【文档说明】《2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）》第四章 数列 章末重难点归纳总结（解析版）.docx，共(13)页，802.331 KB，由envi的店铺上传

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第四章数列章末重难点归纳总结考点一等差等比基本量的计算【例1-1】（2022·陕西）等差数列{}na的首项为1，公差不为0.若2a，3a，6a成等比数列，则{}na的通项公式为（）A．32nan=−B．2nan=−C．nan=D．43nan=−【答案】A【解析】因为2a，3a，6a

成等比数列，则2326aaa=即()()()211125adadad+=++，将11a=代入计算可得2d=−或0d=（舍）则通项公式为()()11223nann=+−−=−+故选:A.【例1-2】（2022·江苏）记nS为等比数列na的前n项和.若536412,24aaaa

−=−=，则nnaS=___________.【答案】1221nn−−【解析】()3364645312,24,,aaaaaaaaq−=−=−=−公比2q=，4211111212,1,2,21,12nnnnnaqaqaaS−−−=====−

−则1221nnnnaS−=−故答案为：1221nn−−【一隅三反】1．（2022·甘肃）等差数列na的首项为5,公差不等于零．若2a，4a，5a成等比数列，则2020a=（）A．12B．32C．32−D．2014−【答案】D【解析】由题可知等差数列na的首项为15a

=,设na的公差为d，由2a，4a，5a成等比数列得2425aaa=，即()()()253554ddd+=++，解得1d=−，因而()516nann=−−=−，故2020620202014a=−=−.故选:D2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知等比数列

na的前n项和()131nnSR−=−，则()8721Sa+=______.【答案】9【解析】因为当等比数列的公比1q时，()111111111111nnnnaqaaaqaSqqqqqqq−−==−+=−+−−−−−，又131nnS−=−，故可得11,3,?111

aqaqqq−===−−−，解得12,3a==，故11123,31nnnnnaaqS−−===−，则()8721Sa+=8623923=.故答案为：9.3．（2022·吉林）已知等比数列na的公比1q，241134aa+=，322a=，则2na=

___________.【答案】2n【解析】由241134aa+=得2424443aaaa+=由等比数列得22438aaa==，所以244424aa+=，即246aa+=解得2424aa==或2442aa=

=，则2422aqa==或24212aqa==，由1q，可得22q=，即2q=所以()()22221222122222nnnnnnaaqaq−−−=====.故答案为：2n.考点二等差等比数列的性质【例2-1】（2022·福建漳州·高二期中）已知等差数

列{}na中，515,aa是函数232()=−−xxxf的两个零点，则381217aaaa+++=（）A．2B．3C．4D．6【答案】D【解析】由题意知5153aa+=，又{}na是等差数列，所以3812175152()6aaaaa

a+++=+=.故选：D【例2-2】（2022·福建）在等比数列na中，若3a，15a是方程2620xx−+=的根，则2169aaa的值为（）A．222+B．2−C．2D．2−或2【答案】C【解析】显然方程2620xx−+=有两个正实根，依题意，有3152aa=，30a，等比数列na公

比q，6930aaq=，所以21631531593152aaaaaaaaa===.故选：C【例2-3】（2022·江苏省震泽中学高二阶段练习）已知,nnST分别是等差数列na与nb的前n项和，且()211,2,42nnSnnTn

+==−，则1011318615aabbbb+=++（）A．1120B．4178C．4382D．2342【答案】B【解析】因为数列{}nb是等差数列，所以318615bbbb+=+，所以10101111318615615aaaab

bbbbb++=+++，又因为,nnST分别是等差数列{}na与{}nb的前n项和，且()211,2,42nnSnnTn+==−，所以101011120201131861561512020220141420278aaaaaSabbbbbbbbT+++=====+−+

+++,故选：B.【例2-4】（2022·北京）若等差数列na满足7897100,0aaaaa+++，则当na的前n项和的最大时，n的值为（）A．7B．8C．9D．8或9【答案】B【解析】因为789830aaaa++=，所以80a，因为710890aaaa+

=+，所以90a，所以当na的前n项和的最大时，n的值为8.故选：B.【一隅三反】1．（2022·陕西）已知a是4与6的等差中项，b是1−与64−的等比中项，则ab+=（）A．13B．3−C．3或13−D．3−或13【答案】D【解析】a是4与6的等差中项，故4

652a+==，b是1−与64−的等比中项，则()216464b=−−=，则8b=，13ab+=或3−.故选：D2．（2022·黑龙江齐齐哈尔）已知数列na是等差数列，数列nb是等比数列，794π3aa+=，且261

08bbb=，3813481aaabb++=−（）A．π4B．π3C．π2D．2π3【答案】D【解析】因为数列na是等差数列，79824π3aaa+==，所以82π3a=，3813832πaaaa=+=+，因为数列nb是等比数列，261036

8bbbb==，所以62b=，26483141bbb=−==−，所以3813482π13aaabb++=−.故选：D.3．（2022·上海市行知中学）正项等比数列na中，存在两项,mnaa使得14

mnaaa=，且6542aaa=+，则14mn+最小值____.【答案】32【解析】在正项等比数列na中有6542aaa=+，由等比数列的性质知44422aaaqq=+，即()()22210qqqq−−=−+=，解得2q=或1q=−（舍）

，则241111516mnaaaaaqaa===，可得6mn+=，其中,mNnN.所以()1411414143=14526662mnmnmnmnmnnmnm+++=++++=，当且仅当4mnnm=，即24nm==时等号成立.故14

mn+的最小值为：32.4．（2022·浙江·嘉兴一中高二期中）已知数列na的前n项的和13nnS+=−，若数列na为等比数列，则的值为___________．【答案】3【解析】数列na为等比数列，则其前3项成等比数列，即213

2aaa=，由13nnS+=−，119aS==−，221(27)(9)18aSS=−=−−−=，332(81)(27)54aSS=−=−−−=，故254(9)18−=，解得3=.此时，2n时11(33)(33)23nnnnnnaSS+−=−=−−−=，当1n=，11

6aS==，故1n=符合，于是3=时，23nna=，数列na为等比数列.故答案为：3考点三求通项与求和【例3-1】（2023·云南）已知数列na的首项()*112,322,Nnnaaann−==+.(1)求na；(2)记()3log1nnn

baa=+，设数列nb的前n项和为nS，求nS.【答案】(1)31nna=−(2)1(21)33(1)42nnnnnS+−++=−【解析】（1）由题意可得111333(1)nnnaaa−−+=

+=+，()*2,Nnn，113a+=，所以数列1na+是以3为首项，3为公比的等比数列，所以11333nnna−+==，故31nna=−.（2）由（1）得3(31)log(311)3nnnnbnn=−−+=−，所以1211323(1)33(12)nnnSnnn−=+++

−+−+++令1211323(1)33nnnTnn−=+++−+①，则(1)2nnnnST+=−，因为23131323(1)33nnnTnn+=+++−+②，①-②得12

3113(13)233333313nnnnnTnn++−−=++++−=−−，所以1(21)334nnnT+−+=，所以1(21)33(1)42nnnnnS+−++=−.【例3-2】（2022·河南）已知正项数列na

的前n项和为nS，且满足2346nnnaaS+−=．(1)求数列na的通项公式；(2)求数列11nnaa+的前n项和nT．【答案】(1)31nan=+(2)1216nn+【解析】（1）解：因为2346nnna

aS+−=，即2634nnnSaa=+−①，当1n=时2111634Saa=+−，解得14a=或11a=−（舍去），当2n时2111634nnnSaa−−−=+−②，①−②时()22111663434nnnnnnSSaaaa−−−=+−−+−

−，即2211633nnnnnaaaaa−−=−+−，即2211033nnnnaaaa−−−−=−，即()()1130nnnnaaaa−−+−−=，因为0na，所以130nnaa−−−=，即13nnaa−−=，所以na是以4为首项，3为公差的等差数列，所以()4313

1nann=+−=+.（2）解：由（1）可得()()111111313433134nnaannnn+==−++++，所以111111111347371033134nTnn=−+−

++−++1111111111347710313434341216nnnnn=−+−++−=−=++++.【一隅三反】1．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学高二阶段练习（理））已知数列na中，114,46nnaaa+

==−，则na等于（）A．2122n++B．2122n+−C．2122n−+D．2122n−−【答案】C【解析】11424(2),6,nnnnaaaa++=−−=−Q所以124,2nnaa+−=−所以数列2na−是一个以2为首项，以4为公

比的等比数列，所以121224,22nnnnaa−−−==+.故选：C2．（2022·甘肃·天水市第一中学高二阶段练习）（多选）已知数列na满足132a=，136nnnaaa+=+，则下列结论中错误的有（）A．113na+为等

比数列B．na的通项公式为11321n−−C．na为递增数列D．1na的前n项和为213nn−−【答案】AD【解析】由题意得11213nnaa+=+，则111112()33nnaa++=+，而11113a+=，故113n

a+是首项为1，公比为2的等比数列，11123nna−+=，得11123nna−=−，na为递减数列，故A正确，B，C错误，对于D，1211111121333nnaaa++++++=−，1na的前n项和为21

3nn−−，故D正确，故选：AD3．（2022·上海市松江二中高二期中）设数列na的前n项和为nS，且423nnSa+=，则数列na的通项公式为na=___________.【答案】1123n−【解析】由题意得：324nnaS−

=则当2n时，1112323244nnnnnnnaaaSSaa−−−−==+−−=−−于是113nnaa−=又当1n=时，1112Sa==故数列na是首项为12公比为13的等比数列所以1123nna−=故答案为：1123

n−4．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列na的前n项和为573056,nSSS==，；各项均为正数的等比数列nb满足1213bb=，23127bb=．(1)求数列na和nb的通项公式；(2)求数列nnab的前n项和nT．【答案】(1)

2nan=；113nnb−=（）；(2)1923223nnnT−+=−．【解析】（1）设等差数列na的首项为1a，公差为d，由573056SS==，，得11545302767562dada+=+=，解得122ad==,∴22(1)2na

nn=+−=；设等比数列nb的公比为q（0q），由1213bb=，23127bb=，得2123113127bqbq==，解得1113bq==,∴11()3nnb−=；（2）由

（1）知：123nnnnab−=,令13nn−的前n项和为nR，则01211233333nnnR−=++++，所以23111231333333nnnnnR−−=+++++，两式作差可得：21111211132331133333322313nnnnnnnnnR−−+=++++−=−=

−−（），∴1923443nnnR−+=−，则数列nnab的前n项和19232223nnnnTR−+==−．5．（2023·广西）已知等差数列na的前n项和为nS，且关于x的不等式21220axSx－＋的解集为(12)，.(1)求数列na的通项公式；(2)若数列n

b满足221nannba=+-，求数列nb的前n项和nT【答案】(1)nan=(2)2122nnTn++−=【解析】（1）设等差数列na的公差为d，因为关于x的不等式21220axSx－＋的解集为(12)，，所以21220axSx=－

＋的根为121,2xx==，所以21112212Saa+==，所以213Sa=，11a=，又212Sad=＋，所以11,ad==所以数列na的通项公式为nan=；（2）由（1）可得，2,2,22nannan==因为221nannba=+-，所以212nnbn

=-+，所以数列nb的前n项和()()23135212222nnTn=++++-+++++(121)2(12)212nnn+−−=+−2122nn=＋+-6．（2022·福建泉州）已知等差数列na的前n项和为n

S，其中25a=，且535S=．(1)求数列21na−的通项公式21na−；(2)设112nannnbaa+=+，求数列nb的前n项和nT．【答案】(1)2141nan−=−(2)8(41)693nnnTn−=++【解析】（1）由题设，53535Sa==，可得37a=，又25a=，所以

公差2d=，所以2(2)52(2)21naandnn=+−=+−=+，所以21na−的通项公式()21221141nann−=−+=−．（2）由（1）知：211111224(21)(23)22123nnnnnnnb+=−+++++=+，令11

11111111...235572123232369nMnnnn=−+−++−=−=++++，28(14)8(41)2424...24143nnnN−−=+++==−，所以8(41)693nnnTMNn−=+=++．考点四数列的实际应用【例4-1】（2022·福建）把

120个面包全部分给5个人，使每人所得面包个数成等差数列，且较大的三份之和是较小的两份之和的7倍，则最小一份的面包个数为（）A．2B．5C．6D．11【答案】A【解析】设等差数列na的首项为1a，公差为0d，由条件可知，515451202Sad=+=，()345127aaaaa++=+

，即()()113372adad+=+，即112241120adad+=−=，解得：12a=，11d=，所以最小一份的面包个数为2个.故选：A【例4-2】（2022·天津）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一

个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第一天走的路程为（）A．63

里B．126里C．192里D．228里【答案】C【解析】由已知，设等比数列首项为1a，前n项和为nS，公比为12q=,6378S=，则()661116111632378113212aaqaSq−−====−−，等比数列首项1192a=.故选：C.【一隅三反】1．（20

22·安徽·六安一中）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难.次日脚痛减一半，六朝才得到其关.要见每朝行里数，请公仔细算相还.”意思是：有一个人要走441里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天

的一半，6天刚好走完.则此人最后一天走的路程是（）A．7里B．14里C．21里D．112里【答案】A【解析】设{}na为公比为12的等比数列，则61611(1())63244113212aSa−===−，解得1224a=，则5611()72aa==，故选：A2（2

022·湖南）农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元（其中工资性收入为1800元，其它收入为1350元），预计该地区自2004年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加1

60元．根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（）A．4200元~4400元B．4400元~4600元C．4600元~4800元D．4800元~5000元【答案】B【解析】由题知：2004年农民收入1800(16%)(1350160)=+++；2005年农民收入21800

(16%)(13502160)=+++；所以2008年农民收入51800(16%)(13505160)4559=+++故选：B．3．（2022·黑龙江·哈尔滨七十三中）“中国剩余定理”又称

“孙子定理”，最早可见于我国南北朝时期的数学著作《孙子算经》.1852年，英国传教士伟烈亚力将该解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.此定理讲的

是关于整除的问题，现将1到2031这2031个数中，能被2除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列na，则该数列共有（）A．202项B．203项C．204项D．205项【答案】C【解析】将被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{}nb，则54n

bn=−，由5222nbn=−可得数列{}nb的奇数项能被2除余1，所以215(21)4109nnabnn−==−−=−，由1092031n−可得204n，故选：C.