【文档说明】《人教A版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》七种平面向量的数量积及其应用解题方法-（学生版）【高考】.docx，共(17)页，956.347 KB，由小赞的店铺上传

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专题02七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积题型三：利用转化法求平面向量数量积题型四：坐标法求平面向量夹角题型五：数量积和模求平面向量夹角题型六：坐

标公式法求平面向量的模题型七：转化法求平面向量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量a，b满足1a=，32b=，且a与b的夹角为56，则()()2abab

+−=rrrr（）A．32B．32−C．12−D．122．（2021·云南·高一期末）已知a=6，b=2，且向量a与向量b的夹角为600，则a·b的值为（）A．62B．12C．6D．633．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在RtABC中，90,4CAC==，则ABCA=（

）A．25−B．25C．16−D．164．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a与b的夹角120=?，3a=，4b=，则ab=（）A．63−B．6−C．6D．63二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两

个向量a和b，下列命题中正确的是（）A．若a，b满足ab，且a与b同向，则abB．abab++C．ababD．abab−−6．（2020·辽宁·高一期末）在RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）A．2ABABAC=?B

．2BCCBAC=?C．2ACABBD=?D．2BDBABDBCBD=??三、填空题7．（2021·广东江门·高一期末）已知向量a、b满足3a=，4b=，a、b的夹角为60，则ab−=______.8．（

2021·江西九江·高一期末）已知向量a，b夹角的余弦值是6565，且13a=，5b=，则数量积ab=____________.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△ABC中，90C=，54ABCB==，则BABC=_______

______．四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量(1,3),(1,2)ab=−=．（1）求ab；（2）求a与b夹角的大小；（3）求2ab−．题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积一、单选题1．（2

020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知,ab是非零向量，且,ab不共线，3,4ab==，若向量akb+与akb−互相垂直，则实数k的值为（）A．2B．12C．43D．34二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已

知()()2,6,1,3ab=−=−，下列选项中正确的是（）A．20ab=−B．与b同向的单位向量是10310,1010−C．//abD．210ab+=三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量()1,2a=−，()3,1b=，则=ab______

．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量()2,at=，()1,3b=−的夹角为钝角，则t的范围是___________．5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知(2,),(1,3)amb==−，若ab⊥，则m=___________．四、解答题6．（2019·

湖南邵阳·高一期末）已知向量13,,(sin,cos),0,222mnxxx=−=.(1)若mn⊥，求tanx的值；(2)若向量13mn=，求2cos23x−的值.题型三：

利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向量a，b满足3ab−=，则ab的最小值为（）A．94B．94−C．9D．92−二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（）A．已知1)2(a−=，，,1()bxx−=，若()2//baa−，则

1x=−B．在ABC中，若1122ADABAC=+，则点D是边BC的中点C．已知正方形ABCD的边长为1，若点M满足12DMMC=，则43AMAC=D．若ab，共线，则abab+=+三、填空题3．（2021·北京东城·高一期末）已知⊙O中弦6AB=，则AOAB=________．4．（202

1·陕西安康·高一期末）如图，矩形ABCD中，2AB=，23AD=，AC与BD交于点O，过点A作AEBD⊥，垂足为E，则AEBC=______.四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知||4a=，||3b=，,150ab=.

求（1）()abb−；（2）求||ab+.6．（2021·广东揭阳·高一期末）ABC中，已知2,5ABAC==，60BAC=，MN、分别是ABCC、的中点，设ABa=，ACb=，（1）分别用a、b表示AM和BN；（2）设AM与BN交于点P，求MPN

的余弦值．7．（2021·山西朔州·高一期末）已知z是复数，3iz−为实数，5i2iz−−为纯虚数（i为虚数单位）.（1）求复数z；（2）在复平面中，若复数i1z−对应向量a，且向量ba⊥，2b=，求向量b的

坐标.题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量cos500)n5(,sia=与()cos10,sin10b=的夹角为（）A．30°B．40C．60D．902．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量()3,1a=，()3,1b=−

，则a与b的夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π63．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点()()()0,3,0,0,1,0ABC，则cos,BCAC→→=（）A．32−B．12−C．12D．32二、填空题4．（2021·广东

惠州·高一期末）已知向量()2,1a=r，()1,1b=−r，为向量a与b的夹角，则cos=______．5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量()2,0a=，()1,3b=−，则其夹角,ab=______.6．（2021·北京顺义·高一期

末）向量a→，b→在正方形网格中的位置如图所示，则cos,ab→→=__________.7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量(1,)(3,2)amb=−，=，且()abb⊥+，则向量a与向量b的夹角余弦

值为___________.三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知()11,0e=ur，()20,1e=ur，122aee=+，12bee=−，且//ab.（1）求的值；（2）求向量a与向量122cee=+夹角的余弦.9．（2021·云南玉溪·

高一期末）已知||35,(1,2)ab==，且ab=．（1）求a的坐标；（2）当0时，若(3,4)c=−，求a与c的夹角的正弦值．10．（2021·江苏常州·高一期末）已知O是坐标原点，向量()()2,

3,6,1(,0)OAOBOPx===，，（1）若PAPB⊥，求实数x的值；（2）当PAPB取最小值时，求ABP△的面积．11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量(3,2)a=−，(1,)by=−且ba−与(2,1)c=共线.（1）求y的值；（2）若2mab=+，nac=−，求向量m与

向量n所夹角的余弦值.题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量(1,0)a=，(2,2)b=−，则a与b的夹角为（）A．4B．3C．23D．342

．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量a，b满足||||abab+=−，则a与b的夹角为（）A．6B．3C．2D．56二、多选题3．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P是ABC所在平面内一点，满足|||2|0PBPCPBPCPA−−+−=

，则ABC的形状不可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量a，b满足10a=，5b=，5ab=−，则a与b的夹角为_______

__.5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量||3a=，||2b=，(2)(2)1abab+−=，则a与b的夹角为______．四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量a，

b满足2=a，3b=，()()2334abab−+=−．（1）求向量a与b的夹角；（2）当实数x为何值时，xab−与3ab+rr垂直．7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一期末）已知向量a与b的夹角34=，且3a=，22b=，

求a与ab+的夹角的余弦值．题型六：坐标公式法求平面向量的模一、单选题1．（2021·吉林·长春市第二十九中学高一期末）已知向量(1,2)a=−，(,4)bx=，且ab⊥，则||b=（）A．25B．43C．45D．8二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A（1，1），点B

（5，3），将向量AB绕点A逆时针旋转2，得到向量AC，则点C坐标为________；||BC=________．三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量()4,ax=−，()3,2b=，若ab⊥，则a=________．4．（2021·北京市育英学校高一期末）

已知向量()1,3a=，()3,1=rb则3+ab为___________5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知()3,2,2,2axb==，若()aba−⊥，则2ab+=___________.四、解答题6．（2021·北京昌平·高一期末）已知向量()1

,2a=r，()3,2b=−.（1）求ab−rr；（2）求向量a与向量b的夹角的余弦值；（3）若10c=，且()2acc+⊥，求向量a与向量c的夹角.题型七：转化法求平面向量的模一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量a，b的夹角为4，()3,4a=−，10ab

=，则b=（）A．22B．23C．33D．42二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD的边长为1，ABa=，BCb=，ACc=，下列说法正确的是（）A．abc+=B．AC在a上的投影向量为aC．()()aacbbc=D．5ac+=rr三、

填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量a与b的夹角为23，且1ab==rr，则2ab−=___________．4．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量a，b满足22ba==，且向量a与b的夹角为60

，则2ab+=rr__________.四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a，b满足||2a=，||1b=，ab⊥，若2mab=+，3nab=−+．（Ⅰ）求mn；（Ⅱ）求2mn+.6．（2021··高一期末）已知2a=，3b=，()()22

19abab+−=−.（1）求向量a与b的夹角；（2）求2ab+.一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知a→是单位向量，a→与b→的夹角是3，且7ab→→+=，则b→=（）A．12B．1C．2D．22．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）如图所示，在

菱形ABCD中，2AB=，60DAB=，E为CD的中点，则ABAE的值是（）A．4B．4−C．2D．2−3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角ABC中，60B=，2ABAC−=，则ABACuuuruuur的取值范围为（）A．()0,12B．1,124−

C．(0,4D．(0,24．（2021·江苏南通·高一期末）在ABC中，2AB=，3AC=，4BC=，若点M为边BC所在直线上的一个动点，则432MAMBMC++的最小值为（）A．36B．66C．32498D．31525．（2020·浙江温

州·高一期末）已知平面向量a→，b→，且满足2aabb→→→→===，若e→为平面单位向量，则aebe→→→→+的最大值（）A．3B．23C．4D．33二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，

且6BC=，2AD=，则（）A．ABC面积最大值是12B．cos53BC．ADBE+不可能是5D．1135,22BEAC7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设,OxOy是平面内相交成45角

的两条数轴，12,ee分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量12OePyex=+，则把有序数对(,)xy叫做向量OP在斜坐标系xOy中的坐标，计作(,)OPxy=.已知在斜坐标系xOy中，向量11(,)OAxy=，22(,)OBxy=，则下列结论正确的是（）A．2121(,)ABxx

yy=−−B．若OAOB⊥，则12120xxyy+=C．221212()()ABxxyy=−+−D．若APPB=，则OP=1212,11xxyy++++.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知a与b均为单位向量，其夹角为，则下列结论正确的是（）A．

210,3ab+B．21,3ab+C．10,3ab−D．1,3ab−9．（2021·广东广州·高一期末）ABC中，2A

=，2ABAC==，则下列结论中正确的是（）A．若G为ABC的重心，则2233AGABAC=+B．若P为BC边上的一个动点，则()APABAC+为定值4C．若M、N为BC边上的两个动点，且2MN=则AMAN的最小值为

32D．已知Q是ABC内部（含边界）一点，若1=AQ，且AQABAC=+，则+的最大值是110．（2021·江苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为()0,0，(

)11,xy，()22,xy，设OAa=，OBb=，ABc=，则（）A．()2sinsinsinOABcABSAB=+B．()22212OABSabab=−C．2OABabcSR=(R为OAB外接圆的半径)D．122112OABSxyxy=

−11．（2021·浙江·高一期末）已知向量a，b，c满足2=a，3b=，3=ab，2280cbc−+=，则下列说法正确的是（）A．1cb−=B．若()ccb⊥−，则22c=C．tR，有32bta+恒成立D．若()1cλaλb

=+−，则71ac−=−12．（2021·浙江·高一期末）如图所示，设,OxOy是平面内相交成2角的两条数轴，12,ee分别是与,xy轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为反射坐标系，若12OMxeye=+，则把有序数对(),xy

叫做向量OM的反射坐标，记为(),OMxy=．在34=的反射坐标系中，()()12,21ab==−，，．则下列结论中，错误的是（）A．()12,21ab−=+−B．1a=C．ab⊥D．b在a上的投

影向量为2a−三、填空题13．（2021·广东广州·高一期末）在ABC中，6,5,4ABBCAC===，点D在边AB上，且|3|||ABAD=，点E是CD的中点，则AEBC=________．14．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知O为坐标原点

，点()1cos,sinP，()2cos,sinP−，()()()3cos,sinP++，()1,0A，则下列式子中一定正确的序号为___________.①12OPOP=；②12APAP=；③312OAOPOPOP=.15．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已

知平面向量a，b，c满足1a=，2b=，2||aab=，()02bcc−=，则22||||cacb−+−的最小值为________.16．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）如图在ABC中，E为斜

边AB的中点，CDAB⊥，1AB=，则()()CACDCACE的最大值是__________．四、解答题17．（2021·陕西安康·高一期末）已知点()3,0A，()0,3B，()cos,sinC，π3π,22.(1)若

ACBC=，求的值；(2)若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−1，求πcos24−的值.18．（2021·重庆·高一期末）如图，在ABC中，已知120BAC=，24ABAC==，，点D在BC上，且2BDDC=，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点.(1)求

线段AD，BE的长；(2)求EOD的余弦值.19．（2021·云南昆明·高一期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．（1）（ⅰ）若(3,4)a→=，(5,12)b→=，比较ab→→与||||ab→→的大小；（ⅱ）若(3,4)

a→=，(6,8)b→=，比较ab→→与||||ab→→的大小；（2）a→，b→为非零向量，11,()axy→=，22,()bxy→=，证明：2222212121122()()()xxyyxyxy+++；（3）设mnxy,,,为正

数，225mn+=，2280xy+=，20mxny+=，求mnxy++的值．20．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）①已知向量33(cos,sin)22xxa=，(cos,sin)22xxb=−，函数()||1fxabmab=−++，,34x−，mR．（1）当0m=时

，求()6f的值；（2）若()fx的最小值为1−，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数224()()49gxfxm=+在[,]34−有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理

由．②已知函数221()(1)()4fxxaxaaR=−+−−，()lngxx=．（1）若5a=，记()0fx的解集为M，求函数3()()()ygxegexxM−=(e为自然对数的底数)的值域；（2

）当1a时，讨论函数2()()()|()()|hxfxgxfxgx=++−的零点个数．请从①和②两题中任选一题进行解答．(注意：如果选择①和②两题进行解答，以解答过程中书写在前面的情况计分)21．（2021·江苏南通·高一期末）已知O为坐标原点，对

于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(),aMbO=为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OM的伴随函数.（1）设函数3()3sin()sin2gxxx=+−−，试求()gx的伴随向

量OM；（2）记向量(1,3)ON=的伴随函数为()fx，求当()85fx=且,36x−时sinx的值；（3）由（1）中函数()gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23个单位长度得到()hx的图象，已知()2,3A−，()2,6B，问在()yh

x=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.22．（2021·浙江·高一期末）已知向量23sin,cos44axx=++，向量cos,2cos44bxx

=−−，且函数()fxab=.(1)求函数()fx的单调递增区间及其对称中心；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且角A满足()31fA=+.若3a=，BC边上的中线长为3，求ABC的面积S.(3)将函数()fx的图像向左平移6个长

度单位，向下平移3个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12后得到函数g()x的图像，令函数()()4coshxgxx=−在0,2x的最小值为32−，求正实数的值.23．（2020·安徽宿州·高一期末）如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2

，OA与OC的夹角为，且tan7=，OB与OC的夹角为45.若(),OCmOAnOBmnR=+，（1）求5577loglognm−的值；（2）若函数()()21208fxaxaxa=−+在,mn上的最大值为2，求a的值.24．（2020·广西

·柳州高级中学高一期末）已知向量()2cos,cosaxx=，sin,33bx=+−.设函数()34fxab=+，xR.(1)当,63x−时，方程2234fxa+=−有两个不等的实根，求a的取值范围；

(2)若方程()13fx=在()0,上的解为1x，2x，求()12cosxx−.