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专题03三种平面向量数学思想方法题型一：函数与方程思想题型二：数形结合思想题型三：转化与划归思想题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2021·浙江台州·高一期末）已知向量,ab满足：3,2abab−==.设ab−与ab+的夹角为，则sin的最大值为（）A．45

B．35C．12D．32【答案】A【分析】设bx=，则2ax=，根据3ab−=，求得2592xab−=，利用()()cosabababab−+=−+及平方关系即可求出sin的最大值.【详解】解：设bx=，则2ax=，因为3ab−=，所以2222252

9abaabbxab−=−+=−=，所以2592xab−=，则22222109ababaabbx+=+=++=−，()()22223cos3109109ababxxababxx−+===−+−−，因为0,，所以4222

41sin1cos11109109xxxx=−=−=−−−，令21tx=，则224109910ttxx−=−+，当59t=时，2910tt−+取得最大值259，即24109xx−取得最大值259，所以2411109xx−−的最大值为45，即sin的最大值为45.故选：A

.二、解答题2．（2020·重庆·高一期末）已知点()2,1A−，()3,11B−.（1）求AB的值；（2）若点C满足30ABBC+=，求点C坐标.【答案】（1）13AB=；（2）4,73−.【分析】（1）由已知点的坐标，求得向量AB，利用向量的模的坐标计算公

式可求得答案；（2）设点C的坐标为(),xy，得()3,11BCxy=+−.代入向量的坐标对立方程组可得答案.【详解】解：（1）∵()5,12AB=−，∴()2251213AB=−+=；（2）设点C的坐标为(),xy，则()3,11BCxy=+−.由()3

34,3210ABBCxy+=+−=，得340,3210,xy+=−=解得43x=−，7y=，所以点C的坐标为4,73−.【点睛】本题考查向量的坐标运算，向量的模，向量相等，向量的线性运算，属于基础题.3．（2021·甘肃张掖·高一期末（理））设1e，2e为两个不共线的

向量，若12aee=+，122bee=−.（Ⅰ）若()//abb+，求实数的值；（Ⅱ）若1e，2e是夹角为23的单位向量，且ab⊥，求实数的值.【答案】（1）12−；（2）54.【分析】（1）

先求出123(1)aebe+=+−，再建立方程321=−=−求解即可；（2）先求出1212ee=−，再建立方程1202−−+=求解即可.【详解】解：（1）因为12aee=+，122bee=−

，所以123(1)aebe+=+−，因为()//abb+，则abb+=，0=，则12123(1)2eeee+−=−所以321=−=−，解得12=−，（2）因为1e，2e是夹角为23的单位向量，所以121221cos32eeee==−()(

)212122112212(0221)22beeeeeeeae=−=−=−−+=++−，解得：54=【点睛】本题考查利用向量共线与向量垂直求参数，是基础题4．（2021·河南·高一期末（文））已知向量()1,22a=，b与

a的夹角为．（I）若atb−的最小值为32，求．（Ⅱ）若向量()1,0c=r，(),bxy=r且6=b，b与c的夹角等于，求x，y的值．【答案】（I）6或56；（Ⅱ）22xy==或22xy=−=−．【分析】（Ⅰ）依题意得1sin2=，

结合0,可得结果；（Ⅱ）由6=b可得226xy+=，由夹角公式可得22636xxy+=，联立可得结果.【详解】（Ⅰ）∵22222222cos6cos9(3cos)9sinatbtbatbatbtbtb−=−+=−+=−+，∴2239s

in2=，1sin2=，因为0,，则6=或56．（Ⅱ）方法一：由b与a的夹角为，可得22cos||||36abxyab+==①，由b与c的夹角等于，可得cos||||6bcxcb==②，∴222266222636xyxyxxyxy+=+=

+==，解得22xy==或22xy=−=−方法二:取3(3,0)mc==，故||||ma=，由b与c的夹角等于可得makb+=，由422kxky==与226xy+=可得2k=，故22xy=

=或22xy=−=−．5．（2021·重庆·西南大学附中高一期末）已知向量()0,6OA=−，()8,0OB=，(),OCxy=.（1）若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的关系；（2）若1x=且ACB为钝角，求OC的取值范围.【答案】（1）34240xy−−

=；（2）4574571,,5244【分析】（1）由点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线，即CACB，根据平面向量共线的坐标表示即可求得x，y满足的关系；（2）由ACB为钝角，得出0CACBuuuruuur且,CACB不共线，从而求出y的范围，再根

据向量的模的坐标求法即可得出答案.【详解】解：（1）因为点A，B，C不能构成三角形，所以A，B，C三点共线，即CACB，(),6CAxy=−−−，()8,CBxy=−−，所以()()680xyyx−−−−=，即34240xy−−=；（2）因为ACB为钝角，所以0CA

CBuuuruuur且,CACB不共线，由（1）得：当1x=，且CACB时，214y=−，因为,CACB不共线，所以214y−，()1,6CAy=−−−，()7,CBy=−，2760CACByy=−++，解得：71y−，所以71y−且214y−，21OCy=+

，所以21150y+且2457116y+，所以4574571,,5244OC.故答案为：4574571,,5244.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2020·江苏常州·高一期末）已知AB

C是以C为直角顶点且斜边长为2的等腰直角三角形，P为ABC所在平面内一点，则()PAPBPC+的最小值为（）.A．12−B．54−C．18−D．52−【答案】B【解析】利用建系的方法，表示出,PAPB,PC，然后根据向量的坐标运算，化简变形，可得到结果【详解】如图设点(),

Pxy，由ABC是斜边长为2的等腰直角三角形所以()()0,2,2,0AB所以()(),2,2,PAxyPBxy=−−=−−(),PCxy=−−所以()22,2PBPCxy+=−−故()()(),222,2PAPBPCxy

xy+=−−−−化简得：()2222522424PAPBPCxy+=−+−−()54PAPBPC+−所以()PAPBPC+的最小值为54−故选：B【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将几何的问题代数化，化繁为简，数基础题

.2．（2020·江苏南通·高一期末）平行四边形ABCD中，已知4AB=，3AD=，60BAD=，点E，F分别满足AEED=，DFFC=，若6AFBE=−，则等于（）A．23B．13C．1D．2【答案】D【解析】利用平行四边形法则，将

AFBE分别利用平行四边形的相邻两边表示，然后利用已知计算向量的数量积，列出方程求解参数.【详解】由题意4AB=，3AD=，60BAD=216AB=，29AD=，43cos606ABAD==由图知12AFADDFADAB=+=+AEED

=1AEAD=+1BEBAAEABAD=+=−++则121AFBEABADABAD=+−++()221262121ABADABAD−−=−++=−++代入，得()92866121+−

+−=−++解得2=故选：D【点睛】考查几何图形中的向量表达，化成同一组基底进行数量积的运算，典型题，考查热点，本题属于中等题型.3．（2020·浙江·高一期末）已知单位向量,ab的夹角为60°，若向量c满足|2|

3abc−+，则||c的最大值为（）A．3B．33+C．13+D．313+【答案】B【解析】设单位向量()1,0a=,则13,22b=r,(),cxy=,可得()2,3abcxy−+=−,即可求得|2|3abc−+表

示的几何意义,画出图形,由图形求解即可【详解】由题,设单位向量()1,0a=,()13cos60,sin60,22b==,(),cxy=,则()2,3abcxy−+=−,由|2|3abc−+,所以()2233xy+−,即()2239xy+−,

其几何意义为圆心为()0,3C,半径为3的圆面,如图所示,由图形知,当c的终点在点P处时,c取得最大值为33+,故选:B【点睛】本题考查向量的模的应用,考查向量的坐标表示,考查数形结合思想4．（2021·安徽黄山·高一期末）已知AOB，存在非零平面向量OC，满足4OA=，

2OBOC=，且3CACB=，则AB的最小值（）A．355B．3C．2D．263【答案】D【分析】设OCr=，则2OBr=，取AB的中点M，由3CACB=可得22134CMAB−=，所以AB取最小值时，C

M也取最小值，由图可知当,,OCM三点共线时，满足，CMt=，则23MBMAt==−，223ABt=−，由余弦定理可得2221120rtrt−+−=，则0可求出2t的最小值，进而可求出AB的最小值【详解】解：设OCr=，则2

OBr=，取AB的中点M，因为3CACB=，所以()()23CMMACMMBCMCMMBMACMMAMB++=+++=，所以22134CMAB−=，所以AB取最小值时，CM也取最小值，显然minCMOMOC=−，此时,,OCM三点共线，设此时，CMt=，则23MBMAt==−，

223ABt=−，因为coscos0OMAOMB+=，所以由余弦定理得2222220OMAMOAOMBMOB+−++−=，即2222()2(3)164rttr++−=+，得2221120rtrt−+−=，由2244480tt=−+，得2113t，所以2262

33ABt=−，所以AB的最小值263，故选：D5．（2021·广东肇庆·高一期末）平面四边形ABCD是边长为2的菱形，且120A=，点N是DC边上的点，且3DNNC=，点M是四边形ABCD内或边界上的一个动点，则

AMAN的最大值为（）A．1B．3C．72D．4【答案】C【分析】当M在C点时，AM在AN上的投影向量与AN同向，且长度最长，所以此时AMAN最大，由34ANADAB=+，ACABAD=+，ANAC可得答案.【详解】如图，当M在C点时，AM在AN上的投影向量

与AN同向，且长度最长，所以此时AMAN最大，最大值为72，因为3344ANADDNADDCADAB=+=+=+，ACABAD=+，所以()()()22337444ANACADABADABADABADAB=++=++7174322422=++−=.故选：

C.二、多选题6．（2021·湖北·高一期末）已知平面四边形ABCD，O是ABCD所在平面内任意一点，则下列命题正确的是（）A．若ABDC=，则ABCD是平行四边形B．若ABADABAD+=−，则ABCD是矩形C．若2OAOBOAOBOC−=+−，则AB

C为直角三角形D．若动点P满足()0sinsinABACOPOAmmABABCACACB=++，则动点P的轨迹一定通过ABC的重心【答案】ACD【分析】由向量相等可判断A；由数量积的性质结合模的运算可判断B和C；由向量的线性运算结合向量共线可判断D.【详解】由AB

DC=，可得//ABCD，且ABCD=，故ABCD是平行四边形，所以A正确；由ABADABAD+=−，平方可得0ABAD=uuuruuur，即ABAD⊥，但ABCD不一定是矩形，所以B错误；由2OAOBOAOBOC−=+−，可得BAOAOCOBO

C=−+−，即CACBCACB=+−，因此CACB⊥，所以ABC为直角三角形，所以C正确；作AEBC⊥于E，由于sinsinABBACCAE==，所以()sinsinABACmOPOAmOAABACABABCACACBAE=++=++，即()mAPABAC

AE=+，故P的轨迹一定通过ABC的重心，所以D正确.故选：ACD.三、填空题7．（2020·江苏南通·高一期末）矩形ABCD中，2AB=，1AD=，点P为矩形ABCD内（包括边界）一点，则PAPB+的取值范围是________．【答案】[0,22]【解析】由题意，取AB中点为M，则有=2P

APBPM+，可知求解2PM的范围就是PAPB+的范围.【详解】由题意，取AB中点为M，则有=2PAPBPM+，=2PAPBPM+，如图所示，当P点与D点或者C点重合时，=2PAPBPM+取最大值22当P点与M点重合

时，=2PAPBPM+取最小值0故答案为：[0,22]【点睛】本题考查向量计运算，属于基础题.8．（2021·北京·临川学校高一期末）一条从西向东的小河的河宽为3.5海里，水的流速为3海里/小时，如果轮船希望用10分钟的时间

从河的南岸垂直到达北岸，轮船的速度应为______；【答案】152海里/小时【分析】先求出船的实际速度，再利用勾股定理得到轮船的速度.【详解】设船的实际速度为v，船速1v，水的流速2v，则3.52116v==海里/小时，∴22221221315

2vvv=+=+=海里/小时.故答案为：152海里/小时题型三：转化与划归思想一、单选题1．（2021·广东广州·高一期末）已知向量a，b满足1a=，2=b，且a与b的夹角为60，则ab+=rr（）A．7B．3C．5D．22【答案】A【解析】由于222abaabb+=++，结合

1a=，2=b，且a与b的夹角为60，求得1ab=将它们代入求值即可【详解】∵向量a，b满足1a=，2=b，且a与b的夹角为60∴1cos601212abab===则2227abaabb+=++=故选：A【点睛】本题考查了向量的数量积，根据已知向量的模、夹角求目标向量的模2．（

2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知向量()1cos,2ax=+，()sin,1bx=r，0,2x，若//ab，则sinx=（）A．45B．35C．25D．255【答案】A【分析】根据向量平行的坐标表示列出方程可得cos2sin1xx=−，代入22sincos1xx+

=解方程即可求出sinx.【详解】因为//ab，所以1cos2sin0xx+−=，所以cos2sin1xx=−，又因为22sincos1xx+=，所以22sin(2sin1)1xx+−=，即25sin4sin0xx−=

，解得4sin5x=或sin0x=，又0,2x，所以4sin5x=.故选：A.【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，同角三角函数平方关系，属于基础题.3．（2020·四川·雅安市教育科学研究所高一期末）如

下图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且2OD=，点P为BCD△内(含边界)的动点，设(,)OPOCODR=+，则+的最大值等于()A．3B．2C．52D．32【答案】D【解析】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和y轴建立

如图所示的平面直角坐标系，设(),Pxy，易得1,2yx==，则12xy+=+，再将原问题转化为线性规划问题，求目标函数12xy+在可行域BCD△内(含边界)的最大值，即可求出结果．【详解】以O为原点，边OA和OC所在的直线分别为x和

y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则()()0,1,2,0CD，如下图所示：设(),Pxy，∵(,)OPOCODR=+，∴()()(),0,12,0)2,(xy=+=，∴2,xy==，即1,2yx==，∴12xy+=+，令1,2zxy=+则12yxz=

−+，其中z为直线12yxz=−+在y轴上的截距，由图可知，当该直线经过点()1,1B时，其在y轴上的截距最大为32，∴+的最大值为32．故选：D．【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，建立坐标系后，可将原问

题转化为线性规划中的最值问题，考查学生的转化思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．4．（2020·重庆·西南大学附中高一期末）已知ABC，若对任意mR，BCmBACA−恒成立，则ABC为（）A．锐角三角形B．

钝角三角形C．直角三角形D．不确定【答案】C【分析】在直线AB上取一点D，根据向量减法运算可得到DCCA，由垂线段最短可确定结论.【详解】在直线AB上取一点D，使得mBABD=，则BCmBABCBDDC−=−=，DC

CA.对于任意mR，都有不等式成立，由垂线段最短可知：ACAD⊥，即ACAB⊥，ABC为直角三角形.故选：C.【点睛】本题考查与平面向量结合的三角形形状的判断，关键是能够利用平面向量数乘运算和减法运算的几何意义准确化简不等式.5．（2021·浙江·高一期

末）如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且(,)ORxOPyOQxyR=+，则代数式2212xyxy+−−+的最小值为（）A．24−B．32−C．24D．32【答案】C【分析】本题首先可设λμ

OROMON=+并得出1+=，然后根据M、N分别是边OP、OQ的中点得出12xy+=，最后将12yx=-代入2212xyxy+−−+中并化简，即可得出结果.【详解】因为点R、M、N共线，所以设λμOROMON=+，其中1+=，因为M、N分别是边O

P、OQ的中点，所以11λμλμ22OROMONOPOQ=+=+，111λμ222xy+=+=，12yx=-，则222211112222xyxyxxxx骣骣琪琪+--+=+----+琪琪桫桫，2211122244

84xxx骣琪=-+=-+?琪桫，故当14x=时，2212xyxy+−−+最小，最小值为24，故选：C.【点睛】本题考查向量的共线定理，主要考查平面向量的三点共线定理，考查通过配方法求最值，考查计算能力，

考查化归与转化思想，是中档题.6．（2021·福建省永春第一中学高一期末）已知P为ABC在平面内的一点，2,||4BPPCAP==，若点Q在线段AP上运动，则(2)QAQBQC+的最小值为A．92−B．12−C．32−D．4−【答案】B【分析】由已知条件和向

量的线性关系表示32QPQBQC=+，代入得(2)QAQBQC+3||||QAQP=−，由向量的长度可得最值.【详解】2BPPC=，()++2+2+QPQBBPQBPCQBPQQC===，1233QPQBQC=+，32QPQBQC=+，(2)3QAQBQCQAQP+==3||||

QAQP−，设||[0,4]QAm=，则()22(2)3(4)312321212QAQBQCmmmmm+=−−=−−=−−（当20,4m=时取等号）.所以(2)QAQBQC+的最小值为12−.故选：B.【点睛】本题考查向量间的线性关系，向量的数量积运算及最值的求解，关键在于运用

已知向量表示待求的向量，属于中档题.7．（2020·甘肃·镇原中学高一期末）已知ABC为等边三角形，2AB=，设P，Q满足APAB=uuuruuur，()()1AQAC=−R，若32BQCP=−uuuruu

r，则=（）A．12B．122C．1102D．3222【答案】A【解析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQBAAQ=+，CPCAAP=+，再根据向量的数量积运算，建立关于的方程，可得选项.【详解】∵BQBAAQ=+，CPCAAP=+，∴()()BQCPBAAQCA

APABACABAPACAQAQAP=++=−−+()()2211ABACABACABAC=−−−+−()()232441212222=−−−+−=−+−=−，∴12=.故选：A.二、填空题8．（2019·福建省福州第一中学高

一期末）已知圆()()22:549Cxy−+−=及点()3,2A，若(),0Mm满足：存在圆C上的两点P和Q，使得MPMAMQ=+，则实数m的取值范围是________.【答案】342,342−+【分析】设出

点P、Q的坐标，利用平面向量的坐标运算以及两圆相交的条件求出实数m的取值范围.【详解】设点()()1122,,,PxyQxy，由MPMAMQ=+得()()()1122,3,2,xmymxmy−=−+−121232xxmyy=+−=+，由点()11,Pxy在圆C上，得()()2222

229xmy−−+−=，又()22,Qxy在圆C上，()()2222549xy−−+=，()()2222229xmy−−+−=与()()2222549xy−+−=有交点，则()2333433m−−++，解得34234

2m−+故实数m的取值范围为342,342−+.故答案为：342,342−+【点睛】本题考查了向量的坐标运算、利用圆与圆的位置关系求参数的取值范围，属于中档题.三、解答题9．（2021·陕西宝鸡·高一期末）如图，

已知,,ADBECF分别是ABC的三条高，试用向量的方法求证：,,ADBECF相交于同一点．【分析】根据题意，设,ADBE交于点H，由向量数量积与向量垂直的关系证明点H在CF上，由此可证得结果.【详解】设,ADBE交于点H，以下只需证明点H在CF上，因为AD

BC⊥，BECA⊥，所以=0AHCB，=0BHCA.即()?==0CHCACBCHCBCACB−−，()?==0CHCBCACHCACBCA−−，两式相减，得：()·0CHCBCA−=即=0CHAB，所以CHAB⊥，CHAB⊥，又

CFAB⊥，所以，,,CHF三点共线，H在CF上．一、单选题1．（2020·浙江·高一期末）设,ab是两个非零向量，则（）A．若||||||abab+=−，则ab=−rrB．若2ab=，则||||||abab+=−C．若存在实数，使得ba=，则|

|||||abab+=−D．||||||abab+=−，则存在实数，使得ba=【答案】D【解析】通过反例直接判断AC结果不正确；直接代入条件计算，判断B的正误；等式两边同时平方，判断D正误.【详解】解：

对A.不妨设2ab=−，满足||||||abab+=−，但ab−rr，故错误；对B.若2ab=，则|||2|3||2||||abbbbbb+=+=−，故错误；对C.不妨设(2,0),(1,0)ab==，存在12=，使得12ba=，但||||

||abab+=−不正确，故错误；对D.||||||abab+=−两边平方得222222||||aabbabab++=+−，||||cos||||0abab+=，cos1=−，则,ba反向，存在实数，使得ba=，故正确.故选：D.【点睛】本题考查向量的关系的综合应用，特例法的

具体应用，考查计算能力，属于基础题.2．（2019·山西吕梁·高一期末）在ABC中，5AB=，53BC=，3A=，点P是ABC内（包括边界）的一动点，且3255APABAC=−（R），则AP的最大值为（）A．6B．37C．35D．6【答案】B【分析】利用余

弦定理和勾股定理可证得2B=；取35AEAB=，作//EFAC，根据平面向量平行四边形法则可知P点轨迹为线段EF，由此可确定maxAPAF=，利用勾股定理可求得结果.【详解】由余弦定理得：222225751cos2102ACABBCACAACABAC+−+−===10AC=

222ABBCAC+=2B=如图，取35AEAB=，作//EFAC，交BC于FP在ABC内（包含边界）P点轨迹为线段EF当P与F重合时，AP最大//EFACQBEBFABBC=23BF=22251237AFABBF=+=+=，即max37A

P=故选：B【点睛】本题考查向量模长最值的求解问题，涉及到余弦定理解三角形的应用；解题关键是能够根据平面向量线性运算确定动点轨迹，根据轨迹确定最值点.3．（2017·河南驻马店·高一期末（理））生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：“三角形的外心

、垂心和重心都在同一直线上．”这就是著名的欧拉线定理，在ABC中，,,OHG分别是外心、垂心和重心，D为BC边的中点，下列四个结论：（1）2GHOG=；（2）0GAGBGC++=；（3）2AHOD=；（4）ABGBCGACGSSS==正确的个数为A．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】根据

题意，画出图形，结合图形，利用欧拉线定理和三角形相似得出选项（1）（3）正确；根据三角形的重心的性质得出选项（2）正确；求出13ABGBCGACGABCSSSS===△△△△，进而判断选项（4）正确．【详解】ABC中，,,OHG分别是外心、垂心和重心

，画出图形，如图所示；对于（1）（3）：根据欧拉线定理，得AHOD∥，所以AHGDOG∽，所以2AHAGHGODDGOG===，即2HGOG=，2AHOD=，即选项（1）（3）正确；对于（2）：根据三角形的重心性质得2GAGD=−，又2GDGBGC=+，所以0GAGBGC+

+=，即选项（2）正确；对于（4）：过点G作GEBC⊥，垂足为E，则13GEDGANDA==，所以11112233BGCABCSBCGEBCANS===△△，同理13AGCAGBABCSSS==△△△，即选项（4）正确．故选：D．4．（2018·江西·临川一中高一期末）在ABC中，12

67,cos,sin57BCAC===.若动点P满足()()213APABACR=+−，则点P的轨迹于直线ABAC、所围成的封闭区域的面积为（）A．36B．46C．66D．126【答案】B【分析】作BD垂直AC交于点D,求出,,ADBDCD的长，以点D为

原点，,DCDB为x，y轴建立平面直角坐标系，由()()213APABACR=+−可求得点P坐标，然后求得ACE的面积，即可得到本题答案.【详解】作BD垂直AC交于点D，在RtBCD中，由267,

sin7BCC==，得26,5BDCD==，在RtABD中，由126,cos5BDA==，得1,5ADAB==，以点D为原点，,DCDB为x，y轴建立平面直角坐标系，则(1,0),(0,26),(5,0)ABC−，设(,)Pxy，则(1,),(1,26),(6,0)APxyABAC=+==，因为

()()213APABACR=+−，所以216(1)3463xy+=+−=，联立消，得32615xy+=，则点P的轨迹为直线CE：32615xy+=①，易得直线AB:26(1)yx=+②，联

立①，②，得146,33E−，所以点P的轨迹与直线,ABAC所围成的封闭区域为ACE，且14664623ACES==.故选：B【点睛】本题主要考查解三角形与平面向量的综合问题.5．（2018

·江西·高一期末）已知向量,ab满足3,2ab==，且ab⊥，若向量m→满足2abm→+−，则m的取值范围是A．132,133−+B．132,132−+C．2,133+D．2,

132+【答案】B【分析】由题意利用两个向量加减法的几何意义，数形结合求得||m的取值范围.【详解】设,,OAaOBbOMm→→→→→→===，根据ab⊥作出如下图形，则MCabm→→→→=+−．当2abm→+−=时，则

点M的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，且13OC→=．结合图形可得，当点M与1M重合时，||m取得最大值132+；当点M与2M重合时，||m取得最小值132−．所以||m的取值范围是[132,132]−+．故当2abm→+−时，||m的取值范围是[132,132]−+．故

选：B．二、多选题6．（2021·浙江·高一期末）已知向量(4,3)ak=，(4,3)bk=，则（）A．若ab⊥，则0k=B．若//ab，则1k=C．若ab，则1kD．若abab+=−，则ab⊥【答案】AD【分析】先根据ab⊥建立方程44330kk+=解得0k=，判断选项A正

确；再根据//ab，建立方程(4,3)(4,3)kk=解得1k=，判断选项B错误；接着根据ab建立不等式22224(3)(4)3kk++解得11k−，判断选项C错误；最后根据abab+=−，化简整理得到ab⊥，判断选项D正确.【详解】解：因为(4,3)ak=，(4,3)bk

=，ab⊥，则44330kk+=，解得0k=，故选项A正确；因为(4,3)ak=，(4,3)bk=，//ab，则λab=，即(4,3)(4,3)kk=，解得1k=，故选项B错误；因为(4,3)ak=，(4,3)bk=，ab，则22

224(3)(4)3kk++，解得11k−，故选项C错误；因为(4,3)ak=，(4,3)bk=，abab+=−，则0ab=，0a，0b，所以ab⊥，故选项D正确.故答案为：AD.【点睛】本题考查利用向量垂直求参数、利用向量共线求参数、根据向量的模的大小关系求参数的范围、利

用向量的运算判断向量垂直，是中档题.三、填空题7．（2021·河北保定·高一期末）已知向量(),1a=，()3,5b=−，且a与b的夹角为锐角，则的取值范围是___________.【答案】5{|3，且3}5−.【分析】考虑0a

b和a，b同向两种情况可得结果.【详解】由350ab=−+得53，又当35=−时，a，b同向，故的取值范围是53，且35−.故答案为：53，且35−.8．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末）在ABC中，90A=，2

AB=，M是BC中点，则AMAB=__________．【答案】2【分析】分别以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，分别求出AM和AB的坐标，然后计算求值即可.【详解】分别以点A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，如下图

：所以()2,0B，设()0,Cy，所以200,22yM++，即1,2yM，所以1,2AMy=，()2,0AB=uuur，所以12022yAMAB=+=.故答案为：2.【点睛】方法点睛：解决向量数量积的

问题，通常有两种思路，第一种思路是用定义，第二种是用坐标法，把向量用坐标去表示，使问题简单化.9．（2021·浙江·高一期末）已知点O是ABC的外心，60BAC=，设AOmABnAC=+，且实数m，n满足42mn+=，则mn的值是______

_____.【答案】0【分析】将已知条件转化为221339mn−−=，再结合42mn+=可得0m=，12n=.【详解】将AOmABnAC=+两端分别与AB、AC作内积，结合数量积的几何意

义可得：22221212ABAOABmABnACABACAOACmABACnAC==+==+，又60BAC=，即有11221122ccmbnbcmbn=+=+，解得222133233933bmcmncnb=−−−=

=−.又42mn+=，联立可得0m=，12n=，所以0mn=.故答案为：0.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：将已知条件两端分别与AB、AC作内积，转化为221339mn−−=.10．（

2019·浙江绍兴·高一期末）已知等边三角形ABC的边长为2,点P在边AB上,点Q在边AC的延长线上,若CQBP=,则PCPQ的最小值为______.【答案】236【分析】以,OCOA为,xy轴建立平面直角坐

标系，设(02)BPCQtt==，PCPQ用t表示，求其最小值即可得到本题答案.【详解】过点A作BC的垂线，垂足为O，以,OCOA为,xy轴建立平面直角坐标系.作PM垂直BC交于点M，QH垂直y轴交于点H

，CN垂直HQ交于点N.设(02)BPCQtt==，则13131,,1,2222PttQtt−+−，故有132,,(2,3)22PCttPQt=−−=−

所以，223312342236PCPQttt=−+=−+，当13t=时，取最小值236.故答案为：236【点睛】本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的取值范围问题.11．（2019·湖北襄阳·高一期末）已知点G是ABC的重心，点P是GBC内一点，若(),

APABACR=+，则+的取值范围是______.【答案】2,13【分析】由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：当点P在线段BC上时，1+=，当P与G重合时，+最小为23.【详解】由平面向量基本定理及三点共线的充要条件可知：当点

P在线段BC上时，1+=.点P是GBC内一点，1+.设线段BC的中点为D，则()()22113323AGADABACABAC==+=+.当P与G重合时，+最小，此时，112333+=+=.点P是GB

C内一点，213+.故答案为：2,13.【点睛】本题考查平面向量基本定理及三点共线的充要条件，属中档题．