【文档说明】2023-2024学年高二数学苏教版2019选择性必修第一册同步试题 4.1 数列 Word版含解析.docx，共(15)页，806.479 KB，由小赞的店铺上传

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4.1数列一、单选题1．已知数列na的前n项和22nSnnm=−++，且对任意*1,0nnnaa+−N，则实数m的取值范围是（）A．()2,−+B．(),2−−C．()2,+D．(),2−【答案】A【分析】根据数列为递减数列，结合na与nS的关系即可求解.【详解】

因为10nnaa+−，所以数列na为递减数列，当2n时，()2212(1)2123nnnaSSnnmnnmn−=−=−++−−−+−+=−+，故可知当2n时，na单调递减，故na为

递减数列，只需满足21aa，因为1211,1aaSm=−==+,所以11m−+,解得2m−，.故选:A.2．已知数列na的前n项和2nSnn=+,那么它的通项公式na=（）A．nB．2nC．2n＋1D．n＋1【答案】B【分析】根据11

1,1,2nnnaSnaSSn−===−即可求na．【详解】11112aS==+=，()()()()221112,2nnnaSSnnnnnn−=−=+−−+−=,当1n=时，122na==，2nan=.故选：B.3．已知数列na满足

111nnaa++=，若502a=，则1a=（）A．1−B．12C．32D．2【答案】B【分析】根据递推公式逐项求值发现周期性，结合周期性求值.【详解】由50111,2nnaaa++==得49484750

5049481111111,1121,111222aaaaaaa=−=−==−=−=−=−=+==，所以数列na的周期为3，所以14912aa==．故选：B4．在数列{}na中，112a=，111n

naa−=−（2n，Nn+），则2023a=（）A．12B．1C．1−D．2【答案】A【分析】利用数列的递推公式求出数列{}na的前4项，推导出{}na为周期数列，从而得到2023a的值【详解】2111121aa=−=−=−，3211112aa=−=+=，431111122aa=

−=−=，可得数列{}na是以3为周期的周期数列，202336741112aaa+===，故选：A5．已知数列na满足()1711,1nnaaa+−==−，则2a=（）A．1−B．12C．2D．52【答案】C【分析】根据题意变形为111nnaa+=−，再转化为2na+与1na+，

3na+与2na+的关系，推导出数列是周期为3的周期数列，即可计算出结果.【详解】由题意得111nnaa+=−，所以2111111111nnnnaaaa++=−=−=−−，所以32111111nnnnaaaa++=−=−=−，所以数列na是周期为3的周期

数列，所以711aa==−，所以21112aa=−=．故选：C6．已知数列{}na满足*1120222022,,N20232023nanaan+==，则下列结论成立的是（）A．20212022202

0aaaB．202220212020aaaC．202120202022aaaD．202020212022aaa【答案】A【分析】根据指数函数的性质判断1342aaaa，即可猜想数列{}na的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，再证明即可，从而可得答案.【详解】因为*1

120222022,,N20232023nanaan+==，所以20222220320222023a=，2022202320233220220222023a=，因为指数函数20222023xy

=单调递减，所以20221202320222022202320312，所以2022202320222022120232023202220222022202320232023

，所以231aaa，所以231202220222022202320232023aaa，所以342aaa，所以1342aaaa，由此可猜想数列{}na的奇数项递增，偶数项递减，且奇数项小于偶数项，因为

120222023nana+=，当2n时，120222023nana−=，所以1120222023nnaannaa−−+=，所以11ln(2022202)l3nnnnnaaaa+−=−（2n），

因为12aa，所以32ln0aa，所以32aa，进而可得43aa，以此类推可得221kkaa−且221kkaa+，因为当3n时，1120222023nnaannaa−−+=，12120222023nnaannaa

−−−−=，所以112112022202220232023nnnnaaaannnnaaaa−−−−−+−=，所以21120222023nnaannaa−−+−=，所以121ln(2022202)l3nnnnnaaaa+−−=−（3n）

，由31aa，得42ln0aa，即42aa，由35aa，得64aa，以此类推2ka单调递减，所以20222020aa，所以202120222020aaa，故选：A.7．已知数列na满足

()12111,3,N,2nnnaaaaann−+===+，则2022a=（）A．2−B．1C．4043D．4044【答案】A【分析】由递推式得到21nnaa+−=−，从而得到6nnaa+=，由

此再结合11nnnaaa−+=+即可求得2022a的值.【详解】由11nnnaaa−+=+得12nnnaaa++=+，两式相加得21nnaa+−=−，即3nnaa+=−，故6nnaa+=，所以20226321()2a

aaaa==−=−−=−.故选：A．8．已知数列na的前n项和221nSn=−+，则这个数列的通项公式为（）A．42nan=-+B．32nan=−+C．1,1,42.2nnann−==−+D．1,1,32,2nna

nn−==+【答案】C【分析】已知和求通项公式：11,1,2nnnSnaSSn−==−进行计算.【详解】当1n=时，11211;aS==−+=−当2n时，()2212121142;nnnaS

Snnn−=−=−++−−=−+故选：C二、多选题9．已知数列na的通项公式为31,22,nnnann+=−为奇数为偶数，则下列正确的是（）A．619a=B．76aaC．522S=D．68SS【答案】BC【分析】根据通项公式即可作出判断.【详解】对于A，6是偶数，则621210

a=−=−，A错误；对于B，7622aa=，B正确；对于C，54(2)10(6)1622S=+−++−+=，C正确；对于D，56612SSa=+=，86781222(14)20SSaa=++=++−=，68

SS，D错误.故选：BC.10．下列数列na是单调递增数列的有（）A．231nann=−+B．12nna=−C．2nann=+D．ln1nnan=+【答案】BD【分析】利用1nnaa+−验证各选项即可.

【详解】因为*Nn选项A：()()221131131220nnaannnnn+−=+−++−+−=−，所以210aa−=，231nann=−+不是单调递增数列；选项B：1111110222nnnnnaa+++−=−+=

，所以12nna=−是单调递增数列；选项C：122(2)(1)11(1)nnnnaannnnnn++−−=++−−=++，所以210aa−=，2nann=+不是单调递增数列；选项D：121111lnlnlnln102122nnnnnnaannnnnn

++++−=−==+++++，所以ln1nnan=+是单调递增数列；故选：BD11．意大利数学家列昂纳多•斐波那契提出的“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55,89,144,233,，在现代生物

及化学等领域有着广泛的应用，它可以表述为数列na满足()12211,nnnaaaaan+++===+N.若此数列各项被3除后的余数构成一个新数列nb，记nb的前n项和为nS，则以下结论正确的是（）A．910nnbb++−=B．1029nnSS

++=+C．20222b=D．20222696S=【答案】ABC【分析】根据数列na可得出数列nb是以8为周期的周期数列，依次分析即可判断.【详解】数列na为1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，被3除后的余数构成一个新数列nb，数列nb为

1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，0，…，观察可得数列nb是以8为周期的周期数列，故910nnbb++−=，A正确；且1289bbb+++=，故10234102...9nnnnnnSSbbbS++++++=++

++=+，B正确；82502262262=bbb+==，C正确；则nb的前2022项和为202225291120222276S++++++==，D错误.故选：ABC12．已知nS是na的前n项和12a=，*1112,Nnnanna−=−，，则下列选项错误的是（）

A．20212a=B．20211012S=C．331321nnnaaa++=D．na是以3为周期的周期数列【答案】AC【分析】推导出()3Nnnaan+=，利用数列的周期性可判断各选项的正误.【详解】因为12a=，()1112nnana−=

−，则211112aa=−=，32111aa=−=−，413112aaa=−==，以此类推可知，对任意的Nn，3nnaa+=，D选项正确；202136732212aaa+===，A选项错误；()202112312316736

732101222Saaaaa=++++=++=，B选项正确；331323211nnnaaaaaa++==−，C选项错误.故选：AC.三、填空题13．如下表定义函数()fx：x12345()fx54312对于数列na，

14a=，()1nnafa−=，2n=，3，4，…，则2019a的值是______.【答案】5【分析】先根据()1nnafa−=求出前几项，得出周期，利用周期性求解.【详解】根据题意21a=，35a=，42a=，54a=，所以周期为4，而201945043=+，所以2019

35aa==.故答案为：514．数列{}na满足11a=，*121(N,2)21nnannnan−+=−，则na=______．【答案】213n+【分析】利用累乘法求得正确答案.【详解】321121nn

naaaaaaaa−=()5721211235213nnnn++==−，11a=也符合上式，所以213nna+=.故答案为：213n+15．已知数列na前n项和nS满足()lg1nSn−=，则na

=________.【答案】111,1910,2nnn−=【分析】先利用对数运算得到101nnS=+，进而利用11,1,2nnnSnaSSn−==−求出答案.【详解】因为()lg1nSn−=，所以101nnS=

+，当1n=时，1110111aS==+=，当2n时，11101101910nnnnnnaSS−−=−=+−−=，因为11910911−=，故111,1910,2nnnan−==，故答案为：111,1910,2nnn−=16．已知Sn是数列{an}的

前n项和．若Sn＝2n，则2a=_____．【答案】2【分析】根据11212,SaSaa==+求解即可．【详解】解：∵Sn＝2n，∴112aS==，1224aaS+==，∴22a=，故答案为：2．四、解答题17．已知nS是数列

{}na的前n项和，5(4)nSnn=+(1)求na的通项公式；(2)设nnba=，求数列nb的前10项和，其中x表示不超过x的最大整数，如0.90=，2.62=．【答案】(1)235

nna+=(2)24【分析】（1）先求1a，利用5(4)nSnn=+和1nnnaSS−=−可求通项公式；（2）先求235nnb+=，根据n的取值逐个求解nb，然后求和可得答案.（1）∵1155,1Sa==；∵5(4)nSnn=+，∴()151(3)(2)nSnn

n−=−+两式相减可得235nna+=(2)n，又11a=，∴235nna+=.（2）由（1）知：235nnb+=，所以当1,2,3n=时，23125n+，此时1nb=；当4,5n=时，23235n+，此时2nb=；当6,7,8n=时

，23345n+，此时3nb=；当9,10n=时，23455n+，此时4nb=，所以数列nb的前10项和为1322334224+++=．18．已知数列na满足123235naaanan++++=，求na的通项公式．【答

案】5nan=.【分析】利用项与前n项和的关系即得.【详解】对任意的Nn，123235naaanan++++=，当1n=时，则15a=，当2n时，由123235naaanan++++=，可得()()1212151naanan−+++−=−，上述两个等式

作差可得5nna=，5nan=，15a=满足5nan=，因此，对任意的Nn，5nan=.19．写出下列数列的前10项，并作出它们的图象．(1)当自变量x依次取1，2，3，…时，函数()21fxx=+的值构成的数列na；(2)数列na的通项公式为2,2,1,21,nnkkannkk++

==+=+NN．【答案】(1)3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图见解析(2)2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图见解析【分析】（1）将自变量依次取值代入函数解析式可得各项的值，然后描点作图即可；（2）分n是奇数还是偶数代入相应

通项公式计算可得各项的值，然后描点作图即可.（1）依次将x的值代入函数()21fxx=+，可得数列的前10项依次为：3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，图象如下：（2）∵2,2,1,21,nnkkannkk++==+=

+NN，∴数列的前10项依次为2，3，2，5，2，7，2，9，2，11，图象如下：20．已知数列na的前n项和为12,1nnSka=−=．求数列na的通项公式.【答案】12nna−=【分析】根据1(2)nnnaSSn−=−求出2n时的通

项na，由此求数列na的通项公式.【详解】由2nnSk=−得：112(2)nnSkn−−=−，相减得12(2)nnan−=，当1n=时，11112a−==也满足上式，∴12nna−=．所以数列na的通项公式为12nna−=.21．写出下列数列的一

个通项公式．(1)112−，123，134−，145，…；(2)2212−，2313−，2414−，2515−，…；【答案】(1)()()111nnn−+（答案不唯一）(2)()2111nn+−+（答案不

唯一）.【分析】（1）（2）根据数列前几项找到规律，从而得到数列的符合题意的一个通项公式.【详解】（1）解：由112−，123，134−，145，…，可知奇数项为负数，偶数项为正数，分子均为1，且分母为序号与其后一个数之积，故该数列的

通项公式可以为()()111nnn−+（答案不唯一）.（2）解：由2212−，2313−，2414−，2515−，…，可得该数列的一个通项公式为()2111nn+−+（答案不唯一）.22．函数()fx的定义域为D，若0xD，满足()00fxx

=，则称0x为()fx的不动点.已知函数333,01(),()(())log,13xxfxgxffxxx−==.（1）试判断()gx不动点的个数，并给予证明；（2）若“3320,,()1log(1)log()3xgxxxk−+++”是真

命题，求实数k的取值范围.【答案】（1）3个，证明见解析；（2）2,13−.【分析】（1）分203x、213x、13x三种情况，利用()gxx=构造函数，利用函数的单调性可得答案；（2）解法1：转化为33210,,loglog()

31xxkxx−++成立，解不等式组110xkxxxk−+++，再由23k−可得答案；解法2：转化为33210,,loglog()31xxkxx−++

成立，等价于20,3x，使11xkxx−++成立，构造函数2(1)1yxx=−++，并利用函数的单调性，由maxyk可得答案.【详解】（1）()()()gxffx=，若203x，则1333x−

，所以3()log(33)gxx=−，由()gxx=得3log(33)xx−=，即31log(1)xx+−=，因为3log(1)yx=−−在20,3是单调递增函数，所以函数3()log(1)1hxxx=−−−在20,3是单调递增的，333111123(0)10,l

og11log21log022223hh=−=−−−=+−=，所以()hx在20,3内存在唯一零点；若213x，则0331x−，所以()33(33)96gxxx=−−=−，由()gxx=得9

6xx−=解得34x=；若13x，则30log1x，所以3()33loggxx=−，由()gxx=得333logxx−=；因为3()3log3xxx=+−在(1,3]是单调递增的，3344514(3)30,3loglog6403

333==−=−，所以3()3log3xxx=+−在(1,3]内有唯一零点；综上所述，()gx有3个不动点.（2）由（1）可知，当()320,,()()log(33)3xgxffxx==−，若“

3320,,()1log(1)log()3xgxxxk−+++”是真命题，就是20,3x，使不等式33()1log(1)log()gxxxk−+++成立，等价于33210,,lo

glog()31xxkxx−++成立，即20,3x，不等式组110xkxxxk−+++成立，2(1)(1)200xkxxk+++−+，解得22881122kkkkxxk−−+−++−+−+−，因为20,3x

，保证0xk+，所以23k−因为228281022kkkkk−−+−++−−−+=，228281()022kkkkk−++−++−+−−=，所以2812kkkx−++−−+，所以2810223kkk−++−+−，解得：213k−.所以实数

k的取值范围是2,13−.解法2：由（1）可知，当320,,()(())log(33)3xgxffxx==−，若“3320,,()1log(1)log()3xgxxxk−+++”是真命题，就是20,

3x，使不等式33()1log(1)log()gxxxk−+++成立，等价于33210,,loglog()31xxkxx−++成立，等价于20,3x，使11xkxx−++成立

，且0xk+也成立，由11xkxx−++得2(1)1xkx−++，设2(1)1yxx=−++，20,3x，使11xkxx−++成立，只要maxyk即可，函数2(1)1yxx=−++在20,3上单调递减，所以max1y=，所以1k，20,3x

，使0xk+在区间20,3成立，只需要max()0xk+即可，即203k+得23k−，所以实数k的取值范围是2,13−.