【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 4.2 等差数列 Word版含解析.docx，共(15)页，2.279 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-2ca4f76555dd3261f95887275cbc64f8.html

以下为本文档部分文字说明：

4.2等差数列一、单选题1．已知nS是等差数列na的前n项和，若315S=，975S=，则6S=（）A．40B．45C．50D．55【答案】A【分析】根据等差数列片段和性质可得()()363962SSSSS−=+−，解方程即可求得结果.【详解】由等差

数列性质知：3S，63SS−，96SS−成等差数列，所以()()363962SSSSS−=+−，即()()662151575SS−=+−，解得：640S=.故选：A.2．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共12层，每层的塔数均不

少于上一层的塔数，总计108座．已知其中10层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为8，则第11层的塔数为（）A．17B．18C．19D．20【答案】A【分析】设成为等差数列的其中10层的塔数为：1210,,,aaa，设出公差d，根据题意得109102ad=+，又*10Na

，0d，且*dN，故只能2d=满足，进而可得答案.【详解】设成为等差数列的其中10层的塔数为：1210,,,aaa，由已知得，该等差数列为递增数列，因为剩下两层的塔数之和为8，故剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层，所以，第十二层塔数必为10a；故()1101010881002aa

+=−=，11020aa+=①；又由1019aad−=②，0d，且*dN，所以，①+②得，102209ad=+，得109102ad=+，由11020aa+=知1020a，又因为*10Na，观察答案，当且仅当2d=时，10a满足条件，所以，1019a=；组成等差数列

的塔数为：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19；剩下两层的塔数之和为8，只能为2，6.所以，十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：1，2，3，5，6，7，9，11，13，15，17，19；其中第二层的2和第五层的6不组成等差数列，满足题意，则第11层的塔数为17.故

答案选：A3．已知等差数列na，nb的前n项和分别为nS，nT，且234nnSnTn+=，则55ab=（）A．12B．712C．58D．813【答案】B【分析】根据等差数列的性质以及等差数列的前n项和公式求得

正确答案.【详解】5595151922aaabbabb==++()()1999199292aaSTbb+==+，由题意可得99293217493612ST+===.故选：B4．设{}na是等差数列，10a

，200720080aa+，200720080aa，则使0nS成立的最大自然数n是（）A．4013B．4014C．4015D．4016【答案】B【分析】由题意利用等差数列的性质可得20070a

，且20080a，推出40130S，40150S，再根据20072008140140aaaa+=+可得40140S．【详解】因为首项为正数的等差数列na满足：200720080aa+，200720080aa，所以{}na为首项大于零的递减的等差数列，所

以20070a，且20080a，所以14013200720aaa+=，14015200820aaa+=，由1()2nnnaaS+=得，40130S，40150S，又因为20072008140140aaaa+=+，即40

140S，故选：B5．已知等差数列na，且()()37810123230aaaaa++++=，则数列na的前14项之和为（）A．14B．28C．35D．70【答案】C【分析】根据等差数列的性质及求和公式即可求解.【详解】解

：因为na为等差数列，所以()()37810125105103232236630aaaaaaaaa++++=+=+=，所以5105aa+=，则数列na的前14项之和()()()114141451011477352aaSaaaa+==+=+=.故选：C.6．记nS为

等差数列na的前n项和，且171622,==aSS，则nS取最大值时n的值为（）A．12B．12或11C．11或10D．10【答案】B【分析】设等差数列na的公差为d，由171622,==aSS可解出d值为2−，从而可知数列na前11项

为正；第12项为0；从第13项起，各项为负，所以nS取得最大值时n的值可确定．【详解】设等差数列na的公差为d，由716SS=，得1172116120adad+=+，即1110ad+=，又122a=

，所以2d=−，所以()2221242nann=−−=−，令0na=，可得12n=，所以数列na满足：当11n时，0na；当12n=时，0na=；当13n时，0na，所以nS取得最大值时，n的取值为11

或12．故选：B．7．已知数列na的前n项和为nS，满足24nSnn=−，则na=（）A．4n−B．21n−−C．36n−D．25n−【答案】D【分析】根据通项与前n项和的关系，分1n=与2n两种情况分别求解即可.【详解】当1n=时，21143a=−=−；当2n时，(

)()221414125nnnaSSnnnnn−=−=−−−−−=−，且当1n=时也满足25nan=−.故25nan=−.故选：D8．已知数列na满足112a=，11nnnaaa+=+，则1000a=（）A．11000B．11001C．11002D．1100

3【答案】B【分析】构造等差数列1na，结合等差数列的通项公式，求得na，再求结果即可.【详解】根据题意可得：11nnnnaaaa++−=，则1111nnaa+−=，故数列1na是首项为2，公差为1的等差

数列，则11nna=+，11nan=+，故100011001a=.故选：B.二、多选题9．设等差数列na的前n项和为nS，若812SS=，且11nnSSnn++（*nN），则（）A．数列na为递增数列B．11

0aC．存在正整数k，使得0kS=D．存在正整数m，使得3mmSS=【答案】ACD【分析】根据已知条件求得1,ad的关系式以及d的符号，由此对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】设等差数列na的公差为d，812SS=，9101

112101110,0,2190aaaaaaad+++=+=+=，1192ad=−2122nddSnan=+−，11910222222nSdddddnandndn=+−=+−−=−，()1191101222nSddndndn+=+−=−+，由

11nnSSnn++得1910,0,02222dddndndd−−，数列na为递增数列，A选项正确.11902ad=−，111191010220daddda=+=+=−，B选项错误.由上述分析可知2101022ndnSndndn=−=−，所以当20n=时，200S=，

所以存在正整数k，使得0kS=，C选项正确.223910,3022mmddSmdmSmdm=−=−，若3mmSS=，则229103022ddmdmmdm−=−，5m=（0m=舍去），D选项正确.故选：ACD10．设等

差数列na的前n项和为nS，公差为d．已知412a=，140S，150S，则下列结论正确的是（）A．70aB．2437d−−C．784S=D．设nSn的前n项和为nT，则0nT时，n的最大值为27【答案】BC【分析】由已知求得80a，70a，解公差为d的取值范围，

利用等差数列的通项公式求和公式及其性质逐个选项判断正误即可.【详解】∵140S，150S，∴()()1147814702aaaa+=+，()1158151502aaa+=，∴780aa+，80a，∴70a，A选项错误；又∵412a=，即1123a

d=−，∴78448434247041240aaadaddaadd+=+++=+=+=+，解得2437d−−，B选项正确；∵()177477842aaSa+===，故C选项正确；因为等差数列na的前n项和为nS，所以1(1)2nnnSnad−=

+，即112nSnadn−=+，由11nnSSnn−−=−11111222nndadad−−−+−+=，∴数列nSn为等差数列，设112nnSnbadn−==+，因为当14n时，0nS，当15n时，0nS，所以当14n时，0nb，当15n时，

0nb，所以1272714272702bbTb+==，1282812715281421424222bbTadd+==+=+，因为2437d−−，所以28T可能为正数，也可能为负数，所以D

选项不正确．故选：BC．11．已知数列na是公差不为0的等差数列，前n项和为nS.若对任意的*Nn，都有3nSS，则65aa的值可能为（）A．2B．53C．32D．43【答案】ABC【分析】由等差数数列前n项和公式推导出132dad−−≤≤，由此能求出65aa的值不可能为43.

【详解】数列na是公差不为0的等差数列，前n项和()112nnnSnad−=+.若对任意的*Nn，都有3nSS，2343SSSS，11113223243324322adadadad++++，解得132dad−−≤≤，当61

51524aadaad+==+时，13ad=−．成立；当61515543aadaad+==+时，152ad=−．成立；当61515342aadaad+==+时，12ad=−．成立；当61515443aadaad+==+时，1ad=−．不成立．65a

a的值不可能为43．故选：ABC．12．某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm，满盘时直径为120mm，已知该卫生纸的厚度为0.1mm，为了求出满盘时卫生纸的总长度l，下列做法正确的是（）A．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆

，由内向外各圈的半径分别是20.0，21.1，…，59.9B．从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05，20.15，…，59.95C．同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π的等差数列D．设卷筒的高度为h，由等式()22π60200.

1hhl−=可以求出卫生纸的总长l【答案】BCD【分析】把绕在盘上的纸近似地看作是一组同心圆，从内到外，半径依次组成等差数列，分别计算出各圆的周长，再由体积求总长即可．【详解】卫生纸的厚度为0.1mm，可以把绕在盘上的卫生纸近似地

看作一组同心圆，取半径时从每层纸的中间开始算，则由内向外各圈的半径组成首项为20.05，公差为0.1的等差数列，A选项错误，B选项正确；这个等差数列首项120.05a=，公差0.1d=，由59.95na=，得()59.9520.0510.1n=+−，解得400n=

；设各圈周长的nb，则2πnnba=，112π40.1πba==，112π2π2π0.2πnnnnbbaad++−=−==，所以各圈的周长组成一个首项为40.1π，公差为0.2π，项数为400的等差数列，C选项正确；利用体积相等，可得()22π6

0200.1hhl−=，D选项正确．故选：BCD三、填空题13．已知等差数列na的前n项和为nS，且85354Saa−=+，则na的前15项和15S=______.【答案】30【分析】设出公差，利用等差

数列通项公式和前n项和公式得到172ad+=，进而计算出()15115730Sad=+=.【详解】设等差数列na的公差为d，则8118788282Sadad=+=+，又51314,2aadaad=+=+，85354Sa

a−=+，所以11144858120aaddda−+−+=+，即172ad+=，()1511151415157302Sadad=+=+=.故答案为：30.14．我国古代《九章算术》一书中记载关于“竹九”问题：今有竹九节，下三节容量四升，上四

节容量三升，问五、六两节欲均容各多少？意思是下三节容量和为4升，上四节容量和为3升，且每一节容量变化均匀，问第五、六两节容量分别是多少？在这个问题中，九节总容量是__________.【答案】20122##3922【分析】设由下到上九节容量分别记为12

9,,...,aaa，则129,,...,aaa成等差数列，设公差为d，根据题意列方程解出基本量1ad、，即可利用公式求和.【详解】设由下到上九节容量分别记为129,,...,aaa，则129,,...,aaa成等差数列，设公差为d，则1

234aaa++=，67893aaaa+++=，即1231334aaaad++=+=，678914263aaaaad+++=+=，解得19566a=，766d=−，故91982019222Sad=+=.故答案为

：20122.15．已知数列na，1[]2nnax=（其中[x]表示不超过x的最大整数，n∈N且n≥1），nx是关于x的方程2121log3nnxnnx+−=+的实数根，记数列na的前n项和为nS，则12020SS−的值为______.【答案】1010【分析】根据给定条件，令12

=nntx，利用方程根的意义，构造函数，探讨函数的零点确定数列na的通项，再利用等差数列前n项和公式求解作答.【详解】因nx是关于x的方程2121log3nnxnnx+−=+的实数根，当1n=时，221log4

−=xx，令()221log4gxxx=−−，显然函数()gx在(0,)+上单调递减，()110,1302gg==−，因此1112x，111[]02xa==，则有110Sa==，显然有212log13nnnnnnxx+−=+，令12=nntx，于是得212log

2(2)3nnnnnttn++=+，令221()(2)log23nfxxnxnn+=+−−，函数()fx在(0,)+上单调递增，而1()(log3)02nnfnn+=−，1()102nf+=，因此存在01(,)22nnx+，

使得0()0fx=，即1(,)22nnnt+，当21,Nnkk=−时，21(,)2−nktk，1[]12nnnatk−==−=，当2,Nnkk=时，21(,)2nktk+，[]2nnnatk===，从而得202013520192462020()()Saaaaaaaa=

+++++++++21009(11009)1010(11010)(0121009)(1231010)101022++=+++++++++=+=，所以202011010SS=−.故答案为：101016．已知在数列{

an}中，a1＝1，an+3≤an+3，an+2≥an+2，则a2023＝______.【答案】2023【分析】根据题中所给条件，进行化简整理，得出从第四项起数列{an}是等差数列，公差d＝1，进而可以求解.【详解】∵an+3⩽an+3，∴an+6⩽an+3+3⩽an+6，

∵an+2⩾an+2，∴an+6⩾an+4+2⩾an+2+4⩾an+6，∴an+6＝an+6，当且仅当同时取等号成立，即an+3＝an+3，an+2＝an+2，则an+3﹣an+2＝1，则从第四项起数列{an}是等差数

列，公差d＝1，∵a1＝1，∴a3＝a1+2＝3，则当n⩾3时，an＝a3+(n﹣3)d＝3+n﹣3＝n，则a2023＝2023，故答案为：2023.四、解答题17．设等差数列{}na的前n项和为nS，

5123aa+=，71018aa=−，且nS有最大值．(1)求数列{}na的通项公式及nS的最大值；(2)求12||||||.nnTaaa=++【答案】(1)327nan=−+，前n项和最大值108；(2)22351,

1922351216,1022nnnnTnnn−+=−+剟…，*.nN【分析】（1）由nS有最大值得0d，结合等差中项性质可解出76a=、103a=−，即可进一步解出基本量3d=−，124a=，即可由公式法列出通项公式，nS的最大值为前面所有非负项的和；（2）由数列{}n

a的符号，分别求9n„、9n时的nT即可，其中当9n时92nnTSS=−+.【详解】（1）设等差数列{}na的公差是d，首项是1a，由nS有最大值得0d，则数列{}na是递减数列，因为5127103aaaa+=+

=，71018aa=−，解得76a=、103a=−或73a=−、106(a=舍去)，则166ad+=，193ad+=−，解得3d=−，124a=，所以24(1)(3)327nann=+−−=−+，令3270nan=−+=得9n=，则当9n„

时，0na…；当9n时，0na，所以max8998()924(3)1082nSSS===+−=；（2）由（1）可得2(1)35124(3)222nnnSnnn−=+−=−+，当9n„时，12nTaa=++…235122nnaSnn+==−+，当9

n时，12nTaa=++…91011(aaa+−++…)na+293512()210822nSSnn=−+=−−++235121622nn=−+，综上可得，22351,1922351216,1022nnnnTnnn−+=−+剟…，*.nN18．等差数列

na，1111S=−，公差3d=−．(1)求通项公式和前n项和公式；(2)当n取何值时，前n项和最大，最大值是多少．【答案】(1)317nan=−+，233122nn−+(2)当5n=时，前n项和最大，最大值是40【分析】（1）根据等差中项可得1161111Sa==−

，从而得61a=−，从而求通项公式和前n项和公式；（2）61a=−，52a=知当5n=时，前n项和最大，利用前n项和公式求最值即可．【详解】（1）由nS为等差数列na的前n项和，则()111611611112111122aaaSa+==

==−，解得61a=−，()()()66163173naandnn=+−=−+−−=−，则117314a=−=，()()12141733312222nnnaannSnn++−===−+.（2）由173nan=−，则数

列na为递减数列，由610a=−，520a=，则当5n=时，nS取得最大值，即最大值为()55142402S+==.19．已知各项均为正数的数列na的前n项和为nS，向量(),nnaaS=，向量()2,4nba=+−，且ab⊥．(1)求数列na的通项公式；(2)若对任

意正整数n都有()211nnba−=成立，求20221iib=．【分析】（1）由已知可推得242nnnSaa=+，进而可推出na是等差数列，从而求得通项公式；（2）由（1）可得，()2121nbn=−，观察通项形式，采用裂项得到11122121nbnn=−−+，然后相加即可得到

结果.【详解】（1）因为ab⊥，所以()()(),2,4240nnnnnnaabaSaaS+−=+−==，所以，242nnnSaa=+.当1n=时，211142aaa=+，解得10a=（舍）或12a=.当2n时，242nnnSaa=+，211142nnnSaa−−−=

+，相减得，221114422nnnnnnSSaaaa−−−=−−+−即，2211422nnnnnaaaaa−−=−+−，化简得()()1120nnnnaaaa−−+−−=.10nnaa−+，12nnaa−−=所以，na是以2为首项，2为公差的等差数列.()2212nann

=+−=.（2）因为()211nnba−=，所以211nnba=−.由（1）知，2nan=，()221111112212121nnbannn===−−−+−所以202211111111233540

434045==−+−++−iib1120221240454045=−=.20．已知数列{}na的前n项和为nS，12a=，()()11NnnnaSnnn++=++．(1)求数列{}na的通项公式；(2)设11nnnbaa+=，求数

列{}nb的前n项和nT．【答案】(1)2nan=，Nn+(2)nT4(1)nn=+【分析】（1）先将1n=代入题干表达式计算出2a的值，当2n…时，由1(1)nnnaSnn+=++，可得1(1)(1)nnnaSnn−−=+−，两式相减并进一步推导即可发现

数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列，即可计算出数列{}na的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}nb的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和nT．【详解】（1）由题意，当1n=时，2112224aS=+=+=，当2n…时，由1(1)nnnaS

nn+=++，可得1(1)(1)nnnaSnn−−=+−，两式相减，可得1(1)2nnnnanaan+−−=+，化简整理，得12nnaa+−=，212aa−=Q也满足上式，数列{}na是以2为首项，2为公差的等差数列，22(1)2nann=+−=∴，Nn+．（2）由（1），可得1111111(

)22(1)4(1)41nnnbaannnnnn+====−+++，则12nnTbbb=+++11111111(1)()()4242341nn=−+−++−+111111(1)42231nn=−+−++−+11(1

)41n=−+4(1)nn=+．21．已知数列na满足()*125nnaann++=+N，且13a=．(1)求数列na的通项公式；(2)数列nb满足()*11,1log,2,nnnnbann+==N，若*1233()kbbbbk=N，求k的值．【答案】

(1)2nan=+(2)25【分析】（1）根据递推公式得到奇数项和偶数项的通项公式，最后再合并即可；（2）根据题意，利用对数的运算性质求解.【详解】（1）∵125nnaan++=+，∴1227nnaan+++=+，所以22nnaa+−=，∴na的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为

2．∵13a=，则24a=，∴对Nk,()2112121212kaakkk−=+−=+=−+，所以n为奇数时，2nan=+，对Nk,()22212222kaakkk=+−=+=+，所以n为偶数时，2nan=+，综上可知，2nan=+，*nN．（2）由（1）得()()*11,1l

og2,2,nnnbnnn+==+N，∴()()()1233431log4log5log2log23kkbbbbkk+=+=+=，解得25k=．22．已知数列na中，121,2aa==，当2n时，()112nnnaaan

+−+=+，记1nnnbaa+=−．(1)求数列nb的通项公式；(2)设数列1nb的前n项和为nS，证明：2918nS．【分析】(1)根据地推公式可得12nnbbn−−=，累加法可得数列nb的通项公式(2)

先验证=1n时不等式成立，再根据2n时，2211111()12312nnnnnn=−+−+−−+，利用放缩法结合裂项相消可证得结论.【详解】（1）解：由题意得112nnnnaaaan+−−=−+，所以12nnbbn−=+，即12nnbbn−−=

．当2n时，()()()11221122(1)221nnnnnbbbbbbbbnn−−−=−+−++−+=+−+++=2(24)(1)112nnnn+−+=+−．当1n=时，1211baa=−=也符合．综上，21nbnn=+−．（2）证明：由（1）得2111n

bnn=+−，当1n=时11129118Sb==；当2n时，2111112312nbnnnn=−+−−+，故当2n时，121111111111111113425364712nnSbbbnn=++++−+−+−+−++−=−+29111129183

1218nnn−++++．综上，2918nS．