【文档说明】《七年级数学下册压轴题攻略（北师大版，成都专用）》专题01 幂运算的五种考法全攻略（解析版）.docx，共(9)页，400.785 KB，由envi的店铺上传

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专题01幂运算的五种考法全攻略【知识点梳理】同底数幂的乘法：同底幂相乘，底数不变，指数相加，即：am·an=am+n，（m，n为正整数）幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即：(am)n=amn，其中m，n为正整数积的乘方运算法则：积的乘方，

等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即：(ab)m=ambm，其中m为正整数。同底数幂的除法运算：同底数幂相除，底数不变，指数相减（与幂的乘法为逆运算），即：am÷an=am-n（a≠0，m，n为正整数）。类型一

、幂公式的逆向运用例1.已知210xy+−=，则255xy=__________.【答案】5【解析】解：∵210xy+−=，∴21xy+=∴22155555xyxy+===.例2.24x=（__）2；460.0169ab=（__）2；2419681mn=（__）2；【答案】2x230.13a

b2149mn【解析】224(2)xx=，462320.0169(0.13)abab=，242219614()819mnmn=，故答案为：2x，230.13ab，2149mn．例3.已知22,24ababc−==，则2abc−的值是______．【答

案】16【解析】解：∵22ab−=，2224222abababc−===，∴224c==，∴22416abc−==.答案为：16.【变式训练1】计算3n·()=—9n+1,则括号内应填入的式子为()A．3n+1B．3n+2C．—3n+2D．—3n+

1【答案】C【解析】解：∵-9n+1=-（32）n+1=-32n+2=-3n+n+2=3n（-3n+2），∴括号内应填入的式子为-3n+2.故选C.【变式训练2】计算：20162015532135=________．【答案】5

13【详解】解：201620152015201520155355135135552113513135135131313====.故答案为：51

3.【变式训练3】（1）已知2,3mnaa==，求23mna−的值．（2）已知：23nx=，求()()4525nnnxxx+−的值．（3）已知354xy+=，求582xy的值．（4）已知2139273mm=，求m的值．【答案】（1）427；（2）261−；（3）16；（4）4m=【详解】

解：（1）（1）∵2,3mnaa==，∴()()2222333324327mmmnnnaaaaa−====；（2）∵x2n=3，∴()()4525nnnxxx+−=()()232210nnxx−=233103−=261−．（3）∵354xy+=，∴535354

82222216xyxyxy+====；（4）∵2139273mm=，∴23213333mm=，即512133m+=，∴5121m+=，解得4m=．类型二、幂运算中的方程思想例1.已知3×9m×27m＝321，求m的值．【答案】4【详

解】解：∵3×9m×27m＝3×32m×33m＝31+2m+3m＝321，∴1+2m+3m＝21，∴m＝4．例2.（1）已知2x＝3，2y＝5，求2x+y的值；（2）x﹣2y+1＝0，求：2x÷4y×8的值

．【答案】（1）15；（2）4【详解】解：（1）∵2x＝3，2y＝5，∴2x+y＝2x×2y＝3×5＝15；（2）∵x﹣2y+1＝0，∴x﹣2y＝﹣1，∴2x÷4y×8＝2x﹣2y+3＝22＝4．例3.若22•16n＝（22）9，解关于x的方程nx+

4＝2．【答案】【详解】解：22•16n＝（22）9变形为22•24n＝218，所以2+4n＝18，解得n＝4．此时方程为4x+4＝2，解得𝑥=−12．【变式训练1】已知9n+1﹣32n＝72，求n的值．【答案】1【详解】解

：∵9n+1﹣32n＝9n+1﹣9n＝9n（9﹣1）＝9n×8，而72＝9×8，∴当9n+1﹣32n＝72时，9n×8＝9×8，∴9n＝9，∴n＝1．【变式训练2】（1）已知2×8x×16x＝222，求x的值；（2）

已知2m＝3，2n＝4，求22m+n的值．【答案】（1）3；（2）36【详解】解：（1）∵2×8x×16＝222∴2×（23）x×（24）x＝222，∴2×23x×24x＝222，∴1+3x+4x＝22，解得：x＝3（2）∵2m＝3，2n＝4，∴22m+n＝（2m）2•

2n＝9×4＝36．【变式训练3】求值：（1）已知3×9m÷27m＝316，求m的值．（2）若2x+5y﹣3＝0，求4x•32y的值．（3）若n为正整数，且x2n＝4，求（3x3n）2﹣4（x2）2n的值．【答案】（1）-15；（2）8；（3）29【详解】解：（1）

∵3×9m÷27m＝316，∴31+2m﹣3m＝316，∴1﹣m＝16，∴m＝﹣15；（2）∵2x+5y﹣3＝0，∴2x+5y＝3，∴4x•32y＝22x+5y＝23＝8；（3）∵x2n＝4，∴xn＝2，∴（3x

3n）2﹣4（x2）2n＝9x6n﹣4x4n＝9×26﹣4×24＝24×25＝29．【变式训练4】(1)已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：①求：22m+3n的值；②求：24m﹣6n的值(2)已知2×8x×16＝223，求x的

值．【答案】（1）①ab，②22ab（2）x=6【详解】解：（1）∵4m=a，8n=b，∴22m=a，23n=b，①22m+3n=22m•23n=ab；②24m-6n=24m÷26n=（22m）2÷（23n）2=22ab；（2）∵2

×8x×16=223，∴2×（23）x×24=223，∴2×23x×24=223，∴1+3x+4=23，解得：x=6．类型三、比较大小问题例1．比较445和554的大小．【答案】445554【解析】解：()114

441155625==，()1155511441024==，11116251024故445554．例2.（1）填空：()26322==2=64；（2）比较443与334的大小．【答案】（1）8；（2）4433

34【解析】解（1）填空：()263222864===，故答案为：8；（2）解：∵()11444113381==，()11333114464==，∵>8164，∴443334．例3．设a＝255，b＝333，c＝422，则a

、b、c的大小关系是（）A．c＜a＜bB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜b＜a【答案】D【解析】∵a＝255＝（25）11＝3211，b＝333＝（33）11＝2711,c＝422＝（42）11＝1611，∴c＜b＜a．故选：D．

【变式训练1】233、418、810的大小关系是（用＞号连接）_____．【答案】418＞233＞810【解析】∵()18182364=2=2，()10103308=2=2，∴236＞233＞230，∴418＞233＞810．故答案为：418＞233＞810【变式训练2】若m=722，n=48

3，则m、n的大小关系正确的是（）A．m＞nB．m＜nC．m=nD．大小关系无法确定【答案】B【解析】解：∵m=2723244(2)28==，n=2482244(3)39==，∵8<9∴242489∴m<n，故选：B．【变式训练3】如果552a=，443b=，334c=，那

么（）A．abcB．bcaC．cabD．cba【答案】B【解析】∵552a==()11521132=，443b==()11431181=，334c==()11341164=，∴bca.故选B.【变式训练4】若0202

1a=，2201920212020b=−，202020212332c=−则下列a，b，c的大小关系正确的（）A．abcB．acbC．bacD．cba【答案】C【详解】解：020211,a==()()22222019202120202020

1202012020=2020120201,b=−=−+−−−=−()202020212020202023233331,3232222c=−=−=−=而311,2-<<,bac\<<故选C类型四、代数式表示幂运算例1.已知

2a=5，2b=10．2c=50，那么a、b、c之间满足的等量关系是________．【答案】a+b=c【解析】解：∵2a=5，2b=10，∴22251050abab+===，又∵2c=50=22ab，∴a+b=c

．故答案为：a+b=c．例2.若31392nnxy=+=−，，则用x的代数式表示y是（）A．()2312xy=−−B．232yx=−C．32yx=−D．()212yx=−−【答案】A【解析】∵31nx=+，∴3=1nx−，∴()23

32ny=−=()2312x−−．故选A．例3.若41,643nnxy=+=−，用含x的代数式表示y，则y＝__________．【答案】()313x−−；【解析】∵41nx=+，∴4-1nx=，∴33643=(4)-3=(-1)-3nnyx=−，故填：()313x−−．【变式训练1】若2

1mx=+，34my=+，则用含x的代数式表示y为______．【答案】y=(x-1)2+3【解析】解：∵4m＝22m＝（2m）2，x＝2m＋1，∴2m＝x−1，∵y＝3＋4m，∴y＝（x−1）2＋3，故答案为：y＝（x−1）2＋3．【变式训练2】若122nnx+=+，

2322nny++=+其中n为整数，则x与y的数量关系为（）A．4xy=B．4yx=C．12xy=D．12yx=【答案】B【详解】解：因为()2122231222222222nnnnnny++++=+=++=，122nnx+=+所以224yxx==．故选：B．【变式

训练3】如果31,29aamn=+=+，那么用含m的代数式表示n为（）A．23nm=+B．2nm=C．2(1)2nm=−+D．22nm=+【答案】C【详解】∵31am=+，∴31am=−．∵92an=+，∴2(3)2an=+．将31am=−代入2

(3)2an=+中，得：2(1)2nm=−+．故选：C．【变式训练4】已知：53a=，58b=，572c=．（1）求)(25a的值．（2）求5abc−+的值．（3）直接写出字母a、b、c之间的数量关系．【答案】（

1）9；（2）27；（3）2cab=+【详解】解（1）∵53a=，∴)(22539a==；（2）∵53a=，58b=，572c=，∴5537252758acabcb−+===；（3）∵22(5)53898725abc====，∴255abc

+=，即2cab=+．类型五、新定义问题例1．我们知道，同底数幂的乘法法则为am·an=am+n（其中a≠0，m、n为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m、n的一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）；比如h

（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9，若h（2）=k（k≠0），那么h（2n）·h（2020）的结果是（）A．2k+2020B．2k+1010C．kn+1010D．1022k【答案】C【解析】解：∵h（2）=k（k≠0

），h（m+n）=h（m）•h（n），∴h（2）=h（1+1）=h(1)•h(1)=k（k≠0）∴h（2n）=kn；101010101010(2020)(22..2)=(2)(2)...(2)=hhhhhk=

+++个个∴h（2n）•h（2020）=kn•k1010=kn+1010．故选：C．例2.规定两正数a，b之同的一种运算，记作：E(a，b)，如果ac＝b，那么E(a，b)＝c．例如23＝8，所以E(2，8)＝3。（1

）填空：E(3，27)＝，E11,216＝；（2）小明在研究这和运算时发现一个现象：E(3n，4n)＝E(3，4)小明给出了如下的证明：设E(3n，4n)＝x，即(3n)x＝4n，即(3n，4n)＝4n，所以3x＝4，E(3，4)＝x，所以E(3n

，4n)＝E(3，4)，请你尝试运用这种方法说明下面这个等式成立：E(3，4)+E(3，5)＝E(3，20)【答案】（1）3；4；（2）证明见解析．【解析】解：（1）∵3327,=∴E（3，27）=3；∵411,216=∴11,4,216E

=故答案为：3；4；（2）设E（3，4）=x，E（3，5）=y，则34,35,xy==∴3334520,xyxy+=•==∴E（3，20）=x+y，∴E（3，4）+E（3，5）=E（3，20）．例3.如果abc=，则cab=，例如：283=，则，328=．（1）根据上述规定

，若327=x，则x=_______；（2）记35,36,330abc===，求abc，，之间的数量关系．【答案】（1）3；（2）abc+=【解析】解：（1）根据定义的公式，由abc=得cab=，∵327x=，∴327x=，解得3x=，故答案是：3；（2）∵35a=，∴35a=

，∵36b=，∴36b=，∵330c=，∴330c=，由5630=，得333abc=，即33abc+=，∴abc+=．【变式训练1】记为logab，即logabn=．譬如：4381=，则4叫做以3为底81的对数，记为3log81（即3log81＝4）．（1）计算以下各对数的值：2

log4=，2log16=，2log64=．（2）由（1）中三数4、16、64之间满足的等量关系式，直接写出2log4、2log16、2log64满足的等量关系式；（3）由（2）猜想一般性的结论：loglogaaMN+=．（0a且1,0aM,0N），并根

据幂的运算法则：MNMNaaa+=以及对数的含义证明你的猜想．【答案】（1）2，4，6；（2）2log4＋2log16＝2log64；（3）猜想：loglogaaMN+=log()aMN，证明见解析．【解析】（1）2log42=，2log164=，2log646

=（2）222log4log16log64+=（3）猜想：logloglog()aaaMNMN+=证明：设1logaMb=，2logaNb=，则1baM=，2baN=，故可得1212•bbbbMNaaa+==，12log()ab

bMN+=，即logloglog()aaaMNMN+=．【变式训练2】定义：若am＝b，则Lab＝m（a＞0）．例如23＝8，则L28＝3．（1）运用以上定义，计算L525﹣L22；（2）如果L23＝x，834Ly（）＝，求x+2y的值．【答案】（1）1；（2）3．【详解】解：（1

）∵52＝25，21＝2，∴L525＝2，L22＝1，∴L525﹣L22＝2﹣1＝1；（2）由定义可得2x＝3，4y＝22y＝83，∴2x×4y＝2x×22y＝2x+2y＝3×83＝8＝23，∴x+2y的值是3．【变式训练3】在学习

了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若32a=，53b=，则a，b的大小关系是a___

___b（填“”或“”）；解：()51535232aa===，()31553327bb===，且32271515ab，ab类比阅读材料的方法，解答下列问题：（1）上述求解过程中，逆用了哪

一条幂的运算性质______．A．同底数幂的乘法；B．同底数幂的除法；C幂的乘方；D积的乘方（2）试比较3181、4127、619的大小；【答案】（1）C；（2）31416181279【详解】解：（1）求解过程中，逆用了幂的乘方运算，故选C；（2）∵()31

3141248133==，()414131232733==，()61612122933==，∴31416181279．【变式训练4】如果ac＝b，那么我们规定（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．（1）根据上述规定，填空：（3，27）＝，

（4，16）＝，（2，16）＝．（2）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c．【答案】（1）3，2，4；（2）详见解析【解析】解：（1）∵33＝27，∴（3，27）＝3；∵42＝16，∴（4，16）＝2；∵24＝16，∴（2，

16）＝4；故答案为：3；2；4；（2）证明：∵（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c，∴3a＝5，3b＝6，3c＝30，∴3a×3b＝30，∴3a+b＝30，∵3c＝30，∴3a+b＝3c，∴a+b＝c获得更多资源请扫码

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