【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十二讲 函数图象和函数实际应用（原卷版）.docx，共(18)页，4.172 MB，由小赞的店铺上传

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第四十二讲：函数图象和函数实际应用【教学目标】1.掌握函数解析式，选出大致图象；2.能利用已知函数模型求解实际问题；3.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．【基础知识】一、函数解析式，求图象解题步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）通过函数的奇偶性，确定奇偶函数

；（3）带特殊值，确定函数的值；（4）利用函数的增长差异，确定函数的单调性，最终确定函数图象.二、函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函

数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(

x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)解题步骤：(1)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．(4)还

原——将数学结论还原为实际问题．【题型目录】考点一：简单函数图象的判断考点二：复杂函数的图象判断考点三：由图象判断解析式考点四：实际应用的图象问题考点五：指数型函数的实际应用考点六：对数型函数的实际应用【考点剖析】考点一：简单函数图象的判断例题1．函数()221xfxx=+的图象大致

是（）A．B．C．D．变式训练1．函数()21,0ln(1),0xxfxxx−=+的图象大致为（）A．B．C．D．变式训练2．已知函数则函数2,0,()()()1,0,xxfxgxfxxx==−，则函数()gx的图象大致是（）A．B．C．D．变式训练3．函数()2

lnfxxx=+的图象大致为（）A．B．C．D．考点二：复杂函数的图象判断例2．函数2ln||()xfxx=的部分图象大致为（）A．B．C．D．变式训练1．函数()eexxfxx−+=的图象大致为（）A．B．C．D．变式训练2．函数()()2log41xfxx=−+的部分图象

大致为（）A．B．C．D．变式训练3．函数0.5log||()22xxxfx−=+的图象大致为（）A．B．C．D．考点三：由图象判断解析式例3．“家在花园里，城在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家

园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为

（）A．24yxx=−B．24yxx=−C．22yxx=−+D．22yxx=−+变式训练1．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中．有时可凭借函数的图象分

析函数解析式的特征．已知函数()fx的部分图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A．()21xfxx=−B．()221xfxx=−C．()221xfxx=+D．()2211xfxx+=−变式训练2．已知函数()fxx=，()22xxgx−=+，则大致图象如图的函数可能是（

）A．()()fxgx+B．()()fxgx−C．()()fxgxD．()()fxgx变式训练3．如图所示为函数()fx的图象，则()fx的解析式可能是（）A．()22xxfxx−+=B．()()22xxfxx−=+C．()()22xxfxx−=−D．()22x

xxfx−=+考点四：实际应用的图象问题例4．如图，ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AEx=，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．变式训练1

．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数()yfx=的图象大致为（）A．B．C．D．变式训练2．杭州亚运会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧

时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．变式训练3．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿ABCM→→→运

动时，点P经过的路程设为x，APM△面积设为y，则函数()yfx=的图象只可能是下图中的（）A．B．C．D．考点五：指数型函数的实际应用例5．目前，新冠疫情形势依然严峻，因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空

气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的）函数关系式为2332tay−=（a

为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；(2)据测定

，当空气中每立方米的药物含量不高于332毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．变式训练1．西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此

得名，具有1200多年历史．清乾隆游览杭州西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表

明，在25C室温下，龙井用85C的水泡制，再等到茶水温度降至60C时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从85C开始，经过x分钟后的温度为Cy且满足()25,01,0xykakax=+R．(1)求常数k的值；(2)经过测试可知

0.9227a=，求在25C室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到1分钟）（参考数据：lg20.3010，lg30.4771，lg70.8451，lg0.92270.0349−）变式训练2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有

学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数()It（t的单位：天）的Logistic模型：()()0.231etbKIt−−=+，其中K为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大

确诊病例数的一半.(1)求b的值；(2)为了切实保障人民群众的基本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作.请你根据上述Logistic模型预测：①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）②约多少天后累

计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.参考数据：0.23e0.8−，ln994.6.变式训练3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度为1C，环境温度为()001C，那么经过mint后物

体的温度()t（单位C），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型、指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：()ekttmn−=+，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．(1)科学家最后

确定了m，n这两个系数为010,,mn==−请你给出合理的解释；(2)现有55C的水杯中的水，放在15C的环境温度中冷却，10min以后的温度为35C，求k的值（结果用对数表示，不要作近似计算）；(3)中国茶

文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85C的水泡制，等茶水降至60C时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在25C的环境温度下，用85C的水泡制该绿茶，需要放置多少时间茶水才能达到最佳饮用口感？（单位：min，最

后结果取整数）．（注：本题取值ln20.70,ln31.10,ln71.95）考点六：对数型函数的实际应用例6．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为：315log10Mva

b−=+，(其中a,b是实数)，据统计，该种鸟类在静止的时间其耗氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单

位．变式训练1．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数301loglg2100xvx=−表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0

表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(1)若04x=，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？（结果保留到整数位，参考数据：lg40.60，1.233.74）(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，问雄鸟每分钟的耗

氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？变式训练2．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师”太空，12月4

日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式0lnMvvm=计算火箭的最大速度()m/sv，其中()0m

/sv是喷流相对速度，()kgm是火箭(除推进剂外)的质量，()kgM是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为()500m/s.(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术

改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的12，若要使火箭的最大速度至少增加()500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据:ln20.7，ln51.6，2.

718e2.719）变式训练3．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分

贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I（W/cm2）10-112×10-113×10-114×10-1110-10①9×10-7声强级D（dB）1013.0114.771

6.022040②现有以下三种函数模型供选择:Dklb=+，2DaIc=+，lgDmIn=+.(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结

合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:lg30.477)；(3)已知烟花的噪声分贝一般在(90,100)，其声强为1I；鞭炮的噪声分贝一般在(100,110)，其声强为2I；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在(135,1

45)其声强为3I，试判断13II与22I的大小关系，并说明理由.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用函数的相关图象和性质，确定复合函数的图象；(2)应用已知函数模型解决实际问题；(3)指数型函数模型；(4)对数型函数模型．2．方法归纳：转化法，数形结合法．3．常见误区：实际应

用题易忘记定义域和结论．【课后作业】1．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达了终点…用1S、2S分别表示乌龟和兔子所行的路程，t

为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．2．已知函数()lnexfxx=−，则()fx的图象大致为（）A．B．C．D．3．函数()222xxxfx−=−的部分图像大致为（）A．B．C．D．4．函数()()ee−

=−xxfxx的图象大致是（）A．B．C．D．5．已知1()ln(1)fxxx=+−，则()yfx=的图象大致为（）A．B．C．D．6．函数()3lnexxxfx=的部分图像大致为（）A．B．C．D．7．函数()()1lnfxxx=−的图象可能为（）A．B．C．D．8．

岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A．24yxx=−B．24yxx

=−C．22yxx=−+D．22yxx=−+9．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当(0,14t时，曲线是二次函数图象

的一部分，当14,45t时，曲线是函数()log583ayt=−+(0a且1a)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．(1)试求()pft=的函数关系式；(2)老师在什么时

段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．10．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液中的药物含量()yg与服药后

的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数()2,0,,tykataka=是常数的图象，且()()2,8,4,2AB.(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时

间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中药物含量不少于1g时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少g（参考数据：21.4）？1

1．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.如果刚泡好的茶水温度是1C，环境温度是0C，那么t分钟后茶水的温度（单位：C）可由公式()()010ektt−=+−求得.现有某种

刚泡好的红茶，茶水温度是85C，放在室温25Co的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是55C.(1)求k的值；(2)经验表明，当室温为20C时，该种红茶用80C的水泡制，自然冷却至60C时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才

能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1）（附：参考值ln20.7,ln31.1）12．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年

份2015201620172018投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①yxb=−+；②xyab=（0,0ab，且1b）；③log()ayxb=+（0a，且1a）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式；(2)试判断该企业年

利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.13．在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：km/s）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足2logMvabm=+．当携带的

燃料的质量和飞行器（除橪料外）的质量相等时，v约等于1.866km/s，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于3.732km/s．(1)求a，b的值；(2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行

器最大速度超过第二宇宙速度11.2km/s．（参考数据：0.00221）