【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第三章　3-2　3-2-2　第2课时　直线与双曲线的位置关系含解析【高考】.doc，共(11)页，1.029 MB，由小赞的店铺上传

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1第2课时直线与双曲线的位置关系课后训练巩固提升A组1.若直线y=k(x+)与双曲线-y2=1有且只有一个公共点,则k的不同取值有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:由已知可得,双曲线的渐近线方程为y=±x,顶点(±

2,0),而直线恒过(-,0),故有两条与渐近线平行,有两条切线,共4条直线与双曲线有一个交点,故选D.答案:D2.过双曲线=1(a>0,b>0)上任一点P引与实轴平行的直线,交两渐近线于M,N两点,则的值为()A.a2

B.b2C.2abD.a2+b2解析:设P(x0,y0),双曲线的渐近线方程为y=±x.令y=y0,得M,N,则=a2=a2.答案:A3.双曲线=1的被点P(2,1)平分的弦所在的直线方程是()A.8x-9y=7B.8x+9y=25C.4

x+9y=6D.不存在解析:点P(2,1)为弦的中点,由双曲线的对称性知,直线的斜率存在,设直线方程为y-1=k(x-2),将y=k(x-2)+1代入双曲线方程得2(4-9k2)x2-9(2k-4k2)x-36k2+36k-45=0,4-9k2≠0.Δ=[-9(2k-4k2

)]2-4(4-9k2)(-36k2+36k-45)>0,x1+x2==4,解得k=.代入Δ得Δ<0,故不存在直线满足条件.答案:D4.已知双曲线=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线的离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)∪(,+∞)C.(,+∞)D.[,+∞)解析

:双曲线的第一、三象限渐近线的斜率k=,要使双曲线=1和直线y=2x有交点,只要满足>2即可,故>2,>2,e>.答案:C5.(多选题)若ab≠0,则ax-y+b=0和bx2+ay2=ab所表示的曲线不可能是下图中的()解析:原方程分别可化为y=ax+b和=1.从B,D中的两椭圆看,a>0,b

>0,但由B中的直线可得a<0,b<0,矛盾,故B不可能;从D中的直线可得a<0,b>0,矛盾,故D不可能.由A中的双曲线可得a<0,b>0,但由直线可得a>0,b>0,矛盾,故A不可能.由C中的双曲线可得a>0,b<0,由直线可得a>0,b<0,故C有可能.答案:ABD36.已知直

线l:y=k(x-)与曲线x2-y2=1(x>0)相交于A,B两点,则直线l的倾斜角的范围是.解析:由得x2-k2(x-)2=1,即(1-k2)x2+2k2x-2k2-1=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由

题意知解得k2-1>0,即k>1或k<-1,故直线的倾斜角范围是.答案:7.过双曲线2x2-y2=6的左焦点F1,作倾斜角为30°的直线交双曲线于A,B两点,则|AB|=.解析:由双曲线的方程得,两焦点分别为F1(-3

,0),F2(3,0).因为直线AB的倾斜角是30°,且直线过左焦点,所以直线AB的方程是y=(x+3),联立,得方程组消去y,得5x2-6x-27=0,解这个方程得x1=3,x2=-,分别代入直线AB的方程,得y1=2,y2=,4所以A,B的坐标分别为(3,2),.所以|A

B|===.答案:8.已知双曲线的中心在原点,一个焦点坐标为F(,0),直线y=x-1与其相交于M,N两点,MN中点的横坐标为-,则双曲线的方程为.解析:由题意知中点坐标为-,-,设双曲线方程为=1,M(x1,y1),N(x2,y2),则=1,①=1,②①

-②,得,即,得,解得a2=2,故双曲线方程为=1.答案:=19.给定双曲线x2-=1,过点B(1,1)是否能作直线m,使它与所给的双曲线交于两点Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?若存在,求出m的方程;若不存在,请说明理由.解:假设存在直线m过点B与双曲线交于Q1,Q2,

且B是Q1Q2的中点.当直线m的斜率不存在时,显然只与双曲线有一个交点;5当直线m的斜率存在时,设直线m的方程为y-1=k(x-1),由知(2-k2)x2+(2k2-2k)x-(k2-2k+3)=0,设该方程的两根为x1,x2,由根与系数的关系,得x1+x2==2,解得k=2.

当k=2时,Δ=(2k2-2k)2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-8<0,因此不存在满足题意的直线.10.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若直线l与双曲线C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若直线l与双曲线C的两支交于A,B两点,O是

坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.解:(1)由消去y整理,得(1-k2)x2+2kx-2=0.由题意知解得-<k<,且k≠±1.故实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).(2

)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)得x1+x2=-,x1x2=-.又直线l恒过点D(0,-1),且x1x2<0,则S△OAB=S△OAD+S△OBD=|x1|+|x2|=|x1-x2|=.所以(x1-

x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=(2)2,即=8.解得k=0或k=±,6由(1)知上述k的值符合题意,所以k=0或k=±.B组1.若双曲线x2-y2=1右支上一点P(a,b)到直线l:y=x的距离d=,则a+b=()A.-B.C.或

-D.2或-2解析:由题意可知a2-b2=1成立,且,解方程组可得a+b=.答案:B2.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为N(-12,-15),则E的方程为()A.=1B.=1C

.=1D.=1解析:∵kAB==1,∴直线AB的方程为y=x-3.∵双曲线的焦点为F(3,0),∴c=3,c2=9.设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),则=1,整理,得(b2-a2)x2+6a2x-9a2

-a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2==2×(-12),∴a2=-4a2+4b2,∴5a2=4b2.7又a2+b2=9,∴a2=4,b2=5.∴双曲线E的方程为=1.答案:B3.设A1,A2分

别为双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右顶点,若双曲线上存在点M使得两直线斜率<2,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,)B.(1,)C.(,+∞)D.(1,2)解析:设M(x,y),由题意得A1(-a,0),A2(a,0),则,则.又因为点M在双曲线上,所以=1⇒y

2=b2,代入中可得<2⇒=e2-1<2⇒e<,又e>1,故选B.答案:B4.设双曲线=1的右顶点为A,右焦点为F,过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B,则△AFB的面积为.解析:如图,由双曲线的对称性,不妨设k

BF>0.双曲线的渐近线方程为y=x,F(5,0),8∴直线过F且斜率为,∴方程是y=(x-5).由=1,即10x=34,x=,y=-,而|AF|=c-a=5-3=2,∴S△AFB=·|AF|·|y|=×2×.答案:5.已知

直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,则实数m的值是.解析:由消去y得x2-2mx-m2-2=0,则Δ=4m2+4m2+8=8m2+8>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2

m=4m,所以线段AB的中点坐标为(m,2m).又点(m,2m)在圆x2+y2=5上,所以m2+(2m)2=5,解得m=±1.答案:±16.已知双曲线C:=1(a>0,b>0)的离心率为,右焦点为F,若过点M(1,0)且斜率为1的直线l与双曲线C交于A,B两点,且=4,则此双曲线的方程为

.9解析:由e=,得c2=3a2,又c2=a2+b2,则b2=2a2.直线l的方程为y=x-1,将其代入=1得x2+2x-1-2a2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=-2,x1x2=-1-2a2,y1y2=x1x2-(x1+x2)+1=-2a2+2.又F(a,0),则=

(x1-a,y1),=(x2-a,y2),得=x1x2-a(x1+x2)+3a2+y1y2=4,则a2-2a+3=0,从而a=,则a2=3,b2=6,故所求的双曲线方程为=1.答案:=17.已知直线y

=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A,B两点.(1)求线段AB的长;(2)当a为何值时,以AB为直径的圆经过坐标原点?解:由得(3-a2)x2-2ax-2=0.由题意可得3-a2≠0.设A(x1,y

1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.(1)|AB|====.(2)由题意知,OA⊥OB,则=0,10即x1x2+y1y2=0,x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0.即(1+a2)x1x2+a(x1+x2)+1

=0,故(1+a2)·+a·+1=0,解得a=±1.经检验,当a=±1时,以AB为直径的圆经过坐标原点.8.已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0).(1)求双曲线C的方程;(2)若直线l:y=kx+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且>2,其中O为原点,求k的取值范围

.解:(1)设双曲线C的方程为=1(a>0,b>0),由已知得a=,c=2.又因为a2+b2=c2,所以b2=1,故双曲线C的方程为-y2=1.(2)将y=kx+代入-y2=1中,得(1-3k2)x2-6kx-9=0.由直线l与

双曲线交于不同的两点得,即k2≠,且k2<1.①设A(xA,yA),B(xB,yB),则xA+xB=,xAxB=,由>2,得xAxB+yAyB>2,11而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB

)+2=(k2+1)·+2=,于是>2,解此不等式得<k2<3.②由①②得<k2<1.故k的取值范围是.