【文档说明】《人教A版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》七种平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理解题方法（教师版）【高考】.docx，共(44)页，2.397 MB，由小赞的店铺上传

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专题01七种平面向量的概念及其线性运算、平面向量的基本定理解题方法题型一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算题型二：利用几何性质解决线性运算问题题型三：定理法解决平面向量共线问题题型四：坐标公式法解决平面向量共线问题题型五：利用结论解决平面向量共线问题题型六：利用基底法解决平面向量基

本定理问题题型七：利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题题型一：利用图形关系进行向量加减、数乘运算一、单选题1．（2021·安徽·六安市裕安区新安中学高一期末）如图，已知3ABBP=，用OA，OB表示OP，则OP等于（）A．1433O

AOB−B．1433OAOB+C．1433OAOB−+D．1433OAOB−−【答案】C【分析】根据向量加法和减法的三角形法则即可求解.【详解】解：3ABBP=，()11413333OPOBBPOBAB

OBOBOAOBOA=+=+=+−=−，故选：C.2．（2021·江西赣州·高一期末）在边长为1的正方形ABCD中，M为AB上靠近B的三等分点，N为BC的中点.若MNABAD=+(,R)，则32+=（）A．0B．56C．2D．136【答案】

C【分析】以,ABAD为基底表示出MN，由此求得,，进而求得32+.【详解】1132MNMBBNABAD=+=+，所以3211211,,32==+=+=.故选：C二、多选题3．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD的边长为1，ABa=

，BCb=，ACc=，下列说法正确的是（）A．abc+=B．AC在a上的投影向量为aC．()()aacbbc=D．5ac+=rr【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A；根据向量投影的定义，可判断

B；分别计算左、右两边，可判断C；由22=(2)acabab+=++rrrrrr，计算可判断D.【详解】如图，可知+abABBCACc+===，故A正确；由图可知AC在a上的投影向量为a，故B正确；因为ab⊥，所以0ab

=，所以()00abcc==，又2()1bcbababb=+=+=，所以()=acab，所以()()aacbbc，故C错误；因为2222=(2)=44415acababaabb+=++++=+=rrrrrrrrrr，故

D正确.故选：ABD4．（2020·江西九江·高一期末）已知梯形ABCD中，//DCAB，且2ABDC=，E为BC的中点，则下列各式中不正确的是（）A．12ACADAB→→→=+B．1324AEADAB→→→=+C．12BCABAD

→→→=+D．BDADAB→→→=+【答案】CD【分析】根据平行四边形法则，结合向量的运算法则对选项一一分析即可.【详解】由题知，12ACADDCADAB→→→→→=+=+，故A正确；11113()()22224AEACABADABABA

DAB→→→→→→→→=+=++=+，故B正确；1122BCACABADABABADAB→→→→→→→→=−=+−=−，故C错误；BDADAB→→→=−，故D错误；故选：CD三、填空题5．（2021·陕西·榆林市第十中学高一期末）如图，已知E，F分别是矩形A

BCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点G，若,ABaADb==，用,ab表示AG=________.【答案】3344ab+【分析】利用平面向量的线性运算求得正确答案.【详解】1122AGABBEEGabEF=++=++()11

1133242444abBDabbaab=++=++−=+.故答案为：3344ab+四、解答题6．（2021·广东深圳·高一期末）如图，在ABC中，25ADAB=，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，设CBa=，CAb

=.（1）用a，b表示EF，CD；（2）如果60ACB=，2AC=，且CDEF⊥，求CD.【答案】（1）𝐸𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝑎−12𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=25𝑎+35𝑏⃗；（2）635.【分析】（1）利用向量的加减法法则结合图形求解；（2）由CDEF⊥，可得0CDEF

=，从而可得222301510−=ab，结合已知可得3b=r，从而可求出CD【详解】解：（1）因为25ADAB=，点E为AC中点，点F为BC的三等分点，且靠近点C，所以11112332EFECCFCACBab=+=−

+=−，2322355555CDCAADCAABCACBab=+=+=+=+.（2）由（1）可知，2311()()05532CDEFabab=+−=，所以222301510−=ab，因为2b=，所以223401510−=a，解得3a=，2222121213663()235525

252525252255234936CDCDabaabb==+=++=++=.题型二：利用几何性质解决线性运算问题一、单选题1．（2021·河南南阳·高一期末）ABBCAD+−=（）A．CDB．BDC．DCD．AC【答案】C

【分析】根据向量加减的运算性质直接计算即可【详解】ABBCADACADDC+−=−=故选：C．2．（2021·广东汕尾·高一期末）在三角形ABC中，已知ABACABAC+=−，2AB=，点G满足0GAGBGC++=，则向量BG在向量BA方向上的投影向量为（）A．13BA

B．23BAuurC．2BAD．3BA【答案】B【分析】根据已知条件可得ABAC⊥，点G为ABC的重心，可得23BGBD=，先计算BD在向量BA方向上的投影向量，进而可得向量BG在向量BA方向上的投影向量，即可求解.【详解】由ABACA

BAC+=−可得：()()22ABACABAC+=−，即𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2+2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗2+𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗2−2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，可得0ABAC=，所以ABAC⊥，如

图设AC的中点为D，则2GAGCGMGD+==，由0GAGBGC++=可得GAGCGBBG+=−=，所以2BGGD=，所以()211422BABDBAADABBAACABBAACAB=−=−=+=，所以42cos,2BDBABDBABDBABDBABDBABDB

D====向量BD在向量BA方向上的投影向量为：2cos2BABABDBDBABDBABABD==，因为2BGGD=，所以23BGBD=，所以向量BG在向量BA方向上的投影向量为23BAuur，故选：B.3．（202

1·四川乐山·高一期末）如图，四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD、BC的中点，点P是EF的一个三分点，2ABCD=，若APABBC=+，则+=（）A．14B．12C．34D．54【答案】D【分析】先将AP用AD与EF线性表示，再将AD，EF用AB，

BC线性表示代入即可.【详解】因为1223APAEEPADEF=+=+,由题意得，12ADABBCCDABBC=++=+,13()24EFABDCAB=+=,所以3142APABBC=+,所以315424+=+=，故选：D二、填空题4．（2021·吉林·长春市实验中学高一期末）在

ABC中，点D在直线AC上，且23ADAC=，点E在直线BD上，且2BDDE=，若12AEABAC=+，则12+=______．【答案】12【分析】由题意知2332ADACBEBD==，，根据向量的线性运算可得12AEABAC=−+，结合12AEABAC=+即可求出结

果.【详解】由题意知，223ADACBDDE==，，所以2332ADACBEBD==，，所以331()222AEABBEABBDABADABABAC=+=+=+−=−+，又因为12AEABAC=+，所以12112=−=，，所以1212+=.故答案为：12题型三：定理法解决平面

向量共线问题一、单选题1．（2020·四川·高一期末）已知向量(2,3)a=，(,4)bm=，若a，b共线，则实数m=（）A．6−B．83−C．83D．6【答案】C【分析】利用向量平行的性质直接求解．【详解】向量(2,3)a=，(,4)

bm=，,ab共线，423m=，解得实数83m=．故选：C．【点睛】本题主要考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）已知ABC，，为圆O上的三点，线段CO的延长线与线段OAB的延长线交于圆O外的一点D，若OCmOAnOB=+，则mn+

的取值范围为（）A．()01，B．()0+，C．()1，−+D．()10−，【答案】D【分析】结合平面向量共线定理即可.【详解】因为COD、、三点共线，所以可设(0)OCkODk=，则1OCkOD，所以10k−，因为OCmOAnOB=+，所以mnODO

AOBkk=+，又BAD、、三点共线，所以1mnkk+=，所以mnk+=，所以(10)mn+−，.故选：D3．（2021·河南安阳·高一期末）如图所示，在ABC中，点O是BC的中点．过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若ABmAM=，

ACnAN=，则mn+的值为（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】根据平面内三点共线的充要条件进行判断，即若A，B，C三点共线，则,(1)OCxOAyOBxy=++=．【详解】解：由已知得1()2AOABAC=+，结合

ABmAM=，ACnAN=，所以1122AOmAMnAN=+．又因为O，M，N三点共线，所以11122mn+=，所以2mn+=．故选：B．【点睛】本题考查了平面内三点共线的充要条件的推论．注意抓住是从同

一点出发的三个向量间的关系，注意辨析．二、多选题4．（2021·吉林白城·高一期末）下列说法错误的是（）A．若//abrr，//bc，则//acB．若//abrr，则存在唯一实数使得λab=C．若abac=，且0a，则bc=D．

两个非零向量a，b，若abab−=+，则a与b共线且反向【答案】ABC【分析】对于ABC，通过举例判断，对于D，对abab−=+两边平方化简可得结论【详解】解：对于A，当0b=时，因为零向量与任何向量都共线，所以当有//abrr，//bc时，,ac不一定共线，所以A错误，对

于B，当0ab==时，不唯一，所以B错误,对于C，当,,2abac==时，abac=成立，但不一定有bc=，所以C错误，对于D，由abab−=+，得222222aabbabab−+=++，所以abab=−，因为a，b为非零向量，所以a与b共线且反向，所以D正确

，故选：ABC5．（2021··高一期末）关于平面非零向量a，b，c，下列说法错误的是（）A．若0ab，则a与b的夹角为锐角B．若()()abcabc=rrrrrr，则//acC．若abac++，则bcD．若230abc++=，则()()//acbc++【答案】AC【

分析】由向量数量积的定义判断A；由向量数量积的运算以及向量共线判断B；举反例判断C；由向量共线定理判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：若0ab，则a与b的夹角为锐角或0，故选项A错误；对于B：当0

bbac==时满足()()abcabc=rrrrrr，但ab⊥，bc⊥，可得//ac，当0ab，0bc时，由向量共线定理也可得//ac，故选项B正确；对于C：若ba=，ca=−，则abac++，但bc=，故选项C不正确；对于D：由

230abc++=可得：()222acbcbc+=−−=−+，所以()()//acbc++，故选项D正确；故选：AC.三、填空题6．（2021·山西省长治市第二中学校高一期末）已知向量a，b不平行，向量ab+与()12ab−+平行，则实数

=___________.【答案】13【分析】根据ab+与()12ab−+平行即可得出()()12abab+−+=，根据平面向量基本定理即可得出12−==，解出即可．【详解】解：因为向量a，b不平行，向量ab+与

()12ab−+平行，所以()()12abaabb−++=+=，所以12−==，解得：132==.故答案为：13.7．（2020·内蒙古·赤峰二中高一期末（文

））设a和b是两个不共线的向量，若4ABakb=+，CBab=+，32CDab=−，且A，B，D三点共线，则实数k的值等于________.【答案】6−【解析】由A、B、D三点共线，得到向量AB与BD共线，再根据平面向量共线

定理解答.【详解】解：因为A、B、D三点共线，所以向量AB与BD共线，4ABakb=+，CBab=+，32CDab=−，3223BDBCCDababab=+=−−+−=−，()2340k−−=解得

6k=−.故答案为：6−【点睛】本题考查平面向量的线性运算及平面向量共线定理的应用，属于基础题.8．（2020·江苏·常州高级中学高一期末）已知1e，2e是两个不共线的向量，122aee=−，12beke=+.若a与b是共线向量，则实数k的值为__________．【答案】12−【解析】根据题意

得到λab=，代入化简得到答案.【详解】122aee=−，12beke=+，a与b是共线向量，则λab=，即()12122eeeke−=+.故12122eeeke−=+，2,1k==−，故12k=−.故答案为：12−.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，意在考查学生的计算能

力.题型四：坐标公式法解决平面向量共线问题一、单选题1．（2021·河南·济源市第五中学高一期末）已知向量()2,1a=r，()3,b=，且//abrr，则=（）A．6−B．6C．32D．32−【答案】C【分析】由向量共线的坐标表示列方程即可求解.【详解】向量()2,1a=r，

()3,b=，因为//abrr，所以213=，可得32=，故选：C.2．（2021·云南·罗平县第二中学高一期末）已知向量(1,2),(,1)abm==，若//ab，则m＝（）A．12B．-2C．2D．12−【答案】A【分析】利用平面向量共线的坐标表示即可得解.【详解】因向量(

1,2),(,1)abm==，且//ab，则有2110m−=，解得12m=，所以12m=.故选：A3．（2022·宁夏·石嘴山市第一中学高一期末）已知向量()1,2a=−r，(),4bm=，且//abrr，那么m=

（）A．2B．-2C．6D．-6【答案】B【分析】根据向量共线的坐标表示，列出关于m的方程，解得答案.【详解】由向量()1,2a=−r，(),4bm=，且//abrr，可得:14(2)0,2mm−−

==−,故选：B二、多选题4．（2021·湖北黄冈·高一期末）下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．2130,2(0),2ee→→＝,＝B．()()12120,0ee→→−＝，＝,C．()()121,326ee→

→−−＝，＝,D．()()123,5,5,3ee→→＝＝【答案】AD【分析】不共线的两个向量才可作为基底，从而判断每个选项的两个向量是否共线，这样即可找出能作为基底的向量.【详解】对于A，300202−，12,ee→→可以作为基底；对于B,120ee→→=，12,ee→→共线，不能

作为基底；对于C,1212ee→→=−，12,ee→→共线，不能作为基底；对于D，33550−，12,ee→→可以作为基底.故选:AD.5．（2021·湖南·常德市第二中学高二期末）已知向量()()1,1,

2axbx=−=，，则（）A．abB．若//ab，则2x=C．若ab⊥，则23x=D．2ab−【答案】ACD【分析】A用向量相等判断，B用向量共线的坐标运算来判断，C用向量垂直的坐标运算来判断，D用向量模的运算来判断.【详解】显然a

b，A对，//abrr得：()1212xxx=−=或1x=−，B错，ab⊥，()22103xxx+−==，C对，()()()()222221,3132222abxxxxx−=−−=−+−=−+，2ab−，D对．故选：ACD三、填空题6．（

2022·四川泸州·高一期末）已知向量()1,1a→=−，()0,2b→=，(),2c→=，若//abc→→→+，则=______.【答案】2【分析】先求出ab→→+的坐标，再根据向量平行的坐标运算求得答案.【详解】由题意，()1,

1ab→→+=，因为//abc→→→+，所以12102−==.故答案为：2.7．（2017·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知向量(2,5)a=，(,2)bx=−，且//abrr，则x=_________．【答案】45−.【分析】根据向量平行的坐标表示即可得出答案.【

详解】(2,5)a=，(,2)bx=−，//abrr，则450x−−=，所以45x=−.故答案为：45−.题型五：利用结论解决平面向量共线问题一、单选题1．（2020·江苏泰州·高一期末）已知向量()1,1m=−，()2,na=−．若//mn，则实数a的值为（）A．2−

B．2C．1−D．1【答案】B【解析】由向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.【详解】//mn()()112a=−−，即2a=故选：B【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，关键是明确两向量平行则1221xyxy=，属于基础题.2．（2021·江苏省镇江中学高一期末）若()

3,1a=r，()2,5b=−，()()2//3abamb−+，则m=（）．A．12B．32C．32−D．12−【答案】C【分析】根据向量线性运算的坐标表示求得2ab−，3amb+，再利用共线向量的坐标表示解求解.【详解】解：()28,3

ab−=−，()392,35ambmm+=−+，因为()()2//3abamb−+，所以()()8353920mm++−=，解得32m=−.故选：C.二、填空题3．（2021·河南开封·高一期末）与向量()1,1a=−共线的单位向量是_________．【答案】22,22−

或2222−，【分析】利用与a共线的单位向量为aa或aa−rr求解即可【详解】解：因为()1,1a=−，所以221(1)2a=+−=所以与向量()1,1a=−共线的单位向量为122(1,1),222aa=−=−

或122(1,1),222aa−=−−=−，故答案为：22,22−或2222−，4．（2021·河南·高一期末（理））在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，N为AC上一点，BN交AM于点Q，若BQ

xBAyBC=+，则2xy+=______.【答案】1【分析】根据平面向量共线定理，结合中点的性质进行求解即可.【详解】因为M为BC的中点，BQxBAyBC=+，所以2BQxBAyBM=+，又Q，A，M共线，所以有()(1)AQAMABBQABBMBQBABM=+

=+=−+，因此有：12xy−==，21xy+=.故答案为：15．（2019·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量(,4)am=，(3,2)b=−，且//ab，则m=_______

___.【答案】6−【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程，即可求解.【详解】由题意，向量(),4am=，(3,2)b=−，因为//ab，可得432m=−，解得6m=−.故答案为：6−.6．（2020·湖北荆门·高一期末）如图，在△ABC中，E为边AC上一点，

且3ACAE=，P为BE上一点，且满足(0,0)APmABnACmn=+，则21mn+的最小值为_______．【答案】526+【分析】利用向量共线的推论可得31mn+=，再由()21213mnmnmn+=++，利用基本不等

式即可求解.【详解】由3ACAE=，所以3(0,0)APmABnACmABnAEmn=+=+，又因为,,BPC三点共线，所以31mn+=，所以()2121663552526nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=+

，当且仅当62m=−，363n−=时取等号.故答案为：526+【点睛】本题考查了基本不等式求最值、向量共线定理的推论，在利用基本不等式求最值时，需验证等号成立的条件，属于基础题.题型六：利用基底法解

决平面向量基本定理问题一、单选题1．（2021·云南昆明·高一期末）在ABC中，D是AB的中点，则CD=（）A．1122CACB+B．CACB+C．12CACB+D．12CACB+【答案】A【分析】利用向量的加减法法则和平面向量基本定理求解【详解】解：因为D是AB的中点，所以0ADBD

+=,因为,CDCAADCDCBBD=+=+,所以2CDCAADCBBDCACB=+++=+,所以()111222CDCACBCACB=+=+，故选：A2．（2021·浙江省桐庐中学高一期末）设1e，2e是平面

内一组基底，若1122sin+=0ee，1，2R，则以下不正确．．．的是（）A．1sin0=B．2tan0=C．120=D．2cos1=【答案】D【分析】由平面向量基本定理可得12sin0==，再逐一

分析每一个选项即得解.【详解】因为1e，2e是平面内一组基底，且1122sin+=0ee，由平面向量基本定理可得12sin0==，所以2cos1=，1sin0=，2tan0=，120

=.所以D不正确.故选：D.【点睛】本题主要考查了平面向量基本定理的应用，考查了同角三角函数的基本关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.二、填空题3．（2021·天津·高一期末）在ABC中，已知D是BC延长线上一点，满足

3BCCD=，若E为线段AD的中点，且23AEmABAC=+，则实数m=_______【答案】16−【分析】用基底向量,ABAC表示出AE，即可求出m．【详解】因为()1111422223AEADABBDABBC==+=+()12122363ABAC

ABABAC=+−=−+，又23AEmABAC=+，所以16m=−．故答案为：16−．4．（2021·山东日照·高一期末）平行四边形ABCD中，M，N，P分别为BC，CD，AD边上的点，2,3,MCBMNCDNAPPD===，设AMa=，,ANbCPab==+，则

+=___________.【答案】2522−【解析】选,ABAD作为基向量，则有13AMABAD=+，14ANABAD=+，12CPABAD=−−，然后可建立方程组求出,的值即可.【详解】选,ABAD作为基向量，则有13AMABAD=+，14ANABAD=+，

12CPABAD=−−因为AMa=，,ANbCPab==+，所以111234CPABADABADABAD=−−=+++所以1111,423−=+−=+，解得212,2

211=−=−，所以2522+=−故答案为：2522−5．（2020·重庆八中高一期末）设D为ABC的边AC靠近A的三等分点，13BDBABC=+，则=________.【答案】23【分析】利用

三角形法则推出2133BDBABC=+，与已知比较可得．【详解】解：如图，1121()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+，则23=，故答案为：23【点睛】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．6．（2020·陕

西渭南·高一期末）设D为ABC所在平面内的一点，若3ADBD=，CDCACB=+，则=______.【答案】13−【分析】根据平面向量基本定理可得1322CDCACB=−+，进而可得结果.【详

解】如图：由图可知()33CDCAADCABDCACDCB+=+==+−，即有1322CDCACB=−+，所以12=−，32=，则13=−，故答案为：13−.【点睛】本题主要考查了向量共线及平面向量的线性运算，属于基础题

.题型七：利用坐标方程法解决平面向量基本定理问题一、单选题1．（2021·北京朝阳·高一期末）向量12abee，，，在正方形网格中的位置如图所示，若12()abeeR−=+，，则=（）A．3B．13C．-3D．13−【答案】D【分析】利用

向量减求得()1,3ab−=−，利用向量的坐标运算性质，向量相等即可得出．【详解】解：根据向量的减法得()1,3ab−=−,()()()121,00,1,abee+=−=+=，1=且3=−，因此，则13=−故选：D．2．（2021·天津·南开中学高一期末）如图，在矩形AB

CD中，3,4,ABBCE==为AD上一点，BEAC⊥，若BABEAC=+，则−的值为（）A．15B．725C．1625D．1【答案】D【分析】借助于矩形建立直角坐标系，利用坐标法求解.【详解】建立如图示坐标系，由3,4,ABBC=

=则有：()()()()0,0,4,0,0,3,4,3,BCAD因为E为AD上一点，可设(),3,Ex所以()()()=0,3,=,3,=4,3BABExAC−.因为BEAC⊥，所以=0BEAC，即490x−=，

解得：94x=，所以9,34E.由BABEAC=+得：94=0433=3+−，解得：16=259=25−，所以=1−.故选：D二、填空题3．（2021··高一期末）在等边三角形ABC中，2ADDB=，2DE

EC=，P为线段AE上一点，且BPCACD=+，则实数的值为___________.【答案】43−【分析】以A为原点建立如图所示坐标系，设()6,0B，由题知()4,0D，()3,33C，10,233E，设33,5Pmm

，然后由BPCACD=+列方程组可求出实数的值【详解】以A为原点建立如图所示坐标系，不妨设()6,0B，由题知()4,0D，()3,33C，10,233E，由P在AE上，设33,5Pmm，336,5BPmm=−

，()3,33CA=−−，()1,33CD=−，∵BPCACD=+，∴63m−=−，3333(1)5m=−+，解得43=−.故答案为：43−三、解答题4．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量()()()2,1,3,5,4,11abc=−==．（

1）求2ab−；（2）若cxayb=+，求xy+的值．【答案】(1)(-8,-9).(2)3.【分析】（1）根据向量的坐标运算，即可求解；（2）根据向量的坐标表示和向量相等的条件，得到方程组，即可求解.【详解】（１）由题意，()()2,1,3,5ab=−=，则289ab−=−−（，）（2）由()(

)4,112135xy=−+（），，得234{511xyxy−+=+=，解得1{2xy==，3xy+=【点睛】本题主要考查了平面向量的坐标表示与运算，以及向量相等的应用，其中解答中熟记向量的坐标表示

与运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.一、单选题1．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知等腰直角ABC，2ABAC==，P为BC边上一个动点，则()ABACAP+的值为（）A．1B．2C．3D．2【答案

】B【分析】由已知可得0ABAC=，由于P为BC边上一个动点，所以存在，使,[0,1]BPBC=，从而可得(1)APABAC=−+，然后代入()ABACAP+中化简可得结果【详解】解：因为ABAC⊥，所以0ABAC=，因为P为B

C边上一个动点，所以存在，使,[0,1]BPBC=，所以APABBPABBC=+=+()ABACAB=+−(1)ABAC=−+,所以()()[(1)]ABACAPABACABAC+=+−+2

2(1)(1)ABABACABACAC=−++−+22(1)ABAC=−+2(1)22=−+=，故选：B2．（2021·浙江金华·高一期末）在ABC中，过中线AD的中点E任作一直线分别交A

B，AC于M，N两点，设AMmAB=，(0,0)ANnACmn=，则（）A．mn+为定值B．mn为定值C．4mn+的最小值为94D．4mn+的最小值为6【答案】C【分析】用,ABAC表示出EM和EN，由于EM、

EN共线，可得EMEN=，且0，解出14m−=，14n−=，依次验证四个选项即可．【详解】解：由题意可得11()24AMAEEMADEMABACEMmAB=+=+=++=，11()44E

MmABAC=−−，同理可得11()44ENnACAB=−−．由于EM、EN共线，EMEN=，且0．1111()[()]4444mABACnACAB−−=−−，1144m−=−，11()44n−=−故14m−=，14n−=，2211

21(1)4444mn−−−−−+=+==−，2(1)16mn−=−均与取值有关，故AB错误；15151941()2444444mn−+=−+=+−−+=…，当且仅当12=−时成立，故C正确；115

15194()2444444mn−−+=+=+−−+=…，当且仅当2=−时成立，故D错误．故选：C．3．（2021·四川资阳·高一期末）在ABC，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量()22

2,mabcab→=+−，()1,1n→=−，若//mn→→，则C=（）A．56B．23C．3D．6【答案】B【分析】由向量共线的坐标关系得222abcab+−=−，进而根据余弦定理求解即可得答案.【详解】解：因为向量()222,mabcab→=+−，()1,1

n→=−，//mn→→，所以()()2221abcab+−−=，即222abcab+−=−，所以由余弦定理得2221cos222abcabCabab+−−===−，因为()0,C，所以23C=故选：B4．（2021·河南平顶山·高一期末）在ABC中，

3CB=，2AB=，AT平分CAB交BC于点T，若ATACAB=+，则22+=（）A．49B．29C．23D．59【答案】D【分析】由题意可知90,30CB==，60A=，30CATBAT==，进而有13CTCB=，

然后利用平面向量的基本定理求解即可得到21,33==，从而可以得到答案【详解】在ABC中，3CB=，2AB=，AT平分CAB交BC于点T，则易知90,30CB==，60A=，30CATBAT==，2CTATBT==，13CTCB=，()113

3ATACCTACCBACABAC=+=+=+−2133ACABACAB=+=+，21,33==，+=+=22415999，故选：D5．（2019·福建省永春第一中学高一期末）如图，BCD△与ABC的面积之比为2，点P是区域BCD内的任意一点（含边

界），且)APABACR=+(,，则+的取值范围是（）A．[0,2]B．[21,2]+C．[1,2]D．[1,21]+【答案】D【分析】将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则2DOAO=，当P在BC时，+最小，当P在D时，+最大【详解】解

：将图形特殊化，设AD垂直平分BC于O，则2DOAO=，当点P在BC时，,,PBC三点共线，则1+=，此时+最小，当点P在D时，11(21)(21)(22APAOABAC=+=++)，此时212+==，所以21+=+，此时+最大，所以

+的取值范围为[1,21]+，故选：D6．（2021·江苏泰州·高一期末）已知ABC外接圆的圆心为O，半径为1.设点O到边BC，CA，AB的距离分别为1d，2d，3d.若1OAOBOBOCOCOA→→→→→→++=−，则222123ddd++=（）A．34B．1C．32D．3【答案】B【

分析】根据题意：||1OA→=，则有2OAOBOBOCOCOAOA→→→→→→→++=−，进而移项进行两两组合，20OAOBOAOBOCOCOA→→→→→→→+++=，进一步可以化简为：0OAOCOAOB→→→→++=

，设出三边的中点，结合图形，探讨三角形的形状，最后得到答案.【详解】∵ABC外接圆半径为1，∴||1OA→=，∴22||OAOBOBOCOCOAOAOA→→→→→→→→++=−=−，∴200OAOBOA

OBOCOCOAOAOAOBOCOAOB→→→→→→→→→→→→→+++=+++=，∴0OAOCOAOB→→→→++=，设边BC，CA，AB的中点分别为M,N,P，∴2200ONOPONOP→→

→→==,同理：0,0ONOMOMOP→→→→==，如图1：若点O不与M,N,P任何一点重合，则ONOP→→⊥，,ONOMOMOP→→→→⊥⊥同时成立，显然不合题意；如图2：不妨设点O与点M重合，由ONOP→→⊥，根据中位线

定理有由AB⊥AC，则2BC=，∴()2222222212311144dddOPONACABBC++=+=+==.故选：B.【点睛】类似1OAOBOBOCOCOA→→→→→→++=−这样的题目，往往需要

对式子进行化简，注意发现式子只有三个，组合其中两个则另外一个会被孤立，考虑到外接球半径为1，因此将-1进行代换；在化简式子的过程中尽量结合图形去理解，往往会事半功倍.二、多选题7．（2021·广东广州·高一期末）在ABC中，角A，B，C所对的

边分别为a，b，c，点O为ABC所在平面内点，满足0xOAyOBzOC++=，下列说法正确的有（）A．若1xyz===，则点O为ABC的重心B．若1xyz===，则点O为ABC的外心C．若xa=，yb=，zc=

，则点O为ABC的内心D．若xa=，yb=，zc=，则点O为ABC的垂心【答案】AC【分析】若1xyz===，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果，若xa=，yb=，zc=，结合图形以及平面向量的线性运算即可推出结果.【详解】解：若1xyz===则0OAOBOC++=，∴OAOCOB+

=−.取AC中点D，连接OD，∴2ODOC=−.∴O在ABC的中线BD上，同理可得O在其它两边的中线上，∴O是ABC的重心.若xa=，yb=，zc=，则有0aOAbOBcOC++=，延长CO交AB于D，则OAODDA=+，OBODDB=+，∴()()0ODDAODDbBacOC

++=++，设ODkOC=，则()()0kakbcaDAbCDOB++++=，∵DA与DB共线，OC与DA，DB不共线，∴0kakbc++=，0aDAbDB+=，∴DAbDBa=−，∴CD为ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线.∴O是ABC的内心.故选：AC.8.（2021

·广东江门·高一期末）已知OAB的顶点坐标为()0,0O、()2,9A、()6,3B−，点P的横坐标为14，且O、B、P三点共线，点Q是边AB上一点，且0OQAP→→=，R为线段OQ上的一个动点，则（）A

．点P的纵坐标为-5B．向量OA→在向量BP→上的投影向量为14BP→−C．2ABAQ→→=D．QRRB→→的最大值为1【答案】BCD【分析】对于A：设()14,Py，再由O、B、P三点共线，得存在R，使得OPPB→→=，即可记得，y，即可判断A是否正确；对于B：向量OA→在

向量BP→上的投影向量为OABPBPBPBP→→→→→，计算即可判断B是否正确；对于C：设(),Qab，由0OQAP→→=，得34ab=①，由点Q在边AB上，得12346ba+=−−②，解得a，b，进而可得Q点坐标，计算

AQ→，AB→，即可判断C是否正确；对于D：由R为线段OQ上的一个动点，设()4,3Rtt，且01t，利用二次函数的性质，计算QRRB→→最大值，即可判断D是否正确.【详解】解：对于A：设()14,Py，则()14,OPy→=，()8,3PBy→=−−

−，由O、B、P三点共线，得存在R，使得OPPB→→=，得()()14,8,3yy=−−−，解得74=−，7y=−，所以()14,7P−，故A错误；对于B：由上可知()2,9A，()8,4BP→=−，向量OA→在

向量BP→上的投影向量为()()()()22222,98,4148484OABPBPBPBPBPBP−==−+−+−，故B正确；对于C：设(),Qab，则(),OQab→=，又()12,16AP→=−，则由

0OQAP→→=，得34ab=①，因为点Q在边AB上，所以12346ba+=−−，即3150ab+−=②，由①②得，4a=，3b=，所以()4,3Q，所以()2,6AQ→=−，()4,12AB→=−，所以2ABAQ→→=，故C正

确；对于D：因为R为线段OQ上的一个动点，设()4,3Rtt，且01t，则()44,33tQtR→=−−，()64,33ttRB→=−−−，所以2(44,33)(64,33)254015QRRBtttttt→→=−−−−−=−+−，01t

，所以当45t=时，QRRB→→的最大值为1.故D正确.故选：BCD.9．（2021·江苏·南京市建邺高级中学高一期末）共和国勋章，是中华人民共和国最高荣誉勋章，授予在中国特色社会主义建设和保卫国家中作出巨大贡献、建立卓越功勋的杰出人士.2020年8月11日，国家主席习近平签署主

席令，授予钟南山“共和国勋章”．某市为表彰在抗疫中表现突出的个人，制作的荣誉勋章的挂坠结构示意图如图，O为图中两个同心圆的圆心，三角形ABC中，ABAC=，大圆半径2OA=，小圆半径1OBOC==，记S为

三角形OAB与三角形OAC的面积之和，其中2(0,]3BOC，AOABAC=+，当S取到最大值时，则下列说法正确的是（）A．S的最大值是32B．S的最大值是3C．34+=D．45+=【答案】BD【分析】设AOB=，根据2(

0,]3BOC得出2,3，再证明AOBAOC，从而可得22sinAOBSS==△，根据siny=在2,3上单调递减，得23=时，S有最大值3，故可判定选项A，B

；取BC的中点D，通过证明ODBC^，ADBC⊥来说明A，O，D三点共线，再利用555444ADAOABAC==+，结合B，C，D三点共线可得45+=，可判定选项C，D.【详解】因为ABAC=，OBOC=，OA公共，所以AO

BAOC，有AOCBOC=.记AOB=，则BOC=，由2AOBAOCBOC++=，得12BOC=−，又2(0,]3BOC，所以2,3.因为2OA=，1OB=所以AOB的面积1

sinsin2AOBSOAOB==△，所以22sinAOBSS==△，2,3，因为siny=在2,3上单调递减，所以当23=时，S有最大值3，故选项A错误，选项B

正确；当S取到最大值时，23=，23BOC=，取BC的中点D，连接DO，DA，因为OBOC=，所以ODBC^，因为ABAC=，所以ADBC⊥，所以A，O，D三点共线，在BOD中，有1OB=，3BOD=∠，所以1cos32ODOB==.所以52ADAOOD=+=，5

4ADAO=，555444ADAOABAC==+，因为B，C，D三点共线，所以55144+=，45+=，故选项C错误，选项D正确.故选：BD.10．（2021·江苏·泰州中学高一期末）在直角梯形ABCD

中，//CDAB，ABBC⊥，1CD=，2ABBC==，E为线段BC的中点，则（）A．12ACADAB→→→=+B．3142DEABAD→→→=−C．2ABCD→→=D．6AEAC→→=【答案】ABD【分析】利用向量的线性运算证明选项A

，B正确；利用向量的线性运算和数量积计算选项C，D，即得解.【详解】A项，12ACADDCADAB→→→→→=+=+，故A正确；B项，111222DEAEADACABADADABABAD→→→→→→→→→→

=−=+−=++−，3142ABAD→→=−，故B正确；C项，因为AB→与CD→反向共线，112DCAB==，所以2ABCD→→=−，故C不正确；D项，2111118222cos452222

2AEACACABACACABAC→→→→→→→→=+=+=+6=，故D正确．故选：ABD．【点睛】方法点睛：平面向量的数量积的计算，常用的方法有：（1）定义法||||cosabab→→→→=；（2）坐标法1212abxxyy→→=+.要根据已知条件灵活选择

方法求解.11．（2021·浙江·高一期末）已知梯形ABCD中，2,2ABDCBCEC==，则下列结论正确的是（）A．3143AEABAD=+B．12ACABAD=+C．若2AMABAC=−，则点M在线段BC的反向延长

线上D．若AMmABnAC=+uuuruuuruuur，且14mn+=，则ABC的面积是MBC△面积的43倍【答案】BCD【分析】根据向量的加减法运算及数乘运算可以判断A,B选项，根据共线向量可判断C选项，根据向量共线的表示形式可判断D选项.【详解】对于A，()11212122AEA

BBEABBCABBAACABAC=+=+=++=+()1111122222ADDCADDCABAB=+=+++1113122442ABADABABAD=++=+，故A错误；对于B，12ACADDCADAB=+=+，故B正确；对于C，由2A

MABAC=−可得−=−AMABABAC，即=BMCB，即B是线段CM的中点，故C正确；对于D，由AMmABnAC=+uuuruuuruuur可得444AMmABnAC=+uuuruuuruuur，令4AFAM=uuuruuur，又14mn+

=，∴点F在直线BC上，且34MFAF=，∴M到直线BC的距离是A到直线BC距离的34,∴ABC的面积是MBC△面积的43倍，故D正确.故选：BCD【点睛】方法点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．12．（2021·浙江·高一期末）下列说法正确的是（）A．在ABC中，若1122ADABAC=+，则点D是边BC的中点B．已知(1,2),(,1)abxx=

−=−，若(2)//baa−，则1x=−C．已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若(21)AMxABxAC=+−，则12x=D．若三角形的两内角,满足sincos0，则此三角形必为钝角三角形【答案】AD【分析】利用向量加法的平行四边形计

算法则求解A；向量的坐标运算求解B；向量的共线定理求解C；以及角,为锐角或钝角时的正余弦值的正负来判断cos0，所以为钝角.【详解】对于A，1122ADABAC=+得2ADABAC=+，根据向量加法的平行四边形法则可知，D为边BC的中点；对于B，(1,

2),(,1)abxx=−=−，则2(,1)2(1,2)(2,5)baxxxx−=−−−=+−，(2)//baa−，则1(5)2(2)0xx−−−+=，即13x=；对于C，已知A，B，C三点不共线，B，C，M三点共线，若(21)AMxABxAC=+−，则2+2113xxx−==；对于D

，,为三角形的内角，则0,，sin0，而sincos0，所以cos0，所以为钝角，即此三角形必为钝角三角形;故选：AD【点睛】熟悉向量的加减法法则，以及坐标运算，平面向量的共线定

理等知识点，1122(,),(,)axybxy==，若//ab，则12210xyxy−=，若ab⊥rr，则12120xxyy+=.13．（2020·江苏宿迁·高一期末）下列说法中正确的是（）A．对于向量a→，b→，c→，有abca

bc→→→→→→=B．在ABC中，向量AB→与AC→满足0||||ABACBCABAC→→→→→+=，且12||||BABCBABC→→→→=，则△ABC为等边三角形C．若230OAOBOC→→→→++=，,AOCABCSS分别表示,AOC

ABC的面积，则:1:6AOCABCSS=△△D．在ABC中，设D是BC边上一点，且满足2CDDBCDABAC→→→→→==+，，则λ+μ＝0【答案】BCD【分析】对A，由平面向量乘法的运算律即可判断；对B，由0||||ABACBCABAC→→→→→

+=得出BAC的平分线垂直于BC，进而AB=AC，再根据题意求出BAC即可判断；对C，通过230OAOBOC→→→→++=，延长OA到A，使得2OAOA=，延长OC到C，使得3OCOC=，可得O为BAC△的重心，进而根据重心的性质得到答案；对D

，由ABACCB→→→−=和322CDDBCBCD→→→→==即可判断.【详解】对A，平面向量不满足乘法结合律，A错误；对B，因为0||||ABACBCABAC→→→→→+=，所以BAC的平分线垂直于BC，所以AB=AC，又因为1cos2

3||||BABCBACBACBABC→→→→===，所以△ABC为等边三角形，B正确；对C，如图：因为230OAOBOC→→→→++=，延长OA到A，使得2OAOA=，延长OC到C，使得3OCOC=，可得O为

BAC△的重心，设,,AOCAOBCOB的面积分别为,,xyz，则,,AOBCOBAOC的面积分别为2,3,6yzx，由重心性质可知32362yxyzxzx====，所以()::1:6AOCABCSSxxy

z=++=，C正确；对D，因为ABACCB→→→−=，而322CDDBCBCD→→→→==，所以32ABACCD→→→−=,所以223332ABACCDCDABAC→→→→→→−==−，所以λ+μ=0，D正确.故答案为：BCD.【点睛】本题难点在于答案C，这里需要对三角

形的重心性质比较熟悉，这样才能很好的进行构造，如本题，根据230OAOBOC→→→→++=，我们可以构造出,AC使得O为重心，进而解决问题，因此平常要注重对常见结论的总结.三、填空题14．（2022·辽宁营口·高一期

末）平行四边形ABCD中，F是CD边中点，2BEEC→→=，点M在线段EF（不包括端点）上，若AMxAByAD→→→=+，则12xy+的最小值为______．【答案】23+【分析】设(1)AMmAEnAFm

n→→→=++=，求出234xy+=，再利用基本不等式求解.【详解】解：如图所示，设(1)AMmAEnAFmn→→→=++=，所以21()()32AMmABADnADAB→→→→→=+++,所以12()()23AM

mnABmnAD→→→=+++，因为AMxAByAD→→→=+，所以122,23431mnxmnyxymn+=+=+=+=.所以12112143143()(23)(8)(82)23444xyxyxyxyxyyxyx+=++=++

+=+.当且仅当231,233xy=−=−时等号成立.故答案为：23+15．（2021·河南·焦作市第一中学高一期末）如图所示，在平面四边形ABCD中，4AB=，2AD=，23BD=，AC与BD交于点O，若6CO=，(2)CACDCB=+−（

为常数），则DO=______．【答案】2【分析】设CAkCO=，由条件可得2COCDCBkk−=+，根据,,BOD共线可得()1COxCBxCD=−+，从而求出k的值，从而得出AO的长,由条件可得90ADB=，由勾股定理可得答案.【详

解】设CAkCO=，由(2)CACDCB=+−，则2COCDCBkk−=+设BOxBD=,则()COCBBOCBxBDCBxCDCB=+=+=+−所以()1COxCBxCD=−+,又2COCDCBk

k−=+所以21xkxk−−==，两式相加得2k=所以2CACO=，即O为AC的中点，由6CO=，则6AO=由4AB=，2AD=，23BD=，则222ABADBD=+则ABD△为直角三角形，且90ADB=则22642DOAOAD=−=−=故答案为：216．

（2021·重庆南开中学高一期末）已知向量()2,3a=，()1,bm=，且2ab+与ab−平行，则m=______．【答案】32【分析】由题知()24,32abm+=+,()1,3abm−=−,进而根据向量共线的坐标表示求解即可.【详解】解:

因为()2,3a=，()1,bm=，所以()24,32abm+=+,()1,3abm−=−因为2ab+与ab−平行,所以()4323mm−=+,解得32m=,故答案为:3217．（2021·全国·高一期末）在△AOB中，11,42OCOAODOB==，AD与BC交手M点，

设,OAaOBb==，在线段AC上取一点F，在线段BD上取一点E，使EF过M点，使,OEOBOFOA==，则13+=________．【答案】7【分析】设OMmanb=+，分别利用,,CMB三点共线和

,,DMA三点共线求出,mn，再利用,,FME三点共线和平面向量基本定理可求得结果【详解】解：设OMmanb=+，因为,,CMB三点共线，所以存在非零实数k，使得()4kCMkCBkOBOCkba==−=−，所以11444kkOMOCCMakbaakb−=+=+−=+，

所以14kmnk−==，得14nm−=，因为,,DMA三点共线，所以存在非零实数t，使得()2tDMtDAtOAODtab==−=−，所以11222ttOMODDMbtabtab−=+=+−=+，因为OMmanb=+，所以12mttn=−=，所以12mn

−=，由12mn−=和14nm−=，解得13,77mn==，所以1377OMab=+，因为,,FME三点共线，所以存在非零实数x，使得()FMxFExOEOFxaxb==−=−，因为1377FMOMOFab=−=+−，所以1737xx=−=−

，消去x，得37+=，所以13+=7，故答案为：718．（2019·山东·枣庄市第三中学高一期末）在直角梯形.ABCD中，,//,22ABADADBCABBCAD⊥===，,EF分别为,BCCD的中点，以A为圆心，AD

为半径的圆交AB于G，点P在DG上运动（如图）.若APAEBF=+，其中,R，则2+的最大值是________.【答案】52【分析】建立直角坐标系，设()cos,sin,0,2P，根据APAEBF=+

，表示出12sincos2u+=+，结合三角函数相关知识即可求得最大值.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：()()()()0,0,0,1,2,0,2,2ADBC，,EF分别为,BCCD的中点，()32,1,1,2EF，以A为圆心，

AD为半径的圆交AB于G，点P在DG上运动，设()cos,sin,0,2P，APAEBF=+，即()()32,1coin2,1,ssu=+−，232cossinuu−=+=，所以cos22si3

2nuu−=+=，两式相加：4sincs2o2u++=，即()1512sincossin,tan222u++=+==，要取得最大值52，即当21sin,cos55==时，12152sincos2

2525u+=+=+=故答案为：52【点睛】此题考查平面向量线性运算，处理平面几何相关问题，涉及三角换元，转化为求解三角函数的最值问题.19．（2020·浙江·高一期末）如图，直角梯形ABCD中，1,2ABADADCDAB⊥==，若P为ABC三条边上的一个动点，且APmAB

nAD=+，则下列结论中正确的是__________.（把正确结论的序号都填上）①满足12m=的点P有且只有1个；②满足1mn+=的点P有且只有1个；③能使mn+取最大值的点P有且只有1个；④能使2mn+取最大值的点P有

无数个.【答案】③④【解析】分类讨论，求出当P在边BC上，P在边AB上，P在边AC上时，mn+的取值范围以及2mn+的范围，然后根据所求判断正误.【详解】解：当P在边BC上时，如图，取AB中点O，连接OC，则OCAB⊥设BP

BC=，[0,1]，1()2APABBPABBCABOCOBABADAB=+=+=+−=+−12ABAD=−+，1,2mn=−=311,22mn+=+，22mn+=当P在边AB上时

，0n=，0,1mn+，20,2mn+当P在边AC上时，设APAC=uuuruuur，[0,1]，()1122APACADAOADABABAD==+=+=+，2,mn==，330,22mn+

=，2mn=，220,2mn+=①当12m=时，1n=，此时点P就是点C；或0n=，此时点P在AB上，故错误；②当1mn+=时，有1,0==mn或12,33mn==，这样的点P有两个，故错误；③mn+的最大值为32mn+=，此时,

112mn==，这样的点P有且只有1个，故正确；④2mn+的最大值为22mn+=，当P在边BC上时，恒有22mn+=，这样的点P有无数个，故正确.故答案为：③④.【点睛】本题考查了向量的线性运算，及分类讨论思想，是一道难度较大的题目.四、解答题20．（2021·广东广州·高一期末）已

知角A是ABC的内角，若()sin,3cosaAA=，()1,1b=−r.(1)若ab，求角A的值；(2)设()fxab=，当()fx取最大值时，求a在b上的投影向量（用坐标表示）.【答案】(1)5π6；(2)()22,22−.【分析】(1)由向量平行的坐标表示列方程求A，(2)由数量

积的坐标公式求()fx，再求其最值，并根据投影的定义求a在b上的投影向量.【详解】解：(1)∵角A是ABC的内角，∴0πA，又()sin,3cosaAA=，()1,1b=−r且ab，∴3sincos0AA−

−=，即312sincos022AA+=，∴πsin06A+=，∵0A，∴ππ7π666A+，则ππ6A+=，即5π6A=；(2)()π3sincos2sin6fxabAAA==−=−，∵ππ5π666A−−

，∴要使()fx取得最大值，则ππ62A−=，即2π3A=.∴2π2π313sin,cos,3322a==−，∴a在b上的投影向量为()()()3111221,122,222abbb−−=−=−.21．（2021

·湖南张家界·高一期末）已知向量()cos,sina=，()0,1j=，0,=，向量b满足()0abj+=，且ab⊥．（1）已知()1,2c=，且//ac，求tan的值；（2）若()()=fxbxab+−在1,2+

上为增函数，求的取值范围．【答案】（1）tan2=；（2）30,,44．【分析】（1）利用向量共线的坐标表示即可求解.（2）根据向量模的求法可得()()222212fxbxbxb=+−+，再由

二次函数的单调区间可得1b，设()00,bxy=，根据向量数量积的坐标表示可得22222200sinsin1cosbxy=+=+，解不等式即可.【详解】（1）由//ac，有1sin2cos0−=，

tan2=；（2）()()()1fxbxabxaxb=+−=+−()()2222121xaxbxxab=+−+−()2221xxb=+−()222212bxbxb=+−+由()fx在1,2+上为增函数，则对称轴()2221221bb−−+，即1b，设()00,

bxy=，则()00cos,sinabxy+=++，又()0abj+=，且0ab=，则000sin0cossin0yxy+=+=，解得20sincosx=，0siny=−，于是22222200sinsin1cosbxy=+=+，即22sincos

，21cos2，即22,11,22cos−−，又0,，故30,,44．22．（2021·浙江·高一期末）如图，在ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=

2EA，AD与CE交于点O.（1）设BOxAByAC=+uuuruuuruuur，求xy+的值；（2）若6ABACAOEC=，求ABAC的值.【答案】（1）12−；（2）3【解析】（1）由,,EOC三点共线，得1(1)(1)3AOtAEtACtABtAC=+−=+−，又由AOmA

D=，得()222mmmAOABACABAC=+=+，由此解得3412tm==，即可得到本题答案；（2）根据平面向量数量积的运算，逐步化简，即可得到本题答案.【详解】（1）因为,,EOC三点共线，所以1(1)(1

)3AOtAEtACtABtAC=+−=+−，设AOmAD=，所以()222mmmAOABACABAC=+=+，所以13212mtmt=−=，解得3412tm==；所以1144AOAB

AC=+，11314444BOBAAOABABACABAC=+=−++=−+，所以12xy+=−；（2）因为1166()43AOECABACABAC=+−+22312233ABABACAC=−++2

213||||22ABABACAC=−++又6ABACAOEC=，所以2213||||022ABAC−+=，得||3||ABAC=，即3ABAC=.【点睛】本题主要考查平面向的数量积和平面向量的线性运算，考查学生的分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力.23．

（2021·江苏省天一中学高一期末）如图，在ΔABC中，90BAC=，2AB=，3AC=，D是BC的中点，点E满足2AEEC=，BE与AD交于点G.（1）设AGAD=，求实数的值；（2）设H是BE上一点，且HAHBHCHA=，求GHBC的值.【答案】（1）45（2）2−【解析】

（1）设ACa=，ABb=，得到22ACab=+，()213tAGatb=+−，计算得到答案.（2）()GHBCAHAGBCAHBCAGBC=−=−，代入数据化简得到答案.【详解】（1）设ACa=，ABb=，因为AGAD=，D是BC的中点，所以

222ACABACab+==+.①设BGtBE=，01t，故()AGABtAEAB−=−，整理得()1AGtAEtAB=+−，又2AEEC=，即23AEAC=，所以()()221133tAGtACtABatb=+−=+−.②联立①②

，据平面向量其本定理，得2,231,2tt==−解得45=，35t=，所以实数的值为45.（2）因为HAHBHCHA=，所以()0HAHBHC−=，即0AHBC=，所以()GHBCAHAGBCAHBC

AGBC=−=−()()22222555AGBCababab=−=−+−=−−()2223225=−−=−.【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，向量的数量积，意在考查学生对于向量知识的

综合应用能力.