·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在

以小岛为圆心，半径为2km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西4km处，轮船航向为北偏西45，若轮船沿直线航行．(1)求出轮航线所在直线方程；(2)轮船是否会有触礁风险？说明理由．【解析】（1）以小岛中心为原点O，正东

方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向建立平面直角坐标系，由题意可知，轮航线所在直线过点()4,0，轮航线所在直线的倾斜角为135，斜率为1−，所以，轮航线所在直线方程为()4yx=−−，即40xy+−=.（2）原点O到轮航线所在直线的距

离为22422211d==+，所以，轮船没有触礁风险.19．（2023·河北廊坊·高二校联考开学考试）已知圆()()22:4116Cxy−+−=，直线:320lmxym+−−=．(1)证明：无论m为何值

，直线l与圆C总有两个不同的交点；(2)设直线l与圆C交于A，B两点，当ABC（C为圆心）的面积最大时，求直线l的方程．【解析】（1）320mxym+−−=可化为()23ymx−=−−，所以直线l恒过点()

3,2M．又()()22342116−+−，所以点()3,2M在圆C内，所以无论m为何值，直线l与圆C总有两个不同的交点．（2）因为圆心C到直线l的距离()22413210211mmmddmm+−−−==++，2216ABd=−，所以

()2224211616864272ABCSABdddddd==−=−=−−+△，当且仅当22d=，即2d=时，ABC的面积最大，此时2121mm−=+，解得1m=−，所以直线l的方程为10xy−−=．20．（2023·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试

）已知圆()22:21Cxy−+=，点P是直线:0lxy+=上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.(1)若P的坐标为()1,1P−，求过点P的切线方程；(2)直线0xym−+=与圆C交于E

，F两点，求OEOF的取值范围（O为坐标原点）.【解析】（1）P的坐标为()1,1P−,当斜率不存在时可设线为=1x−，此时圆心()2,0C到直线的距离()21=31d=−−，不符合切线要求，舍去；当斜率不存在时可设线为()11y

kx−=+，即10kxyk−++=，此时圆心()2,0C到直线的距离221=11kkdk++=+，即2430kk+=，可得0k=或34−，过点P的切线方程为10y−=或3410xy+−=.（2）设()11,Exy，()22,Fxy联立()22021xymxy−+=−+=，消去y，可

得()()2221xxm−++=，化简可得：()2222430xmxm+−++=，则()()22244230mm=−−+，即2420mm++，解得2222m−−−+，由韦达定理可得122xxm+=−，2

1232mxx+=，()()12121212OmxEOxxyyxFxmx=+=+++()()22222121223212xxmxxmmmmmm=+++=++−+=++，又2222m−−−+，())2122,522mOEOF

=+++.21．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）已知圆22:260Cxyxyt+−−+=，直线:220+−=lxy.(1)若圆C上至少有3个点到直线l的距离为5，求实数t的取值范围；(2)若直线l与圆C相交于,MN两点，O为原点且OMON⊥，求t的值.【解析】（

1）圆C方程化为22(1)(3)10xyt−+−=−，圆C的圆心()1,3到直线l的距离16255d+−==，若圆上至少有3个点到直线的距离为5，则有1055rt=−+，解得10t−，所以实数t的取值范围为(,

10−−.（2）（方法一）将22xy=−代入圆的方程得：25100yyt−+=，（*）设()()112222,,22,MyyNyy−−，则12122,5tyyyy+==，又OMON⊥，()()()1211212222502244yyOM

ONyyyyyy=−−+=−++=，4t=.检验：当4t=时，2240DEF+−，且方程()2*51040yy−+=中Δ0，满足条件.故4t=.（方法二）取MN中点D，连接,CDCM.则CDMN⊥，连接OD.由OMON⊥得12ODMNMD==，由（1）知5CDd==，设()22

,Dyy−，由()()221235CDyy=−+−=得1y=，()0,1D，所以1ODMD==，225MDMCCDt=−=−，51t−=，即4t=.22．（2023·江苏南通·高二金沙中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点()2,4P，圆22:4Oxy+

=与x轴的正半轴的交点是Q，过点P的直线l与圆O交于不同的两点,AB.(1)若直线l与y轴交于D，且8DPDQ=，求直线l的方程；(2)设直线,QAQB的斜率分别是12,kk，证明12kk+为定值；(3)设AB的中点为M，点4,03N，若133MNOM=，求QAB的面积

.【解析】（1）若直线l垂直于x轴，则方程为2x=，与圆只有一个交点，不合题意.故l存在斜率，设直线l的方程为()42ykx−=−，即240kxyk−−+=，圆心到直线l的距离2241kdk−+=+，因为直线l与

圆O交于不同的两点,AB，所以22421kdk−+=+，解得34k.又()()0,24,2,0DkQ−+，所以()()2,24,2,2DQkDPk=−=，所以()42248DPDQkk=+−=，解得12k=+或12k=−（舍

去），所以直线l的方程为()122220xy+−+−=.（2）联立224(2)4ykxxy−=−+=，得()()222142(24)40kxkkxk+−−+−−=，设()()1122,,,AxyBxy，则

()12221224(2)12441kkxxkkxxk−+=+−−=+，所以()()1212121212122424442222222kxkxyykkkxxxxxx−+−++=+=+=++−−−−−−()()12121244224xx

kxxxx+−=+−++()()222242441242(24)42411kkkkkkkkk−−+=+−−−−+++()4842221116kkkk+=−=−−=−，即12kk+的值是

1−.（3）设AB的中点00(,)Mxy，则由（2）知12020022(2)212(2)(2)41xxkkxkkykxk+−==+−−=−+=+，又由133MNOM=，得()22220000

41339xyxy−+=+，化简得22000640xyx++−=，所以222222(2)2(2)2(2)640111kkkkkkkk−−−−++−=+++，化简得43231061030kkkk−+

−+=，22(3103)(1)0kkk−++=，所以231030kk−+=，解得3k=或13k=（舍去），因为圆心到直线l的距离2242101kdk−+==+，所以246102424105ABd=−=−=，(2,0)Q到直线l：320xy−−=的距离60241010h−−==，所以11610412

225510ABQSABh===，即QAB的面积为125.