【文档说明】2023-2024学年高一数学苏教版2019必修第二册单元复习试题 单元复习12 复数 基础题 Word版含解析.docx，共(31)页，1.472 MB，由小赞的店铺上传

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单元复习12复数01复数的概念一、单选题1．已知复数1iz=+，则复数z的模为（）A．12B．1C．2D．3【答案】C【分析】根据复数的模的定义直接求解即可.【解析】解：因为复数1iz=+，所以22112z=+=.故选：C2．

已知复数1iz=+，那么||z等于（）A．1B．2C．2D．22【答案】C【分析】根据给定条件利用复数模的定义直接计算作答.【解析】因复数1iz=+，则22||112z=+=，所以||z等于2.故选：C3．已知复数z满足5z=，且1z−为纯虚数，则z=（）A．12i+B．2i−C

．2iD．12i【答案】D【分析】设复数(,)zabiabR=+，根据复数的模和纯虚数的概念，由225,10aba+=−=求解.【解析】设复数(,)zabiabR=+，因为5z=，且1z−为纯虚数，所以225,10aba+=−=，解得1,2ab==，所以12zi=，故选：D【点睛

】本题主要考查复数的概念和模的运算，属于基础题.4．对于复数()i,zabab=+R，下列结论中正确的是（）A．若0a=，则iab+为纯虚数B．若i32iab−=+，则3a=，2b=C．若0b=，则iab+为实数D．若0ab==

，则z不是复数【答案】C【分析】结合复数概念逐一判断即可.【解析】对A，当0b=时，iab+为实数，故A错；对B，根据对应关系，3a=，2b=−，故B错；对C，若0b=，则iab+为实数，C正确；对D，若0ab==，0

z=，也是复数，故D错.故选：C5．设mR，则“2m=”是“复数()()2i1izm=++为纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】求出()()2i1izm=++为纯虚数时m的值，与2m

=比较，判断出结果【解析】()()()2i1i=22izmmm=++−++，复数()()2i1izm=++为纯虚数，则20m−=，解得：2m=，所以则“2m=”是“复数()()2i1izm=++为纯虚数

”的充要条件故选：C6．给出下列命题：①若zC，则zRez；②若b为实数，且zbi=，则zb=；③若zC，且zz=−，则z一定为实数．其中真命题的个数为（）A．1B．2C．3D．0【答案】B【分析】设zabi=+，,abR，利用复数的模的公式结合复数的有个概念判断出结果.【解析】设zab

i=+，,abR：22zab=+，Reza=，则若zC，则zRez，正确；：若b为实数，且zbi=，则zb=，错误；：若zC，且zz=−，则22ababi+=−−，则0b=，则z一定为实数，正确；综上，真命题的个数为2，故选：B.7．下面四个命题中，正确的是A．若

复数21zz=，则12•zzRB．若复数z满足2zR，则zRC．若复数1z，2z满足12=zz，则12zz=或12zz=−D．若复数1z，2z满足12zzR+，则1zR，2zR【答案】A【解析】分析：由复数

的基本概念及基本运算性质逐一核对四个选项得答案.详解：对于A，若复数12zz=，则212222zzzzzR==，故A正确；对于B，取zi=，则21zR=−，而zR，故B错误；对于C，取11zi=+，21zi=−，满足12zz=，但不满足12zz=或12zz=−，故C错误；对于D，取11z

i=+，21zi=−，满足12zzR+，但不满足1zR，2zR，故D错误.故选A.点睛：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，复数zabi=+的共轭复数为zabi=−，模长为22ab+.8．已知a，bR，若()22ababi++−(i为虚数

单位)，则实数a的取值范围是（）A．2a或1a−B．1a或2a−C．1a2−D．21a−【答案】B【分析】依题意复数的虚部为零，实部大于2，即可得到不等式，解得即可；【解析】解：因为a，bR，()22ababi++−，

所以220abab+−=，即22aa+，解得1a或2a−故选：B二、多选题9．对任意复数i(,),zababi=+R为虚数单位，则下列结论中正确的是（）A．2zza−=B．||||zz=C．2zza+=D．2izzb+=【答案】BC【分析】写出共轭复数

，然后计算判断各选项．【解析】由已知izab=−，因此2izzb−=，2zza+=，22zabz=+=．故选：BC．10．下列命题，其中不正确的是（）A．若z＝a＋bi，a，b∈R，则仅当b≠0时z为纯虚数B．若22120zz+=，则z1＝z

2＝0C．若a∈R，则ai为纯虚数D．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是a≤0【答案】ABC【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解析】解：

在A中a＝0，b≠0时满足，故A错误；在B中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z1＝1，z2＝i，则2212110zz+=−=，但z1≠z2≠0，故B错误；在C中忽视0·i＝0，故C错误；在D中复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，即|a|＝－a，得a≤0，故D正

确.故选：ABC三、填空题11．若复数()23iR2mzmmmm−=+−+是虚数，则实数m的取值范围是________．【答案】(,2)(2,0)(1,)−−−+【分析】利用虚数的概念可列不等式组，解之即得.【解析】∵复数z＝32mm−+＋2mm−i(m∈R)是虚数，∴22

0,0,mmm+−解得m>1或m<0且m≠－2.故实数m的取值范围是(,2)(2,0)(1,)−−−+．故答案为：(,2)(2,0)(1,)−−−+。12．若143zi=+，252zi=−，316zi=−+，48zi=，则1z、2z、3z、4z由小到大的顺序为

__________．【答案】1234zzzz【分析】先用复数的模长公式求出模长，再比较即可【解析】221435z=+=，2225(2)29z=+−=223(1)637z=−+=2488z==1234zzzz故答案为：1234zzzz四、解答题

13．求m为何实数时，复数()226215izmmmm=+−+−−是：(1)实数；(2)纯虚数；(3)虚数．【答案】(1)3m=−或5；(2)2m=；(3)3m−且5m.【分析】（1）根据题意可知复数z的虚部为零，可求得实数m

的值；（2）根据题意可知复数z的实部为零，虚部不为零，可求得实数m的值；（3）根据题意可知复数z的虚部不为零，可求得实数m的取值范围.(1)解：若复数z为实数，则22150mm−−=，解得3m=−或5.(2)解：若复数z为纯虚数，则22602150mmmm+−=−−，解得2m=.(3)

解：若复数z为虚数，则22150mm−−，解得3m−且5m.14．在复平面内点Z，0z对应的复数z，0z满足034izz−=−，且01z=.求z的最大值和最小值.【答案】最大值6，最小值4.【分析】根据复数的几何意义，结合向量不等式进行求解即可.【解

析】解：因为034izz−=−，所以034izz=+−.因为01z=，所以000434i34i34i6zzz=−−+−+−=，即46z，当且仅当0z与34i−所对应的向量反向（同向）时取得最小值（最大值）.令()034iz=−，则51=，即15=.所以当034i

55z=−时，z取得最大值6；当034i55z=−+时，z取得最小值4.02复数的运算一、单选题1．已知i是虚数单位，若(2i)a+(1i)+是实数，则实数=a（）A．2B．-2C．1D．-1【答案】B【分析】利用复数

的乘法化简(2i)a+(1i)+，由复数的概念即可求a.【解析】(2+i)(1i)(2)(2)iaaa+=−++为实数，∴2a=−．故选：B2．在复平面内，把复数33i−对应的向量按顺时针方向旋转3，所得向量对应的复数是()A．23B．23i−C．33i−D．3i3+【答案】B【分析

】由题意知复数33i−对应的向量按顺时针方向旋转3，需要把已知向量对应的复数乘以复数的沿顺时针旋转后的复数，相乘得到结果．【解析】解：由题意知复数33i−对应的向量按顺时针方向旋转3，旋转后的向量为()213i333i3i3i(33i)cos()isin()33i23i33222222

−−+−=−−=−−+=−．故选：B．3．已知i是虚数单位，复数z的共轭复数为z，下列说法正确的是（）A．如果12zz+R，则1z，2z互为共轭复数B．如果复数1z，2z满足1212zzzz+=−，则120zz=C．如果2zz=

，则1z=D．1212zzzz=【答案】D【分析】对于A，举反例11iz=+，22iz=−可判断；对于B，设111izab=−，222izab=+代入验证可判断；对于C，举反例0z=可判断；对于D，设1izab=+，2izcd=+，代入可验证.

【解析】对于A，设11iz=+，22iz=−，123zz+=R，但1z，2z不互为共轭复数，故A错误；对于B，设111izab=−（1a，1bR），222izab=+（2a，2bR）．由1212zzzz+=−，得()()

()()222222121212121212zzaabbzzaabb+=+++=−=−+−，则12120aabb+=，而()()()()()12112212121221121221iii2izzabab

aabbababaaabab=++=−++=++不一定等于0，故B错误；对于C，当0z=时，有2zz=，故C错误；对于D，设1izab=+，2izcd=+，则()()()()()()()()22222222221212z

zacbdadbcacbdadbcabcdzz=−++=+++=++=，D正确故选：D4．已知复数202120221iii11i1−+=++−z，则z的共轭复数z=（）A．1i+B．1i−C．1i−+D．1i−−【答案】C【分析】先利用复数的乘方

化简复数z，再求其共轭复数.【解析】因为21(1)21(1)(1)2iiiiiii−−−===−++−，21(1)21(1)(1)2iiiiiii++===−−+，所以20212022=(i)+i=i1=

1iz−−−−−，则1iz=−+，故选：C．5．1z、2z是复数，则下列结论中正确的是（）A．若22120zz+，则2212zz−B．2121212||()4zzzzzz−=+−C．22121200zzzz+===D．2211||||zz=【答案】D【解析】举反例12zi=+，22zi

=−可判断选项A、B，举反例11z=，2zi=可判断选项C，设1zabi=+，(),abR，分别计算21||z、21||z即可判断选项D，进而可得正确选项.【解析】对于选项A：取12zi=+，22zi=−，()221232zii=+=+，()222232zii=−=−，满足221260zz

+=，但21z与22z是两个复数，不能比较大小，故选项A不正确；对于选项B：取12zi=+，22zi=−，12||22zzi−==，而()()221212()444221620zzzzii+−=−+−=−无意义，故

选项B不正确；对于选项C：取11z=，2zi=，则22120zz+=，但是10z，20z，故选项C不正确；对于选项D：设1zabi=+，(),abR，则()222212zabiababi=+=−+()()2222222222214zabababab=−+=+

=+，1zabi=−，221zab=+，所以2221zab=+，所以2211||||zz=，故选项D正确.故选：D.6．方程2430zz−+=在复数集内解的个数为（）.A．4B．5C．6D．8【答案】C【分析】令izab=+，再根据复

数的运算及复数的模，解方程.【解析】令()i,zabab=+R，则22222i430ababab−+−++=，得222220,430.ababab=−−++=当0b=时，2430aa−+=，1a=或3a

=；当0a=时，2430bb+−=，27b=−+或27b=−−（舍）.综上共有6个解：1z=，3z=，()72iz=−，故选；C.二、多选题7．设1Z，2Z，3Z为复数，下列命题中错误的是（）A．2211ZZ=B．1212ZZ

ZZ=C．若12ZZR+，则12ZZ−为纯虚数D．若23ZZ=，且10Z，则3211ZZZZ=【答案】AC【分析】根据举例说明即可判断A、C；根据复数的乘法运算和几何意义即可判断B；根据共轭复数的概念和除法运算即可判断D.【解析】A：取1iZ=，则222111i1ZZ===

−，，故A错误；B：设12iiZabZcd=+=+，(abcdR、、、)，则12(i)(i)ZZabcd=++()()iacbdadbc=−++，2212()()ZZacbdadbc=−++22222222acadbcbd

=+++，又22222222222212()()ZZabcdacadbcbd=++=+++，所以12ZZ=12ZZ，故B正确；C：取120ZZ==，则120ZZ−=为实数，故C错误；D：由23ZZ=，得23ZZ=，则2

2121312121313()()()()0ZZZZZZZZZZZZ−=−=，所以1213ZZZZ=，又10Z，所以2311ZZZZ=，故D正确.故选：AC.8．已知方程()()()22120,xixabiababR+++−+=，则下列说法正确的是（）A．若方程有一

根为0，则0a=且0b=B．方程可能有两个实数根C．12ab时，方程可能有纯虚数根D．若方程存在实数根0x，则00x或02x【答案】AD【分析】将方程进行等价变形为()22220xxababxi+++−+=，利用复数的定义，若复数为0，则实部为0，虚部也

为0，判断AB选项；结合基本不等式求解实根的范围判断D选项；举例当0a=且0b=时，无纯虚根判断C.【解析】解：A选项：若方程有一根为0，则代入方程有()20abiab−+=，则有ab=，20ab=，即0a=且

0b=，故A正确；B选项：方程可变形为：()22220xxababxi+++−+=，即()2220,02xxababx+=−+=+，则2bax−=，只有一解，故B错误；C选项：当0a=且0b=时，方程仅存在一解0x=，此时无纯虚根，故C错误；D选项：若方程存在实数根0x，则02bax−=，

代入方程可得：224460babaab++−+=，即()()()2480babaab−+−−−=，即()()()22420bababa−+−−−，解得：()0ba−或()4ba−，即00x或02x，故D正确故选：AD三、填空题9．计算1210091

00(22)(23)(13)(123)iizii+−+=+=−++_______.【答案】-511【解析】利用复数的运算公式，化简求值.【解析】原式12121003691001009992(1)(23)2(2)121511()13[(23)]132()()

2222iiiiiiii+−=+=+=−+=−−−−−+−+.故答案为：511−【点睛】思路点睛：本题考查复数的n次幂的运算，注意313122i−+=，()212ii+=，以及()()612211ii+=+，等公式

化简求值.10．设复数1z､2z､3z满足1232zzz===，则122331123zzzzzzzzz++=++___________.【答案】2【解析】解析：123123121311231231231312311

1124tzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz++++++===++++++.故答案为：2.四、解答题11．计算：(1)()()87i3i−−−；(2)()()43i54i−−−；(3)()13i

1i22−++；(4)3113ii2222−−+．【答案】(1)2421i−(2)32i−−(3)133122i+−−+(4)3122i−−【分析】利用复数的运算法则，直接计算求解即可(1)()()8732421iii−−−=−(2)()()4354

2016151232iiiii−−−=−−+−=−−(3)()1311331331122222222iiiii+−−++=−−+−=−+(4)31133313312222444422iiiii

−−+=−−+−=−−12．在复数范围内分解因式：(1)44ab−(2)24x+(3)225xx++(4)2222abcab+++【答案】(1)()()()()iiabababab−+

−+(2)()()2i2ixx+−(3)()()12i12ixx+++−(4)()()iiabcabc+++−【分析】注意()()22iimnmnmn+=+−,利用配方法和十字叉乘法，结合共轭复数的运算即可在复数范围内分解因式.(1)()()()()()()442222iia

babababababab−=−+=−+−+;(2)()()242i2ixxx+=+−;(3)()()()()222225141212i12ixxxxxx++=++=++=+++−;(4)2222abcab+++()()()22iiabc

abcabc=++=+++−13．（1）已知设方程，是方程220xxa++=的两根，其中aR，则||||+的值；（2）关于x的方程243i0xax+++=有实根，其中aC，求||a的最小值，并求取得最小值时方程的根．【答案】（1）()()()2102021aaaaaa

−+=；（2）min||32a=，5(43i)5+或5(43i)5−+．【分析】（1）求出判别式4(1)a=−，对a分类讨论：当01a剟时，当a<0时，当1a时三种情况，分别求出||||+；（2）设0x为方程的实根，代入原方程，表示出a，利用基本不等式求出||a的最

小值，并求取得最小值时方程的根．【解析】（1）判别式444(1)aa=−=−，①若0…，即1a„，则，是实根，则2+=−，a=，则2222(||||)2||()22||422||aa+=++=+−

+=−+，故||||422||aa+=−+，当01a剟时，||||2+=，当a<0时，||||21a+=−；②若Δ0，即1a，则，是虚根，11ia=−+−，11ia=−−−，故||||2112aa+=+−=．综上：()()()

2102021aaaaaa−+=.（2）设0x为方程的实根，则20043i0xax+++=，所以00043iaxxx=−−−，则20020004325||2()2()2818axxxxx=

++=++…，当202025xx=即05x=时，||32mina=，当05x=时，另一个根为5(43i)5+，当05x=−时，另一个根为5(43i)5−+．14．设z是虚数，且1zz=+满足12−.(

1)求||z的值及z的实部的取值范围；(2)设11zuz−=+，求证：u为纯虚数；(3)求2u−的最小值.【答案】(1)||1z=，112−，(2)证明见解析(3)1【分析】（1）根据复数的

除法可得，根据其为实数可得221ab+=，从而z的实部的取值范围；（2）根据复数的除法可得i1bua=−+，从而可证u为纯虚数；（3）根据基本不等式可求最小值.【解析】（1）设izab=+，abR、，0b，则22221iiiabababa

babab=++=++−+++，∵12−，∴是实数，又0b，∴221ab+=，即||1z=，∴2a=，122a−=，112a−，∴z的实部的取值范围是112−，；（2）()

222211i12ii11i11zababbbuzabaab−−−−−−====−++++++，∵1,12a−，0b，∴u为纯虚数；（3）()()22212122212131111bauaaaaaaaa−−=+=−=−+=++−++++，∵112a−

，，∴10a+，故()2122134311uaa−+−=−=+，当111aa+=+，即0a=时，2u−取得最小值1.15．已知1322i=−+（i为虚数单位），求：（1）()()222222+++；（2）

221+；（3）类比()21ii=−，探讨（31=，为虚数）的性质，求()nnR的值.【答案】（1）3；（2）-1；（3）1,3,32,,31nnknkkZnk===−=−【解析】（1）分别计算出

21322i=−−=，31=，展开即可求解；（2）根据运算法则结合21322i=−−=即可求解；（3）结合（1）已经算出的结果分析规律即可得解.【解析】（1）1322i=−+，21322i−−==，31=，210++=，1=，()()2222342342

2244445583++++++++=+=+=.（2）42222221111++−+====−.（3）由（1）可知21322i=−−=，31=，1,3,32,,31nnknkkZnk===−=−.【

点睛】此题考查复数的综合应用，涉及基本运算，观察规律，其关键在于根据运算法则准确计算并类比推理.03复数的几何意义、复数的三角形式一、单选题1．已知i是虚数单位，则复数12i=−z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第

四象限【答案】D【分析】根据复数的几何意义即可确定复数所在象限【解析】复数12i=−z在复平面内对应的点为()1,2-则复数12i=−z在复平面内对应的点位于第四象限故选：D2．若复数z满足11i12z=−+，则z在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限

B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】化简求得z，由此判断出z对应点所在象限.【解析】11i12z=−+，2i11i,12i,122zz=−=+=+解得12iz=−+，故z在复平面内所对应的点()1,2-位于第二象限．故选：B3．已知复数12

1iz=+与2z在复平面内对应的点关于直线yx=对称，则12zz=（）A．4i−B．2i−C．2iD．4i【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则化简复数1z，求出其在复平面内对应的点，再求出该点关于直线yx=对称的点，得到复数2z，最后利用复

数的乘法运算法则即可求得12zz．【解析】因为()()()121i21i1i1i1iz−===−++−，所以复数1z在复平面内对应的点为()1,1-，其关于直线yx=对称的点为()1,1−，所以21iz=−+，所以()()211i1i2

izz=−−+=，故选：C．4．已知复数122(zii=−为虚数单位)在复平面内对应的点为1P，复数2z满足21zi−=，则下列结论不正确的是（）A．1P点的坐标为()2,2−B．122zi=+C．21zz−的最大值为131+D．21zz−的最小值为22【答案】D【分析】A：根据复数的表达式直接

写出1P点的坐标进行判断即可；B：根据复数的共轭复数的定义进行判断即可；C，D：根据复数模的几何意义，结合圆的性质进行判断即可.【解析】A：因为复数122(zii=−为虚数单位)在复平面内对应的点为1P，所

以1P点的坐标为()2,2−，因此本选项结论正确；B：因为122iz=−，所以122zi=+，因此本选项结论正确；C，D：设2(,)zxyixyR=+，在复平面内对应的点为(,)Pxy，设(0,1)A因为21zi−=，所以点(,)Pxy到点A的距离为1，因此点(,)Px

y是在以(0,1)A为圆心，1为半径的圆，21zz−表示圆A上的点到1P点距离，因此22211max12(21)1131zzAP−=+=+−−+=+，22211min12(21)1131zzAP−=−=+−−−=−，所以选项C的结论正确，选项D的结论不正确

，故选：D【点睛】关键点睛：根据21zz−的几何意义，结合圆的性质是解题的关键.5．已知复数1z﹑2z满足()120zzrr−=，复数,*(1)iinnN满足1izr−=或者2izr−=，且ijr−对任意1ijn

成立，则正整数n的最大值为（）A．6B．8C．10D．12【答案】C【解析】用向量,OAOB表示12,zz，根据题意，可得OAOBBAr−==，因为1izr−=或者2izr−=，根据其几何意义可得i的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n，数形结合，即可

得答案.【解析】用向量,OAOB表示12,zz，因为()120zzrr−=，所以OAOBBAr−==，又,*(1)iinnN满足1izr−=或者2izr−=，则i可表示以O为起点，终点在以A为圆心，半径为r的圆上的向量，或终点在以B为圆心，半径为r

的圆上的向量，则终点可能的个数即为n，因为ijr−，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60，如图所示，则最多有10个可能的终点，即n=10.故选：C【点睛】解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案

，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.6．复数－i的三角形式是（）A．cosisin22−B．sinicos+C．33cosisin22+D．cosisin22+−【答案】C【分析】直接利用

特殊角的三角函数值，即可得到答案；【解析】33cosisin22i+−=，故选：C7．已知()i,abab+R的三角形式为()cosisinr+，则iab−+的三角形式是（）A．()cosisinr+B

．()()cosisinr−+−C．()()cosisinr+++D．()()cos2isin2r−+−【答案】B【分析】根据三角形式的表达式知，iab−+的三角形式是()cosisinr−+，根据诱导公式判断选项

符合的即可.【解析】由题知，iab−+的三角形式是()cosisinr−+，结合诱导公式知，()()coscos,sinsin−=−−=，故选：B8．任何一个复数izab=+(其中,iabR,为虚数单位

)都可以表示成：(cossi)inzr=+的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：()[(cosisin)](cosisin)nnnzrrnnnN+=+=+，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法中正确的个数是（）（1）22||zz=（2）当1,3r

==时，31z=（3）当1,3r==时，13i22z=−（4）当1,4r==时，若n为偶数，则复数nz为纯虚数A．1B．2C．3D．4【答案】B【分析】直接利用棣莫弗定理结合三角函数值的求法

逐个分析判断即可【解析】解：对于（1），因为(cossi)inzr=+，所以22(cos2isin2)zr=+，所以2222,zrzr==，所以22||zz=，所以（1）正确，对于（2），当1,3r==时，co

ssin33zi=+，则3cosisin1z=+=−，所以（2）错误，对于（3），当1,3r==时，13cosisini3322z=+=+，则13i22z=−，所以（3）正确，对于（4），当1,4r==时，cosisin44z=+，则当4n=时，4c

osisin1z=+=−，所以（4）错误，所以正确的有2个，故选：B二、多选题9．已知i是虚数单位，2i1iz=−，则下列说法正确的是（）A．复数z对应的点位于第二象限B．2z=C．复数z的共轭复数是i1=+zD．复数z的虚部是i【答

案】AB【分析】由已知化简出复数z的关系式，然后根据复数的模，共轭复数以及虚部的定义对应各个选项逐个判断即可．【解析】解：因为2i2i(1i)1i1i(1i)(1i)z+===−+−−+，所以复数z对应的点为(1,1)−，在第二象限，

故A正确，且|||1i|2z=−+=，故B正确，复数z的共轭复数为1iz=−−，故C错误，复数z的虚部为1，故D错误，故选：AB．10．任何一个复数zabi=+（其中a、bR，i为虚数单位）都可以表示成：()cossinzri=+的形式，通常称之为复数z的三角形式

.法国数学家棣莫弗发现：()()()ncossincoissnnnzinrirnnN+==++，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（）A．22zz=B．当1r=，

3=时，31z=C．当1r=，3=时，1322zi=−D．当1r=，4=时，若n为偶数，则复数nz为纯虚数【答案】AC【分析】利用复数的三角形式与模长公式可判断A选项的正误；利用复数的棣莫弗定理可判断B选项的正误；计算出复数z，

可判断C选项的正误；计算出4z，可判断D选项的正误.【解析】对于A选项，()cossinzri=+，则()22cos2sin2zri=+，可得()222cos2sin2zrir=+=，()222

cossinzrir=+=，A选项正确；对于B选项，当1r=，3=时，()33cossincos3sin3cossin1ziii=+=+=+=−，B选项错误；对于C选项，当1r=，3=时，13cossin3322zii

=+=+，则1322zi=−，C选项正确；对于D选项，()cossincossincossin44nnnnzinini=+=+=+，取4n=，则n为偶数，则4cossin1zi=+=−不是纯虚数，D选项错误.故选：AC.【点睛】本题考查复数的乘

方运算，考查了复数的模长、共轭复数的运算，考查计算能力，属于中等题.三、填空题11．若复数2()1i(4i)6izmm=+−+−在复平面上所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是_______．【答案】()3,4【分析】()()224i6mmmzm−+−−=，

进而根据题意得224060mmmm−−−，再解不等式组即可得答案.【解析】解：()()2221i(4i)6ii()46zmmmmmm=+−+−−+−−=，因为复数2()1i(4i)6izmm=+−+−在复平面上所对应的点在第二象限所以224060mmmm−−−，解不

等式组得34m故答案为：()3,412．若复数z满足0zzzz++=，则复数33zi−−的最大值与最小值的乘积为___________．【答案】24【分析】设zabi=+，（,abR），结合条件0zzzz++=得z在复平面内对应点的轨迹，再由33zi−−

的几何意义求解即可．【解析】设zabi=+，（,abR）则由0zzzz++=,得2220aba++=，即()2211ab++=．复数z在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A−为圆心，以1为半径的圆，()()

223333ziab=−+−−−表示复数z在复平面内对应点到点(3,3)P的距离所以33zi−−最大值为22||1(13)(03)16PA+=−−+−+=．最小值为22||1(13)(03)14PA−=−−+−−=故最大值与最小值的乘积为2446=

故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题.13．设12cosisin33z=+，22sinicos266z=+，则12zz的三角形式为___________.【答案】222cosisin33

+【分析】先将12,zz化简，然后计算12zz，再转化为三角形式即可【解析】因为12cosisin13i33z=+=+，2221326sinicosii26622244z=+

=+=+，所以1226(13i)i44zz=++226632iii4444=+++26i22=−+132i22=−+222cosisin33=+

，故答案为：222cosisin33+14．对任意三个模长小于1的复数1z，2z，3z，均有22122331123zzzzzzzzz+++恒成立，则实数的最小可能值是______．【答案】10【分析】利用复

数的三角形式结合余弦函数的性质可得22122331123zzzzzzzzz+++的取值范围，从而得到实数的最小可能值.【解析】设()1111cosisinz=+，()2222cosisinz=+，()3333cosisinz=+，由题设有)()0,11

,2,3ii=.又()()()22122331121223231313coscoscoszzzzzz++=+++++()()()2121223231313+sinsinsin+++++，222222122313

=++()()()222123131321221323+2cos2cos2cos−+−+−，而()22222123123213zzzzzz==，所以()()()22122331123122313

42coscoscoszzzzzzzzz++++−+−+−，而()()()131223coscoscos3−+−+−，当且仅当123,,终边相同时等号成立，故221223311

2310zzzzzzzzz+++，所以10，故实数的最小可能值为10，故答案为：10.四、解答题15．已知复数()()211izmm=−++，mR．(1)若z对应复平面上的点在第四象限，求m的范围；(2)若z是纯虚数，求m的值．【答案

】(1)(),1m−−(2)1m=【分析】（1）由题知21010mm−+，再解不等式组即可；（2）由题知21010mm−=+，再解方程即可.（1）解：∵z对应复平面上的点在第四象限，∴21010mm−+，解得1m−.

∴(),1m−−（2）解：∵z是纯虚数，∴21010mm−=+，∴1m=16．已知复数izab=+，满足5z=，2z的实部为3，且z在复平面内对应的点位于第一象限.（1）求z､z和2zz+；（2）设z､z，2zz+在复平面内对应点

分别为,,ABC，试判断ABC的形状，并求ABC的面积.【答案】（1）2iz=+，2iz=−，26izz+=−；（2）ABC为直角三角形，面积为4.【分析】（1）根据复数运算、实部和模长的概念、复数对应的点可构造方程组求得,ab，由此可得所求复数；（2）

根据（1）的结果可得,,ABC，由勾股定理得ABBC⊥，可知三角形为直角三角形；由2AB=，4BC=可求得面积.【解析】（1）2222izabab=−+，223ab−=，z在复平面内对应的点位于第一象限，0a，0b，又225zab=+=，则由2222350,0ab

abab−=+=得：2a=，1b=，2iz=+，2iz=−，26izz+=−；（2）由（1）可得：()2,1A､()2,1B−､()6,1C−，2AB=，4BC=，25AC=，222ABBCAC+=，ABBC⊥，故ABC为直角三角形；ABC中，2AB=，4BC

=，ABC的面积142ABCSBABC==.17．已知a，bR，且方程20xaxb++=的一个根为1－i，复数1izab=+．(1)若复数()2113i2zmmm++−−在复平面内对应的点位于第三象限，求实数m的取值范围；(2)若232z=，且满足120zz，求复数2z．【答案】(1)

()1,1−；(2)233iz=−+.【分析】（1）由题可得()()21i1i0ab−+−+=，可得122iz=−+，然后利用条件可得210,20,mmm−−−即得；（2）设2=+zxyi，由题

可得2218xy+=，220220xyxy−++=，即得.【解析】（1）因为方程20xaxb++=的一个根为1－i，所以()()21i1i0ab−+−+=，即()()2i0aba++−−=，根据复数相等的定义得0,20,aba+=−−=解得2,2.ab=−=∴122iz=−+

，∴()()()222113i1i3i12i2zmmmmmmmmm++−−=−+++−−=−+−−，因为()2113i2zmmm++−−在复平面内对应的点位于第三象限，所以210,20,mmm−−−解得11m−，即实数m的取值范

围是()1,1−．（2）设2=+zxyi，x，yR，由上知122iz=−+．因为232z=，所以2218xy+=．①又因为()()()()1222ii2222i0zzxyxyxy=−−+=−+−+，故有220,220,xyxy−++=即0,,xyx

=−②由①②解得3,3,xy=−=所以233iz=−+．18．已知复数z满足2z=，2zz+=−，且z在复平面内对应的点在第二象限.（1）求复数z﹔（2）若复数满足1i1zz−−+，求在复平面内对应的点的集合构成图形的面积.【答案】（1）1iz=−

+；（2）面积为.【分析】（1）设izab=+(),abR,由题意列方程组，求出,ab的值即可求出结果.（2）设ixy=+(),xyR，求出1izz−+，然后根据复数模的几何意义即可求解.【解析】（1）设izab=+(),abR,因为

i+i=2zzababa+=+−，且2z=，2zz+=−，所以22222aba+==−，解得11ba==−或11ba=−=−，又因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以0b，所以11ba==−，故1iz=−+；（2）由（1）知1iz=−+，所以()

()()()2i12i1i12iiii1ii12i12i11255izz−−−−−−−−−−++−+−+−−−=====+，所以1i1zz−=+，设ixy=+(),xyR,则()1i11ixyxy−=+−=−+，因此()2211xy−+，即()2211xy−+，所以在复平

面内对应的点的集合构成图形是以()1,0为圆心，1为半径的圆上和圆的内部，其面积为.19．复数()222log33ilog(3)()zxxxx=−−+−R，设z在复平面上对应的点为Z.（1）求证：复数z不可能是纯虚数；（2）若

4log49iz=−，求x的值；（3）若点Z在第三象限，求x的取值范围；（4）若点Z在直线1122yx=+上，求x的值.【答案】（1）证明见解析；（2）5x=；（3）32142x+；（4）15x=.【分析】（1）令2331xx−−=，解得4x=或=1x−，根据纯虚数是概念，分

析判断，即可得证；（2）根据题意，可得()2224log33ilog(3)log49izxxx=−−−−=−，根据复数相等的条件，列出方程组，即可求得答案；（3）根据点Z在第三象限，可得()222log330log(3)

0xxx−−−，根据对数函数的性质，解不等式，即可得答案；（4）根据点Z在直线上，代入方程，可得()22211log(3)log3322xxx−=−−+，根据对数的运算性质，化简计算，即可得答案.【解

析】（1）证明：令2331xx−−=，解得4x=或=1x−，当=1x−时，不满足30x−，故舍去，当4x=时，虚部为2log10=，故z=0，不是纯虚数，所以复数z不可能是纯虚数；（2）由题意得：()2224log33ilog(3)log49izxxx=−−−−=−，所

以()22422log33log49log7log(3)1xxx−−==−=，所以233732xxx−−=−=，解得5x=.（3）若点Z在第三象限，则()222log330log(3)0xxx−−−，所以20331031xxx−−−，解得32142x+

.（4）若点Z在直1122yx=+上，则()22211log(3)log3322xxx−=−−+，所以()()222222log(3)log331log332xxxxx−=−−+=−−，所以()22233030(3)233xxxxxx−−−−=−−，解得15x=.【点睛】解题

的关键是熟练掌握复数的概念、几何意义等知识，并灵活应用，易错点为，对数的运算时刻保证真数大于零，考查分析计算的能力，属中档题.20．将下列复数化为三角形式：(1)3i−+；(2)13i−−；(3)2cosisin55−+；(4)2sinicos55+．【答案】(1

)552(cos+isin)66(2)442(cos+isin)33(3)662(cosisin)55+(4)332(cosisin)1010+【分析】求出各复数的模和辐角，化简成(cosisin)r+的形式即可得解.【解析】（1）553i

=2(cos+isin)66−+（2）4413i=2(cos+isin)33−−（3）662cosisin2(cosisin)5555−+=+（4）332sinicos2(cosisin)551010+=

+.21．求下列复数的模与辐角主值：(1)1i−+(2)2−(3)13i22−(4)22i22−+【答案】(1)模为2，辐角主值为34(2)模为2，辐角主值为(3)模为1，辐角主值为53π(4)模为1，辐角主值为34【分析】（1）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；（2）直

接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；（3）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值；（4）直接求出模，根据其对应的点可得辐角主值.(1)()221i112−+=−+=，其对应的点为()1,1−，辐角主值为34(2)22−=，其对应的点为()2,0−，辐角主值为(3)221313i12

222−=+−=，其对应的点为13,22−，辐角主值为53π(4)222222i12222−+=−+=，其对应的点为22,22−，其辐角主值为3422．已知()

cossin2icossinz=−+++（1）当为何值时，z取得最大值，并求此最大值；（2）若(),2，求argz（用表示）.注：argz是辐角主值.【答案】（1）()24kkZ=−时

，z取最大值22；（2）当7,4时，9arg28z=+；当7,24时，7arg28z=−.【分析】（1）求出21cos4z=++，即得解；（2）设argz=，tantan28=+，再对分7,4

和7,24两种情况讨论得解.【解析】（1）()()()22cossin2cossin422cossin21cos4z=−+++=+−=++所

以，当cos14+=时，即()24kkZ=−时，z取最大值22.（2）要求argz，可以把z写成三角形式，但较为困难，故可先求出argz的正切值.设argz=，则由于()zcossin2icossin21sinisin44

=−+++=+−+++所以2sinsin44tantan281cos21sin44++===++++−+

.因为(),2，所以z的实部21sin04=+−+，z的虚部2sin4=+.当7,4时，2sin04+

，z所对应的点位于第四象限.由于5828+，所以9arg2828z==++=+.当7,24时，2sin04+≥，z所对应的点位于第一象限（或x轴正半轴）.由于9288+，所以7ar

g2828z==+−=−.