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专题08三种概率解题方法题型一：随机事件与概率题型二：事件的相互独立性题型三：频率与概率题型一：随机事件与概率一、单选题1．（2021·天津河东·高一期末）下列事件中，随机事件的个数是（）①2022年8月18日，北京市不下雨；②在标准大气压下，水在4℃时结冰；③

从标有1，2，3，4的4张号签中任取一张，恰为1号签；④xR，则x的值不小于0．A．1B．2C．3D．42．（2021·陕西渭南·高一期末）某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明（）A．该厂生产的10000件产品中不合

格的产品一定有1件B．该厂生产的100件产品中合格的产品一定有99件C．该厂生产的10件产品中没有不合格产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%3．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）某人打靶时连续射击两次，下列事件与事件“至多一次中靶”互为对立的是（）A．至少一次中靶B．两

次都中靶C．只有一次中靶D．两次都没有中靶二、多选题4．（2021·福建三明·高一期末）从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A=“恰有一个偶数”，B=“恰有一个奇数”，C=“至少有一个是奇数”，D=“两个数都是偶

数”，E=“至多有一个奇数”.下列结论正确的有（）A．AB=B．BCC．DE=D．CD=，CD=5．（2020·辽宁葫芦岛·高一期末）某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的投篮情况如下表：投篮次数投中两分球的次数投中三分球的次数1005518记该篮球运动员在一次投篮中，投中两分球为事

件A，投中三分球为事件B，没投中为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下述结论中，正确的是（）A．()0.55PA=B．()0.18PB=C．()0.27PC=D．()0.55PBC+=三、填空题6．（2020·天津市红桥区教师发展中心高一期末）抛掷两枚质地均匀的骰子（标记为

Ⅰ号和Ⅱ号），则Ⅰ号骰子的点数等于Ⅱ号骰子的点数的概率为______.7．（2020·陕西·吴起高级中学高一期末）抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），事件A为“正面朝上的点数为3”，事件B为“正面朝上的点数

为偶数”，则()PAB+=________.四、解答题8．（2022·宁夏·银川二中高一期末）近年来，国家大力推动职业教育发展，职业教育体系不断完善，人才培养专业结构更加符合市场需求.一批职业培训学校以

市场为主导，积极参与职业教育的改革和创新.某职业培训学校共开设了六个专业，根据前若干年的统计数据，学校统计了各专业每年的就业率（直接就业的学生人数与招生人数的比值）和每年各专业的招生人数，具体统计数据如下表：专业机电维修车内美容衣物翻新美容美发泛艺术类电脑技术招生人数100

300200500100800就业率100%90%80%80%70%50%(1)从该校已毕业的学生中随机抽取1人，求该生是“衣物翻新”专业且直接就业的概率；(2)为适应市场对人才需求的变化，该校决定从明年起，将“电脑技术”专业的招生人数减少m()0400m人，

将“机电维修”专业的招生人数增加3m人，假设“电脑技术”专业的直接就业人数不变，“机电维修”专业的就业率不变，其他专业的招生人数和就业率都不变，要使招生人数调整后全校整体的就业率比往年提高5个百分点，求m的值．

题型二：事件的相互独立性一、单选题1．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高一期末）某大学的“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核挑选新社员，已知大一某新生对这三个社团都很感兴趣，决定三个考核都参加，假设他通过“篮球”“无人机”“戏剧”三个社团考核的概率依次为m、14、n，且

他通过每个考核相互独立，若三个社团考核他都能通过的概率为124，至少通过一个社团考核的概率为34，则mn+=（）A．23B．34C．45D．562．（2022·河南南阳·高一期末）在试验“甲射击三次，观察中靶的情况”中，事件A表示随机事件“至少中

靶1次”，事件B表示随机事件“正好中靶2次”，事件C表示随机事件“至多中靶2次”，事件D表示随机事件“全部脱靶”，则（）A．A与C是互斥事件B．B与C是互斥事件C．A与D是对立事件D．B与D是对立事件二、多选题3．（20

22·贵州·遵义四中高一期末）已知事件,AB，且()PA=0.4，()0.3PB=，则（）A．如果BA，那么()0.4PAB=,()0.3PAB=B．如果A与B互斥，那么()0.7PAB=,()0

PAB=C．如果A与B相互独立，那么()0.7PAB=，()0.12PAB=D．如果A与B相互独立，那么()0.42PAB=,()0.18PAB=三、解答题4．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道

题的概率都是0.6，若每位面试者都有三次机会，一旦答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第三次为止.用Y表示答对题目，用N表示没有答对的题目，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，那么：(1)在图

的树状图中填写样本点，并写出样本空间；(2)求李明最终通过面试的概率.5．（2022·广西桂林·高一期末）为适应新冠肺炎疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，现需要在2名女生､3名男

生中任选2人担任防疫宣讲主持人，每位同学当选的机会是相同的.(1)写出试验的样本空间，并求当选的2名同学中恰有1名女生的概率；(2)求当选的2名同学中至少有1名男生的概率.题型三：频率与概率一、单选题1．（2021·河南·高一期末）下列说法正确的是（）A．在相同条件下，

进行大量重复试验，可以用频率来估计概率B．掷一枚骰子1次，“出现1点”与“出现2点”是对立事件C．甲､乙两人对同一个靶各射击一次，记事件A=“甲中靶”，B=“乙中靶”，则AB+=“恰有一人中靶”D．拋掷一枚质地均匀的硬币，若前3次均正面向上，则第4次正面向上的概率小于122．（2021·陕西咸

阳·高一期末）某种心脏手术成功率为0.9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率.先利用计算器或计算机产生09之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，故我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功，再以每3个随机

数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生如下10组随机数：812,832,569,683,271,989,730,537,925,907，由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为（）A．0.9B．0.8C．0.7D．0.63．（2021·广东·深圳中学高一期末）容量为1

00的样本数据，按从小到大的顺序分为8组，如下表：组号12345678频数1013x141513129第3组的频数和频率分别是（）A．0.14和14B．14和0.14C．0.24和24D．24和0.244．（2020·重庆九龙坡·高一期末）已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的

方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中；5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：1379661919252719328124585

69683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A．0.40B．0.30C．0.35D．0.25二、多选题5．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）豆瓣评分是将用户评价的一到五星转化为0～10的分值（

一星2分，二星4分，三星6分，以此类推），以得分总和除以评分的用户人数所得的数字.国庆爱国影片《长津湖》的豆瓣评分情况如图，假如参与评价的观众中有97.6%的评价不低于二星，则下列说法正确的是（）A．m的值是32%B．随机抽取100名观众，则一定有24人评价五星C．随机抽取一名

观众，其评价是三星或五星的概率约为0.56D．若从已作评价的观众中随机抽取3人，则事件“至多1人评价五星”与事件“恰有2人评价五星”是互斥且不对立事件6．（2021·山东菏泽·高一期末）下列说法中，正确的是（）A．概率是频率的稳定值，频率是概率的近

似值B．做n次随机试验，事件发生m次，则事件发生的频率mn就是事件的概率C．频率是不能脱离n次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D．任意事件A发生的概率()PA总满足()01PA一、单选题1．（2021·广东·仲元

中学高一期末）数学多选题A，B，C，D四个选项，在给出的选项中，有多项符合题目要求.全都选对的得5分，部分选对的得2分.有选错的得0分.已知某道数学多选题正确答案为BCD，小明同学不会做这道题目，他随机地填涂了1个，或2

个，或3个选项，则他能得分的概率为（）A．12B．716C．25D．252．（2021·广东江门·高一期末）高一年级某同学为了丰富自己的课外活动，参加了学校“文学社”“咏春社”“音乐社”三个社团的选拔，该同学能否成功进入这三个社团是相互独立.假设该同学能够进入“文学社”“咏春社”“音乐社”三

个社团的概率分别为a、b、14，该同学可以进入两个社团的概率为15，且三个社团都进不了的概率为310，则ab=（）A．320B．110C．115D．153．（2021·湖南·常德市第二中学高一期末）现有6个相同的球，分别标有

数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．A事件“第一次取出的球的数字是3”，B事件“第二次取出的球的数字是2”，C事件“两次取出的球的数字之和是7”，D事件“两次取出的球的数字之和是6”，则（）A．A与C相互独立B．A与

D相互独立C．B与D相互独立D．C与D相互独立4．（2021·江苏苏州·高一期末）我省高考从2021年开始实行“312++”模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在

化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科.高一学生小明和小亮正准备进行选科，假如他们首选科目都是物理，再选科目选择每个科目的可能性均相等，且选择互不影响，则他们的选科完全相同的概率为（）A．16B．12C．34D．565．（2021·湖北黄冈·高一期末）一个正方体有一个面为

红色，两个面为绿色，三个面为黄色，另一个正方体有两个面为红色，两个面为绿色，两个面为黄色，同时掷这两个正方体，两个正方体朝上的面颜色不同的概率为（）A．13B．56C．23D．7126．（2021·河北保定·高一期末）《列子》中《歧路

亡羊》的内容为：杨子之邻亡羊(亡：丢失)，既率其党，又请杨子之竖(竖：书童)追之.杨子曰：“嘻!亡一羊，何追者之众？”邻人曰：“多歧路(歧路：岔路口).”既反，问：“获羊乎？”曰：“亡之矣”﹒曰：“奚亡之？”曰：“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也.”这是一篇古人杨子的邻居寻羊的故事，寓

意深刻，假定所有分岔口都有两条新的歧路，且歧路等距离出现，丢失的这只羊在每个分岔口走两条新歧路的可能性是相等的，当羊走过5个岔路口后，杨子的邻人动员了7个人去找羊，则找到羊的可能性为（）A．732B．716C．764D．316二、多选题7．（2022·辽宁丹东·高一期末）已知事件A

，B相互独立，且()13PA=，()12PB=，则（）A．()23PA=B．()13PAB=C．()23PAB+=D．()12PABAB+=8．（2022·辽宁大连·高一期末）下列说法不．正确的是（）A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件B．若A

，B为两个事件，则()()()PABPAPB+=+C．若事件A，B，C两两互斥，则()()()1PAPBPC++=D．若事件A，B满足()()1PAPB+=，则A与B相互对立三、填空题9．（2021·湖南邵阳·高一期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别为13

，14则密码被成功破译的概率_________．10．（2020·广东·高一期末）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1，2，3，4，5，6)，骰子朝上的面的点数分别为X，Y，则2log1XY=的概率为________.11．（2021·广东江

门·高一期末）随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后

将这四组家庭的意向汇总如下：公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园有意向的家族组甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为________.

12．（2021·云南昆明·高一期末）人类的四种血型与基因类型的对应为：O型的基因类型为ii，A型的基因类型为ai或aa（假设ai、aa出现的概率相等），B型的基因类型为bi或bb（假设bi、bb出现的概率相等），AB型的基因类型为ab，其中a和b是显性基

因，i是隐性基因．一对夫妻的血型一个是A型，一个是B型，则他们的子女的血型是AB型的概率为____________．13．（2021·山东烟台·高一期末）甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别向同一靶子射击一次，则该靶子被

击中的概率为___________.14．（2021·湖南·高一期末）我省高考实行3+1+2模式，高一学生A和B两位同学的首选科目都是历史，再选科目两人选择每个科目的可能性均等，且他们的选择互不影响，则他们选科至少有一科不同的概率为__________.四、解答

题15．（2022·贵州·遵义市南白中学高一期末）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人，为了解全校学生本学期开学以来（60天）的课外阅读时间，学校采用分层抽样方法，从中抽取100名学生进行问卷调查.将样本中的“初中学生”和“高中

学生”按学生的课外阅读时间（单位：时）各分为5组[0，10）、[10，20）、[20，30）、[30，40）、[40，50]，得到频率分布直方图如图所示.(1)估计全校学生中课外阅读时间在[30，40）小时内的总人数是多少；(2)从课外阅读时

间不足10小时的样本学生中随机抽取3人，求至少有2个初中生的概率；(3)国家规定，初中学生平均每人每天课外阅读时间不少于半个小时.若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准，则学校应适当增加课外阅读时间，根据以上抽样调查数据，该校

是否需要增加初中学生的课外阅读时间？并说明理由.16．（2022·浙江省开化中学高一期末）已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是12、13、14．设各次射击都相互独立．(1)若甲、乙、丙三人同时对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率；(2)若甲、乙两人各自对

目标射击两次，求四次射击中恰有两次命中目标的概率．17．（2022·辽宁·高一期末）2020年某地爆发了新冠疫情，检疫人员为某高风险小区居民进行检测.(1)假设A，B，C，D，E，F，G，H，I，J这10人的检测标本中有1份呈阳

性，且这10人中恰有1人感染，请设计一种最多只需做4次检测，就能确定哪一位居民被感染的方案，并写出设计步骤；(2)已知A，B，C，D，E这5人是密切接触者，要将这5人分成两组，一组2人，另一组3人，分派到两个酒店隔离，求A，B两人在同一组的概率.18．（2022·北京昌平·高一期末）近

年来，手机逐渐改变了人们的生活方式，已经成为了人们生活中的必需品，因此人们对手机性能的要求也越来越高.为了了解市场上某品牌的甲､乙两种型号手机的性能，现从甲､乙两种型号手机中各随机抽取了6部手机进行性能测评，得到的评分数据如下（单位：分）：甲型号手机908990889192乙型号手机88

9189938594假设所有手机性能评分相互独立.(1)在甲型号手机样本中，随机抽取1部手机，求该手机性能评分不低于90分的概率；(2)在甲､乙两种型号手机样本中各抽取1部手机，求其中恰有1部手机性能评分不低于90分的概率；(3)试判断甲型号手机样本评分数据的方差与

乙型号手机样本评分数据的方差的大小（只需写出结论）19．（2022·北京西城·高一期末）甲、乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击命中目标得1分，未命中目标得0分．两人4局的得分情况如下：甲6699乙79xy(1)若乙的平均得分高于甲的平均得分，求x的最小值；(2)设6x=，10y=

，现从甲、乙两人的4局比赛中随机各选取1局，并将其得分分别记为a，b，求ab的概率；(3)在4局比赛中，若甲、乙两人的平均得分相同，且乙的发挥更稳定，写出x的所有可能取值．（结论不要求证明）20．（2022·北京房山·

高一期末）在创建文明城市活动中，房山区某单位共有100名文明交通义务劝导志愿者（简称为志愿者），他们每周三和每周五的上午8:009:00−，下午5:006:00−上下班的高峰时段，在红绿灯路口义务执勤，劝导行

人自觉遵守交通规则，该单位对他们自2021年9月至12月参加活动的次数统计如下图所示．区创城办为了解市民文明出行情况，采用分层抽样的方法从该单位参加1次和3次的志愿者中抽取5人进行访谈．(1)求该单位志愿者参加活动的人均次数；(2)这5人中参加1次和3次活动的志愿者各占多少人？(3)

从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名参加1次活动的志愿者的概率．21．（2021·重庆·高一期末）甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为23，乙投篮命中的概率为34，在每

次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互没有影响.(1)求甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率；(2)求甲乙各投篮一次，至少有1人命中的概率.