【文档说明】《2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）》专题17 向量中的隐圆问题（解析版）.docx，共(28)页，1.741 MB，由envi的店铺上传

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专题17向量中的隐圆问题【考点预测】一．向量极化恒等式推出的隐圆乘积型：=PBPA定理：平面内，若BA,为定点，且=PBPA,则P的轨迹是以M为圆心241AB+为半径的圆证明：由=PBPA，根据极化恒等式可知，=−2241ABPM，所以

+=241ABPM，P的轨迹是以M为圆心241AB+为半径的圆．二．极化恒等式和型：=+22PBPA定理：若BA，为定点，P满足=+22PBPA,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB−为半径的圆。)021(2−AB证明：=+=+]

)21([22222ABPMPBPA，所以2212ABPM−=，即P的轨迹是以AB中点M为圆心，2212AB−为半径的圆．三．定幂方和型若BA，为定点，=+=+=+222222nPBmP

AnmPBPAnPBmPA，则P的轨迹为圆．证明：()()nycxycxmnPBmPA=+−+++=+][][2222220)1()1(2))(1(222=−++−+++ncmxmcyxm01)1(1)1(2222=+−+++−++mnmcxmcmyx．四．与向量模相关构成隐圆

【典例例题】例1．（2022·江苏·扬中市第二高级中学模拟预测）已知a与b为单位向量，且a⊥b，向量c满足||2bca−−=rrr，则|c|的可能取值有（）A．6B．5C．4D．3【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐

标系，由向量的坐标计算公式可得(1,1)cabxy−−=−−，进而由向量模的计算公式可得22(1)(1)4xy−+−=，分析可得C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，结合点与圆的位置关系分析可得答案．【详解】根据题意，设OAa=，OBb=，OCc=，以O为坐标原点，OA的方向为x轴

正方向，OB的方向为y轴的正方向建立坐标系，则(1,0)A，(0,1)B，设(,)Cxy，则(1,1)cabxy−−=−−，若||2bca−−=rrr，则有22(1)(1)4xy−+−=，则C在以(1,1)为圆心，半径为2的圆上，设(1,1)为点M，则||2OM=，则有||||||rOMO

CrOM−+剟，即22||22OC−+剟，则||c的取值范围为22,22−+；故选：D．例2．（2022·全国·高三专题练习）在ABC中，3,4,90ACBCC===．P为ABC所在平面内的动点，且1PC=，则PAPB的取值范围是（）A．[

5,3]−B．[3,5]−C．[6,4]−D．[4,6]−【答案】D【解析】【分析】依题意建立平面直角坐标系，设()cos,sinPθθ，表示出PA，PB，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性

质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则()0,0C，()3,0A，()0,4B，因为1PC=，所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动，设()cos,sinPθθ，0,2，所以()3cos,sinPA=−−，()cos,4sinPB=

−−，所以()()()()cos3cos4sinsinPAPB=−−+−−22cos3cos4sinsin=−−+13cos4sin=−−()15sin=−+，其中3sin5=，4cos5=，因为()1sin1

−+，所以()415sin6−−+，即4,6PAPB−；故选：D例3．（2022·山东·德州市教育科学研究院三模）已知平面向量(2,0)a=，(0,1)b=r，且非零向量c满足(2)()acbc−⊥−，则cr的最大值是（）A．1B．2C

．3D．2【答案】B【解析】【分析】设(,)cxy=，由(2)()acbc−⊥−得22111222xy−+−=，将cr转化为()0,0和圆上点(),xy之间的距离，即可求出最大值.【详解】设(,)cxy=，则2(22,2),(,1)acxybcx

y−=−−−=−−，()()()()22(2)()222122220acbcxxyyxxyy−−=−−+−−=−+−=，整理得22111222xy−+−=，则点(),xy在以11,22为圆心，22为半径的圆上，则22cxy=+r表示()

0,0和圆上点(),xy之间的距离，又()0,0在圆22111222xy−+−=上，故cr的最大值是2222=.故选：B.例4．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量a，

b，c，满足2abab===，且()()20acbc−−=，则ac−的最小值为（）A．312−B．732−C．32D．72【答案】B【解析】【分析】根据向量数量积的夹角公式可得π3ab=rr，设()1,3A，()2,0B，(),Cxy，()2,0b=，()1

,3a=，(),cxy=，根据数量积的坐标表示可得点(),Cxy的轨迹为圆M，由几何意义可知：ac−的最小值为MA减去半径R即可求解.【详解】因为2abab===，所以21cos222ababab===

rrrrrr，因为0πabrr，所以π3ab=rr不妨设()1,3A，()2,0B，(),Cxy，()=2,0bOB=，()1,3aOA==，(),cOCxy==，则()2,bcxy−=−−，(

)212,32acxy−=−−，因为()()20acbc−−=，所以()()()212320xxyy−−−−=，化简为：22533444xy−+−=，所以(),cxy=对应的点(),Cxy是以53,44M为圆心，半径

为32R=的圆，所以ac−的最小值为2253373134422MAR−−=−+−−=，故选：B.例5．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量a，b，c，满足=2ab=，a与b的夹角为6

0，且2230cac−+=，则bc+rr的最小值为（）A．31−B．1C．3D．231−【答案】D【解析】【分析】由题意可得24a=，将原等式化为2221caca−+=，得出2()1ac−=，设()(13)(20)cxyab===，，，，，，进而得出

22(1)(3)1xy−+−=，表示以(13)C，，半径为1的圆；而2min(2)bcxy+=++表示圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，利用数形结合的思想即可解得答案.【详解】由题意知，260abab===，，，则24a=，由2230cac−+=可得2221

caca−+=，即2()1ac−=，设()(13)(20)cxyab===，，，，，，则(13)(2)acxybcxy−=−−+=+，，，，所以222(1)(3)1(2)xybcxy−+−=+=++，，所以()cxy=，表示以(13)C，，半径为1的圆，2(2)bc

xy+=++表示圆C上的点()xy，到定点B(-2，0)的距离，而bc+rr的最小值即为圆心到定点B(-2，0)的距离减去半径，如图所示，又22=(12)(30)23BC++−=，所以min1231bcBC+=−=−.故选：D例6．（2022·全国·高三专题练习）已知ABCD是

边长为2的正方形，P为平面ABCD内一点，则()PAPBPC+的最小值是（）A．2−B．52−C．3−D．4−【答案】B【解析】【分析】根据给定条件建立平面直角坐标系，利用向量运算的坐标表示即可计算

作答.【详解】ABCD是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则(0,0),(2,0),(2,2)ABC，设点(,)Pxy，(,),(2,),(2,2)PAxy

PBxyPCxy=−−=−−=−−，于是得：)(22,2)(2,2)2(1)(2)2(2)(PAPBPCxyxyxxyy+=−−−−=−−−+=22352()2(1)22xy−+−−，当3,12xy==时，()PAPBPC+取得最小值52−，所

以()PAPBPC+的最小值是52−.故选：B例7．（2022·江西·新余市第一中学模拟预测（理））已知平面向量,,abc满足24baab===，()()3cacb−+=−，则ca−的最小值为（）A．21−B．712−C．52−D．72−【答案】D【解析】【分析】根据

已知条件可得4b=，2a=，π,3ab=，设()2,0OAa==，()2,23OBb==，(),OCxyc==uuurr，可得点(),Cxy的轨迹为圆，由圆的性质即可求解.【详解】因为24baab===，所以4b=，2a=，4

1cos,242ababab===，因为0,πab，所以π,3ab=，设()2,0OAa==，()2,23OBb==，(),OCxyc==uuurr，()2,caxy−=−，()2,23cbxy+=++，所以()()()()()22233cacbxxyy−+=−+++=−，即()2

234xy++=，所以点(),Cxy在以()0,3M−为圆心，半径2r=的圆上，()222caxy−=−+表示圆()2234xy++=上的点(),xy与定点()2,0A的距离，所以ca−的最小值为()()220230272MAr−=−+−−−=−，故选：D.例

8．（2022·全国·高三专题练习）设向量a，b，c满足||||1ab==，12ab=，()()0acbc−−=，则||c的最小值是（）A．312+B．312−C．3D．1【答案】B【解析】建立坐标系，以向量a，b的角平分

线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别为31,22，3,221−，设c的坐标为(),xy，由已知可得223124xy−+=，表示以3,02为圆心，12为半径的圆，求出圆心到原点的距离，再减去半径即为所求【详解】解：建

立坐标系，以向量a，b的角平分线所在的直线为x轴，使得a，b的坐标分别为31,22，3,221−，设c的坐标为(),xy，因为()()0acbc−−=，所以3131,,02222xyxy−−−−−=

，化简得223124xy−+=，表示以3,02为圆心，12为半径的圆，则||c的最小值表示圆上的点到原点的距离的最小值，因为圆到原点的距离为32，所以圆上的点到原点的距离的最小

值为3122−，故选：B【点睛】此题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是写出满足条件的对应的点，考查数学转化思想，考查数形结合的思想，属于中档题例9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c满足

4a=，a在b方向上的投影为2，()3cca−=−，则||bc−的最小值为（）A．31−B．31+C．232−D．232+【答案】A【解析】【分析】设a，b向量的夹角为，可得2cosa=，即可求出，不妨设()2,23aOA==，()(),00bOBmm==，设(),cOCxy==，由()

3cca−=−，整理可知点C的轨迹是以()1,3为圆心，半径1r=的圆，而()22||bcmxyBC−=−+=，结合圆的性质，可求出BC的最小值.【详解】设a，b向量的夹角为，则cos2a=，则22

1cos42a===，因为0,π，所以π3=.不妨设()2,23aOA==，()(),00bOBmm==，设(),cOCxy==，则()()(),2,233ccaxyxy−=−−=−，整理得()()22131xy−+−=，所

以点C的轨迹是以()1,3为圆心，半径1r=的圆，记圆心为D，又(),bcmxy−=−−，即()22||bcmxyBC−=−+=，当直线BC过圆心D，且垂直于x轴时，BC可取得最小值，即min331BCr=−=−.故选：A.【点睛】本题考查向量的模，考查向量的数量积及向量的投影，注意利用

数形结合的方法，属于难题.例10．（2022·全国·高三专题练习）已知ABC是边长为43的等边三角形，其中心为O，P为平面内一点，若1OP=，则PAPB的最小值是A．11−B．6−C．3−D．15−【答案】A【解析】【分析】作出图像如下图所示，取AB的中点为D，由1

OP=，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，再由公式()()()()22222+21244PAPBPAPBPDABPAPBPD−−−===−，可得选项.【详解】作出图像如下图所示，取AB的中点为D，则3143223OD==，因为1O

P=，则P在以O为圆心，以1为半径的圆上，则()()()()22222+21244PAPBPAPBPDABPAPBPD−−−===−.又PD为圆O上的点P到D的距离，则min211PD=−=，∴PAP

B的最小值为11−.故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积的最值，转化法是解决此类问题的常用方法，属于中档题.例11．（2022·陕西·西北工业大学附属中学高三阶段练习（理））已知e为单位向量，向量a满足：()()50ae

ea−−=，则ae+的最大值为（）A．4B．5C．6D．7【答案】C【解析】【分析】可设()1,0e=r，(),axy=r，根据()()50aeea−−=，可得,xy的关系式，并得出,xy的范围，()221axye+=++，将y用x表示，再根据函

数的最值即可得解.【详解】解：可设()1,0e=r，(),axy=r，则()()()()221,5,6055aeexyxayxxy=−−=−++−−=，即()2234xy−+=，则15x≤≤，22y−≤≤，()22184axyxe+=++=−，当5x=时，84

x−取得最大值为6，即ae+的最大值为6.故选：C例12．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a，b，c为平面向量，21abab===，且c使得2ca−与−cb所成夹角为60，则cr的最大值为（）A．31+B．3C．1D．71+【答案】A【

解析】【分析】先根据已知条件求出向量a，b的夹角，建立平面直角坐标系，设13,22A，()10B,，设OAa=，OBb=，2OAa=，根据线性运算可得2cACa=−，cbBC−=，60ACB=，结合

正弦定理可求出点C的轨迹，当,,CMO三点共线时取得最大值，即可求解.【详解】因为21abab===，所以2cos1abab=，可得1cos2ab=，因为0180ab，所以60ab=，如图所示：在平面直角坐标系中，

13,22A，()10B,，不妨设OAa=，OBb=，延长OA到OA使得OAAA=，则2OAa=，点C为平面直角坐标系中的点，OCc=，则2cACa=−，cbBC−=，则满足题意时，60ACB=，结合点A，B为定点，且3AB=，由正弦定

理可得：2sin60ABR=，可得1R=，则点C的轨迹是以33,22M为圆心，1为半径的优弧上，当,,CMO三点共线，即点C位于图中点I位置时，cr取得最大值，其最大值为223313122OMR

+=++=+，故选：A.例13．（2022·北京市第十二中学三模）ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小为120，若1BD=，CEEA=，则ADBE的最小值为___________.【答案】33−−【解析】【分析】以点

B为坐标原点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立平面直角坐标系，设点()cos,sinD，利用平面向量数量积的坐标运算以及余弦函数的有界性可求得ADBE的最小值.【详解】因为ABC是边长为2的等边三角形，且CEEA=，则E为AC的中点，故BEAC⊥，以点B为坐标原

点，BE、EA分别为x、y轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，则()3,1A、()3,0E、()0,0B，设点()cos,sinD，()3,0BE=，()cos3,sin1AD=−−，所以，()3co

s333ADBE=−−−，当且仅当cos1=−时，等号成立，因此，ADBE的最小值为33−−.故答案为：33−−.例14．（2022·江苏泰州·模拟预测）平面向量,,abc满足1,2ab==，a与

b的夹角为60，且()()20cacb−−=则||c的最小值是___．【答案】31−##13−+【解析】【分析】设()1,0a=，()1,3b=，设(),OCcxy==，根据()()20cacb−

−=结合数量积的运算求得C的轨迹是以33(,)22M为圆心，1为半径的圆,利用||c的几何意义可求得答案.【详解】由题意不妨设O为坐标原点，令()1,0a=，()1,3b=，设(),OCcxy==，由于()()20cacb−−=,∴(2

,)(1,3)0xyxy−−−=，∴223230xxyy−++−=，即2233122xy−+−=，故C的轨迹是以33(,)22M为圆心，1为半径的圆,故min||||131cOM=−=−，故答案为：31−例15．（2022·浙江嘉兴·模拟

预测）平面向量,,,abcd满足||||21,(2)(),|4|2ababcabdb====+−+=R，则||cd+的最小值为_________．【答案】32−【解析】【分析】设,,,aOAbOBcO

CdOD====−，利用平面向量的几何意义及平面向量等和线定理进行求解.【详解】解析：几何意义+等和线由题记,,,aOAbOBcOCdOD====−，则由||||21abab===，得||||1OAOB==，且3AOB=．作图，如右图所示：,,AOBABNBMN为正三角形，O

MME=，由(2)cab=+−，得C在直线MN上，又∵4dbODOEDE+=−+=，∴|||4|2DEdb=+=，即点D在以点E为圆心，2为半径的圆上，∴||||||32cdOCODDC+=−=−．故答案为：3

2−．例16．（2022·浙江金华·三模）已知平面向量a，b，c满足1cacbab====，当()()acbc−−取到最小值吋，对任意实数，()1ab+−的最小值是___________．【答案】14

2−##482【解析】【分析】构造单位圆，设出向量OAa=，OBb=，OCc=，由题设得到CA、CB是圆O的两条切线，1||=cosc，从而由当()()acbc−−取到最小值时，求得14cos2−=，结合()1ab+

−表示的是以O为起点，终点在AB上的向量，可求得答案.【详解】如图，设,OAOB为单位圆O的两条半径，记OAa=，OBb=，OCc=，设=,(0,)2AOCBOC=，由题意1cacbab====，可知CA、CB是圆O的两条切线，则1||=c

osc，故()()2212cos22cosacbccab−−=+−=+−2212cos3223cos=+−−，当且仅当2212coscos=，即22cos2=时取“＝”，此时14cos2−=，因为()1ab+−表示的是以O为起点，终点在AB上的向

量，故当该向量垂直于向量AB时，其模()1ab+−最小，记ABOCD=，则⊥ODAB，则()14min1||1cos2abOD−+−===，故答案为：142−例17．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知平面向量abc、、满足：

a与b的夹角为()()2,0,23cacbab−−=+=，记M是cab−−的最大值，则M的最小值是__________．【答案】312+【解析】【分析】设,,,OAaOBbOCcE===为AB中点，令||,||,||2,||axbyABrOEt====，

结合图形，利用向量的线性运算求出max||||||cMabEOEC=−−=+，转化为函数求最小值即可.【详解】如图，设,,,OAaOBbOCcE===为AB中点，令||,||,||2,||axbyABrOEt====，则2π,23xA

OBy=+=①，因为1(),2OEOAOBABOBOA→→→→→→=+=−，故有222211||||42OAOBOEABxytr=−−=−，222222224cos44()2xyrAOBxyxyrrxyxyxy+−=−=+−=+−②，由①②得214xyr

=−，从而22]131,(0,124trxyxyxy=−=−，因为()()0cacb−−=，所以ACBC⊥，即点C在以AB为直径的圆E上.|||()||2|||||||cabcabOEECOEEOECEOEC−−=−+=+−=++，max3113||||||11442cabEOECtrx

yxyM+=−−=+=+=−+−，当且仅当||||1ab==时，即1xy=时等号成立.故答案为：312+【点睛】关键点点睛：在平面上分别作出向量对应的有向线段，利用极化恒等式得出221||||4OAOBOEAB=−，联立方程后可得214xyr=−，2]31,(0,

14txyxy=−是解题的关键，再将向量模用xy表示出来，即可利用函数单调性求最值.例18．（2022·浙江·慈溪中学模拟预测）已知平面向量,ab满足||3||3ba==，若()()223Rcab=−+，且||||cacabb=，则cos,3aac−的最小值为__________

_.【答案】357【解析】【分析】根据题意作出图形，设aOA=，bOB=，cOC=，12OAa=，23aOA=，13=bOB，则()()111RcOAOB=−+，再根据题意得点C是直线11AB与AOB的角平分线的交点，得到11113162===BCO

BCAOA，进而得到2cos,3cosaacCAO−=，求解计算即可.【详解】如下图所示，设aOA=，bOB=，cOC=，12OAa=，23aOA=，13=bOB，因为(22)3(R)cab=−+，所以()()111RcOAOB=−+，因此点C在直线11AB上，又由于||||

cacabb=，因此OC是AOB的角平分线，因此点C是直线11AB与AOB的角平分线的交点.根据角平分线的性质可11113162===BCOBCAOA.过点C作1OB的平行线交1OA于点M，则11122,233====OMOACMOB.因此点C在以M为圆心，

半径为2的圆上运动由于22cos,3cos,cosaacOACACAO−==，由此当直线2AC相切于M时，2CAO有最大值，2cosCAO有最小值.设此时切点为0C，则02MC=，27MA=，故0235cos7=CAO.综合上述，cos,3aac−的最小值为357.故答案为：357.【点

睛】与平面向量有关的最值问题，常见处理方法有两种：第一种：利用坐标进行转化；第二种：利用点的几何意义转化成轨迹问题求解.例19．（2022·辽宁·一模）已知向量a、b、c，且3a=，5b=，1c=，0ab=，则ab

c+−的最小值为______．【答案】341−##134−+【解析】【分析】根据题意，建立直角坐标系，写出a、b、ab+坐标，求出c终点轨迹，数形结合即可求解.【详解】不妨设()3,0a=，()0,5b=，()3,5ab+=，1c=，则c起点在原点，终

点轨迹为单位圆221xy+=，∴当ab+与c同向时，abc+−最小，为22351+−=341−.故答案为：341−.例20．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知平面向量a，b和单位向量1e，2e

满足1e2e=−ur，12121322aeeaeebae−+=+−=++=rururrururrrur，，，当a变化时，b的最小值为m，则m的最大值为__________.【答案】23【解析】【分析】设()()211,0,1,0eOAeOB==−

==uruururuuur，(),aOFxy==ruuur，由条件得出点F的轨迹方程，又设1,2bOEeOD==ruuururuuur,即,2OEOFOD=+uuuruuuruuur由条件可得,,EFD三点共线，根据几何关系可得答案.

【详解】设()()211,0,1,0eOAeOB==−==uruururuuur，(),aOFxy==ruuur则()122,aeexy−+=+rurur，()122,aeexy+−=−rurur由12123

aeeaee−+=+−rururrurur，则()()2222292xyxy++=−+即225924xy−+=即点F在圆225924xy−+=上.由122bae=++=r

rur，，即()12122bae=++=rrur，设1,2bOEeOD==ruuururuuur,即,2OEOFOD=+uuuruuuruuur由12+=，则,,EFD三点共线.当OEDF⊥时，b取得最小值

m故当DF与圆225924xy−+=相切时,m取得最大值.如图设圆心为5,02C，由DOE△与DCF相似则OEODCFCD=，即2329232ODOECFCD===故答案为：23例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习

）已知平面向量,,abc满足：1abab−=+，1ac==，则3abc−+的最小值为___________．【答案】221−##122−+【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设()=1,0OAa=，()=,OBbxy=，求出B的轨迹

方程，再根据3abc−+的几何意义求其最小值.【详解】如图，在平面直角坐标系中，设()=1,0OAa=，()=,OBbxy=，则A(1，0)，B(x，y)，则()1,abxy−=−，2221(1)14ababxyxyx−=+−+=+=，即B

的轨迹为抛物线：24yx=.设0()3,A，则3aOA=，3ab−＝BA，设cAC=，∵1c=，故C的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴3abcBC−+=，可看作抛物线上任意点B到以0()3,A为圆心，半径为1的圆上任一点C的距离，则221(3)1BCBAxy−=−+−22(

3)41(1)81221xxx=−+−=−+−−，当1x=时取等号.故3abc−+的最小值为221−.故答案为：221−.例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．若22420aaee−+=，22320b

ebe−+=，则2222aabb−+的最大值为_______．【答案】7【解析】【分析】作OAa=，OBb=，OEe=uuurr，2OCe=，分析可知则点B在以线段CE为直径的圆D上，点A在以点C为圆心，2为半径的圆C上，可得222222aBabbAOB−=

++，设BCE=，利用圆的几何性质结合二次函数的基本性质可求得2222aabb−+的最大值.【详解】因为22420aaee−+=，则222ae−=，即22ae−=，因为22320bebe−+=，即()()20bebe−−=，作OAa=，OBb=，OEe=uu

urr，2OCe=，则22aeCA−==，()()20bebeEBCB−−==，则EBCB⊥，固定点E，则E为OC的中点，则点B在以线段CE为直径的圆D上，点A在以点C为圆心，2为半径的圆C上，如下图所示

：()22222222222aBabbabbBAOBCOB=−+=+−+++，设BCE=，则cosBC=，因为2OC=uuur，()222222cos43cosOBCBCOCBCBCOCO=−=−+=−，故()()2222222cos243co22saBabbBCO

++−+=++−2222cos22cos62cos772=−++=−−+，当2cos2=时，等号成立，即2222aabb−+的最大值为7.故答案为：7.【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法：（1）

求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用22aa=，勿忘记开方；（2）22aaaa==或2aa=，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化；（3）一些常见的等式应熟记

：如()2222abaabb=+，()()22ababab=+−−等.例23．（2022·浙江·舟山市田家炳中学高三开学考试）已知向量a与b的夹角为，27sin7=，||4ab−=，向量,cacb−−的夹角为2

，||23ca−=，则ac的最大值是___________.【答案】25【解析】【分析】根据题意作出图形，根据正弦定理可求出7OP=.记线段AC的中点为M，AB的中点N，在RtPAN△中，可求出23c

os,sin77PABPAN==，从而可求出3coscos627PAMPAB=+=，然后在PAM△中，根据余弦定理求出27PM=，从而可求出221254acOAOCOMCA==−.【详解】如图，作圆P，使得274,sin7ABAOB==，且点O在优弧A

B上，点C满足,23ACBCAC⊥=，则,,OAaOBbOCc===，符合题意.记线段AC的中点为M，在OAB中，由正弦定理，得172sinABOPAOB==，取AB的中点N，连接PN，在RtPAN△中，7PAOP==，2AN=，所以23cos,sin77PABPAN

==，所以3coscos627PAMPAB=+=，在PAM△中，由余弦定理，得2222cos7PMPAAMPAAMPAM=+−=，且27OMOPPM+=，因为2OAOCOM+=，OAOCCA−=uuruuuruur，所以,1122

OAOMCAOCOMCA=+=−，所以22111224acOAOCOMCAOMCAOMCA=−−=−=2325OM=−，当且仅当点P在线段OM上时，等号成立所以ac的最大值是25.故答案为：25.例24．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量,,,a

bcd满足||||2,,|2|2ababbc==⊥+=，若()(2)4dadb−+，则||cd+的最大值是__________．【答案】104+##410+【解析】【分析】由已知条件可设(2,0),(0,2)aOAbOB====，,2,cOCdODbOE==−=．由已知可确定点C在以(

0,1)N−为圆心，1为半径的圆上，D在以(1,2)M−为圆心3为半径的圆内（含边界），则所求即为圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，从而可得答案.【详解】∵0ab=，∴ab⊥，又||||2==rrab，则可设(2,0),(0,2)aOAbOB====，设,2,cOCdODbOE==

−=．由1|2|212bccb+=−−=知C在以(0,1)N−为圆心，1为半径的圆上，取AE的中点为(1,2)M−，由()(2)()()()()dadbODOAODOEADEDAMMDEMMD−+=−−==++22()()MADMMADMDMMA=−+−=−,又

=25AE，所以222()(2)54||3dadbDMMADMDM−+=−=−所以D在以(1,2)M−为圆心3为半径的圆内（含边界），如图所示．作圆N关于x轴的对称圆圆P，其中(0,1)P，则|||()|cddc+=

−−表示圆面M内一点与圆P上一点之间的距离，所以12|||()|||1013104cddcCDMPrr+=−−=++=+++=，即||cd+的最大值为104+．故答案为：104+．例25．（2022·四川省泸县第四中学模拟预测（理））已知,ab是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足()(

)20acbc−−=，则c的最大值是_________．【答案】52【解析】【分析】由题意可设,ab的坐标，设(,)cxy=，利用()()20acbc−−=求得(,)cxy=的终点的轨迹方程，即可求得答案.【详解】因为,ab是平面内两个互相

垂直的单位向量，故不妨设(1,0),(0,1)ab==，设(,)cxy=，由()()20acbc−−=得：(1,)(2,12)0xyxy−−−−=，即2(1)(12)0xxyy−−−−=，即22115()()2416xy−+−=，

则c的终点在以11(,)24为圆心，半径为54的圆上，故cr的最大值为221155()()2442++=，故答案为：52例26．（2022·全国·模拟预测）已知a，b满足1a=，2b=，则22abab++−的最大值为_____

_．【答案】4【解析】【分析】1a=，2b=，得到1a=，22a=，从而画图，点A，B在以原点为圆心，以2为半径的圆上，作出平行四边形，利用差向量与和向量分别为平行四边形的两条对角线向量，结合三角函数有关公式和性质求得结果.【详解】因为1a=，2b=，如图，

圆O的半径为2，点A，B在圆上，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，设2OAa=，OBb=，则2BAab=−，2OCab=+．设02AOC=，则2222cos22sin4sin4ababOCBA++

−=+=+=+，当4=时，4sin4+有最大值，最大值为4，此时，22abab++−的最大值为4．故答案为：4.例27．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线l过定点

()1,2−，过点()1,0P−作l的垂线，垂足为M，已知点()2,1N，则MN的最大值为______．【答案】32【解析】【分析】设(,)Mxy，应用坐标表示出AM、PM，利用向量垂直的坐标表示列方程求得M的轨迹为圆，问题转化为定点到圆上点距

离最大.【详解】设(,)Mxy，若()1,2A−，则(1,2)AMxy=−+，(1,)PMxy=+，所以22120AMPMxyy=−++=，故M的轨迹为22(1)2xy++=.轨迹是圆心为(0,1)−，半径为2的圆，则最大22(20)(11)232MN=−+

++=.故答案为：32例28．（2022·浙江温州·二模）已知a，b，c是非零平面向量，2a=，1ab−=rr，()20cbb−=，bc=，则acarrr的最大值是_________.【答案】21+##12+【解析】【分析】分析题目条件，利用向量的数量积结合几何

性质解题【详解】由题，令,aOAbOBcOC===，，则111abOAOBBA−=−==rruuruuuruur,因为2a=，令()2,0a=，根据几何性质，点B在以()2,0为圆心，1为半径的圆上，()2202cbbcbb−==，又因为bc=，利用数量积公

式展开可得2cos,,452bcbc==，所以点C的轨迹为以()2,2或()2,2−为圆心，半径为1的圆，所以C的横坐标的最大值为21+，cos,cos,acacaccacaa==rrrrrrrrrrr，即为c在a上的投影，最大值为21+.故答案为：21+.【点睛】关键点点睛：解决本题

的关键是利用几何图形的关系转化向量的关系.例29．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量PA，PB满足PA＝PB＝1，PA·PB＝－12，若BC＝1，则AC的最大值为______.【答案】31+##13+【

解析】【分析】以P为原点，PA为x轴建立坐标系，求出C的轨迹即可求解.【详解】如图，以P为原点，PA为x轴建立坐标系.∵PA＝PB＝1，PA·PB＝－12，∴∠APB＝120°，∵BC＝1，故C在以B为圆心，1为半径的圆B上，(

)0,0P，()1,0A，13,22−B，∴AC的最大值为：22131113122AB+=+++=+.故答案为：31+.