【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十一讲 对数函数及其性质 Word版含解析.docx，共(67)页，4.517 MB，由小赞的店铺上传

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第四十一讲：对数及其运算性质【教学目标】1.理解对数函数的概念；2.会求与对数函数有关的定义域问题；3.初步掌握对数函数的图象和性质；4.会类比指数函数研究对数函数的性质；5.掌握对数函数的图象和性质的简单应用；6.利用单调性进一步求函数的定

义域和简单值域问题；7.了解反函数的概念和图象特点．【基础知识】一、对数函数的概念一般地，函数log(01)ayxaa=且叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,)+．注意点：(1)对数函数的系数为1；(2)真数只能是一个x；(3)底数与指数函数的范围相同；(4)对于函数22l

ogyx=等这一类的函数，根据对数的运算法则，它可以化为对数函数，因为它与对数函数122logyx=有相同的定义域和对应关系，故函数相等．二、对数函数的图象和性质log(01)ayxaa=且底数1a01a图象定义域(0，＋∞)值域R单调性在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数最值无最大、最小值奇偶性非奇非偶函数共点性图象过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0函数值特点x∈(0,1)时，y∈(－∞，0)；x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞)x∈(0,1)时，y∈(0，＋∞)；x∈[1，＋∞)时，

y∈(－∞，0]对称性函数logayx=与1logayx＝的图象关于x轴对称注意点：(1)函数图象只出现在y轴右侧；(2)对任意底数a，当x＝1时，y＝0，故过定点(1,0)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近

x轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴；(5)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称．【题型目录】考点一：对数函数的概念考点二：求对数函数解析式考点三：求对数函数值考点四：对数函数的定义域考点五：抽象函数的定义域考点六：对数函数恒过定点考

点七：对数函数图象考点八：已知图象求参的范围考点九：对数函数的值域考点十：复合函数单调性考点十一：复合对数函数值域考点十二：换元法求对数型函数值域考点十三：已知对数型函数单调区间求参考点十四：取中间值比较大小考点十

五：扩倍数比较大小考点十六：构造函数比较大小考点十七：已知对数函数值域求参考点十八：分段函数值域范围求参考点十九：对数型函数的值域为求参考点二十：已知分段值域为求参考点二十一：对数函数恒成立与能成立问题考点二十二：简单对数不等式求解考点二十三：利用函数性质求不等式考点二十四

：反函数考点二十五：不同函数的增长差异考点二十六：对数函数的综合应用【考点剖析】考点一：对数函数的概念例1．给出下列函数：①223logyx=；②3log(1)yx=−；③(1)logxyx+=；④logeyx=.其中是对数函数的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答

案】A【详解】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．故选:A.变式训练1．下列函数表达式中，是对数函数的有（）①log2xy=；②()logayxa=R；③8logyx=；④lnyx=；⑤()log2xyx=+；⑥42

logyx=；⑦()2log1yx=+.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】由于①中自变量出现在底数上，①不是对数函数；由于②中底数aR不能保证0a，且1a，②不是对数函数；由于⑤⑦的真数分别为()2

x+，()1x+，⑤⑦也不是对数函数；由于⑥中4logx的系数为2，⑥也不是对数函数；只有③④符合对数函数的定义.故选：B变式训练2．已知函数①4xy=；②log2xy=；③3logyx=；④0.04logyx=；⑤3log1yx=+；

⑥()2log1yx=+.其中是对数函数的是（）A．①②③B．③④⑤C．③④D．②④⑥【答案】C【详解】根据对数函数的定义，只有符合logayx=（0a且1a）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的

底数的位置，不是对数函数；③中3logyx=，是对数函数；④中0.04logyx=，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.故选：C.变式训练3．若函数2log32ayxaa=+−+为对数函数，

则=a（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】由题可知：函数2log32ayxaa=+−+为对数函数所以23201aaa−+==或2a=，又0a且1a所以2a=故选：B考点二：求对数函数解析式例2．对数函数的图像过点M(1

25，3)，则此对数函数的解析式为（）A．y＝log5xB．y＝15logxC．y＝13logxD．y＝log3x【答案】A【详解】设函数解析式为log(01)ayxaa=且．由于对数函数的图像过点M(125，3)，所以3＝loga12

5，得a＝5.所以对数函数的解析式为5logyx=.故选：A.变式训练1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（）A．2logyx=B．42logyx=C．2logyx=或42logyx=D．不确定【答案

】A【详解】设函数为()log0,1ayxaa=，依题可知，2log4a=，解得2a=，所以该对数函数的解析式为2logyx=．故选：A．变式训练2．若函数()()2logafxx=+的图象过点()2,0−，则=a（）A．3B．1C．-1D．-3【答案】A【详解】由已知得()()22

log20fa−=−+=，所以21a−+=，解得：3a=，故选：A．变式训练3．已知函数()()log2=+afxx，若图象过点()63，，则()2f的值为（）A．2−B．2C．12D．12−【答案】B【详解】因为函数()(

)log2=+afxx的图象过点()63，，所以()3log623lol8gogaaaa=+=，则382aa==，所以()()2log2fxx=+，()()2log2222f=+=，故选：B.考点三：求对数函数值例3．已知函数()()1331,1,log52

,1,xxfxxx+−=−+−且()2fm=−，则()6fm+=（）A．16−B．16C．26D．27【答案】C【详解】当m1时，()11231231mmfmm++=−−=−=−，当1m时，()()32log5224fmmm=−−+−

=−=−，所以()()21623126fmf++==−=，故选：C变式训练1．已知函数22log,01,()4,1.xxxfxx−=则()()1ff=（）A．4−B．2−C．2D．4【答案】B【详解

】()121144f−==，∴()()2111log244fff===−．故选：B变式训练2．设3lg,0(),0xxfxxax=+，若[(1)]1ff=，则=a（）A．1−B．0C．1D．2【答案】C【详解】依题意，(1)lg10f==，则3[(1)](0)1fffa=

==，解得1a=，所以1a=.故选：C变式训练3．已知0a，且1a，函数log,0()21,0axxaxfxx+=−，若()3fa=，则()fa−=（）A．34−B．78−C．3D．7【答案】A【详解】因为()3

fa=，又0a，所以()log13afaaaa=+=+=，解得：2a=，所以2log2,0()21,0xxxfxx+=−，则()23(2)214faf−−=−=−=−，故选：A.考点四：对数函数的定义域例4．函数()12ln53yxxx=−++−−的定义

域（）A．()()2,33,5B．)()2,33,5C．))2,33,5D．)2,33,5【答案】B【详解】函数()12ln53yxxx=−++−−要有意义，需满足203050xxx−−−，解得25x，且3x，故函数定义域为：)()2,33

,5，故选：B变式训练1．函数()0.5log43yx=−的定义域为（）A．)1,+B．3,14C．3,14D．30,4【答案】C【详解】解：函数()0.5log43yx=−的定义域满足()0.534304log4301xxx

x−−，解得314x，故函数定义域为3,14.故选：C.变式训练2．函数()1ln11yxx=++−的定义域为（）.A．1xx−且1xB．11xx−C

．11xx−D．11xx−【答案】B【详解】依题意可得1010xx−+，解得11xx−..函数()1ln11yxx=++−的定义域为11xx−.故选；B变式训练3．函数()()122lg2fxxx=+

−+的定义域为（）．A．()(2,11,1−−−B．()2,1−C．)()2,11,1−−−D．(2,1−【答案】A【详解】由题得+2021220xxx+−，解得21x−且1x−.故选：A.考点五：抽象函数的定义域例5．已知函数()ln162xfxx=+−，则(

)2fx的定义域为（）A．()01，B．()12，C．(04，D．(02，【答案】D【详解】要使函数()lnfxx=+162x−有意义，则01620xx−，解得04x，()fx的定义域为(0,4，由024x，解得02x

，()2fx的定义域为(0,2，故选D.变式训练1．已知函数()1lg1xfxx−=+，则函数()()121gxfxx=−+−的定义域是（）A．2xx或0xB．122xxC．2xxD．

12xx【答案】B【详解】要使()1lg1xfxx−=+有意义，则101xx−+，即()()110xx−+，解得11x−，所以函数()fx的定义域为()1,1−，要使()()121gxfxx=−+−有意义，则111210xx−−−，解得122x，所以函数(

)gx的定义域为122xx.故选：B变式训练2．已知函数2(log)yfx=的定义域为1[,1]4，则函数(2)yfx=的定义域为（）A．[1,0]−B．[1,2]−C．[0,1]D．[0,2]【答案】A【详解】∵函数

2(log)yfx=的定义域为1[,1]4，即1[,1]4x，∴22log0x−，令220x−，解得10x−≤≤，即函数(2)yfx=的定义域为[1,0]−，故选：A.变式训练3．函数()()122log1fxaxa

x=++的定义域为R，则实数a的取值范围是（）．A．)0,4B．()0,4C．()4,+D．)0,+【答案】A【详解】当0a=时，()0fx=，符合题意；当0a时，由20Δ40aaa=−，得04a．综上所述，)0,4a．故选：A考点六：对数函数恒过定点例6．已知幂函数(

)()222mfxmmx=−−在()0,+上单调递减，则函数()()log2agxxm=++（0a且1a）的图象过定点（）A．()4,2−B．()2,2−C．()2,2D．()4,2【答案】C【详解】因为幂函数()()222mfxmmx=−−在()0,+上单调递减，所以2221

0mmm−−=，解得1m=−，则()log(1)2agxx=−+，（0a且1a），因为logayx=（0a且1a）过定点(1,0)，所以()gx的图象过定点(2,2).故选：C变式训练1．函

数()log(1)1afxx=−+（0a且1a）的图象恒过定点（）A．(2,2)B．(2,1)C．(3,2)D．(2,0)【答案】B【详解】由对数函数的性质，令11x−=，即2x=，此时()1fx=，故函数()log(1)1afxx=−+的图象恒过定点(2,1).故选：B．变式训练2．函数()

log()nfxxm=+恒过定点(2,0)−，则m的值（）A．5B．4C．3D．2【答案】C【详解】由函数()log()nfxxm=+恒过定点(2,0)−，可得log(2)0nm−+=，所以21m−+=，解得3m=.故选：C.变式训练3．已知

函数()()log32afxx=−+（0a且1a）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程()40,0mxnymn+=，则12mn+的最小值为（）A．8B．24C．4D．6【答案】C【详解】因为函数()()log32afxx=−+()0

,1aa图象恒过定点()4,2又点A的坐标满足关于x，y的方程()40,0mxnymn+=，所以424mn+=，即22mn+=，所以()12112141424424222mnmnmnmnmnnmnm+=++=+++

=，当且仅当4mnnm=即21nm==时取等号；所以12mn+的最小值为4．故选：C．考点七：对数函数图象例7．在同一平面直角坐标系中，函数xya−=，(log0ayxaa=+且)1a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】对于AB，若1xx

aya−==图象正确，则01a，logayxa=+单调递减，又1x=时，log10ayaa=+=，A正确，B错误；对于CD，若1xxaya−==图象正确，则1a，logayxa=+单调递增，CD错误.故选：A.变式训练1．图中曲线分别表示log,log,lo

g,logabcdyxyxyxyx====的图像，abcd,,,，的关系是（）A．01abdcB．01bacdC．01cdabD．01cdba【答案】C【详解】如图所

示：当1y=时，1234,,,xcxdxaxb====，因为123401xxxx，所以01cdab故选：C变式训练2．当01a时，在同一坐标系中，函数xya−=与logayx=的图

象是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】当01a时，11a，函数1xxaya−==为底数大于1的指数函数，是增函数，函数logayx=为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，故选：C.变式训练3．若函数||(01)xyaaa=

且的值域为[1,)+，则函数log||ayx=的大致图象是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】∵||0x，且||xya=的值域为[1,)+，∴1a，当0x时，log||logaayxx==在(0,)

+上是增函数．又函数log||log||aayxx==−，所以log||ayx=为偶函数，图象关于y轴对称，所以log||ayx=的大致图象应为选项A．故选：A．考点八：已知图象求参的范围例8．已知函数()()logafxxb=−（0a且1a，a，b为常数）的图象如图，则下列结论正确

的是（）A．0a，1b−B．0a，10b−C．01a，1b−D．01a，10b−【答案】D【详解】因为函数()()logafxxb=−为减函数，所以01a又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以10xb=+，即1b−又因为函数图象与y轴有交点，所以0b，

所以10b−，故选：D变式训练1．若01ba，则函数()logbyxa=+的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【详解】01ba，logbyx=在(0,)+上单调递减，且过第一，第四象限，图像向左平移

a个单位，得到log()byxa=+，故函数log()byxa=+的图象不经过第一象限，故选：A．变式训练2．已知1a，21b−−，则函数()logayxb=−的图象不经过（）A．第一象限B．第二象限C．第

三象限D．第四象限【答案】D【详解】1a，21b−−，函数()logayxb=−的定义域为(,)b+，而uxb=−在(,)b+上递增，又logayu=在(0,)+上递增，因此()logayxb=−在(,

)b+上递增，当1bxb+时，有01xb−，log()0axb−，函数()logayxb=−的图象在第三象限，当10bx+时，有1xbb−−，log()0axb−，函数()logayxb=−的图象在第二象限，当0x时，有xbb−−，log()0axb

−，函数()logayxb=−的图象在第一象限，所以函数()logayxb=−的图象不经过第四象限.故选：D变式训练3．已知函数()()logafxxb=−（0a且1a）的图像如图所示，则以下说法正确的是（）A．0ab+B．1ab−C．01baD．

log0ab【答案】C【详解】由图象可知()fx在定义域内单调递增，所以1a，令()()log0afxxb=−=，即1xb=+，所以函数()fx的零点为1b+，结合函数图象可知011b+，所以10b−，因此0ab+，故A错误；0−

aab，又因为1a，所以1a−−，因此1ab−不一定成立，故B错误；因为10baaa−，即11baa，且101a，所以01ba，故C正确；因为01b，所以loglog1aab，即log0ab，故D错误，故选：C.考点九：对数函数的值域例9．若函数

()27,2log,2xxfxxx−+=，则()fx的值域为（）A．()5,+B．)5,+C．()1,+D．1,+【答案】C【详解】当2x时，()7fxx=−+在(,2−

上单调递减，故())5,fx+；当2x时，()2logfxx=在()2,+上单调递增，故()()1,fx+；得()fx的值域为()1,+.故选：C.变式训练1．函数3logyx=，其中1813x，则函数的值域为（）A．()0,+

B．1,813C．1,4−D．()1,4【答案】C【详解】1433331loglog31,log81log343−==−==，3logyx=在1,813上递增，所以1,4

y−.故选：C变式训练2．下列函数中，值域为R且区间(0,)+上单调递增的是（）A．3yx=−B．(2)yxx=−C．ln||yx=D．yx=【答案】C【详解】对于A，函数3yx=−的值域为R且区间()0,+上单调递减，故不正确；对于B

，根据二次函数的性质可知，()2(2)111yxxx=−=−−−，故不正确；对于C，()ln,>0=ln=ln,<0xxyxxx−为偶函数且0x时，lnyx=单调递增且值域为R，故正确；对于D，函数yx=的值域为)0,+，且在区间()0,+上单调递

增，故不正确；故选：C变式训练3．已知函数22()logfxmx=+的定义域是[1，2]，且()4fx，则实数m的取值范围是（....）A．(,2]−B．(,2)−C．[2,)+D．(2,)+【答案】A【详解】因为函数22()logfxmx=+的定义域是[1，2

]，所以函数222()log2logfxmxmx=+=+，且函数f（x）在1,2上递增，所以函数f（x）的值域为,2mm+，因为f（x）≤4，所以24m+，解得2m，故选：A考点十：复合函数单调性例10．函数()()22log43fxxx=−

+的单调递增区间是（）A．)2,+B．)3,+C．()3,+D．(,2−【答案】C【详解】()()22log43fxxx=−+由22log,43yttxx==−+复合而成，由于函数2logyt=在定义域内为单调递增函数，243txx=−+在()2,+单调递增，故由复合函数的

单调性可知：()()22log43fxxx=−+的单调递增区间需要满足24302xxx−+，解得3x，故()()22log43fxxx=−+单调区间为()3,+，故选：C变式训练1．函数()214log2yxx=−−的单调递增区间为（）A．1,2−B．1,2+

C．(),1−−D．()2,+.【答案】C【详解】由220xx−−有：()()210xx−+，解得1x−或2x，根据对数函数、二次函数的单调性以及复合函数的单调性法则有：函数()214log2y

xx=−−的单调递增区间为：(),1−−，故A，B，D错误.故选：C.变式训练2．已知函数()2lg2xfxx−=+，则()fx（）A．是奇函数，且在()2,+是增函数B．是偶函数，且在()2,+是增函数C．是奇函数，且在()2,+是减函数D．是偶函数，

且在()2,+是减函数【答案】A【详解】由202xx−+得：<2x−或2x，()fx\的定义域为()(),22,−−+；()()222lglglg222xxxfxfxxxx−−+−−===−=−−+−+，()f

x\是奇函数；()2244lglglg1222xxfxxxx−+−===−+++，412ux=−+在()2,+上单调递增，lgyu=在()0,+上单调递增，由复合函数单调性可知：()fx在()2,+上是增函数.故选：A.变式训练3．若函数()()2

lg45fxxx=−−在(),1tt+上单调，则实数t的取值范围是（）A．1,12,4−B．()1124−,,C．(),12,−+D．(),25,−−+【答案】D【详解】由题意可得，2450xx−−，解得1x−或5x.所以函数()fx的定义

域为()(),15,−−+.令()245mxxx=−−，函数()mx的对称轴为2x=，且开口向上，函数()mx在()5,+上单调递增，在(),1−−上单调递减，由外层函数lgym=是其定义域内单调递增，所以要使函数()()2lg45

fxxx=−−在(),1tt+上单调，则11t+−或5t，解得2t−或5t，则实数t的取值范围是(),25,−−+.故选：D．考点十一：复合对数函数值域例11．函数()()23log1fxx=+的值域为（）A．()0,+B．)0,+C．()1,+D．)1,+【答案

】B【详解】令21ux=+，则1u≥，又3logyu=在)1,+上单调递增，所以()233log1log10x+=，故函数()fx的值域为)0,+．故选：B．变式训练1．函数ln(2)1yx=−+的值域为（）A．RB．(1,)+C．[1,)+D．(2,)+【答案】A【详解】由

对数函数lnyx=的值域为R，向右平移2个单位得函数1ln(2)yx=−的值域为R，则ln(2)1yx=−+的值域为R，故选：A.变式训练2．已知函数()()2lg1,1,3fxxx=+−，则()fx的值域为（）A．)0,+B．)0,1C

．lg2,1D．0,1【答案】D【详解】因为1,3x−，所以211,10x+，所以()()2lg10,1fxx=+，故选：D变式训练3．函数()()22logfxxx=−，2,5x的值域为（）A．

21,2log5+B．1,2C．22,log10D．22,1log5+【答案】A【详解】解：令()2gxxx=−，2,5x，则()gx在2,5上单调递增，又()22g=，()520g=，

所以()2,20gx，又2logyx=在2,20上单调递增，所以()222,20loglogfx，即()2o1,g25lfx+.故选：A考点十二：换元法求对数型函数值域例12．已知3()2logfxx=+，1,9x，则()()22yf

xfx=+的值域为（）A．6,23B．6,13C．4,11D．4,20【答案】B【详解】因为3()2logfxx=+，1,9x，所以()()22yfxfx=+的定义域为21919xx剟剟，

解得13x剟，所以该函数的定义域为1,3；所以30log1x剟，所以()()()()()222223332log2loglog33yfxfxxxx=+=+++=+−3logtx=()01t剟，所以()233yt=+−()01t剟，当0=t时，

6y=，当1t=时，13y=，所以613y剟；所以函数y的值域是6,13．故选：B．变式训练1．函数()()()22lnln4fxxx=−+（31,ex）的值域为（）A．3,4B．4,7C．3,7D．63,

e2−【答案】C【详解】令lntx=，由31,ex，可得0,3,t则()222413,0,3,ytttt=−+=−+所以函数224,ytt=−+在)0,1上单调递减，在1,3上单调递增，

所以当t=1时，函数224,ytt=−+取得最小值3；而当t=0时，()20134y=−+=，当t=3时，()23137y=−+=，7>4，函数224,ytt=−+取得最大值是7，所以函数()()()

22lnln4fxxx=−+（31,ex）的值域是3,7.故选：C.变式训练2．若()22logfxx=−，1,16x，则函数()()22yfxfx=−的值域为（）A．1,2B．2,10C．4,10D．

)1,16【答案】A【详解】因为()22logfxx=−，1,16x，函数()()22yfxfx=−，则()()22222log2logyxx=−−−，所以2116116xx，解得14x，即函数的定义域为1,4所以

()222log2log2yxx=−+，令2logtx=，因为1,4x，所以0,2t，所以()()222211gtttt=−+=−+，0,2t，所以()()min11gtg==，()()()

max022gtgg===，所以()1,2gt，所以1,2y故选：A变式训练3．已知函数()()22loglog88xfxx=，则函数()fx的值域为（）A．9,0−B．)9,−

+C．(,9−−D．12,0−【答案】B【详解】()()()()2222log3log3log9fxxxx=−+=−．故()fx的值域为)9,−+．故选：B．考点十三：已知对数型函数单调区间求参例13．已知函数()20.5()log3fxxaxa=−+在[2,)+上单调递减，则a的

取值范围为（）A．(,4]−B．[4,)+C．[4,4]−D．(4,4]−【答案】D【详解】令2()3gxxaxa=−+．因为()20.5()log3fxxaxa=−+在[2,)+上单调递减，所以函数()gx

在区间[2,)+上单调递增，且恒大于0，所以对称轴122xa=且(2)0g，所以4a且40a+，解得44a−，即a的取值范围为(4,4]−，故选：D．变式训练1．已知函数()()log2afxxa=−在1,2是增函数，则实数a的取值范

围是（）A．1,14B．()1,+C．()1,2D．()1,4【答案】C【详解】令2,logatxayt=−=，因为2txa=−为增函数，函数()()log2afxxa=−在1,2是增函数，所以logayt=为增函数，故1a，又1,2x，22txaa=−−，

所以20a−，解得2a，综上，a的取值范围为()1,2.故选：C.变式训练2．已知函数3()log(1)fxax=−，若()fx在(,1]−上为减函数，则a的取值范围为（）A．(0,)+B．(0,1)C．(1

,2)D．(,1)−【答案】B【详解】设函数1yax=−，因为()fx在(,1]−上为减函数，所以1yax=−在(,1]−上为减函数，则0a−解得0a，又因为10yax=−在(,1]−恒成立，所以

min10ya=−解得1a，所以a的取值范围为01a，故选:B.变式训练3．已知函数()212log25yxaxa=−+在)2,+上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．(,2−B．)2,+

C．(4,2−D．1,2−【答案】C【详解】令()225fxxaxa=−+，对称轴为xa=，因为函数12logyx=是正实数集上的减函数，所以要想函数()212log25yxaxa=−+在)2,+上为减函数

，只需函数()225fxxaxa=−+在)2,+上为增函数，且()0fx在)2,+上恒成立，所以2a，且()240fa=+，解得42a−.故选：C考点十四：取中间值比较大小例14．已知lgea=，2eb=，1ln10c=e2.71828=（）L，那么（）A．bc

aB．cbaC．bacD．c<a<b【答案】D【详解】()()lgelg1,lg100,1a==，1lnln10010c==−，20ee1b==，故c<a<b.故选：D变式训练1．已知1ln1.1x−=，1.1log1.2y=，1.12z=，则三者的大小关系是（）A．y

xzB．zyxC．xyzD．xzy【答案】C【详解】由1ln1ln.1ln101.1x−−==−=，即0x又由21.11.11.11ln1.1log1.2ln1.12==，可得12y，因为1.11222z==，即2z，所以xyz.故选：C.变式训练2．0.

1352,log4,log27abc−===，则（）A．acbB．abcC．cabD．cba【答案】B【详解】由题意可知0.130332,1log3log4log1922ab−=====，55log27log252c==，故abc，故选：B变式训练3．设3log2a

=，ln2b=，0.32c=，则（）A．acbB．cabC．cbaD．bca【答案】C【详解】∵333log1log2log3，∴3log2a=(0,1)，∵ln1ln2lne，∴ln2b=(0,1)，3ln2ln2ln3lne1ln2l

og2ln3ba====，则ba，∵0.3022，∴0.312c=，综上，cba.故选：C.考点十五：扩倍数比较大小例15．设853,log5,log34abc===，则（）A．abcB．acbC．cbaD．c<a<b【答案

】D【详解】因为43441255381==，所以3453，故3455log5log3，即53log34ac==，因为3483log84a==，而3451285625==，所以3485，故34883log8log54ab

===，综上，c<a<b故选：D变式训练1．设234log3,log4.5,log6abc===，则（）A．cabB．bcaC．cbaD．bac【答案】C【详解】2222g3322logloglog222loa==+=，333334.533332loglog

loglogb==+=，所以32ab，又33393331222logloglogb===+，4443364122logloglogc===+，因342lo3gl2og3，所以bc，综上，abc.故选：C变式训练2．已知5

2loga=，83logb=，12c=，则a，b，c的大小关系为（）A．cbaB．bacC．acbD．abc【答案】C【详解】因为552logl25og1a==，显然9log30，8log30，且89lg33lg9lg81lg33l

g8lg9loglog==，即893l3oglog，所以29383logloglo2g113333g2lob====，所以bca.故选：C变式训练3．设3log2a=，5log3b=，23c=，则（）A．acbB．abcC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【详解】

因为333112log2log9333ac===，355112log3log25333bc===，所以acb.故选：A.考点十六：构造函数比较大小例16．若242log42logabab+=+，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】B【详解】设2()2logxfxx

=+，则()fx为增函数，因为22422log42log2logabbabb+=+=+所以()(2)fafb−=2222log(2log2)abab+−+=22222log(2log2)bbbb+−+21log10

2==−，所以()(2)fafb，所以2ab.2()()fafb−=22222log(2log)abab+−+=222222log(2log)bbbb+−+=22222logbbb−−，当1b=

时，2()()20fafb−=，此时2()()fafb，有2ab当2b=时，2()()10fafb−=−，此时2()()fafb，有2ab，所以C、D错误.故选：B.变式训练1．若3273log93logabab+=+，则下列结

论正确的是（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】B【详解】由题有0,0ab.因函数33lo,gxyyx==均在()0,+上单调递增，则函数()33logxfxx=+在()0,+上单调递增.注意到22

273393log3log3log2bbbbbb+=++，则3323log3lo2gabab++，即()()22fafbab.故选：B变式训练2．若()2222log4log4aabb+=+，则（）A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】A【详解】因为()()(

)()22222222log4log44log412log2aabbbbbb+=++−=+，所以构建函数22()logfxxx=+，则有()(2)fafb，因为22,log==xyxy在()0,+上单调递增，则()fx在()0,+上单调递增，所以2ab.故选：A.变式训练3．若实数,

ab满足3274log83logabab+=+，则（）A．32baB．32baC．3abD．3ab【答案】A【详解】由题意知：0a，0b，242aa=，382bb=，2733loglogbb=，23332log2logabab+=+，2333332loglog22loglo

g2abab++=++，即23332log22log2abab+=+，3logyx=在()0,+上单调递增，33log2log3bb，23332log22log3abab++；设()32log

xfxx=+，则()()23fafb，2xy=与3logyx=在()0,+上单调递增，()fx\在()0,+上单调递增，23ab，即32ba.故选：A.考点十七：已知对数函数值域求参例17．已知函数()23logyxm=+的值域为[2,)+，则实数m的值为（）A．2B．3C．9

D．27【答案】C【详解】因为函数()23logyxm=+的值域为[2,)+，所以2yxm=+的最小值为9，所以9m=；故选：C变式训练1．若函数()log(1)(01)afxxaa=+，的定义域和值域都是[0，1]，则a等于（）A．12B．2C．22D．2【答案】D【详

解】当1a时，函数()log(1)afxx=+在[0，1]上是增函数，所以()()0011ff==，即00log21a==，解得2a=；当01a时，函数()log(1)afxx=+在[0，1]上是减函数，所以()()0110ff==，即01log20a=

=，无解，综上：2a=，故选：D变式训练2．若函数)()(2log1afxx=+的定义域和值域都是0,1，则实数a的值为（）A．2B．2C．22D．4【答案】B【详解】当01x剟时，2112x+剟，当211x+=时，()0fx=，则必有当212+=x时，2log(1)1ax+=，即log

21a=，得2a=，故选：B．变式训练3．若定义在[,]ab上的函数()|ln|fxx=的值域为[0,1]，则ba−的最小值为（）A．1e−B．1e−C．11e−D．11e−【答案】C【详解】ln,01()lnln,1xxfxxxx−==，∴()fx在(0,1]是单调递减，在[1,)+

上单调递增，min()(1)0fxf==，又1()1ffee==，由题意11ae，1be，且1ae=和be=中至少有一个取到．即1ae=，1be，此时111baeee−−−，若11ae，则be=，11ebaee−−−，∴ba−的最小

值是11e−．故选：C．考点十八：分段函数值域范围求参例18．若函数()6,23log,2axxfxxx−+=+(0,1aa)的值域是)4,+，则实数a的取值范围是（）A．10,2B．()1,+C．(1,2D．()0,

1【答案】C【详解】当2x时，64x−+，当且仅当2x=时取等号，依题意得，{()|2}[4,)fxx+，当01a时，log0ax，3log34ax+，不符合要求，于是得1a，()fx在(2,)+上递增，从而得(3log2,)[4,)a+++，则3log24a+

，解得12a，所以实数a的取值范围是(1,2.故选：C变式训练1．已知函数223,2()(06log,2axxxfxaxx−++=+且1)a，若函数()fx的值域是(,4−，则实数a的取值范围是（....

）A．2,12B．2,12C．(1,2D．()1,2【答案】B【详解】当2x时，()2223(1)4fxxxx=−++=−−+，函数在(),1−上单调递增，在(1,2上单调递减，所以()()14fxf=

，即()(,4fx−；若函数()fx的值域是(,4−，则需当2x时，6log4ax+．当1a时，()6logafxx=+在(2,)+上单调递增，此时()()26log26afxf=+，不合

题意；当01a时，()6logafxx=+在(2,)+上单调递减，此时()()26log24afxf=+，即log22a−，则2log2logaaa−，所以22a−，显然0a，解得22a，又01a，所以212a．综上所

述，实数a的取值范围是2,12．故选：B变式训练2．设0a且1a，若函数()7,23log,2axxfxxx−+=+的值域是)5,+，则a的取值范围是（）A．)2,+B．()1,2C．

(1,2D．()2,+【答案】C【详解】由于函数7,2()(03log,2axxfxaxx−+=+且1)a的值域是[5,)+，故当2x时，满足()75fxx=−.若1,()3logaafxx=+在它的定义域上单调

递增，当2x时，由()3log5afxx=+，log2,log22,12aaxa.若01,()3logaafxx=+在它的定义域上单调递减，()3log3log23aafxx=++，不满足()fx的值域是[5,)+.综上可得，12a.故选：C.变式训练3．若函

数()()12log4,201,2xxxfxax−+−=−−(0,1aa)的值域是[3,)+，则实数a的取值范围是（）A．10,2B．1,12C．(1,2]D．[2,)+【答案】A【详解】当20x−时，02x−，()()12lo

g4fxx=−+3，若1a，当<2x−时，则()2111xfxaa−−=−−，与函数()fx的值域为[3,)+不符，若01a，当<2x−时，则()211xfxaa−=−−，又函数()fx的值域为[3,)+，所以213a−−

，又01a所以102a，综上，实数a的取值范围是10,2.故选：A.考点十九：对数型函数的值域为R求参例19．函数()()2lg2fxxxm=++的值域为R，则实数m的取值范围是（）A．1mB．1mC．1

m£D．mR【答案】C【详解】因为函数()()2lg2fxxxm=++的值域为R，所以，()0,+为函数22yxxm=++的值域的子集，所以，440m=−，解得1m£.故选：C.变式训练1．函

数()2lg21yxmx=+−+的值域为R.则实数m的取值范围是（）A．()0,4B．0,4C．()(),04,−+D．(),04,−+【答案】D【详解】令2(2)1xmxu+−=+，由于函数()2lg21yxmx=+−+

的值域为R，所以，函数2(2)1xmxu+−=+的值域包含()0,+.所以()2Δ240m=−−，解得0m或4m.综上所述，实数a的取值范围是(),04,−+.故选：D.变式训练2．已知函数()()2ln1fxaxax=+

+的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．()0,4B．)4,+C．(),0−D．()4,+【答案】B【详解】设21yaxax=++，根据题意()20,|1+=++yyaxax，∴20Δ40aaa=−＞，解得

4a，∴实数a的取值范围为)4,+．故选：B．变式训练3．已知函数2()ln(6)2fxaxax=+−+既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（）A．()218−,,+B．()2,18C．()0,218,+D．)

0,218,+【答案】D【详解】由2(6)2yaxax=+−+，a不等于0时，()226422036aaaa=−−=−+,当20,20360aaa=−+得218a，二次函数2(6)2yaxax=+−+

没有最大值，有最小值，2()ln(6)2fxaxax=+−+没有最大值，有最小值，不合题意.当20,20360aaa=−+得18a，02a，二次函数2(6)2yaxax=+−+没有最大值，有最小值，2(6)20yaxax=+−+.,2()ln(6)2fxaxax

=+−+没有最大值，没有最小值，()0,218,a+当20,20360aaa=−+得a<0，二次函数2(6)2yaxax=+−+有最大值，没有最小值，2(6)20yaxax=+−+,2()ln(6)2fxaxa

x=+−+有最大值，没有最小值，不合题意.当20,20360aaa=−+无解.当0a=.,2(6)262yaxaxx=+−+=−+既没有最大值，也没有最小值，2()ln(6)2fxaxax=

+−+没有最大值，没有最小值，0a=.)0,218,a+故选：D.考点二十：已知分段值域为R求参例20．已知函数()()213,1ln,1axaxfxxx++−=的值域为R，那么实数a的取值范围是（）A．(),1−B．(,1−−C．)1,+D．(

),12,−−+U【答案】C【详解】函数()()213,1ln,1axaxfxxx++−=，而函数lnyx=是增函数，当1x时，ln0x，则当1x时，函数lnyx=值域为[0,)+，因函数()fx的值域为R，因此，在当1x时，函数()213yaxa=++−

取尽一切负数，当10a+=，即1a=−时，=2y−，不符合题意，当10+a时，22yaa+−，也不符合题意，当10a+时，()213yaxa=++−为增函数，由1x可得22yaa+−，则需21020a

aa++−，解得1a，所以实数a的取值范围是：)1,+.故选：C变式训练1．已知函数()()13,1ln2,1axxfxxax−+=−的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．(,4−−B．()4,1−C．)4,1−D．()0,1【答案】C【详解】当()1

,ln2xfxxa=−，∴当1x时，()2fxa−，∵()fx的值域为R，∴当1x时，()()13fxax=−+值域需包含(),2a−−，∴10132aaa−−+−，解得41a−，故选：C.变式训练2．已知函数(21)3,1()ln,

1axaxfxxx−−=−的值域为R，则实数a的取值范围是（）A．11,2−B．11,2−C．11,2−D．)1,−+【答案】A【详解】因为函数(21)3,1()ln,1axaxfxxx−−=−的值域为R，而当1x

时，lnyx=−的值域为(,0]−，所以当1x时，(21)3yaxa=−−要取到所有的正数，所以2102130aaa−−−，解得112a−，即实数a的取值范围为11,2−，故

选：A.变式训练3．已知7(12)5,1()log,1axaxfxxx−+=的值域为R，那么实数a的取值范围是（）A．11[,)32−B．1(,)2−C．1[,)2+D．11(,)32−【答案】A【详解】

当1x时，函数7()logfxx=在[1,)+上单调递增，其取值集合为[0,)+，而函数()fx的值域为R，因此函数()fx在(,1)−上的取值集合包含(,0)−，当120a−=时，函数()(12)5fxaxa=

−+在(,1)−上的值为常数，不符合要求，当120a−时，函数()fx在(,1)−上单调递减，取值集合是(13,)a++，不符合要求，于是得120a−，函数()fx在(,1)−上单调递增，取值集合是(,13)a−+，则12

0130aa−+，解得1132a−，所以实数a的取值范围是11[,)32−.故选：A考点二十一：对数函数恒成立与能成立问题例21．已知21()1,()log2xfxgxxm=+=+，若()()1212[1,3],[1,3],xxfxgx，则实数m的取

值范围是（）A．8,9−B．8,9−C．9,8−D．8,9+【答案】B【详解】当[1,3]x时，111[,]282x，因此93()[,]82fx；当[1,3]x

时，22(log)[0,log3]x，因此2()[,log3]gxmm+，因为()()1212[1,3],[1,3],xxfxgx，所以有minmin()()fxgx，即9988mm.故选：B变式训练1．已知2()ln(1)f

xx=+，1()()2xgxm=−，若1[0,2]x，2[0,2]x，使得12()()fxgx≥，则实数m的取值范围是（）A．1[,)4+B．1(,]4−C．1[,)2+D．1(,]2−【答案】A【详解】函数(

)()2ln1fxx=+在0,2上单调递增，则有min()(0)0fxf==，又1()()2xgxm=−在0,2上单调递减，则有2min11()(2)()24gxgmm==−=−，因为10,2x，20,2x，使得(

)()12fxgx，于是得104m−，解得14m，所以实数m的取值范围是1[,)4+．故选：A变式训练2．已知1()()2xfxm=−，2()ln(1)gxx=+，若12,1x−−，20,1x，使得()()12

fxgx，则实数m的取值范围是（）A．(,4−B．(,2−C．(,2ln2−−D．(,4ln2−−【答案】B【详解】函数1()()2xfxm=−在2,1−−上单调递减，min()(1)2fxfm=−=−

，函数2()ln(1)gxx=+在0,1上单调递增，min()(0)0gxg==，12,1x−−，20,1x，使得()()12fxgx成立等价于()fx在2,1−−上的最小值不小于()gx在

0,1上的最小值，因此20m−，解得2m，所以实数m的取值范围是(,2−.故选：B变式训练3．若关于x的不等式()222loglog20xax−+−在区间11,82上有解，则实数a的取值范围为（）A．11,3−+B．(,3]−−C．[22,)

−+D．(,22]−−【答案】A【详解】不妨设2logtx=，当11[,]82x时，[3,1]t−−，故不等式()222loglog20xax−+−在区间11,82上有解等价于220tat−+−在[3,1]−−有解，即2att+在[3,1]−−有解，不妨令

2()fttt=+，则只需min()aft，由对号函数的性质易知()ft在[3,2)−−上单调递增，在[2,1]−−上单调递减，又因为11(3)3f−=−，(1)3f−=−，所以2()fttt=+的最小值为113−，即113a−，故实数a的取值范围

为11,3−+.故选：A.考点二十二：简单对数不等式求解例21．已知函数()e,0ln,0xxfxxx=，则不等式()12fx的解集是（）A．((,ln20,e−−B．(),ln2−−C．(0,eD．()(),ln20

,e−−【答案】A【详解】当0x时，由1()2fx得1e2x，两边取以e为底的对数得：ln2x−，当0x时，由1()2fx得1ln2x，解得120eex=，综上ln2x−或0ex.

故选：A.变式训练1．函数()()0.5log43fxx=−，则()0fx时x的取值范围是（）A．3,14B．3,4+C．()1,+D．()3,11,4+【答案】A【详解】()()0.

5log43fxx=−为减函数，由()0fx可得0431x−，解得314x，所以不等式的解集为3,14，故选：A变式训练2．设函数()123,0log,0xxfxxx−=，若()3fa，则实数a的取

值范围是（）．A．()1,10,8−−B．()1,1,18−−C．11,8−D．1,8−【答案】A【详解】当0a时，则()33afa−=，即1a−，解得1a−；当0a时，则(

)11221log3log8faa==，解得108a；综上所述：实数a的取值范围是()1,10,8−−.故选：A.变式训练3．已知5log13a，那么a的取值范围是（）A．()50,1

1,3B．5,3+C．550,,33+D．()50,1,3+【答案】D【详解】5log1log3aaa=，当1a时，logayx=为增函数，故53a；当()0,1a时，logayx=为减

函数，故53a即取()0,1a；所以a的取值范围是()50,1,3+；故选：D考点二十三：利用函数性质求不等式例23．已知()fx是定义在R上的奇函数，且在区间)0,+上单调递增，则不等式()()2log1fxf的解集为（）A．()0,1B．()1,+C．()0

,2D．()2,+【答案】D【详解】由()fx是定义在R上的奇函数，且在区间)0,+上单调递增，可得函数()fx在R上单调递增，又由()()2log1fxf，可得2log1x，解得2x，所以不等式()()2log1fxf的解集为()2,+

.故选：D.变式训练1．设函数()fx在定义域R上满足()()0fxfx−+=，若()fx在(),0−上是减函数，且()10f−=，则不等式()ln0fx的解集为（）A．()10,e,e+B．()()0,11,eC．()10,1,ee

D．()1,1e,e+【答案】D【详解】由()()0fxfx−+=，可得()fx为R上的奇函数，且()00f=.因为()fx在(),0−上是减函数，所以()fx在()0,+上是减函数.又()10f−=，所以()

10f=.由()ln0fx，可得ln0ln1xx−或ln0ln1xx，解得11ex或ex.所以不等式()ln0fx的解集为()1,1e,e+.故选:D.变式训练2．已知()fx是

定义在R上的奇函数，当()0,x+时，()e2xfx=−，则不等式()ln0fx的解集为（）A．10,2B．()2,+C．()10,2,2+D．()1,12,2+【答案】D【详解】由题意()fx是定义在R上的奇函数，故(0)0f=

，当()0,x+时，()e2xfx=−，此时()fx在()0,+上单调递增，且过点(ln2,0)，则当(),0x−时，()fx在(),0−上单调递增，且过点(ln2,0)−，作出函数()fx的大致图像如图：则由()ln0fx可得lnln2x或ln2ln0x−，解

得2x或112x，即()ln0fx的解集为()1,12,2+，故选：D变式训练3．已知定义域为R的奇函数()fx满足，0,()lgxfxx=，则不等式()0xfx的解集为（）A．)(1,00,1−B．1,1−C．(),11,−

−+D．(),11,0−−+【答案】B【详解】因为0,()lgxfxx=，所以，01x时，()0fx；当1x时，()0fx；因为函数()fx是定义域为R的奇函数，所以，1x−时，()0fx；10x−时，()0fx；0

x=时，()0fx=.所以，()0xfx的解集为1,1−.故选：B考点二十四：反函数例24．已知函数5()logfxx=，1()fx−是()fx的反函数，则1(1)(1)ff−+=（）A．10B．8C．5D．2【答案】

C【详解】因为函数5()logfxx=，所以1()5xfx−=，所以5(1)log10f==，11(1)55f−==，即1(1)(1)5ff−+=．故选:C变式训练1．函数2log(4)(0)yxx=+的反函数是（）A．24(2)xyx=+B．24(0

)xyx=+C．24(2)xyx=−D．24(0)xyx=−【答案】C【详解】由题设240yx=−，则2y，所以原函数的反函数为24xy=−且(2)x.故选：C变式训练2．设0,1aa，函数logayx=的反函数和

g1loayx=的反函数的图象关于（）A．x轴对称B．y轴对称C．yx=对称D．原点对称【答案】B【详解】函数logayx=的反函数为xya=，函数1loglogl1ogaaaxxyx=−==的反函数为1xya

=，故两个图象关于y轴对称，故选：B变式训练3．函数()yfx=与()12xgx骣琪=琪桫的图象关于直线yx=对称，则()24fx−的单调递增区间是（）A．(2,0−B．)0,2C．)2,−+D．(,2−【答案】B【解

答】由题意可得函数()12logfxx=，则()()22124log4.fxx−=−令240tx=−，求得22x−，故()24fx−的定义域为()2,2−，根据复合函数的单调性同增异减可知，即转化为求函数24tx=−在()2,2−上的减区间.所以由二

次函数的性质可得函数24tx=−在()2,2−上的减区间为)0,2，故选：B.考点二十五：不同函数的增长差异例25．有一组实验数据如下表所示：t3.06.09.012.015.0v1.52.52.9

3.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A．0.5vt=B．()20.51vt=−C．0.5logvt=D．2logvt=【答案】D【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数2l

ogvt=的图象类似，所以选项D最能反映,tv之间的函数关系.故选：D.变式训练1．“道高一尺，魔高一丈”出于《西游记》第五十回“道高一尺魔高丈，性乱情昏错认家，可恨法身无坐位，当时行动念头差，”用来比喻取得一定成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下

列函数中的一个来表示这句话的含义，则最合适的是（）A．10yx=，0xB．110yx=，0xC．10yx=+，0xD．9yx=+，0x【答案】A【详解】因为一丈等于十尺，所以“道高一尺魔高一丈”更适合用10yx=，0x来表示；故选：A.变式训练2．若函数21=yax，22=

xyc，33=ybx，则由表中数据确定()fx、()gx、()hx依次对应（）x()fx()gx()hx120.20.2550253.210200200102.4A．1y、2y、3yB．2y、1y、3yC．3y、2y、1y

D．1y、3y、2y【答案】D【详解】因为22(5)5(10)1025(),4()(1)1(5)5ffff====，所以1()fxy=；因为33(5)5(10)10125(),8()(1)1(5)5gggg====，所以3()gxy=；因为51015(5)2(10)2

16,32(1)2(5)2hhhh====，所以2()hxy=，故选：D.变式训练3．下面对函数()12logfxx=，()12xgx骣琪=琪桫与()100xhx=−在区间()0,+上的递减情况说法正确的是（）A．()

fx递减速度越来越慢，()gx递减速度越来越快，()hx递减速度比较平稳B．()fx递减速度越来越快，()gx递减速度越来越慢，()hx递减速度越来越快C．()fx递减速度越来越慢，()gx递减速度越来越慢，()hx递减速度比较平稳D．()fx递减速度越来越快，()gx递减速度越来越快

，()hx递减速度越来越快【答案】C【详解】观察函数()12logfxx=、()12xgx骣琪=琪桫、()100xhx=−在区间()0,+上的图象如下图所示：函数()fx的图象在区间()0,1上递减较快，但递减速度逐渐变慢；函数(

)fx在区间()1,+上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数()gx的图象在区间()0,+上递减较慢，且递减速度越来越慢．函数()hx的图象递减速度比较平稳．故选：C.考点二十六：对数函数的综合应用例26．已知函数()22log1

fxax=+−为奇函数，(1)求实数a的值；(2)若关于x的不等式()22320xfxb+−恒成立，求实数b的取值范围；【答案】(1)1a=；(2)(,264b−+【详解】（1）因为()fx为奇函数，所以()()0fxfx+−=，所以2222loglog011a

axx+++=−−−在定义域内恒成立，即22111aaxx++=−−−在定义域内恒成立，整理，得()22221aaxx−−=−在定义域内恒成立，所以()2221,1aa−=−=−，解得1a=．因为1a=时，()21l

og1xfxx+=−的定义域()(),11,−−+关于原点对称满足题意，所以1a=．（2）因为()21log1xfxx+=−的定义域()(),11,−−+，所以21x或21x−，解得0

x，因为()22320xfxb+−恒成立，所以()2132021xxxbx++−，所以()()23214021xxbx−++−．因为，当0x时，210x−，所以根据基本不等式的性质得()23212621xx−+−，当且仅当()232121xx−=

−，即26log13x=+时等号成立，所以()2321426421xx−+++−，所以(,264b−+．变式训练1．已知函数()()()(log3log30aafxxxa=−−+且)1a.(1)判断函数的奇偶性，并说明理由；(2)若()11f=−，当1,1

x−时，求()fx的值域.【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)1,1−【详解】（1）()fx为奇函数，理由如下：由3030xx−+得：33x−，()fx\的定义域为()3,3−；()()()()log3log3aafxxxfx−=+−−=−，()fx\

为定义在()3,3−上的奇函数.（2）()11log2log4log2log12aaaaf=−=−==−，2a=，()()()()222226336log3log3logloglog1333xxfxxxxxx−+−=−−+===−+++；方法一：当1,1x

−时，32,4x+，63,332x+，611,232x−+，26log11,13x−−+，即()fx的值域为1,1−；方法二：令()613gxx=−+，()gx在1,1−上单调递

减，()()min112gxg==，()()max12gxg=−=，()1,22gx，()2log1,1gx−，即()fx的值域为1,1−.变式训练2．已知函数21()log1xfxx-=+(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并给

予证明；(3)求不等式()1fx的解集．【答案】(1)()1,1−；(2)奇函数，证明见解析；(3)11,3−−【详解】（1）由函数的定义域满足真数部分大于零，即解不等式101xx−+，解得11x−,函数的定义域

为()1,1−.（2）由第一问函数的定义域为()1,1−，()()12211loglog11xxfxfxxx−+−−===−−+，所以函数()fx为奇函数.（3）解不等式()1fx，即21log11xx−+,即221

loglog21xx−+，从而有11121xxx−−+，所以113x-<?.不等式()1fx的解集为11,3−−变式训练3．已知函数()2logfxxt=+（t为正常数），且()3ft=．(1)求()fx的解析式；(2)若函数2(

),01()2,1fxxgxxaxx=−的值域为R，求实数a的取值范围．【答案】(1)2()log2fxx=+；(2)1[,)2−+.【详解】（1）依题意，2()log3fttt=+=，由于函数2logytt=+在(0,)+上单调递增，而2log223+=，因

此2t=，所以()fx的解析式是2()log2fxx=+.（2）由（1）知，函数22log2,01()2,1xxgxxaxx+=−，当01x时，函数2()log2fxx=+单调递增，()(,2

]fx−，而()gx的值域为R，则当1a时，xa=时，22min(2)xaxa−=−，函数22yxax=−在(1,)+上的取值集合为2[,)a−+，又22a−恒成立，此时函数()gx的值域为R，因此1a，当1a时，函数22y

xax=−在(1,)+上单调递增，取值集合为(12,)a−+，当且仅当122a−，即12a−时，函数()gx的值域为R，因此112a−，所以a的取值范围是1[,)2−+.【课堂小结】1．知识清单：(1)对数函数的概念和定义域．(2)对数函数的图

象及性质．(3)利用对数函数的图象及性质比较大小．(4)利用单调性解对数不等式．(5)求简单对数的值域、最值、奇偶性问题．2．方法归纳：待定系数法，转化法、分类讨论、数形结合法.3．常见误区：作对数函数图象时易忽视底数1a与01a两种情况．【课后作业】1．下列函数中，是对数函数的有

（）①logayx=(R)a；②8logyx=；③lnyx=；④log(2)xyx=+；⑤42logyx=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【详解】①logayx=在0a且1a的条件下才是对数函数，故①不是对数函

数；②8logyx=和③lnyx=符合对数函数的定义，是对数函数；④log(2)xyx=+中，底数不是常数，不是对数函数；⑤42logyx=中系数不是1，不是对数函数.故选：B.2．设()logafxx=（0a且1a），若1(2)2f=，则12f=

（）.A．2B．2−C．12−D．12【答案】C【详解】因为()logafxx=（0a且1a），1(2)2f=，所以1(2)log22af==，即122a=，解得4a=，所以4()logfxx=，所以4

111log222f==−.故选：C3．已知函数()2,1ln,1xxfxxx=，则()eff=（）A．eB．1C．14D．12【答案】C【详解】由题意，()()11elne24ffff===.故选

：C.4．函数1()ln(2)fxxx=−+的定义域是（）A．(,2−B．()0,2C．()(),00,2−D．()(,00,2−【答案】C【详解】由20x−可得2x，又因为0x，所以函数()fx的定义域为()(),00,2−.故选：

C.5．函数21log32xyx−=−的定义域为（）A．2,3+B．()1,11,2+C．1,2+D．()2,11,3+【答案】D【详解】函数21log32xyx−=−的定义域满足：0211320?xx−

−或211320xx−−，解得1x或213x.故选：D6．已知函数(1)yfx+＝的定义域为112−，，则函数2(log)yfx＝的定义域为（）A．(0,)+B．(0,1)C．2

22，D．24，【答案】D【详解】∵函数(1)yfx+＝的定义域为112−，∴112x−，1122x+∴函数2(log)yfx＝中，21log22x∴24x所以函数2(log)yfx＝的定义域为[24，]．故选：D7．函

数22log(2)yxx=+的值域为（）A．(3，＋∞)B．(－∞，3)C．[3，＋∞)D．(－∞，3]【答案】C【详解】因为2x，所以2log1x，所以22log3yx=+,即函数的值域为[3，＋∞).故选

：C8．函数()2log21xy=+的值域是（）A．[1,)+B．(0,1)C．(,0)−D．(0,)+【答案】D【详解】设21xt=+，则211xt=+，故()2log210x+，故()2log21xy=+的值域为(0,)+，故选：D.9．函数()212log4yxx=−的值域

是（）A．[2,)−+B．RC．[0,)+D．(0,4]【答案】A【详解】由240xx−，得04x，令24txx=−，则12logyt=，因为224(2)4txxx=−=−−+，04x，所以04t，因

为函数12logyt=在(0,4]上单调递减，所以1122loglog42yt==−，所以函数的值域为[2,)−+，故选：A10．函数()()2log1,012,10xxfxxx+=−的值域为（）A．2,0−B．0,1C

．)0,+D．2,1−【答案】D【详解】当01x时，112x+，所以()20log11x+，即()01fx≤≤；当10x−时，220x−，即()20fx−.综上，函数的值域是2,1−.故选：D.11．函数(

)()1lg4211xxfx+=−+的最小值是（）．A．10B．1C．11D．lg11【答案】B【详解】设14211xxt+=−+，则lgyt=，因为()()221421122211211010xxxxxt+=−+=−+=−+，所以l

glg101yt==，所以()()1lg4211xxfx+=−+的最小值为1，故选：B12．已知函数3()logfxx=在1,9m上的值域为[0,2]，则(3)fm的取值范围是（）A．[1,1]−B．[0,1]C．[1,3]D．[0,3]【答案】C【详解】函数3()log

fxx=的图象，如图所示：因为函数3()logfxx=在1,9m上的值域为[0,2]，由图象可得[1,9]m，而()fx在[3,27]上单调递增，故(3)fm的取值范围是[1,3].故选；C13．已知函数()log

2afxx=+（0a，且1a）在1,3上的值域为2,4，则实数a的值是（）A．3B．13C．23D．32【答案】A【详解】若01a，则()log2afxx=+在1,3上单调递减，则()log322afx+，不符合题意；若1a，则()log2afxx=+在

1,3上单调递增，则()2log32afx+，又因为()fx的值域为2,4，所以log324a+=，解得3a=．故选：A．14．在同一直角坐标系中的函数logayx=与yxa=−+的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】当01a时，函数logayx=在(0,)+上单

调递减；函数yxa=−+在R上单调递减，且当0x=时，(0,1)ya=，故A正确，C错误；当1a时，函数logayx=在(0,)+上单调递增；函数yxa=−+在R上单调递减，且当0x=时，(1,)ya=+，故B、D错误．故选：A．15．在同一直角坐标系中，函数xya=，11log

()2ayx=+（0a，且1a）的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】指数函数xya=与x轴没有交点，11log()2ayx=+过点1,02，故排除AC，两个函数的底数互为倒数，一个在()0,1，另一个就在()1,+，所以两个

函数的单调性相反，故排除B.故选：D16．如图，曲线1C，2C，3C，4C分别对应函数1logayx=，2logayx=，3logayx=，4logayx=的图象，则（）A．432110aaaaB．341210aaaaC．21431

0aaaaD．123410aaaa【答案】A【详解】作直线1y=，它与各曲线1C，2C，3C，4C的交点的横坐标就是各对数的底数，由此可判断出各底数的大小必有：432110aaaa.故选：A17不论,ab取何值，函数()3(0xmfxaa−=+

且()1),log(0bagxxnb=+且1)b的图象都必经过同一个定点P，则mn+=（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【详解】函数()fx恒过定点(),4m，函数()gx恒过定点()1,n，由条件可知，1,4mn==，5mn+=.故选：D

18．已知函数()()()2log0,0fxaxbab=+恒过定点()2,0，则1bab+的最小值为（）．A．221+B．22C．3D．22+【答案】A【详解】由题意可知21ab+=，则1222121221bbabbabaabababa

b++=+=+++=+，当且仅当222a−=，21b=−时，1bab+的最小值为221+，故选:A．19．有一组实验数据如表所示：t12345s1.55.913.424.137下列所给函数模型较适合的是（）A．log(1)ayxa=B．(1)yaxba=+C．

2(0)yaxba=+D．log(1)ayxba=+【答案】C【详解】由表中数据可知：s随t的增大而增大且其增长速度越来越快，A、D中的函数增长速度越来越慢，B中的函数的增长速度保持不变，C中的函数y随x的增大而增大，且增长速度

越来越快.故选：C.20．函数()20.5log2yxx=−−的单调递增区间为（）A．1,2−−B．12,2−−C．1,2−+D．1,12−【答案】D【详解】由220xx−−，解得：2<<1x−，故函数的定义域是()2,1−

，函数22uxx=−−在12,2−−上单调递增，在1,12−上单调递减，而函数0.5logyu=在定义域内是单调递减函数，根据复合函数单调性之间的关系可知，函数()20.5log2yxx=−−的单调递增区间是1,12−.故选：D21．

已知函数()()lglg2fxxx=+−，则（）A．()fx在()0,1单调递减，在()1,2单调递增B．()fx在()0,2单调递减C．()fx的图像关于直线1x=对称D．()fx有最小值，但无最大值【答案】C【详解】由题意可得函数()(

)lglg2fxxx=+−的定义域为(0,2)，则()()2lglg2lg(2)fxxxxx=+−=−+，因为22yxx=−+在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，且lgyx=在(0,)+上单调递增，故()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，A，B错

误；由于()2lg(2)lg()fxxxfx−=−+=，故()fx的图像关于直线1x=对称，C正确；因为22yxx=−+在1x=时取得最大值，且lgyx=在(0,)+上单调递增，故()fx有最大值，但无最小值，D错误，故选：C22．设0.70.80.73,log1.6,log0.8ab

c===，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．c<a<bC．cbaD．b<c<a【答案】D【详解】由题意得0.70331=，即1a；0.80.8log1.6log10=，即0b；0.70.70.7log1log0.8log0

.7，即01c，则a，b，c的大小关系为bca.故选：D．23．若2ln4lnabab+=+，则下列不等式一定成立的是（）．A．2abB．2abC．2abD．2ab【答案】B【详解】令()2ln(0)xfxxx=+，则()fx为(0,)+

上增函数，又222ln4ln2ln2ln2ln2abbbabbb+=+++=+则()(2)fafb，则2ab故选：B24．若函数(0xyaa=，且1)a在区间0,3上的最大值和最小值的和为98，则函数logayx=在区间1,2

4上的最小值是（）A．2−B．1−C．1D．2【答案】B【详解】由题设，033918aaa+=+=，可得12a=，所以12logyx=在1,24上递减，故其最小值为212|log21xy===−.故

选：B25．已知函数21226()log4xfxx+=+，则()fx有（）A．最小值2log3−B．最大值2log3−C．最小值32−D．最大值32−【答案】B【详解】()22222242624444xxxxxx+++==+++++，令2

42tx=+，()2gttt=+，)2,t+，任取1t、)22,t+且12tt，则120tt−，124tt，所以()()()()()()12121212121212121222220ttttt

tgtgttttttttttt−−−−=+−+=−−=，则()()12gtgt，所以函数()gt在)2,+上单调递增，故当2t时，()()23gtg=，所以2222624344xxxx+=++++，又因为函数12logyu=为减函数，故()21

122226loglog3log34xfxx+==−+.故选：B.26．若函数()logafxx=（0a且1a）在区间2,2aa上的最大值比最小值多2，则=a（）A．2或312B．3或13C．4或12D．2或12【答案】A

【详解】由题意22aa解得12a或a<0（舍去），①当1a时，函数()logafxx=在定义域内为增函数，则由题意得()2log2log2aaaa−=，所以log22aa=即22aa=，解得2a=或0a=（舍去）；②当112a时，函数()logafxx

=在定义域内为减函数，则由题意得()2loglog22aaaa−=，所以1log22aa=即212aa=，解得312a=；综上可得：2a=或312.故选：A.27．已知0a且1a，若函数3,2()log,2axxfxxx−=的值域为[1，+∞），则a的取值范围是（）A．1,12

B．()1,+C．()1,2D．(1,2【答案】D【详解】由函数3,2()log,2axxfxxx−=，当2x时，()3321fxx=−−=，当2x时，()logafxx=，若01a时，函数单调递减，所以(

)loglog20aafxx=，若1a时，函数单调递增，所以()loglog2aafxx=，又因为分段函数的值域为[1，+∞），所以1a，log21logaaa=，所以12a.所以a的取值范围是(1,2.故选：D28．已知函数()logafxx=过点(4,2)，若1(

)3,()fxfx的反函数为()gx，则()gx的值域为（）A．11,82B．1,13C．[1,3]D．[2,8]【答案】D【详解】函数()logafxx=过点(4,2)，则log42a=，解得2a=，∴2()logfxx=，()fx的反函数为()gx，得

()2xgx=，由1()3fx，∴()gx的定义域为1,3，当1,3x，有22,8x，则()gx的值域为[2,8].故选：D29．已知函数()()2,0ln1,0xaxxfxxx+=+，若()fx的最小值为1

−，则=a（）A．1−B．2C．1D．2−【答案】B【详解】因为当0x时，()ln10yx=+，()fx的最小值为1−，所以函数2yxax=+在(),0−上取最小值1−，所以20,21,4aa−−=−，解得2

a=.故选：B30．函数22()(lg)2lg3(11000)fxxxx=−+值域为（）A．[1,0]−B．[0,3]C．[1,3]−D．[1,)−+【答案】C【详解】令lgxt=，因为11000x

，所以03t.所以()224321yttt=−+=−−，03t，当2t=时，y取得最小值1−，当0=t时，y取得最大值3，所以值域为1,3−.故选：C31．已知函数()23logfxx=+，[1,4]x，则()()()22gx

fxfx=−的值域为（）A．18,2−−B．11,6−−C．18,6−−D．11,2−−【答案】B【详解】因为，[1,4]x，()23logfxx=+，所以()()()22gxfxfx=−的定义域由21414xx，解得

1,2x，令()tfx=，则01t，又()()()()()222222222log3+loglog4log+63gxfxxxxfxx−=−−=−−=，即()22462,+0,12ytttt−−=−−=−，所以11,6y−−，所以()()()22

gxfxfx=−的值域为11,6−−，故选：B.32．函数2ln1ln1xyx−=+的值域为（）.A．02yyB．0,2yyyC．2yyD．2yy【答案】C【详解】函数的定义域为110,,ee+.令lntx=，则2ln12132l

n111xtyxtt−−===−+++，其中1t−，故321yt=−+的值域为()(),22,−+，故2ln1ln1xyx−=+的值域为()(),22,−+.故选：C.33．函数22()loglog2fxxx=取得最小值时x的值为（）A．12−B．12C．22D．2【答案】C【详解

】()()221log2log22xfxx==()22loglog1xx+=()222loglogxx+=2211log24x+−所以当21log2x=−时，()fx取得最小值14−，此时12222x−==，故选：C34．若函数2()log(1)afxxax=−+有最小值，则a的取

值范围是（）A．(0,1)B．(0,1)(1,2)C．(1,2)D．[2,)+【答案】C【详解】试题分析：由题意得，令()21gxxax=−+，当1a时，logayx=为单调递增函数，所以要使得2()log(1)

afxxax=−+有最小值，必须()min0gx，所以0，解得22a−，所以12a；当01a时，()21gxxax=−+没有最大值，从而不能使得函数2()log(1)afxxax=−+有最小值，不符合题意．35．已知函数()()213,1ln,

1axaxfxxx−+−=的值域为R，那么实数a的取值范围是（）A．(),1−B．(),12,−−+C．)11−，D．(,1−−【答案】D【详解】函数()()213,1ln,1axaxfxxx−+−=，而函数lnyx=

是增函数，当1x时，ln0x，则当1x时，函数lnyx=值域为[0,)+，因函数()fx的值域为R，因此，在当1x时，函数()213yaxa=−+−取尽一切负数，当10a−=，即1a=时，=2y−，不符合题意，当10a−时，22yaa−−，也不符合题意，从而有210

20aaa−−−，解得1a−，所以实数a的取值范围是：(,1−−.故选：D36．已知函数()()15log25fxax=−，若()12,2,xx+，当12xx时，()()12120fxfxxx−−，则实数a的取值范围为（）A．4,5

+B．)1,+C．5,2+D．5,4+【答案】D【详解】依题意，函数()fx在()2,+上单调递减．令25uax=−，由复合函数单调性可知，函数25uax=−在()2,+上单调递增，故20450aa

−，则54a，故实数a的取值范围为5,4+.故选：D37．若函数(31)4,1()log,1aaxaxfxxx−+=对任意12,xx都有2121()()0fxfxxx−−，则实数a的取值范围是（）A．()01，B．103，C．1(

,17D．1173，【答案】D【详解】由2121()()0fxfxxx−−得，()fx在R上是减函数，则有01310314log1aaaaa−−+，解得1173a.故选：D.38．已知函数f(x)是

偶函数，在[0,)+上是减函数，若2(log)(2)fxf．则实数x的取值范围是（）A．(1，4)B．1(0,)(4,)4+C．1(,1)(1,4)4D．1(,4)4【答案】D【详解】∵函数f(x)是偶函数，在[0,)+上是减函数，∴()()2log2fxf，2lo

g2x，∴22log2x−，解得144x.故选：D.39．已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且在(,0−上单调递减，若()0.70.5af=，121og3bf=，()0.70.7cf=−，则（）A．c

<a<bB．bacC．abcD．acb【答案】D【详解】因为函数()fx是定义在R上的偶函数，则()()12221og31og31og3bfff==−=，()()0.70.70.70.7cff==−，由0.7xy=在定义

域内单调递减，则0.70.7100.7=；由2logyx=在定义域内单调递增，则22log3log21=；由0.7yx=在()0,+内单调递增，则0.70.700.7.5；故0.70.720.7l.530og，又因为在(,0−上单调递减，所以()fx在)0

,+上单调递增，所以acb.故选：D.40．已知函数()()2ln1fxx=+，()12xgxm=−，若对于任意10,3x，存在21,2x，使得()()12fxgx，则实数m的取值范围为（）A．1,2−−B．1,

4−−C．1,2+D．1,4+【答案】D【详解】由题意，得()fx在0,3上的最小值大于等于()gx在1,2上的最小值，易知函数()()2ln1fxx=+在0,3上单调递增，所以()fx在0,3上的最小值为()00f=，函

数()12xgxm=−在1,2上单调递减，所以()gx在1,2上的最小值为()124gm=−，所以104m−，即14m.故选:D.41．已知函数()()22log12fxxx=+

++，则使()()21fxfx−成立的x的取值范围是（）A．()1,1,3−+B．11,,33−−+C．1,13D．11,33−【答案】C【分析】考虑()fx是偶函数，其单调性是关于

y轴对称的，只要判断出0x时的单调性，利用对称关系即可.【详解】()()()()()2222log12log12fxxxxxfx−=−++−+=+++=，()fx\是偶函数；当0x时，由于22yx=+增函数，()()22log1log1y

xx=+=+是增函数，所以()fx是增函数，()fx是关于y轴对称的，当0x时，是减函数，作图如下：欲使得()()21fxfx−，只需21xx−，两边取平方，得23410xx−+，解得113x

；故选：C.42．若关于x的不等式59log2xax−„在10,2x上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．1,14B．10,4C．3,14D．30,4

【答案】A【详解】由于(0x，1]2，可得9(1x，3]，当1a时1logloglog202aaax=−，则59log2xax−„，在10,2x不恒成立；故01a，由9xy=在10,2单调递增，logayx=在10

,2单调递减，可得9logxayx=−在10,2单调递增，则9logxayx=−的最大值为12119log3log22aa−=−，由题意可得513log22a−…，即有1log22a−„，解得114a„，故选：A．43．已知函数()()()()log1log51aafx

xxa=−++.(1)求函数()fx的定义域；(2)若函数()fx的最大值为2，求实数a的值.【答案】(1)()5,1−；(2)3【详解】（1）对于函数()()()()log1log51aafxxxa=−

++，有1050xx−+，解得51x−，因此，函数()fx的定义域为()5,1−.（2）因为()()()()2log1log5log45aaafxxxxx=−++=−−+且51x−，则20459xx−−+，因为1a，则函数logayu=为()0,+

上的增函数，故()maxlog92afx==，可得29a=，又1a，解得3a=.44．已知函数()2logfxx=，()()()11gxfxfx=−++.(1)判断函数()gx的奇偶性并予以证明；(2)若存

在x使得不等式()1−gxm成立，求实数m的最大值.【答案】(1)偶函数，证明见解析；(2)1【详解】（1）函数()gx为偶函数，证明如下：()()()()()2211log1log1gxfxfxxx=−++=−++，由1010xx

−+，解得11x−，()gx的定义域为()1,1−，关于原点对称，()()()()22log1log1gxxxgx−=++−=，()gx为偶函数.（2）若存在x使得不等式()1−gxm成立，()max1gxm−，而()()()()2222log1l

og1log1gxxxx=−++=−，()1,1x−，函数21yx=−在()1,0−上单调递增，在()0,1上单调递减，函数()gx在()1,0−上单调递增，在()0,1上单调递减，()()max00gxg==，10m−，即1m£，实数m的最大值为

1.45．已知函数()()()212log6logfxxax=−+−，且()81f=−.(1)求()fx的定义域；(2)求不等式()211fx−−的解集.【答案】(1)()6,12；(2)913,22

.【详解】（1）()()()21228log2log81log81faa=+−=−−=−，则()2log82a−=，解得12a=，则()()()22log6log12fxxx=−−−，则60120xx−−，解得612x，故()fx的定义域为()6,12.（2）由（1）知，(

)()()222266log6log12loglog11212xfxxxxx−=−−−==−−−.因为函数6112yx=−−在()6,12上单调递增，所以()fx在()6,12上单调递增.又()81f=−，

所以()211fx−−等价于82112x−，解得91322x，则不等式()211fx−−的解集为913,22.46．已知函数2(4()log1)xfxmx+=−是偶函数．(1)若()1fx=，求x的值；(2)若实数t满足(()22)2fftt−+，求t的取值范围．【答案】

(1)0x=；(2)4t−或0t【详解】（1）由已知可得，22l41(4()logo4g1)xxxfxmxmx−+++=+−=()()24log12xmx=++−.因为2(4()log1)xf

xmx+=−是偶函数，所以()()fxfx−=对任意xR恒成立，即()()22loglo4141g2xxmxxmx+−=+−+对任意xR恒成立，所以2mm−=−+，所以1m=，所以2()log(41)xfxx=+−.由()1fx=可得，2(4o

g)1l1xx+−=，化简可得1412xx++=，即()()222221210xxx−+=−=，所以，21x=，解得0x=．（2）222l411(41)22()loglog2ogxxxxxfxx=++−==+.令2xt=，0x，则1t，根据对勾函数的

单调性可知，1ytt=+在()1,+上单调递增.又2xt=单调递增，根据复合函数的单调性可知，122xxy=+在()0,+上单调递增.又函数2logyx=单调递增，根据复合函数的单调性可知，()fx在(0,

)+上单调递增.又因为函数()fx为偶函数，所以有()2()2ttff−=−，()2(2)22fftt=++.所以，由(()22)2fftt−+即可得出()()222ftft−+，所以，222tt−+.平方整理可得，2

40tt+，解得4t−或0t．