【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2025届高三上学期数学一轮复习小题精练9 Word版含解析.docx，共(14)页，749.025 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-0676bdfc1969bac90cfbf4ccd8ee0b7e.html

以下为本文档部分文字说明：

长郡中学2025届高三数学复习小题精练（9）一、单选题1．设复数z满足12i2iz+=−，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知平面向量()()5,0,2

,1ab==−，则向量ab+在向量b上的投影向量为（）A．()6,3−B．()4,2−C．()2,1−D．()5,03．若1sin()6−=，且tan2tan=，则sin()+=（）A．32B．22C．23D．124．已知等差数列

na的前n项和为nS，19a=，2a为整数，且5nSS，则数列12{}nnaa+的前9项和为（）A．29−B．29C．27−D．275．已知数据12310,,,,xxxx，满足：()11210iixxi−−=

，若去掉110,xx后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（）A．中位数不变B．若11x=，则数据12310,,,,xxxx的第75百分位数为7.5C．平均数不变D．方差变小6．中国古建筑闻名于世，源远流

长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，EFAB∥，22ABEF==，△ADE与△BCF都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F

都在球O的球面上，则球O的表面积为（）A．11π8B．11π6C．11π4D．11π27．已知函数()()2ln312ln,ln2,,3efxxxafbfcf=−−===，则（

）A．acbB．bcaC．cabD．cba8．已知抛物线C：28yx=的焦点为F，()4,0M，过点M作直线()3320xaya+−−−=的垂线，垂足为Q，点P是抛物线C上的动点，则PFPQ+的最小值为（）A．72B．3C．112D．5二、多选题9．张同学从

学校回家要经过2个路口，假设每个路口等可能遇到红灯或绿灯，每个路口遇到红绿灯相互独立，记事件A：“第1个路口遇到绿灯”，事件B：“第2个路口遇到绿灯”，则（）A．1()2PA=B．1()4PAB=C．1(

)4PBA=∣D．3()4PAB+=10．已知函数()4cos2cosfxxx=+，则下列说法正确的是（）A．()fx的最小正周期为πB．()fx为偶函数C．()fx的图象关于()π,1对称D．()fx的值域为(),35,−−+11．已知抛物线2:4Eyx=

的焦点为F，过点F作互相垂直的两条直线与抛物线E分别交于点A，B，C，D，P，Q分别为AB，CD的中点，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（）A．1114ABCD+=B．5OPOQC．若F恰好为PB的中点，则直线PQ的斜率为33D．直线PQ过定点(3,0)三、

填空题12．设nS是等比数列{𝑎𝑛}的前n项和，若34S=，4568aaa++=，则96SS=.13．函数()2lnfxx=+与函数()exgx=公切线的斜率为.14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚

“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面

积为1S，该雕塑内可容纳最大球的表面积为2S，该雕塑外接球表面积为3S，则1S=，23:SS=．参考答案1．B【分析】利用复数的除法运算求出复数z，由其几何意义判断在复平面内对应的点所在象限.【详解】复数z满足12i2iz+=−，则有()212ii12i11i

2i2i2z++===−+−−，z在复平面内对应的点为11,2−，位于第二象限.故选：B.2．A【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()227,1,15,2(1)5ababbb+=−+==+−=，所以向量ab+在向量b上的投影向量为()()

236,3||abbbbb+==−.故选：A3．D【分析】利用正弦的差角公式结合弦切关系分别计算sincos,cossin，再根据和角公式计算即可.【详解】因为1sin()sincoscossin6−=−=，又tan2tan=，即sin2sincoscos

=，则sincos2cossin=，所以11sincos,cossin36==，故111sin()sincoscossin362+=+=+=.故选：D4．A【分析】利用给定条件，

求出等差数列{𝑎𝑛}的公差d范围，进而求出d及通项公式，再利用裂项相消法求和即得.【详解】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为d，由5nSS，得4565SSSS，则5600aa，即940950dd++，解得9945d−−，而2a为整数，则29da=−为

整数，因此2d=−，112nan=−，12211(112)(92)92112nnaannnn+==−−−−−，所以数列12{}nnaa+的前9项和为9111111112795735979T=−+−+−++−=−−−.故选：A5．B【分析】利用中位数、百分位

数、平均数和方差的定义分析计算即可.【详解】原来的中位数与现在的中位数均为5611294.522xxxx++==+，故中位数不变，故A正确；当11x=时，数据按从小到大顺序排列：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.因为1075%7.5

=，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误；由于()11210iixxi−−=，故211xx=+,312xx=+,,918xx=+,1019xx=+,原来的平均数为12101110454.51010xxxxx++++==+，去掉110,xx后的平

均数为239118364.588xxxxx+++==+，平均数不变，故C正确；原来的方差为()()()22211211014.54.54.58.2510xxxxxx−−+−−++−−=，去掉110,xx后的方差为()()()2222131914.54.54.55.258xxxxxx−−+−−++

−−=，方差变小，故D正确.故选：B.6．D【分析】如图，根据球的性质可得1OO⊥平面ABCD，根据中位线的性质和勾股定理可得1MOPQ⊥且122MO=，分类讨论当O在线段1OM上和O在线段1MO的延长线上时2种情况，结合球的性质和表面积公式计算即可求解.【详解】如图，连接A

C，BD，设1ACBDO=，因为四边形ABCD为矩形，所以1O为矩形ABCD外接圆的圆心．连接1OO，则1OO⊥平面ABCD，分别取EF，AD，BC的中点M，P，Q，根据几何体ABCDEF的对称性可知，直线1OO交EF于点M．连接PQ，则PQAB∥，且1O为PQ的

中点，因为EFAB∥，所以∥PQEF，连接EP，FQ，在ADEV与BCFV中，易知2213122EPFQ==−=，所以梯形EFQP为等腰梯形，所以1MOPQ⊥，且2213212222MO−=−=．设1

OOm=，球O的半径为R，连接OE，OA，当O在线段1OM上时，由球的性质可知222ROEOA==，易得22115122OA=+=，则2222215222mm−+=+，此时无解．当O在线段1MO的延长线上时，由球的性

质可知，2222521222mm+=++，解得24m=，所以22118ROE==，所以球O的表面积211π4π2SR==，故选：D．【点睛】求解外接球问题的关键在于

确定球心的位置，而确定球心位置的依据一是球心到球面上各点的距离都等于球的半径，二是球心与截面圆圆心的连线垂直于截面．由此出发，利用一些特殊模型，或借助一般方法，即可确定外接球球心的位置．7．D【分析】利用导数判断函数()fx的单调性，作差比较得ln30ln23，令()ln,exgxxx

=，利用导数判断()gx的单调性得ln313e，进而利用函数()fx单调性可得函数值的大小.【详解】因为()22lnfxxx=−−，所以()21212xfxxxx=−=−，当202x时，𝑓′(𝑥)<0，故函

数()fx在20,2上单调递减，当22x时，𝑓′(𝑥)>0，故函数()fx在2,2+上单调递增，因为8lnln33ln22ln3ln19ln203666−−===，所以ln30<ln23，令()ln,exgxxx=

，则()21ln0xgxx−=，即函数()gx在)e,+上单调递减，故()()3egg，即ln3lne13ee=，所以ln3120ln23e2，因为函数()fx在20,2上单调递减，所以()ln31ln23efff

，即cba.故选：D【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤：（1）作差或变形；（2）构造新的函数ℎ(𝑥)；（3）利用导数研究ℎ(𝑥)的单调性或最值；（4）根据单调性及最值，得到所证不等式.8．C【分析】首先确定直线()3320xaya+−−−=所过的定点，

再求点Q的轨迹方程，利用抛物线的性质，结合直线与圆的位置关系，利用数形结合求线段和的最小值.【详解】由()3320xaya+−−−=得()3320ayxy−+−−=，30320yxy−=−−=，得5,3xy==所以直线()3320xaya

+−−−=过定点()5,3A.连接AM，则132AM=+=，由题易知点Q在以AM为直径的圆上，设(),Qxy，所以点Q的轨迹方程为2293122xy−+−=（不包含点()4,3），

（点拨：直线()3320xaya+−−−=的斜率不为零）第三步：数形结合求最小值记圆2293122xy−+−=的圆心为93,22N，过点Q，P，N分别作准线2x=−的垂线，垂足分别为B，D，S

，连接QD，则91112122PFPQPDPQDQQBNS+=+−=+−=，（点拨：两点之间，线段最短）当且仅当S，P，Q，N四点共线且点Q在P，N之间时等号同时成立，所以PFPQ+的最小值为112.故选：C9．

ABD【分析】A选项，直接得到()()12PAPB==；B选项，根据独立事件的概率乘法公式得到B正确；C选项，利用独立事件概率乘法公式和条件概率得到答案；D选项，根据()()()()PABPAPBPAB+=+−得到D正确.【详解】对A，()()12PAPB==，

A正确；对B，A，B相互独立，()()()PABPAPB==14，B选项正确；对C，因为A，B相互独立，所以,AB也互相独立，故()()()111()122(|)1()1212PBPAPBAPBAPAPA−====−−，∴C选项错误；对D，()()()()34PAPPBPAABB

++−==，∴D选项正确.故选：ABD.10．BD【分析】通过()πfx+与()fx的关系即可判断A项;通过()fx−与()fx的关系即可判断B项;通过化简()()2πfxfx+−与2的关系即可判断C项，利用均

值不等式及函数的单调性,即可得出值域,从而判断D项.【详解】对于A,()()()()44πcos2πcos2,cosπcosfxxxfxxx+=++=−+故A错误;对于B,由cos0,x得()ππZ2xkk+,()fx\的定义域为ππ,Z,2xxkk+且()

()()()()44cos2cos2,coscosfxxxfxfxxx−=−+=+=−是偶函数,故B正确;对于C,()()()()()442πcos2cos22π2,coscos2πfxfxxxfxxx+−=

++−+=−不是定值,故C错误；对于D,()244cos22cos1,coscosfxxxxx=+=+−当(cos0,1,x224222cos12cos1coscoscosxxxxx+−=++−232232cos15coscosxxx−=，当且仅当222coscosxx

=，即cos1x=时，等号成立；令)cos1,0tx=−，则())2421,1,0gtttt=+−−，由2,42ytyt==在)1,0t−时均单调递减，所以()gt单调递减，又()12413g−=−−=−，所以()3gt−；即()fx的值域为(),35,

−−+,故D正确.故选:BD.11．ABD【分析】设直线AB的方程、𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立抛物线方程，利用韦达定理表示12yy+、12yy，结合弦长公式计算即可判断A；利用中点坐标公式表示出

点P、Q坐标，结合平面向量的数量积坐标表示和基本不等式即可判断B；由中点坐标公式可得22ym=−，进而求得213m=，结合两点表示斜率公式计算即可判断C；根据直线的点斜式方程表示直线PQ方程，即可求出直线恒过的定点，进而判断D.【详解】A：

设直线AB的方程为1(0)xmym=+，𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，联立方程组21,4,xmyyx=+=得2440ymy−−=，则124yym+=，124yy=−，所以()()()22212121

441ABmyyyym=++−=+，同理可得()2241mCDm+=，所以111||||4ABCD+=，故A正确；B：由选项A知，212121211()242xxmymymyym+=+++=++=+，因为P分别为A

B的中点，所以()221,2Pmm+，同理可得2221,Qmm+−，所以222125OPOQmm=++，当且仅当1m=时，等号成立，故B正确．C：()221,2Pmm+，若F为PB的中点，

则22ym=−．因为124yym+=，所以16ym=．所以212124yym=−=−，故213m=，所以2224222222223222111PQmmkmmmmmmmm++==−−−−=+=，故C错误．D：当直线PQ的斜率存在时，21PQmkm=−，所以直线PQ的方程为()222211mymx

mm−=−−−，整理得2(3)1myxm=−−，所以直线PQ过定点(3,0)；当直线PQ的斜率不存在时，1m=，直线PQ的方程为3x=，过点(3,0)，所以直线PQ过定点(3,0)．故D正确．故选：ABD.【点睛】方法点睛：

利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,xyxy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所

求问题或题中的关系转化为12xx+、21xx（或12yy+、12yy）的形式；（5）代入韦达定理求解.12．73【分析】由36812SS==+，又3S，63SS−，96SS−成等比数列，求出928S=，即可求出96SS的值.【详解】由

题意得465638SaaaS+−==+，则3684812SS++===，因为3S，63SS−，96SS−成等比数列，故()()263396SSSSS−=−，即()298412S=−，解得928S=，故96287123SS==.故答案为：73.13．1或e【分析】设出两曲线的切点坐标，利用导数的几何

意义以及利用两点间的斜率公式构造方程即可求得斜率.【详解】不妨设公切线与函数()2lnfxx=+的切点为(𝑥1,𝑦1)，与函数()exgx=的切点为(𝑥2,𝑦2)；易知()1fxx=，()exgx=，因此公切线斜率为211exx=，因此21e1xx=，可得(

)21lne0xx=，即12ln0xx+=又易知221121211eln21xyyxxxxxx−−−==−−，整理可得2111121eln2xxxxxxx−−=−，即11111lnlnxxxx−−=−，即()()111ln10xx+−=，解得11ex=或11x=；因此可得斜率为111x=或11

ex=.故答案为：1或e14．40202−223−【分析】利用旋转和对称关系求出222ABBCCDDE−====，根据柱体、球体的表面积公式求解即可.【详解】如图，设两个正方形的中心为O，连接,,,OAOEOCBD，因为旋转了45°，所以45AOCCO

E==,由对称性可设ABBCCDDEx====，222BDBCCDx===，所以()221ABBDDEx++=+=，则222x−=，所以122122221622118402022222S−−−=++=−,该雕塑底面可容纳的最大的圆的

半径221221222BDrOB−==+=,所以该雕塑可容纳的最大的球的半径也为222r−=，外接球的半径为22161222hROA=+=+=,322222224π4π233:::2SSrR−==−=，故答案为：40202−

；223−.