【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 5.1 导数的概念 Word版含解析.docx，共(13)页，746.928 KB，由小赞的店铺上传

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5.1导数的概念一、单选题1．已知函数()yfx=在0xx=处的导数为2，则()()000limxfxxfxx→+−=（）A．0B．12C．1D．2【答案】D【分析】根据极限与导数的关系直接求解.【详解】根据极限与导数的

关系可知()()0000lim()2xfxxfxfxx→+−==，故选:D.2．已知函数()()31ln32ffxxx=−+，则曲线()yfx=在()(),efe处的切线斜率为（）．A．212ee−B．2132ee−C．21ee−D．213ee

−【答案】D【分析】先求导，令1x=，求出()1f，再结合导数的几何意义即可求解.【详解】依题意，()()2132ffxxx=−，令1x=，故()()1132ff=−，解得()12f=，故()21

3fxxx=−，故()213feee=−．故选：D．3．极限0lim()xxfx→存在是函数()fx在点0xx=处连续的（）A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要的条件【答案】B【分析】根据函数的连续性与函数极限的关系即可求解.【详解】极限0lim()x

xfx→存在，函数()fx在点0xx=处不一定连续，比如(),02,0,0xxfxxxx==−，在0x=处，极限值为0，但()fx在0x=处不连续，但()fx在点0xx=处连续，可得极限0lim()xxf

x→存在，故极限0lim()xxfx→存在是函数()fx在点0xx=处连续的必要不充分条件，故选：B4．曲线()()21sinfxxx=−在点()()0,0f处的切线方程为（）A．0xy+=B．0xy−=C．10xy++=D

．10xy−+=【答案】A【分析】求出导函数后计算导数值(0)f，再求得(0)f后，由斜截点斜式得直线方程【详解】()2sin(21cosfxxxx=+−），所以(0)2sin0(01)cos01f=+−=−，又(0)0f=，所

以切线方程为yx=−，即0xy+=．故选：A．5．已知函数()()2ln1fxaxx=++，在区间()2,3内任取两个实数1x，2x，且12xx，若不等式()()12121fxfxxx−−恒成立，则实数a的取值范围为（）A．9,−+

B．7,−+C．9,+D．7,+【答案】A【分析】根据式子几何意义，可得出斜率恒大于1，根据导数的几何意义，可得出()211fxaxx=++在()2,3内恒成立，分离参数求解即可.【详解】因为()()12121fxfxxx−−的几何意义，表示点()()11,xf

x与点()()22,xfx连线斜率，∵实数1x，2x在区间()2,3内，不等式()()12121fxfxxx−−恒成立，∴函数图象上在区间()2,3内任意两点连线的斜率大于1，故函数的导数大于1在()2,3内恒成立，∴()211

fxaxx=++在()2,3内恒成立，由函数的定义域知，1x−，所以221axx−−+在()2,3内恒成立，由于二次函数221yxx=−−+在()2,3上是单调递减函数，故222122219xx−−+−−+=−，∴9a−，∴)9,a−+

．故选：A.6．设点P是函数()()()31122fxxfxf=−+图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（）A．3π0,4B．π3π0,,π24C．π3π,24D．

π3π0,,π24【答案】B【分析】求出()fx，令1x=后可求()fx，再根据导数的取值范围可得tan的范围，从而可得的取值范围.【详解】∵()()()31122fxxfxf

=−+，∴()()21312fxxf=−，∴()()11312ff=−，∴()12f=，∴()2311fxx=−−，∴tan1−，∴π02或3ππ4.故选：B.7．曲线

2yxaxb=++在点()0,1M处的切线方程为10xy−+=，则a，b的值分别为（）A．-1，1B．-1，-1C．1，1D．1，-1【答案】C【分析】根据切点和斜率求得切线方程.【详解】依题意，切点为()0,1，斜率为1，2,2yxaxbyx

a=++=+，所以2001201aba++=+=，解得1,1ab==.故选：C8．若21lim()111xabxx→−=−−，则常数a，b的值为（）A．2a=−，4b=B．2a=，4b=−C．2a=−，4b=−D．2a=，4b=【答案】

C【分析】求极限的代数式通分得(1)(1)axabxx+−+−，1x→时极限存在且极限为1，则2(1)axabx+−=−，由恒等式知识可得,ab．【详解】2111lim()lim1(1()1)1xxabxaxabxxx→→+−=+−

=−−−，则211aab−==−，解得2a=−，4b=−，故选：C．二、多选题9．在平面直角坐标系xOy中，设曲线C的方程是1xy=，下列结论正确的是（）A．曲线C上的点与定点()2,2F距离的最小值是22−B．曲线C上的点和定点()2,2F的距离与到定直线l：

20xy+−=的距离的比是2C．曲线C绕原点顺时针旋转45°，所得曲线方程是221xy−=D．曲线C的切线与坐标轴围成的三角形的面积是2【答案】ABD【分析】A选项，设出曲线C任意一点的坐标，根据两点间的距离公式以

及基本不等式求得“最小值”；B选项，结合点到直线的距离公式求得正确答案，C选项，通过求实半轴a来进行判断；D选项，通过求切线方程来进行判断.【详解】曲线C的方程是1xy=，则1yx=，所以曲线C是反比例函数1yx=对应的图象，

即曲线C是双曲线.A选项，设1,Pxx是曲线C上的任意一点，()222211122224PFxxxxxx=−+−=+−++，令1txx=+，则22212txx=++，当0x时，1122txxxx=+=，当且仅当1,1xxx==时，等号成立，当0x

时，()()1122txxxx=−−+−−=−−−，当且仅当1,1xxx−==−−时，等号成立，所以(),22,t−−+.所以()2222222PFtttt=−+=−=−，()2,2222,t

−−−−−+，所以当2t=时，PF取得最小值为22−，A选项正确.B选项，1,Pxx到直线20xy+−=的距离为12222xtx+−−=，所以曲线C上的点和定点()2,2F的距离与到定直线l：2

0xy+−=的距离的比是2，B选项正确.C选项，由上述分析可知曲线C是双曲线，由于曲线C的图象关于yx=对称，所以yx=是双曲线C实轴所在直线，由1yxxy==解得11xy==或11xy=−=−，点()1,1与点()1,1−−的距离是222222+=，所以

双曲线C的实轴长222,2aa==，而双曲线221xy−=的实半轴1a=，所以C选项错误.D选项，11,yyxx==−，所以在曲线C上任意一点1,mm处的切线方程为()211yxmmm−=−−，令0x=得2ym=；令0y=得2xm=，所以曲线C的切线与坐标轴围成的三

角形的面积是12222mm=，D选项正确.故选：ABD10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0（单位：oC），环境温度是1（单位：oC），其中01，则经过t分钟

后物体的温度将满足()()101e(Rktftk−==+−且0)k.现有一杯80C的热红荼置于o20C的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值ln20.7）A．若()o350Cf

=，则()o635Cf=.B．若110k=，则红茶下降到o50C所需时间大约为7分钟C．若()35f=−，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟o5C的速率下降D．红茶温度从o80C下降到o

60C所需的时间比从o60C下降到o40C所需的时间多【答案】ABC【分析】由题知()2060ektft−==+，根据指对数运算、以及导数的几何意义，依次讨论各选项求解．【详解】由题知()2060ektft−==+，A：若()350Cf=，即3502060ek−=+，所

以31e2k−=，则26321(6)2060e2060(e)206035C2kkf−−=+=+=+=，A正确；B：若110k=，则1102060e50t−+=，则1101e2t−=，两边同时取对数得11lnln2102t−==−，所以10ln27t=，所以红茶下降到50C所

需时间大约为7分钟，B正确；C;()3f表示3t=处的函数值的变化情况，若()350f=−，所以实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5C的速率下降，故C正确；D;()()101ektft−==+−，设红

茶温度从80C下降到60C所需的时间为1t，则()1113ee2122060=60=ln3ktktfktt−−=−==+，设红茶温度从80C下降到40C所需的时间为2t，则()2222060e111=40=ln33ektkttkft−−==+

=−，则红茶温度从60C下降到40C所需的时间为21()tt−；由于0k所以2112111213ln2lnln04(33)2tttttkk=−−−=−=−−，故211ttt−可得红茶温

度从80C下降到60C所需的时间1t比从60C下降到40C所需的时间21()tt−少，故D错误．故选：ABC．11．在曲线()1fxx=上切线的倾斜角为34的点的坐标为（）A．()1,1B．()1,1−−C．1,22D．12,2

【答案】AB【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，由导数的几何意义，即可得到所求切点【详解】切线的斜率3tan14k==−，设切点为00(,)xy，则0()1fx=−，又21()fxx=−，所以201=1x−−，所以01x=或01x=−，所以切点坐标为

()1,1或()1,1−−．故选：AB．12．若函数()yfx=的图象上存在两个不同的点P，Q，使得()fx在这两点处的切线重合，则称函数()yfx=为“切线重合函数”，下列函数中是“切线重合函数”的是（）A．sincosyxx=+B．(sincs)

oyx=C．sinyxx=+D．2sinyxx=+【答案】ABC【分析】求出导函数，确定切线斜率，选项AB，过图象最高点（或最低点）处的切线是同一条直线，可判断，选项C，由导函数斜率相等的点有无数组，结合函

数单调性，确定斜率为1的切线，可判断结论，百选项D，导函数是单调增函数，因此不存在斜率相等的两点，这样易判断结论．【详解】A，22()sincos2(sincos)2sin()224fxxxxxx=+=+=+，()2cos()4fxx=+，2,Z4xkk=+时，()0fx=，()

fx取得最大值2，直线2y=是函数图象的切线，且过点(2,2),Z4kk+，函数是“切线重合函数”；B，()sin(cos)fxx=，()sincos(sin)fxxx=−，2,Zxkk=时，()0fx=，cos1x=，sin1()sin1fx−，此时()s

in1fx=是函数的最大值，直线sin1y=是函数图象的切线，且过点(2,sin1),Zkk，函数是“切线重合函数”；C，()sinfxxx=+，()1cosfxx=+，2,Z2xkk=+时，()1fx=，(2)222fk

k+=+，过点(2,21),Z22kkk+++的切线方程是(21)(2)22ykxk−++=−+，即1yx=+，因此该切线过()fx图象上的两个以上的点，函数是“切线重合函数”；D，2()sinfxxx=+，()2co

sfxxx=+，令()()2cosgxfxxx==+，则()2sin0gxx=−，所以()gx即()fx是R增函数，因此函数图象上不存在两点，它们的切线斜率相等，也就不存在切线过图象上的两点，因此函数不是“切线重合函数”．故选：ABC．三、填空题13．已知函数()

31fxaxx=++的图象在点()()1,1f的处的切线过点()3,11，则=a______.【答案】1【分析】利用导数的几何意义求出点()()1,1f处的切线方程，再根据点()3,11在切线上，求解即可.【详

解】由()31fxaxx=++，得()231fxax=+，∴()131fa=+，又()12fa=+，∴函数()31fxaxx=++的图象在点()()1,1f的处的切线方程为()()3112yaxa=+−++，代入()3,11，得

()()1131312aa=+−++，解得1a=.故答案为：1.14．若直线10axy−−=是曲线2exybx=−在1x=处的切线，则实数ab+=______．【答案】3e−##e3−+【分析】根据导数的几何意义，结合代入法进行求解即可.【详解】因为2exybx=−，

所以2exybx−=，把1x=代入10axy−−=中，得101ayya−−==−，于是有1eab−=−，由10axy−−=可知，切线的斜率为a，所以有2eab=−，因此有1e2e3e2e1abaababb−=−=−

+=−=−=，故答案为：3e−15．设函数2()1fxx=−，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率是___________.【答案】2.1【分析】根据平均变化率的定义直接求解即可.【详解】函数2()1fxx=−，当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率为22(1.1)(1)1

.11(11)0.212.11.110.10.1ff−−−−===−，故答案为：2.1.16．已知函数()lnafxxx=+，若曲线()yfx=在点()m,2处的切线方程为3yx=−+，则实数a的值_______．【答案】2【分析】运用代入法进行求解即可.【详解】

把点()m,2代入3yx=−+中，得231mm=−+=，把()1,2代入lnayxx=+中，得2a=，即2a=，故答案为：2四、解答题17．已知函数()()3213fxxxaxa=−+R．(1)证明有且仅有两条经过原点的直线与曲线()yfx=相切；(2

)记（1）中两条切线为1l，2l，设1l，2l与曲线()yfx=异于原点O的公共点分别为,AB．若1a=，求cosAOB的值．【分析】（1）设出切点，结合导数的几何意义求出有两个不同的切点即可证明；（2）先求出两条切线的方程，联立曲线方程，求出交点，结合向量夹角公式可求答案.【详解】

（1）证明：2()2fxxxa=−+，设过原点的直线与曲线()yfx=相切于点(),()tft，则22()01203ftttattat−−+==−+−，整理得2203tt−=，即0=t或32t=；所以有且仅有两

条经过原点的直线与曲线()yfx=相切.（2）当1a=时，2()21fxxx=−+，由（1）知切点为()330,0,,28，31(0)1,()24ff==；两条切线方程分别为：313,8

42yxyx=−=−，即1,4yxyx==；联立方程3213yxyxxx==−+，得3x=和0x=（舍），可得()3,3A；同理可求33,28B，()333,3,,28OA

OB==，334533288OAOB=+=，31732,8OAOB==，所以534cos34OAOBOAOBAOB==.18．已知函数24(),(1)2,(1)13fxaxaxbff=−+==，求()fx的解析式.【答案】235()222fxxx=−+

.【分析】先对函数24()3fxaxaxb=−+求导，再利用条件(1)2,(1)1ff==解得参数35,22ab==，从而得到()fx的解析式.【详解】24()3fxaxaxb=−+，4()23fxaxa=−，又

(1)2,(1)1ff==，则有4(1)23faab=−+=①.4(1)213faa=−=②由①②解得：35,22ab==所以()fx的解析式是235()222fxxx=−+19．已知函数lnyxx=，求这个函数的图像在点1x=处的切线

方程．【答案】1yx=−【分析】利用导数的几何意义求解即可.【详解】由lnyxx=得ln1yx¢=+，则当1x=时，切线斜率1|ln110xky===+=，又当1x=时，0y=，所以切点为(1,0)，切线方

程为01(1)yx−=−，即1yx=−.20．已知函数2()12fxx=−，求曲线()yfx=的斜率等于2−的切线方程．【答案】2130xy+−=【分析】利用导数求得切点坐标，进而求得切线方程.【详解】因为()212fxx=−，所以()2fxx=−，设切点为()200,12xx−，则022x

−=−，即01x=，所以切点为()1,11，由点斜式可得切线方程为：()1121yx−=−−，即2130xy+−=.21．（1）已知曲线lnyx=，点()e,1P是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.（2）已知抛物线2yx=，求过点1,22−−

且与抛物线相切的直线方程.【答案】（1）e0xy−=；（2）210xy−−=或440xy++=【分析】根据导数的几何意义即得.【详解】（1）由lnyx=可得1yx=，所以在点P处的切线的斜率为1e，切线方程为()11eeyx−=−，即e0xy−=

；（2）设切线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为()00,xy，则直线方程为122ykx+=+，因为2yx=，所以02kx=，又点()00,xy在切线上，所以20001222xxx+=+，解得01x=或02x=−，则2k=或4k=−

，所以直线方程为1222yx+=+或1242yx+=−+，即210xy−−=或440xy++=.22．已知函数()lnfxx=，()tangxx=.(1)求曲线()ygx=在ππ,4

4g处切线的方程；(2)若直线l过坐标原点且与曲线()yfx=相切，求直线l的方程.【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式写切线方程即可；（2）根据()lnfxx

=设切点坐标()00,lnxx，然后利用导数的几何意义得到斜率01kx=，再利用点斜式写切线方程，将()0,0代入切线方程得到0ex=即可得到切线方程.（1）()sintancosxgxxx==，所以()

2222cossin1coscosxxgxxx+==，所以24g=，14g=，所以切线方程为：124yx−=−，整理得2102xyp-+-=.（2）()lnfxx=，所以()1fxx=，设切点坐标为()00,lnxx，所以切线斜率为

01kx=，则切线方程为：()0001lnyxxxx−=−，又因为切线过原点，所以将()0,0代入切线方程得()0001lnxxx−=−，解得0ex=，所以切线方程为：()11eeyx−=−，整理得e0xy−=.