【文档说明】《人教A版（2019）高一数学下学期期末考试分类汇编》七种平面向量的数量积及其应用解题方法-（教师版）【高考】.docx，共(54)页，2.810 MB，由小赞的店铺上传

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专题02七种平面向量的数量积及其应用解题方法题型一：利用定义法求平面向量数量积题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积题型三：利用转化法求平面向量数量积题型四：坐标法求平面向量夹角题型五：数量积和模求平面向量夹角题型六：坐标公式法求平面向量的模题型七：转化法求平面向

量的模题型一：利用定义法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·江西省铜鼓中学高一期末（理））已知向量a，b满足1a=，32b=，且a与b的夹角为56，则()()2abab+−=rrrr（）A．32B．32−C．12−D．12【答案】D【分析】根据

向量的运算性质展开可得()()2222ababaabb+−=+−rrrrrrrr，再代入向量的数量积公式即可得解.【详解】根据向量运算性质，()()2222ababaabb+−=+−rrrrrrrr22253332cos21()()6222aabb=+−=+−−33312

24422=−−=−=，故选：D2．（2021·云南·高一期末）已知a=6，b=2，且向量a与向量b的夹角为600，则a·b的值为（）A．62B．12C．6D．63【答案】C【分析】利用向量数量积的定义即可求解.【详解】由a=6，b=2，且向量a与向量b的夹角为600，a·1cos,6226aba

bb===.故选：C3．（2021·辽宁抚顺·高一期末）在RtABC中，90,4CAC==，则ABCA=（）A．25−B．25C．16−D．16【答案】C【分析】根据平面向量的数量积及其几何意义，即可得解．【详解】解：2||||co

s()|||||cos||16ABCAABCAACAABACA=−=−=−=−．故选：C．4．（2021·湖南张家界·高一期末）已知向量a与b的夹角120=?，3a=，4b=，则ab=（）A．63−B．6−C．6D．63【答案】B【分析】根据平面向量数量积的定义

可直接求出结果.【详解】根据平面向量数量积的定义可得1cos1203462abab==−=−，故选：B.二、多选题5．（2021·福建省厦门集美中学高一期末）对于两个向量a和b，下列命题中正确的是（）A．若a，b满足ab，且a与b

同向，则abB．abab++C．ababD．abab−−【答案】BC【分析】向量不能比较大小可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B、D；根据向量数量积的定义可判断选项C；进而可得正确选项.【详解】对于选项A：向量不能比较大小，故选项A不正确；对于

选项B：根据向量的加法运算的几何意义可知abab++，当且仅当向量a和b同向时等号成立；对于选项C：cos,ababab=，因为cos,1ab，所以abab，故选项C正确；对于选项D：由向量减法的几何意义可知abab−−，故选项D不正确；故选：BC.6．（2020·辽宁·高一期末）在

RtABC中，BD为斜边AC上的高，下列结论中正确的是（）A．2ABABAC=?B．2BCCBAC=?C．2ACABBD=?D．2BDBABDBCBD=??【答案】AD【分析】根据向量的数量积关系判断各个选项的正误.【详解】对于A，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|

𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠𝐴=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|2，故A正确；对于B，𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗=|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠(𝜋−𝐶)=−|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠𝐶=−|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=−|𝐶�

�⃗⃗⃗⃗⃗|2，故B错误；对于C，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠(𝜋−∠𝐴𝐵𝐷)=−|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|⋅𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐷=−|𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗|=−|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2,故C错误；对于D，𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗

⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠∠𝐴𝐵𝐷=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2,𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐵𝐷=|𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|=|𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗|2,故D正确.故选：AD.【点睛】本题考查三角形中的向量的数量积问题，属于基础题.三、填空题7．

（2021·广东江门·高一期末）已知向量a、b满足3a=，4b=，a、b的夹角为60，则ab−=______.【答案】13【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可.【详解】解：向量a、b满足3a=，4b=，a、b的夹角为60，则221916232

4132ababab−=++−−==.故答案为：13.8．（2021·江西九江·高一期末）已知向量a，b夹角的余弦值是6565，且13a=，5b=，则数量积ab=____________.【答案】1【分析】根据平面向量数量积的定义可直接求出结果.【详解】cos,1ababab==.

故答案为：1.9．（2021·吉林·长春市第二十中学高一期末）在△ABC中，90C=，54ABCB==，则BABC=_____________．【答案】1625【分析】由已知条件可得1cos5CBA=，根据𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗

⃗⃗⃗⃗=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗|𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐵𝐴即可求值.【详解】在△ABC中，90C=，且54ABCB==，∴||4AB=，4||5BC=，故1cos5CBA=，∴𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=|𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗⃗||𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗

⃗|𝑐𝑜𝑠∠𝐶𝐵𝐴=4×45×15=1625.故答案为：1625四、解答题10．（2021·北京丰台·高一期末）已知向量(1,3),(1,2)ab=−=．（1）求ab；（2）求a与b夹角的大小；（3）求2ab−．【答案

】（1）5，（2）4，（3）5【分析】（1）直接利用坐标求解即可；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）先求出2ab−的坐标，再求其模【详解】解：（1）因为(1,3),(1,2)ab=−=，所以11325ab=−+=，（2）设a与b夹角为，则222252cos2(1)312aba

b===−++，因为[0,]，所以4=，所以a与b夹角的大小为4，（3）因为(1,3),(1,2)ab=−=，所以22(1,3)(1,2)(3,4)ab−=−−=−，所以222(3)45ab

−=−+=题型二：利用坐标运算法求平面向量数量积一、单选题1．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）已知,ab是非零向量，且,ab不共线，3,4ab==，若向量akb+与akb−互相垂直，则实数k的值为（）A．2B．12C．43D．34【答案】D【分析】根据互相垂直的向量的性

质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【详解】因为向量akb+与akb−互相垂直，所以有22223()()0091604akbakbakbkk+−=−=−==，故选：D二、多选题2．（2021·黑龙江·绥化市第二中学高一期末）已知()()2

,6,1,3ab=−=−，下列选项中正确的是（）A．20ab=−B．与b同向的单位向量是10310,1010−C．//abD．210ab+=【答案】ABC【分析】利用向量的坐标可求各项运算的结果，从而可得正确的选项.【详解】对于A，21820ab=−−=−，故A正确，对

于B，与b同向的单位向量是1310310,,10101010bb=−=−，故B正确.对于C，因为()2361−−=，故//ab，故C正确.对于D，()221310ab+=−

+=，故D错误.故选：ABC.三、填空题3．（2021·浙江宁波·高一期末）已知向量()1,2a=−，()3,1b=，则=ab______．【答案】1【分析】直接利用向量的数量积的运算法则化简求解即可．【详解】解：向量(1,2)a=−，(3,

1)b=，则13211ab=−=．故答案为：1．4．（2021·山东淄博·高一期末）向量()2,at=，()1,3b=−的夹角为钝角，则t的范围是___________．【答案】2(,6)6,3−−−

.【分析】由两向量夹角为钝角，可得两向量的数量积小于零，且两向量不共线，从而可求得结果【详解】解：因为()2,at=，()1,3b=−的夹角为钝角，所以230abt=−+，且23t−，解得23t，且6t−，所以t的范围为2(,6)6,3

−−−，故答案为：2(,6)6,3−−−5．（2021·云南玉溪·高一期末）已知(2,),(1,3)amb==−，若ab⊥，则m=___________．【答案】23【分析】由两向量垂直，可得数量积为0，从而可列方程求得答案【详解】解：因为(2,),(1,

3)amb==−，ab⊥，所以230abm=−+=，解得23m=，故答案为：23四、解答题6．（2019·湖南邵阳·高一期末）已知向量13,,(sin,cos),0,222mnxxx=−=.(1)若mn⊥，求tanx的值；(2)若向量13

mn=，求2cos23x−的值.【答案】(1)3；(2)79.【分析】(1)由mn⊥可得0mn=，利用数量积的坐标运算列方程求解；(2)由13mn=可得1sin()33x−=，将2cos23x−变形为212s

in()3x−−，代入计算可得结果.【详解】(1)由mn⊥可得0mn=，即13sincos022xx−=，则tan3x=；(2)由题意可得131sincos223xx−=即1sin()33x−=，∴22cos(2)12si

n()33xx−=−−，21712()39=−=.【点睛】本题考查向量的数量积的坐标运算，以及倍角公式的运算，是基础题.题型三：利用转化法求平面向量数量积一、单选题1．（2021·四川成都·高一期末）已知向

量a，b满足3ab−=，则ab的最小值为（）A．94B．94−C．9D．92−【答案】B【分析】3ab−=两边平方得()()22922abab+，再利用又abab−rrrr可得答案.【详解】设a与b的夹角为，0,，由3ab−=得()()()

22229ababab−=+−=，所以()()()()2222922ababab+=+，当且仅当ab=rr等号成立，又()()22222ababab=−，所以94ab−，abab−

rrrr当且仅当=时等号成立，故选：B.二、多选题2．（2021·江苏·金陵中学高一期末）下列说法正确的是（）A．已知1)2(a−=，，,1()bxx−=，若()2//baa−，则1x=−B．在ABC中，若1122ADABAC=+，则点D是边BC的中点C．已知

正方形ABCD的边长为1，若点M满足12DMMC=，则43AMAC=D．若ab，共线，则abab+=+【答案】BC【分析】根据向量共线的坐标表示可判断选项A；根据向量的线性运算可判断选项B；根据向量数量积的运算可判断选项C，举反例可判断选项D，进而可得正确选项.【详

解】对于A：1)2(a−=，，,1()bxx−=，可得()22,5baxx−=+−，若()2//baa−则()()()215xxxx+−=−，即62x=，所以13x=，故选项A不正确；对于B：取BC的中点E，则()111222ABACABACAEAD+=+==，即D点与E点重合，

所以点D是边BC的中点，故选项B正确；对于C：()()()13AMACADDMADDCADDCADDC=++=++22141413333ADDCADDC=++=+=，故选项C正确；对于D：当ab，反向时不成立，故选项D不正确，故选：BC.三、填空题3．（20

21·北京东城·高一期末）已知⊙O中弦6AB=，则AOAB=________．【答案】18【分析】利用向量的数量积、投影的定义即可求解.【详解】过点O作OCAB⊥于点C，则点C为AB的中点，12ACAB=，所以2211

cos,61822AOABAOABAOABABACAB=====，故答案为：18.4．（2021·陕西安康·高一期末）如图，矩形ABCD中，2AB=，23AD=，AC与BD交于点O，过点A作AEBD⊥，垂足为E，则AEBC=___

___.【答案】3【分析】先求得,cosAEBAE，然后利用向量运算求得AEBC【详解】2,23,4124ABADBD===+=，11322ABADBDAEAE==，所以3cos2AEBAEAB==，(

)()AEBCAEBDDCAEBDAB=+=+3cos3232AEBDAEABAEABAEABBAE=+====.故答案为：3四、解答题5．（2021·广东·高一期末）已知||4a=，||3b=，,150a

b=.求（1）()abb−；（2）求||ab+.【答案】（1）9−；（2）7.【分析】（1）由已知求ab，结合向量数量积的运算律，即可求()abb−；（2）由2()abab+=+，利用向量数量积的运算律求值即可.【详解】（1）4,3,,150abab==

=3cos,43()62ababab==−=−，∴2()639abbabb−=−=−−=−.（2）2()abab+=+222aabb=++16123=−+7=.6．（2021·广东揭阳·高一期末）AB

C中，已知2,5ABAC==，60BAC=，MN、分别是ABCC、的中点，设ABa=，ACb=，（1）分别用a、b表示AM和BN；（2）设AM与BN交于点P，求MPN的余弦值．【答案】（1）()12AMab=+；12BNab=−+

；（2）49191．【分析】（1）利用平面向量加法法则能求出结果．（2）首先根据平面向量数量积的运算求出AM、BNuuur、AMBN，再根据coscos,||||AMBNMPNAMBNAMBN==．由此能求出MPN的余弦值．【详解】解：解

：（1）ABa=，ACb=，()111()222AMABBMABBCABACABab=+=+=+−=+，111222BNBAANBAACABACab=+=+=−+=−+．（2）因为2,5ABAC==，60BAC=，所以1cos602552abab===2222

2222111139()(2)(2)(2255)44444AMabaabbaabb=+=++=++=++=，22222222111121()25524444BNabaabbaabb=−+=−+−+−+===，所以392AM=，212BN=2211111()()22244

AMBNababaabb=+−+=−−+22221111112553244244aabb=−−+=−−+=，491coscos,91||||AMBNMPNAMBNAMBN===．7．（2021·山西朔州·高一期末）已知z是复数，3iz−为实数，5i2iz−−为纯虚数（i

为虚数单位）.（1）求复数z；（2）在复平面中，若复数i1z−对应向量a，且向量ba⊥，2b=，求向量b的坐标.【答案】（1）13iz=−+；（2）2545,55b=或2545,55b=−−

.【分析】（1）设izab=+,由已知条件化简计算求得,ab即可求复数z；（2）由（1）得2i1iz=−+−，得出()2,1a=−，设向量(),bxy=，根据已知列出方程组求解即可.【详解】（1）设izab

=+（,abR），由()3i3izab−=+−为实数，可得30b−=，即3b=.∵()()()()()2i2i224i5i2i2i2i2i2i5aaaza−+++−−−===−−−+为纯虚数，∴220a+=，4

0a−，即1a=−，∴13iz=−+（2）()()()()13i1i13i42i2i1i1i1i1i2z−++−+−+====−+−−−+，则()2,1a=−设向量(),bxy=，因为ab⊥且2b=，所以22204xyxy−+=+=解得255x=所以2545,55b

=或2545,55b=−−题型四：坐标法求平面向量夹角一、单选题1．（2021·北京西城·高一期末）向量cos500)n5(,sia=与()cos10,sin10b=的夹角

为（）A．30°B．40C．60D．90【答案】B【分析】根据平面向量夹角公式、逆用两角差的余弦公式直接求解即可.【详解】设向量cos500)n5(,sia=与()cos10,sin10b=的夹角为([0,180])，所以有2222cos50cos10s

in50sin10coscos40cos50sin50cos10sin10abab+===++，因为[0,180]，所以40=，故选：B2．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）已知向量()3,1a=，()3,1b=−，则a与b的

夹角为（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【答案】B【解析】直接代入平面向量的夹角的坐标运算公式计算即可【详解】因为向量()3,1a=，()3,1b=−，所以·311cos,231?31·ababab−===++,又因为,0,ab,所以,3ab=,故选B.【点睛】本题考查平面

向量的夹角的坐标运算公式，属基础题，121222221122·cos,··xxyyabababxyxy+==++.3．（2021·北京市八一中学高一期末）已知点()()()0,3,0,0,1,0ABC，则cos

,BCAC→→=（）A．32−B．12−C．12D．32【答案】C【分析】先求出()()1,0,1,3BCAC==−，再用向量的夹角公式求解即可【详解】()()()0,3,0,0,1,0ABC，()()1,0,1,3BCAC==−则11cos,122BCACBCA

CBCAC===故选：C二、填空题4．（2021·广东惠州·高一期末）已知向量()2,1a=r，()1,1b=−r，为向量a与b的夹角，则cos=______．【答案】1010【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可求得cos的值.【详解】由题意得，()(

)22220c2111110110211os1abab=−+==+−=+．故答案为：1010.5．（2021·北京·汇文中学高一期末）已知向量()2,0a=，()1,3b=−，则其夹角,ab=______.【

答案】2π3【解析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【详解】因为向量()2,0a=，()1,3b=−，所以()21032ab=−+=−；所以21cos,222ababab−===−，所以�

𝑎,𝑏⃗�∈[0,𝜋],�𝑎,𝑏⃗�=2𝜋3.故答案为：2π3.【点睛】本题主要考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．（2021·北京顺义·高一期末）向量a→，b→在正方形网格中的位置如图所示，则cos,ab→→=__________.【答案】22−【分

析】建立平面直角坐标系，通过平面向量夹角的坐标运算得到答案.【详解】根据题意，设正方形网格的边长为1，如图建立坐标系，则()3,1a→=，()1,2b→=−−，故||9110a→=+=，||145b→=+=，325ab→→=−−=−，故2cos,2||||ababab→→→→→→

==−；故答案为：22−.7．（2021·安徽黄山·高一期末）已知向量(1,)(3,2)amb=−，=，且()abb⊥+，则向量a与向量b的夹角余弦值为___________.【答案】55−【分析】利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】由(1,)(3,2)am

b=−，=，则()4,2abm+=−rr，若()abb⊥+，则()()()34220abbm+=+−−=，解得8m=.向量a与向量b的夹角余弦值13285cos,516494ababab−

===−++.故答案为：55−三、解答题8．（2021·四川乐山·高一期末）已知()11,0e=ur，()20,1e=ur，122aee=+，12bee=−，且//ab.（1）求的值；（2）求向量a与向量122cee=+夹角的余弦.【答案】（1）2−；（2）1010−.【

分析】（1）先求出,ab的坐标，再利用//ab列方程可求出的值；（2）直接利用向量的夹角公式求解即可【详解】解：（1）由题知()()2,00,a=+()2,=，()()()1,00,11,1b=−=−，∵//ab，∴121−=，∴2=−，（2）由（1）知()2,2a=−，()1,2c=

，令a与c的夹角为，∴cosacac=2222(2,2)(1,2)2(2)12−=+−+21010225−==−.9．（2021·云南玉溪·高一期末）已知||35,(1,2)ab==，且ab=．（1）求a的坐标；（2）当0时，若(3,4)c=−，求a与c的夹角的正

弦值．【答案】（1）(3,6)a=或(3,6)a=−−；（2）255.【分析】（1）由ab=可得(,2)a=，再由||35a=，可求出的值，从而可求出a的坐标；（2）直接利用向量的夹角公式求解【详解】解（1）(

1,2)(,2)ab===，22||4||535,3a=+===，∴(3,6)a=或(3,6)a=−−，（2）当0,(3,6)a=，9(24)155cos,5936916155ac+−−===−++，因为,[0,

]ac，所以2525sin,155ac=−−=，即a与c的夹角的正弦值为25510．（2021·江苏常州·高一期末）已知O是坐标原点，向量()()2,3,6,1(,0)OAOBOPx

===，，（1）若PAPB⊥，求实数x的值；（2）当PAPB取最小值时，求ABP△的面积．【答案】（1）3或5；（2）4.【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示即可求解.（2）根据向量数量积的坐标表示得出当4x=时

，PAPB取最小值1−，再由向量数量积的坐标表示求出向量夹角余弦值，根据同角三角函数的基本关系求出夹角的正弦值，由三角形的面积公式即可求解.【详解】（1）因为(2,3)OA=，(6,1)OB=，(,0)OPx=，所以(2,3)PAx=−，(6,1)P

Bx=−，又因为PAPB⊥，所以0PAPB=，即(2)(6)30xx−−+=也即28150xx−+=，解得3x=或5x=，则所求实数x的值为3或5．（2）由（1）知PAPB=(2)(6)3xx−−+=22815(4)1xxx−+=−−，当4x=时，PAP

B取最小值1−，此时(2,3)PA=−，(2,1)PB=，则165cos,65135PAPBPAPBPAPB−===−，又在ABP△中，,(0,)PAPB，则265865sin,1()6565PAPB=−=，ABP△的面积为12SPAPB=

sin,PAPB18651354265==11．（2021·山西吕梁·高一期末）已知平面向量(3,2)a=−，(1,)by=−且ba−与(2,1)c=共线.（1）求y的值；（2）若2mab=+，nac=−，求向量m与向量n所夹角的余弦值.【答案】

（1）3；（2）255.【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示求出ba−，再根据ba−与(2,1)c=共线即可求得y的值；（2）根据向量线性运算的坐标表示求出,mn，再根据cos,||||mnmnmn=即可求得向量m与向量n所夹角的余弦值.【详解】解：（1）由题意得：(2,2)bay−=−−，

(2,1)c=，因为ba−与c共线，所以(2)12(2)0y−−−=，解得y3=.（2）由（1）可知(1,3)b=−，于是2(7,7)mab=+=−，(1,3)nac=−=−，设向量m与向量n夹角为

，则2825cos5||||7210mnmn===.题型五：数量积和模求平面向量夹角一、单选题1．（2021·山东泰安·高一期末）已知向量(1,0)a=，(2,2)b=−，则a与b的夹角为（）A．4

B．3C．23D．34【答案】D【分析】求出两向量的模及数量积，根据cos,ababab=即可求解.【详解】解：1,22ab==，2ab=−，所以2cos,2ababab==−，又因,0,ab，所以a与b

的夹角为34.故选：D.2．（2022·陕西·长安一中高一期末）若两个非零向量a，b满足||||abab+=−，则a与b的夹角为（）A．6B．3C．2D．56【答案】C【分析】根据数量积的运算律得到40ab=rr，即可得解；【

详解】解：因为||||abab+=−，所以()()22abab+=−，即222222aabbaabb++=−+rrrrrrrr，即40ab=rr，所以ab⊥，即a与b的夹角为2；故选：C二、多选题3．（2

021·吉林·汪清县汪清第四中学高一期末）点P是ABC所在平面内一点，满足|||2|0PBPCPBPCPA−−+−=，则ABC的形状不可能是（）A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形【答案】AC

D【分析】由已知结合向量的线性表示及数量积的性质可得0ACAB=，进而可求．【详解】解：因为|||2|0PBPCPBPCPA−−+−=，2PBPCPAPBPAPCPAABAC+−=−+−=+，所以||||||CBABACABAC=+=−，两边同时平方得0ACAB=，故ABAC⊥，即2A=

，则ABC的形状为直角三角形．故选：ACD．三、填空题4．（2021·湖南·高一期末）若向量a，b满足10a=，5b=，5ab=−，则a与b的夹角为_________.【答案】34【分析】由向量夹角公式直接求解即可.【详解】52cos,2||||105ababab

−===−，夹角为34，故答案为：34.5．（2022·内蒙古包头·高一期末）已知向量||3a=，||2b=，(2)(2)1abab+−=，则a与b的夹角为______．【答案】23【分析】对(2)(2)1abab+−=化简计算可求出ab，再利用向量的夹角公式可求

得结果【详解】由(2)(2)1abab+−=，得222321aabb+−=，因为||3a=，||2b=，所以18381ab+−=，解得3ab=−，设a与b的夹角为，则31cos322abab−==

=−，因为[0,]，所以23=，故答案为：23四、解答题6．（2020·云南·罗平县第二中学高一期末）已知平面向量a，b满足2=a，3b=，()()2334abab−+=−．（1）求向量a与b的夹角；（2）当实数x为何值时，xab−

与3ab+rr垂直．【答案】（1）23=；（2）245x=−.【分析】（1）由()()2334abab−+=−化简再结合2=a，3b=可求出向量a与b的夹角；（2）要xab−与3ab+rr垂直，只需()()30xabab−+=，化简可求出x的值.【详解】（1）由()()2

23423253ababaabb−=−+=+−182730coscos,0π2=−+=−，得23=．（2）当xab−与3ab+rr垂直时，()()()223313xababxaxabb−+=+−−(

)24631cos2752403xxx=+−−=−−=，所以245x=−．【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，考查向量的夹角的求法，向量垂直等知识，属于基础题.7．（2021·甘肃·庆阳第六中学高一

期末）已知向量a与b的夹角34=，且3a=，22b=，求a与ab+的夹角的余弦值．【答案】55.【分析】由模、夹角求ab，应用向量数量积的运算律求||ab+，令a与ab+的夹角为，则有𝑐𝑜𝑠𝛼=𝑎⃗⋅(𝑎⃗+

𝑏⃗)|𝑎⃗|⋅|𝑎⃗+𝑏⃗|即可求余弦值.【详解】∵向量a与b的夹角34=，且3a=，22b=，∴𝑎⋅𝑏⃗=|𝑎||𝑏⃗|𝑐𝑜𝑠3𝜋4=−6，|𝑎+𝑏⃗|=√𝑎2+2𝑎⋅𝑏⃗+𝑏⃗2=√5，设a与ab+的夹角为，则𝑐𝑜𝑠𝛼=

𝑎⃗⋅(𝑎⃗+𝑏⃗)|𝑎⃗|⋅|𝑎⃗+𝑏⃗|=𝑎⃗2+𝑎⃗⋅𝑏⃗|𝑎⃗|⋅|𝑎⃗+𝑏⃗|=9−63×√5=√55，∴a与ab+的夹角的余弦值为55．题型六：坐标公式法求平面向量的模一、单选题1．（2021·吉林

·长春市第二十九中学高一期末）已知向量(1,2)a=−，(,4)bx=，且ab⊥，则||b=（）A．25B．43C．45D．8【答案】C【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求得x的值，得到向量b的坐标，进而计算其模.【详解】由题意，24=

0abx=−+rr,解得8x=，所以(8,4)=b，所以22||8+4=45b=，故选：C.二、双空题2．（2021·北京通州·高一期末）已知点A（1，1），点B（5，3），将向量AB绕点A逆时针旋转2，得到向量AC，则点C坐标为________；|

|BC=________．【答案】(1,5)−210【分析】由于向量AB绕点A逆时针旋转2，得到向量AC，结合旋转后两个向量互相垂直，以及向量的模相等，可得点C坐标，再结合向量的模长公式，即可求解【详解】解：设点C的坐标为(,)

xy，因为点A（1，1），点B（5，3），所以(4,2),(1,1)ABACxy==−−，因为向量AB绕点A逆时针旋转2，得到向量AC，所以0ABAC=，ABAC=，所以4(1)2(1)0xy−+−=，且22(1)(1)20xy−+−=，解得

33xy==−或15xy=−=，因为逆时针旋转，所以点C的坐标为(1,5)−，所以(6,2)BC=−，所以22(6)2210BC=−+=，故答案为：(1,5)−，210三、填空题3．（2022·青海海东·高一期末）已知向量()4,ax=−，()3,2b

=，若ab⊥，则a=________．【答案】213【分析】利用平面向量垂直的坐标表示求出x的值，再利用平面向量的模长公式可求得结果.【详解】因为ab⊥，所以4320x−+=，得6x=，故()2246213a=−+=．故答案为：213.4．（2021·北京市

育英学校高一期末）已知向量()1,3a=，()3,1=rb则3+ab为___________【答案】27【分析】先求出3ab+的坐标，再利用模长公式即可求解.【详解】因为向量()1,3a=，()3,1=rb所以()()()31,33,34,2

3ab+=+=，所以()22342327ab+=+=，故答案为：27.5．（2021·新疆·克拉玛依市第一中学高二期末）已知()3,2,2,2axb==，若()aba−⊥，则2ab+=___________.【答案】52【分析】由数量积

公式得出1x=，再由模长公式求2ab+.【详解】由()aba−⊥得()12,,202xx−=，即2210xx−+=，解得1x=由2(5,5)ab+=得522ab+=故答案为：52.四、解答题6．

（2021·北京昌平·高一期末）已知向量()1,2a=r，()3,2b=−.（1）求ab−rr；（2）求向量a与向量b的夹角的余弦值；（3）若10c=，且()2acc+⊥，求向量a与向量c的夹角.【答案】（1）25；（2）6565−；（3）3,4ac=..【分析】（1）先求出a

b−的坐标，再求其模；（2）利用向量的夹角公式直接求解即可；（3）由()2acc+⊥，得()20acc+=化简结合已知条件可得答案【详解】解：（1）因为()1,2a=r，()3,2b=−，所以()2,4ab−=−.所以22(2)425ab−+=

−=.（2）因为132(2)1ab=+−−=，22125a=+=r，223(2)13b=+−=，所以c16565os513abab−=−==.（3）因为()2acc+⊥，所以()20acc+=.即220acc+=.所以22cos,0acacc+=.即251

0cos,100ac+=，所以2cos,2ac=−.因为,0,ac，所以3,4ac=.题型七：转化法求平面向量的模一、单选题1．（2021·湖南·高一期末）已知向量a，b的夹角为4，

()3,4a=−，10ab=，则b=（）A．22B．23C．33D．42【答案】A【分析】由10ab=可得cos104ab=，再由()3,4a=−，可求出5a=，从而可求得b【详解】解：由()3,4a=−，得22(

3)45a=−+=，因为向量a，b的夹角为4，10ab=，所以cos104ab=，所以25102b=，解得b=22，故选：A二、多选题2．（2021·重庆复旦中学高一期末）已知正方形ABCD的边长为1，ABa=，BC

b=，ACc=，下列说法正确的是（）A．abc+=B．AC在a上的投影向量为aC．()()aacbbc=D．5ac+=rr【答案】ABD【分析】结合图形根据三角形法则，可判断A；根据向量投影的定义，可判断B；分别计算左、右两边，可判断C；由22=(2)acabab+=

++rrrrrr，计算可判断D.【详解】如图，可知+abABBCACc+===，故A正确；由图可知AC在a上的投影向量为a，故B正确；因为ab⊥，所以0ab=，所以()00abcc==，又2()1bcbababb=+=+=，所以()=acab，所以()(

)aacbbc，故C错误；因为|𝑎+𝑐|=|2𝑎+𝑏⃗|=√(2𝑎+𝑏⃗)2=√4𝑎2+4𝑎⋅𝑏⃗+𝑏⃗2=√4+1=√5，故D正确.故选：ABD三、填空题3．（2021·四川资阳·高一期末）已知向量a与b的夹角为23，且1ab==rr，则2ab−=_____

______．【答案】7【分析】通过平方将所求向量的模转化为数量运算，再通过运算即可得出答案.【详解】由题意得，222222(2)4444cosababaabbaabb−=−=−+=−+，代入计算，得原式141411172=−−+=，故答案为:74

．（2021·湖北孝感·高一期末）已知向量a，b满足22ba==，且向量a与b的夹角为60，则2ab+=rr__________.【答案】23【分析】直接利用向量的模的运算法则，结合向量的数量积求解即可．【详解】解：因为向量a，b满足22ba==，且向量a与b的

夹角为60，所以221|2|4444124232abaabb+=++=++=．故答案为：23．四、解答题5．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a，b满足||2a=，||1b=，ab⊥，若2mab

=+，3nab=−+．（Ⅰ）求mn；（Ⅱ）求2mn+.【答案】（Ⅰ）-10；（Ⅱ）29.【分析】（Ⅰ）利用已知条件，结合向量的数量积的运算律求解mn即可；（Ⅱ）首先求出2mn+，再利用向量的模的运算法则，结

合向量的数量积求解|2|mn+．【详解】解：（Ⅰ）平面向量a，b满足||2a=，||1b=，ab⊥，2mab=+，3nab=−+．22(2)(3)325342110mnabababab=+−+=−+−=−+=−．（Ⅱ）因为2mab=+，3nab

=−+．所以()22235mnababab+=+−+=−+，．所以22|2||5|102542529mnabaabb+=−+=−+=+=．6．（2021··高一期末）已知2a=，3b=，()()2219abab+−=−.（1）求向量a与b的夹角；（2）求2ab+.【答案】（1）3

；（2）213.【分析】（1）若向量a与b的夹角为，由已知条件可得2223cos219aabb−−=−，即可求向量a与b的夹角；（2）利用向量数量积的运算律有222244abaabb+=++，即可求模.【详解】（1）由题意，2223219aa

bb−−=−，若向量a与b的夹角为，∴2223cos219aabb−−=−，即818cos1819−−=−，得1cos2=，∴3=；（2）222222444cos4523abaabbaabb+=++

=++=，∴252213ab+==.一、单选题1．（2021·重庆·高一期末）已知a→是单位向量，a→与b→的夹角是3，且7ab→→+=，则b→=（）A．12B．1C．2D．2【答案】D【分析】把7ab→→

+=的两边同时平方化简即得解.【详解】解：由题7ab→→+=得2221+27,12||||72aabbbb→→→→→→+=++=所以2||+||60,||2bbb→→→−==或||3b→=−（舍去）.故选：D2．（2020·天津市红桥区

教师发展中心高一期末）如图所示，在菱形ABCD中，2AB=，60DAB=，E为CD的中点，则ABAE的值是（）A．4B．4−C．2D．2−【答案】A【分析】根据向量的加法运算，表示出12AEADAB=+，然后根据数量积的运

算法则求得答案.【详解】由题意得：12AEADDEADAB=+=+,故211()22ABAEABADABABADAB=+=+122cos60442=+=，故选：A3．（2021·河南南阳·高一期末）在锐角ABC中，60B=，

2ABAC−=，则ABACuuuruuur的取值范围为（）A．()0,12B．1,124−C．(0,4D．(0,2【答案】A【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到()1,3C，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范

围.【详解】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，60B=，2ABACCB−==，()1,3C，设(),0AxABC是锐角三角形，120AC+=，3090A，即A在如图的线段DE上（不与D

，E重合），14x，(),0ABx=−，()1,3ACx=−.则221124ABACxxx=−=−−，ABACuuuruuur的范围为()0,12.故选：A.【点睛】本题考查向量数量积的应

用，考查数形结合的方法，属于较难题.4．（2021·江苏南通·高一期末）在ABC中，2AB=，3AC=，4BC=，若点M为边BC所在直线上的一个动点，则432MAMBMC++的最小值为（）A．36B．66C．32498D．3152【答案】D【分析】以B为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系

.由余弦定理可求出11cos16ABC=，结合同角三角函数的基本关系可求出315sin16ABC=，从而可求出()0,0B，()4,0C，11315,88A，设(),0Mx，用x表示向量432MAMBMC++

的坐标，从而可求出432MAMBMC++的表达式，进而可求出最小值.【详解】解：由余弦定理可知22222224311cos222416ABBCACABCABBC+−+−===，所以2211315s

in1cos11616ABCABC=−=−=，如图，以B为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系，则()0,0B，()4,0C，设(),0Mx，因为1111cos2168ABABC==，3153

15sin2168ABABC==，则11315,88A，所以11315,88MAx=−，(),0MBx=−，()4,0MCx=−，因为()()11274324982xxxx−+−+−=−，315315430

2082++=所以273154329,22MAMBMCx++=−，则2227315432922MAMBMCx++=−+，因为227902x−，当32x=时等号成立，所以3

154322MAMBMC++，故选:D.【点睛】本题考查了余弦定理，考查了同角三角函数的基本关系，考查了向量的线性坐标运算，考查了向量模的坐标表示.本题的关键是通过建立坐标系，用一个未知数表示所求模长.5．（2020·浙江温州·高一期末）已知平面向量a→，b→，且满足2aabb→→→→

===，若e→为平面单位向量，则aebe→→→→+的最大值（）A．3B．23C．4D．33【答案】B【分析】先根据平面向量的数量积公式求出a→与b→的夹角，根据条件，可设()()2,0,1,3ab→→==，再设(

)cos,sine→=，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出23sin3aebe+=+，即可求出结果.【详解】解：2aabb→→→→===，设a→与b→的夹角为，cos22cos2baab

→→→→===，1cos2=，则3=，不妨设()()2,0,1,3ab→→==，再设()cos,sine→=，则()()3,3cos,sinaebeabe→→→→→→→+=+=

3cos3sin23sin233=+=+，即23aebe→→→→+，所以aebe→→→→+的最大值为23.故选：B.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角

恒等变换和三角函数的性质的应用，考查运算能力.二、多选题6．（2021·浙江湖州·高一期末）在ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，且6BC=，2AD=，则（）A．ABC面积最大值是12B．cos53BC．ADBE+不可能是5D．1

135,22BEAC【答案】BD【分析】A选项结合三角形的面积公式以及平面图形的几何性质即可判断；B选项结合余弦定理与均值不等式即可判断；C选项将ADBE+表示为3122DCDA=−，结合平面向量的数量积的定义以及运算律，求得249121,44ADBE+

，即可判断；D选项将BEAC表示为232DCDA=−，进而求出范围即可判断.【详解】设ABC中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，A：1163322ABCaaaSahhhAD===，当ADBC⊥时，等号成立，所以ABC面积最大值

是6，故A错误；B：在ABD△中，2222325555cos223666663ABABABABBABABABAB+−+===+=，当且仅当566ABAB=，即5AB=时，等号成立，故B错误；C

：ADBEDABDDAAE+=−+++12BDAC=+()12DCDCCA=+−3122DCDA=−2222319138532244242ADBEDCDADCDADCDADCDA+=−=+−=−，因为6DCDA=，所以()6,6DCDA−，所以249121

,44ADBE+，则711,22ADBE+，故C正确；D：()31312222BEADBEADDCDADADCDA=+−=−+=+，且ACDCDA=−，所以()

3122BEACDCDADCDA=+−223122DCDADCDA=−−232DCDA=−，又因为()6,6DCDA−，所以231135,222DCDA−，故D正确；故选：BD.7．（2021·湖北鄂州·高一期末）设,OxOy是平面内相交成45角的两

条数轴，12,ee分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量.若向量12OePyex=+，则把有序数对(,)xy叫做向量OP在斜坐标系xOy中的坐标，计作(,)OPxy=.已知在斜坐标系xOy中，向量11(,)OAxy=，22(,)OBxy=，则下列结论正确的是（）A．2121(

,)ABxxyy=−−B．若OAOB⊥，则12120xxyy+=C．221212()()ABxxyy=−+−D．若APPB=，则OP=1212,11xxyy++++.【答案】AD【分析】先计算1222ee=，再根据新定义计算A

BOBOA=−、0OAOB=、AB，判断ABC的正误，利用线性关系计算111OPOAOB=+++坐标，判断D的正误即可.【详解】依题意，12211cos452ee==.由向量11(,)OAxy=，22(,)OBxy=，则()()22122111OBOAeeeABxyey

x−==−++()()1221212121(,)xxyyyexxye=−=−+−−，故A正确；若OAOB⊥，则0OAOB=，即()()()2211212111222122121212xyxyxxyyxyxyeeeeeeee=+++++()()21122211220xxyyxy

xy+++==，当12210xyxy+时，12120xxyy+，即B错误；()()222121211212121222()()()()22ABxxyyxexyyxxyye++=−−=−+−−−2212121212()()()()2xxyyxxyy+=−+−−−，故C错误；若A

PPB=，则()OPOAOBOP−=−，解得111OPOAOB=+++()()1111212122222111111eeeexxyyxyxyee++++++++++==，即1212,11xxyyOP=++++，即D正确.故选：AD

.8．（2021·广东东莞·高一期末）已知a与b均为单位向量，其夹角为，则下列结论正确的是（）A．210,3ab+B．21,3ab+C．10,3ab−D．1,3ab

−【答案】AC【分析】先计算cosab=，0π，再分别计算1ab+和1ab−时对应夹角的取值范围，即可判断四个选项的正误.【详解】依题意，1,coscosababab====，0π.1ab+，等价于21ab+，即2221a

bab++，即22cos1+，即1cos2−，而0π，故1ab+20,3，即A正确，B错误；1ab−，等价于21ab−，即2221abab+−，即22c

os1−，即1cosθ2>，而0π，故10,3ab−，即C正确，D错误.故选：AC.9．（2021·广东广州·高一期末）ABC中，2A=，2ABAC==，则下列结论中正确的是（）A．若G为ABC的重心，则

2233AGABAC=+B．若P为BC边上的一个动点，则()APABAC+为定值4C．若M、N为BC边上的两个动点，且2MN=则AMAN的最小值为32D．已知Q是ABC内部（含边界）一点，若1=AQ，且AQA

BAC=+，则+的最大值是1【答案】BC【分析】以A为坐标原点，分别以,ABAC所在的直线为,xy轴建立平面直角坐标系，求出,,,ABCG的坐标即可判断A；将AP用基底,ABAC表示，再利由数量积运

算计算()APABAC+可判断B；不妨设M靠近点B，BMx=，则02x，用x表示,MN两点坐标，计算AMAN求最值，可判断C；设(),Pxy，0,4PBA=，可得2cossinxy=−=，利用向量相等，坐标相等可得,xy与,的关系，将+表

示为关于的函数，即可求最值判断D，进而可得正确选项.【详解】如图：以A为坐标原点，分别以,ABAC所在的直线为,xy轴建立平面直角坐标系，则()0,0A，()2,0B，()0,2C，()2,0AB=uuur，()0,2AC=，对于A：由重心坐标公式可得22,33G所以22,33AG

=，而2244,3333ABAC+=，所以2233AGABAC+，故选项A不正确；对于B：设()01BPtBCt=，则()APABBPABtBCABtACAB=+=+=+−()1tACtAB=+−，所以()()()1APABtACtABACABAC++=−

+()()22144104tACtABABACtt+−+=+−+==，故选项B正确；对于C：不妨设M靠近点B，BMx=，则02x，可得222,22Mxx−，()()222222,21,12222Nxxxx−++=−+，则222222

11222222AMANxxxxxx=−−++=−+，当22x=时，AMAN取得最小值为32，故选项C正确；对于D：设(),Pxy，由AQABAC=+可得()()()(),2,00,22,2

xy=+=，所以22xy==，设0,4PBA=，所以2cossinxy=−=，112sincos1sin1222224xy+=+=−+=−+

，由0,4可得2sin,042−−，所以21sin1,1242−+，此时无最大值，故选项D不正确，故选：BC.10．（2021·江

苏泰州·高一期末）在平面直角坐标系xOy中，OAB的三个顶点O，A，B的坐标分别为()0,0，()11,xy，()22,xy，设OAa=，OBb=，ABc=，则（）A．()2sinsinsinOABcABSAB=+B．()22212OABSabab=−C．2OABabc

SR=(R为OAB外接圆的半径)D．122112OABSxyxy=−【答案】BD【分析】对A，由正弦定理以及三角形的面积公式即可求解；对B，根据三角形面积公式以及向量的运算即可求解；对C，由正弦定理以及三角形的面积

公式即可求解；对D，根据点到直线的距离以及三角形的面积公式即可求解.【详解】解：对A，由正弦定理知：sinsinsinabcABC==，()22sinsinsinsin11sin22sin2sinOABcABcABSacBcA

B===+，故A错误；对B，1sin2OABSabAOB=2221sin2abAOB=()22211cos2abAOB=−222221cs2oababAOB=−()22212abab=−，故B正确；对C，由正弦定理知：sin2cCR

=，s12in4OABabcSabCR==，故C错误；对D，由题意知：11:OAylyxx=，则点B到直线OA的距离2112121222221111xyxyxyxydxyxy−−==++，2211OAxy=+，即11212221121122121122O

ABxyxyxyxySxyxy=+=−−+，故D正确.故选：BD.11．（2021·浙江·高一期末）已知向量a，b，c满足2=a，3b=，3=ab，2280cbc−+=，则下列说法正确的是（）A．1cb−=B．若()ccb⊥−，则2

2c=C．tR，有32bta+恒成立D．若()1cλaλb=+−，则71ac−=−【答案】ABC【分析】结合已知条件，利用平面向量数量积的运算性质逐个检验即可【详解】对于A：3b=，2280cbc−

+=()22222891cbcbccbb−=−=−+=−+=，故A正确；对于B：2280cbc−+=，228cbc=−，()ccb⊥−()22880ccbcbcbcbcbc⊥−=−=−−=−=8bc=−，2282

888cbc=−=−=，22c=，故B正确；对于C：()2222222964btabtabtabtatt+=+=++=++232794444t=++，32bta+恒成立，故C正确；对于D：()1cλaλb=+−，()()()

2222221211cλaλbλaλλabλb=+−=+−+−()()222461917129λλλλλλ=+−+−=−+，()()()21139196bcbababb=+−=+−=+−=−，2280cbc−+=，()222287129296

8710cbc−+=−+−−+=−=，217=，77=()()()()111acaabab−=−+−=−−−，()()()()()2222222111211acabaabb−=−−−=−−−+−()()()()22224161

9171=−−−+−=−当77=时，()()22277717ac−−=−=，()77717ac−−==−；当77=−时，()()22277717ac+−=−=，()77717ac+−==+；故D错误；故选：ABC12．（2021·浙江·高一期末

）如图所示，设,OxOy是平面内相交成2角的两条数轴，12,ee分别是与,xy轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy为反射坐标系，若12OMxeye=+，则把有序数对(),xy叫做向量OM的反射坐标，记为(),OMxy=．在34=的反射坐标系中，

()()12,21ab==−，，．则下列结论中，错误的是（）A．()12,21ab−=+−B．1a=C．ab⊥D．b在a上的投影向量为2a−【答案】ACD【分析】借鉴单位向量夹角为90o时的情况，注意夹角为34=；11122122121122()()()()a

bxeyexeyexxeyye−=+−+=−+−；222=aaxy=+；数量积为11122122()()abxeyexeye=++；b在a上的投影向量为cosababbbaba==.【详解】A.121212(2)(2)(12)(2+1)abeeeee

e−=+−−=−+，所以()12,2+1ab−=+，故A错；B.2221211223(2)222322cos14aeeeeee=+=++=+=，故B对；C.12122(2)(2)02abeeee=+−=−，故C错；D.b在a上的投影向量为22212aba−==−，故D错.故选：ACD【

点睛】注意和课本上夹角为90o的坐标系的计算进行区别，可以借鉴，计算时夹角为34=，注意计算的准确性.三、填空题13．（2021·广东广州·高一期末）在ABC中，6,5,4ABBCAC===，点D在边AB上

，且|3|||ABAD=，点E是CD的中点，则AEBC=________．【答案】52−【分析】利用向量的加法和减法法则，将AE和BC化为可以求出夹角余弦值的AB和AC即可﹒【详解】如图，根据余弦定理得：222222||||6459

cos326416ABACBCBACABAC−−＋＋＝＝＝，()()12AEBCACADACAB−＝＋()1123ACABACAB−＝＋22111||233ACACABABACAB

−−＝＋124cos23ACABBAC−＝28cosBAC−＝52−＝故答案为：52−﹒14．（2021·甘肃·嘉峪关市第一中学高一期末）已知O为坐标原点，点()1cos,sinP，

()2cos,sinP−，()()()3cos,sinP++，()1,0A，则下列式子中一定正确的序号为___________.①12OPOP=；②12APAP=；③312OAOPOPOP=.【答案】①③【分析】利用平面向量的数量积

运算和求解公式求解。【详解】因为点()1cos,sinP，()2cos,sinP−，所以()222212cossincos,s1in1OPOP++−====，则12OPOP=故①正确；因为()1cos1,sinAP=−，()2c

os1,sinAP=−−，()()()221222cos1sin22coscos1sin22os,cAPAP−+−−+−−====，而,的大小不定，所以12,APAP大小不定，故②错误；因为()1,0

OA=，()1cos,sinOP=uuur，()2cos,sinOP=−，()()()3cos,sinOP=++，()3cosOAOP=+，()12coscossinsincosOPOP=−=+，所以312OA

OPOPOP=，故③正确.故答案为：①③15．（2021·浙江嘉兴·高一期末）已知平面向量a，b，c满足1a=，2b=，2||aab=，()02bcc−=，则22||||cacb−+−的最小值为________.【

答案】732−【分析】令OAa=，OBb=，OCc=，OB中点为D，OD中点为F，由已知画出图形，求出C点轨迹，求出222(||||)cacb−+−的最小值，除以2得答案．【详解】解：令OAa=，OBb=，OCc=，OB中

点为D，OD中点为F，E为AB的中点，由||1a=，||2b=，2||aab=，得112cos,ab=，则1cos,2ab=，,60ab=即60AOB=，所以222212cos2122132ABOAOBOAOBAOB=+−=

+−=，所以222AOABOB+=，即90OAB=，30ABO=，所以22223333332cos2222222EFBFBEBFBEABO=+−=+−=，因为()02bcc−=，所以102OCOCOB−=，即

()0OCOCOD−=，所以0OCDC=，所以点C的轨迹为以OD为直径的圆，22222(||||)2(||||)cacbCACB−+−=+()22224||||4||3CEABCE=+=+2214||34()37232CEEF=+−+=−…，

当且仅当C、E、F共线且C在线段EF之间时取等号．22||||cacb−+−的最小值为732−．故答案为：732−．16．（2021·江苏·扬中市第二高级中学高一期末）如图在ABC中，E为斜边AB的中点，CDAB⊥，1AB=，则()()CACDCACE的最大值是__________．【答案】

227【分析】设CAx=，CBy=，可得221xy+=，CDxy=，根据数量积运算化可将()()CACDCACE用,xy表示，再利用三次均值不等式求解即可.【详解】设CAx=，CBy=，则221xy+=，1CACBxyCDxyAB===，22cos

,CACDCACDCACDxxyyxy===，()2211112222CACECACACBCACACBx=+=+=，所以2222242211()()(1)2(1)2222xxCACDCACExyxxxx==−=−232222=3+1227+2xxx

−，当且仅当22=12xx−，即63x=时，等号成立.故答案为：227四、解答题17．（2021·陕西安康·高一期末）已知点()3,0A，()0,3B，()cos,sinC，π3π,22.(1)若ACBC=，求的值；(2)若�

�𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−1，求πcos24−的值.【答案】(1)5π4=(2)524718+−【分析】（1）利用ACBC=列方程，化简求得.（2）利用𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵�

�⃗⃗⃗⃗⃗=−1列方程，结合同角三角函数的基本关系式、二倍角公式、两角差的余弦公式求得正确答案.(1)𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑐𝑜𝑠𝛼−3,𝑠𝑖𝑛𝛼),𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑐𝑜𝑠𝛼,𝑠𝑖𝑛𝛼−3)，ACBC=，()()222222,cos3sincossin3AC

BC=−+=+−，cossin=，由于π3π,22，所以5π4=.(2)若𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=−1，则()()cos3cossinsin31−+−=−，2sincos3+=，当3ππ,2时，上式不符合

，所以π,π2，()2π,2π，所以sin0,cos0，由2sincos3+=两边平方并化简得451sin2,sin299+==−，()214cossin0,cossin1sin29−−=−=，所以14cossi

n3−=−，所以()()22214214cos2cossincossincossin339=−=+−=−=−，()π225214cos2cos2sin242299−=+=−−524718+=−.18．（2

021·重庆·高一期末）如图，在ABC中，已知120BAC=，24ABAC==，，点D在BC上，且2BDDC=，点E是AC的中点，连接AD，BE相交于O点.(1)求线段AD，BE的长；(2)求EOD的余弦值.【答案】(1)2133AD=，23BE=(2)33926【分析】（1）由2

2212BEBEACAB==−，22221()33ADADACAB==+，根据向量数量积的运算即可求解；（2）由AD与BE的夹角即为EOD，利用向量的夹角公式即可求解.(1)解：由题意，2,2

2ACABAE===，120BAC=，又12BEAEABACAB=−=−，所以2222222111cos244BEBEACABACACABABACACABBACAB==−=−+=−+

12=，23BE=，即23BE=，22()33ADABBDABBCABACAB=+=+=+−=2133ACAB+22221()33ADADACAB==+2222421142115222cos933993399CBAACACABABAAABCCAB=++=++=

，2133AD=，即2133AD=；(2)解：12BEAEABACAB=−=−，211()()332ADBEACABACAB=+−=22111323ACACABAB−−=()221114426323−−−=，AD与BE的夹角即为

EOD，6339cos26213233ADBEEODADBE===.19．（2021·云南昆明·高一期末）向量是解决数学问题的一种重要工具，我们可以应用向量的数量积来解决不等式等问题．（1）（ⅰ）若(3,4)a→=，(5,12)b→=，比较ab→→与||||

ab→→的大小；（ⅱ）若(3,4)a→=，(6,8)b→=，比较ab→→与||||ab→→的大小；（2）a→，b→为非零向量，11,()axy→=，22,()bxy→=，证明：2222212121122()()()xxyyxyxy+++；（3）设mnxy,,,为正数，

225mn+=，2280xy+=，20mxny+=，求mnxy++的值．【答案】（1）（ⅰ）||||abab→→→→，（ⅱ）||||abab→→→→=；（2）具体见解析；（3）14.【分析】（1）由向量数量积的定义即可

求得；（2）根据2222212121122()()()xxyyxyxy+++容易发现，1212xxyy+为两个平面向量的数量积，22221122,xyxy++分别为两个平面向量模的平方，根据||||abab→→→

→即可证明；（3）根据2222,,mnxymxny+++这样的结构，可以设(,),(,)amnbxy→→==，进而根据平面向量数量积的坐标运算即可求得.【详解】（1）（ⅰ）3541263ab→→=+=，2222||||3451251365ab→→=++=

=，∴||||abab→→→→；（ⅱ）364850ab→→=+=，2222||||346851050ab→→=++==，∴||||abab→→→→=；（2）∵1212abxxyy→→=+，22221122||||abxyxy→→=++，而||||

abab→→→→，∴2222222221212112212121122()()()xxyyxyxyxxyyxyxy++++++；（3）设(,),(,)amnbxy→→==，∴225,80ab→→==，20ab→→=，∴222||||aba

b→→→→=，而mnxy,,,为正数，∴2222mxnymnxy+=++，即||||abab→→→→=，则,ab→→同向.设ab→→=，即mxny==，∴()221204xy+==，∴()14xymnxyxy++===++.

20．（2021·江苏·南京师大附中高一期末）①已知向量33(cos,sin)22xxa=，(cos,sin)22xxb=−，函数()||1fxabmab=−++，,34x−，mR．（1）当0m=时，求()6f的值

；（2）若()fx的最小值为1−，求实数m的值；（3）是否存在实数m，使函数224()()49gxfxm=+在[,]34−有四个不同的零点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．②已知函数221()(

1)()4fxxaxaaR=−+−−，()lngxx=．（1）若5a=，记()0fx的解集为M，求函数3()()()ygxegexxM−=(e为自然对数的底数)的值域；（2）当1a时，讨论函数2()()()|()

()|hxfxgxfxgx=++−的零点个数．请从①和②两题中任选一题进行解答．(注意：如果选择①和②两题进行解答，以解答过程中书写在前面的情况计分)【答案】①（1）32，（2）2m=，（3）72764m②（1）[4,3)−−，（2）当12a时，()hx有1个零点，

当12a=时，()hx有2个零点，当112a时，()hx有3个零点【分析】①（1）利用向量的数量积的公式化简函数即可；（2）求出函数的表达式，利用换元法结合二次函数的最值进行讨论求解即可；（3）由()0gx=得到方程的根，利用三角函数的性质进行求解②（1）当5

a=时，求出()0fx的解集M，函数2ln2ln3yxx=−−，在求出复合函数的值域；（2）()()|()()|()2fxgxfxgxhx++−=(),()()(),()()fxfxgxgxfxgx=，利用分类讨论思想，求出函数的零点个数【详解】①解：（

1）由题意得33(cos,sin)(cos,sin)2222xxxxab=−33coscossincos2222xxxx=−3cos()22xx=+cos2,x=当0m=时，()1cos21fxa

bx=+=+，所以13()cos(2)1cos1166322f=+=+=+=，（2）因为,34x−，所以2||22cos24cos2cosabxxx+=+==，所以()||1fxabmab=−++cos22cos1xmx=−+22co

s2cosxmx=−，令cos,tx=则112t，222ytmt=−，对称轴为2mt=，当122m，即1m时，当12t=时，函数取得最小值，此时最小值112ym=−=−，得32m=（舍去），当11

22m，即1m时，当2mt=时，函数取得最小值此时最小值为212my=−=−，解得2m=，当12m，即2m时，当1t=时，函数取得最小值此时最小值221ym=−=−，解得32m=（舍去），综上，若()fx的最小值为1−，则2m=，（3）令2224()2c

os2cos0,49gxxmxm=−+=解得3cos7mx=或4cos7mx=，所以方程3cos7mx=或4cos7mx=在,34x−上有4个不同的实根，所以23127241273477

mmmm，得72763727840mmm，则72764m，所以m的取值范围为72764m②（1）当5a=时，2()540fxxx=−+−的解集M为|14xx，函数33()()lnln()xxyggex

exee==(ln3)(ln1)xx=−+2ln2ln3xx=−−，当(1,4)x时，令lntx=，则223,(0,2ln2)yttt=−−，所以y的值域为[4,3)−−，（2）()()|()()|()2fxgxfxgxhx++−=()

,()()(),()()fxfxgxgxfxgx=，因为(1)0g=，所以1是()gx的一个零点，21(1)1(1)4faa=−−−，因为1a，所以(1)0f，所以(1)(1)0hg==，所以1是()hx的一个零点，当1x时，()0,()()0gxhxgx

，所以()hx在(1,)+上无零点，当01x时，()0gx，()gx在(0,1)上无零点，所以()hx在(0,1)上的零点个数是()fx在(0,1)上的零点个数，因为21(0)(1)0,4fa=−−21(1)1(1)04faa=−−−，21a=−，若，即12a时，

函数()fx无零点，即()hx在(0,1)上无零点，若0=，即12a=时，函数()fx的零点为14，即()hx在(0,1)上有零点14，若0，即112a时，21()024aaf−=，函数()fx在(0,1)上有2个零点，即()hx在(0,1)上有2个

零点，综上，当12a时，()hx有1个零点，当12a=时，()hx有2个零点，当112a时，()hx有3个零点【点睛】关键点点睛：①此题考查向量与三角函数的综合应用，考查计算能力，解题的关键是将2()2cos2cosfxxmx=−换元转化为222ytmt=−，然后利

用二次函数的性质分类讨论求最值，属于中档题；②此题考查复合函数零点问题，解题的关键是利用换元法将复合函数转化为基本函数讨论函数的零点，考查计算能力和分析问题的能力，属于中档题21．（2021·江苏南通·高一期末）已知O为坐标

原点，对于函数()sincosfxaxbx=+，称向量(),aMbO=为函数()fx的伴随向量，同时称函数()fx为向量OM的伴随函数.（1）设函数3()3sin()sin2gxxx=+−−，试求()gx的伴随向量OM；（2）记向量(1

,3)ON=的伴随函数为()fx，求当()85fx=且,36x−时sinx的值；（3）由（1）中函数()gx的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移23个单位长度得到()hx的图象，

已知()2,3A−，()2,6B，问在()yhx=的图象上是否存在一点P，使得APBP⊥.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）OM(3,1)=−（2）43310−（3）存在，()0,2

P【分析】(1)利用三角函数诱导公式化简函数得()3sincosgxxx=−+，根据题意写出伴随向量；(2)根据题意求出函数()fx，再由()85fx=及,36x−求出sin()3x+及cos()3x+，由sinsin33xx=+−

展开代入相应值即可得解；(3)根据三角函数图像变换规则求出()hx的解析式，设1,2cos2Pxx，由APBP⊥得0APBP=列出方程求出满足条件的点P的坐标即可.【详解】（1）∵3()sin3sin

()2gxxx=−−++∴()cos3sin3sincosgxxxxx=−=−+∴()gx的伴随向量OM(3,1)=−（2）向量(1,3)ON=的伴随函数为()sin3cosfxxx=+，()8sin3cos

2sin()35fxxxx=+=+=，4sin()35x+=,(0,)3632xx−+，，3cos()35x+=13433sinsinsincos33232310xxxx−=+−=+

−+=（3）由（1）知：()3sincos2sin6gxxxx=−+=−−将函数()gx的图像（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，得到函数12sin26yx=−−再把整

个图像向右平移23个单位长得到()hx的图像，得到1211()2sin2sin2cos236222hxxxx=−−−=−−=设1,2cos2Pxx，∵(2,3),(2,6)AB−∴12,2cos32

APxx=+−，12,2cos62BPxx=−−又∵APBP⊥，∴0APBP=∴11(2)(2)2cos32cos6022xxxx+−+−−=221144cos18cos18022xxx−+−+=∴2219252cos224xx−=−（

*）∵122cos22x−，∴131952cos2222x−−−∴225191692cos4224x−又∵2252544x−∴当且仅当0x=时，2192cos22x−和225

4x−同时等于254，这时（*）式成立∴在()yhx=的图像上存在点()0,2P，使得APBP⊥.【点睛】本题主要考查平面向量坐标形式与三角函数的综合应用，涉及三角函数诱导公式，三角恒等变换，求三角函数图像变换后的解析式，向量垂直的数量积关系，属于中档题.22．（2021·浙江·高一期

末）已知向量23sin,cos44axx=++，向量cos,2cos44bxx=−−，且函数()fxab=.(1)求函数()fx的单调递增区间及其对称中心；(2)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，

b，c且角A满足()31fA=+.若3a=，BC边上的中线长为3，求ABC的面积S.(3)将函数()fx的图像向左平移6个长度单位，向下平移3个长度单位，再横坐标不变，纵坐标缩短为原来的12后得到函数g()x的图像，令函数()()4coshxgxx=−在0,2x

的最小值为32−，求正实数的值.【答案】(1)单调递增区间:,()36kkk−++Z，对称中心,3()122kk−+Z;(2)2738;(3)12=【分析】（1）根据

平面向量数量积的定义,结合诱导公式及正余弦二倍角公式化简即可得函数()fx解析式.进而求得单调区间及对称中心.（2）将A代入（1）中所得解析式,即可由()31fA=+求得A.结合向量的加法与减法运算和BC边上的中线长,即可

求得𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗.再根据三角形面积公式即可求解.（3）根据函数的平移变换,即可求得g()x的解析式.代入后表示出()hx的解析式.转化为关于cosx的二次函数性质,通过对分类讨论并结合最小值,即

可求得的值.【详解】（1）因为()fxab=代入向量23sin,cos44axx=++,向量cos,2cos44bxx=−−,结合诱导公式及正余弦的二倍角公式化简可得2()

23sin2sincos444fxxxx=++++所以()31cos2sin222fxxx=−+++3sin2cos23xx=++2sin236x

=++函数()fx的单调递增区间满足2k2x2k262−+++解得36kxk−++所以函数()fx的单调递增区间为,()36kkk−++Z令26xk+=,解得122

kx=−+则对称中心,3()122kk−+Z（2）()31fA=+,得1sin262A+=,则5266A+=,∴3A=又||||3BCACAB=−=①,BC上的中线长为3,则||6ACAB+=②由①②知

:274ABAC=即27||||cos34ABAC=,所以27||||2ABAC=∴1273||||sin238ABCSABAC==（3）由题意将函数()fx的图像向左平移6个长度单位可得2sin232sin232cos23662xxx+++=++=

+向下平移3个长度单位,可得2cos2x再横坐标不变,纵坐标缩短为原来的12后得到函数g()x,则()cos2gxx=则2()()4cos2cos4cos1hxgxxxx=−=−−,所以22()2(cos)12hxx=−−−,cos[0,1]x,①当01

时,当cosx=时,()hx有最小值23122−−=−,解得12=.②当1时,当cos1x=时,()hx有最小值3142−=−,58=(舍去),综上可得12=.【点睛】本题考查了平面向量数量积的应用,利用二倍角

公式、降幂公式及辅助角公式化简三角函数式,正弦函数单调性及对称轴的求法.由平面向量的数量积定义可得模长的乘积,进而求得三角形面积,三角函数平移变换及解析式的求法,二次函数型的最值问题,综合性强,涉及知识点多,属于难题.23．（2020·安徽宿州·高一期末）如图，在同一个平面内

，向量OA，OB，OC的模分别为1，1，2，OA与OC的夹角为，且tan7=，OB与OC的夹角为45.若(),OCmOAnOBmnR=+，（1）求5577loglognm−的值；（2）若函数()()2

1208fxaxaxa=−+在,mn上的最大值为2，求a的值.【答案】（1）-1（2）-2【解析】（1）可由272cos,sin1010tan7===，由向量的夹角公式可得cosOAOCOAOC=，化简得2102mnOAOB+=，同理由向量,OBOC的夹角公式可得222OBO

CmOAOBnOBOC+==，再结合()coscos45AOB=+求得3cos5AOB=−，联立前式即可求解对应,mn，代入5577loglognm−求解即可；（2）由（1）知54m=，74n=，()()22112188fxaxaxaxa=−+

=−+−，0a，函数对称轴为1x=，开口向下，故，当57,44x时，函数单调递减，故()max54fxf=，代入解析式即可求得参数a【详解】（1）tan7=，0,2απ，∴2cos10=，72sin10=，OA与OC的夹角为，210OAO

COAOC=，OCmOAnOB=+，1OAOB==，2OC=，2102mnOAOB+=，①又OB与OC的夹角为45，222OBOCmOAOBnOBOC+==，②又()3coscos45coscos45sinsin455AOB=

+=−=−3cos5OAOBOAOBAOB==−，将其代入①②得3155mn−=，315mn−+=，从而54m=，74n=，故555577777loglogloglog15nnmm−===−（2）由（1）得

54m=，74n=，又()()22112188fxaxaxaxa=−+=−+−，0a，函数对称轴为1x=，开口向下，故()fx在57,44上单调递减，所以5224fa==−【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，向量夹角公式的使用，由二次函数在定区间的最值求解参数，

转化与化归思想，属于中档题24．（2020·广西·柳州高级中学高一期末）已知向量()2cos,cosaxx=，sin,33bx=+−.设函数()34fxab=+，xR.(1)当,63x

−时，方程2234fxa+=−有两个不等的实根，求a的取值范围；(2)若方程()13fx=在()0,上的解为1x，2x，求()12cosxx−.【答案】(1)7,24；(2)23.【解析】(1)由题意可知，()1si3n2342

fxaxb==−+，令()2sin246gxfxx=+=+，根据方程2234fxa+=−有两个不等的实根，则需函数()gx在,63−上的图象与23ya=−有两个交点，求解即可.(2)令23t

x=−，则函数()fx变形为15sin,,233ytt=−，从而()13fx=等价于11sin23t=，根据函数1sin2yt=的图象与性质，可知1sin2yt=与13y=的两交点的横坐标12,tt，满足12t

t+=，则122233xx−+−=，即2156xx=−，代入()12cosxx−，求解即可.【详解】(1)由题意可知，()2133cossincos3cos224fxxxxx=+−+()2133133sincoscossin21cos2224444xxxxx=−+=

−++131sin2cos2sin24423xxx=−=−令()2sin246gxfxx=+=+当,63x−时，令26tx=+，则5,66t−且sinyt=在区间,62−上单

调递增，在区间5,26上单调递减若使得方程2234fxa+=−有两个不等的实根则需函数()gx与23ya=−有两个交点即sinyt=，5,66t−与23ya=−有两个交点.所以123,12a−，即7,24a

.(2)()0,x，令23tx=−，则5,33t−所以115sin2sin,,23233yxtt=−=−又因为14sin,,233ytt=−

时，图象关于2t=对称，且31,42y−45,33t时，图象关于32t=对称，且13,24y−−所以()13fx=等价于114sin,,2333tt=−设12,tt

为1sin2yt=与13y=的两交点的横坐标，则12tt+=1x，2x为方程()13fx=的两个解122sin2sin2333xx−=−=即122233xx−+−=，即125

6xx+=，2156xx=−()1211152coscos2cos2sin263233xxxxx−=−=−−=−=.【点睛】本题考查正弦型三角函数的图象和性质，以及函数的零

点问题，属于较难的题.