【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十二讲 函数图象和函数实际应用 Word版含解析.docx，共(30)页，4.742 MB，由小赞的店铺上传

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第四十二讲：函数图象和函数实际应用【教学目标】1.掌握函数解析式，选出大致图象；2.能利用已知函数模型求解实际问题；3.能根据实际需要构建指数型函数或对数型函数模型解决实际问题．【基础知识】一、函数解析式，求图象解题步骤：（1）首先确定函数的定义域；（2）通过函数的

奇偶性，确定奇偶函数；（3）带特殊值，确定函数的值；（4）利用函数的增长差异，确定函数的单调性，最终确定函数图象.二、函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x

)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数型函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)对数型函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)幂函数型模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)解题步骤：(1

)审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型．(2)建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型．(3)求模——求解数学模型，得出数学模型．(4)还原——将数学结论还原为实际问题．【题型目录】

考点一：简单函数图象的判断考点二：复杂函数的图象判断考点三：由图象判断解析式考点四：实际应用的图象问题考点五：指数型函数的实际应用考点六：对数型函数的实际应用【考点剖析】考点一：简单函数图象的判断例题1．函数()221xfxx=+的图象大致是（）A．B．C．D

．【答案】D【详解】易知()fx的定义域为R，且()()()222211xxfxfxxx−−==−=−+−+,所以函数()fx为奇函数，故排除AB.令()0fx=，可得2201xx=+,解得0x=,所以()fx在R上只有一个零点，故排除C,故D

正确.故选:D.变式训练1．函数()21,0ln(1),0xxfxxx−=+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】当0x时，()21xfx=−，故()1102f−=−，排除ABC.故选：D.变式训练2．已知函数则函数2,0,()()()1,0,xxfxgxfx

xx==−，则函数()gx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为()()gxfx=−，所以()gx图像与()fx的图像关于y轴对称，由()fx解析式，作出()fx的图像如图从而可得()gx图像为B选项

.故选：B.变式训练3．函数()2lnfxxx=+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】函数()fx的定义域为(,0)(0,)−+，()221xfxxx+=+=，令()0fx=得2x=−，当,()0x+时，()0fx¢>，()fx单调递增；当(,2)

x−−时，()0fx¢>，()fx单调递增；当(2,0)x−时，()0fx，()fx单调递减；则函数()fx在(,2)−−和(0,)+上单调递增，在(2,0)−单调递减.只有D选项满足.故选：D考点二：复杂函数的图象判断例2．函数2ln

||()xfxx=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】2ln||()()xfxfxx−=−=−，则()fx为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，当1x=时，(1)0f=，当ex=时，2(e)0ef=，故排除A，故选：C．变式训练1．函数()eexxf

xx−+=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由题知，()fx的定义域为0xxR，因为()()eexxfxfxx−+−==−−，∴()fx是奇函数，排除A，C，因为()()2233eeee2323ff−−++==，排除D.故选：B.变式训练2．函数()()2l

og41xfxx=−+的部分图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【详解】()()0200log4110f=−+=−，排除C选项.410x+，()fx的定义域为R，()()()222241log41

loglog41log44xxxxxfxxxx−+−=−−+=−−=−−+−()()()222log41log41xxxxxfx=−+−+=−+=，所以()fx是偶函数，排除D选项.()()()122211log411log51log410ff=−+=−−

=−=，所以B选项错误.故A选项正确.故选：A变式训练3．函数0.5log||()22xxxfx−=+的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为0.5log||()22xxxfx−=+的定义域为0xx，则()0.5log()22xxxfxfx−−−==+，

所以()fx为偶函数，所以排除C、D；当()0,1x时，0.5log0,220xxx−+，所以()0.5log022xxxfx−=+，排除A.故选：B.考点三：由图象判断解析式例3．“家在花园里，城

在山水间．半城山色半城湖，美丽惠州和谐家园．．．．．．”首婉转动听的《美丽惠州》唱出了惠州的山姿水色和秀美可人的城市环境．下图1是惠州市风景优美的金山湖片区地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形

可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A．24yxx=−B．24yxx=−C．22yxx=−+D．22yxx=−+【答案】C【详解】由图可知，“心形”关于y轴对称，所以上部分的函数为偶函数，则函数24yxx=−和22yxx=−

+都不满足，故排除B、D；而24yxx=−的图象过点()0,0，()2,0−，()2,0，且02x时，2224422xxyxx+−=−=，当且仅当2x=时，等号成立，即函数24yxx=−的最大值为2，又“心形”函数的最大值为1，故排除A；由22yxx=−+的图象过点()0,0，

()2,0−，()2,0，且02x时，()22222111yxxxxx=−+=−+=−−+，当且仅当1x=时，等号成立，即函数22yxx=−+的最大值为1，满足题意，故C满足.故选：C．变式训练1．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微

．数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中．有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数()fx的部分图象如图所示，则函数()fx的解析式可能为（）A．()21xfxx=−B．()221xfxx=−C．()

221xfxx=+D．()2211xfxx+=−【答案】B【详解】由题干中函数图象可知其对应的函数为奇函数，而D中的函数为偶函数，故排除D；由题干中函数图象可知函数的定义域不是实数集，故排除C；对于A，

当1x时，0y，不满足图象，故排除A，选B.故选：B变式训练2．已知函数()fxx=，()22xxgx−=+，则大致图象如图的函数可能是（）A．()()fxgx+B．()()fxgx−C．()()fxgxD．()()fxgx【答案】D【详解】()fx，()gx的定义域均为R，且()()fxxf

x−=−=−,()()22xxgxgx−−=+=，所以()fx为奇函数，()gx为偶函数.由图易知其为奇函数，而()()fxgx+与()()fxgx−为非奇非偶函数，故排除AB.当x→+时，()()fxg

x→+，排除C.故选:D．变式训练3．如图所示为函数()fx的图象，则()fx的解析式可能是（）A．()22xxfxx−+=B．()()22xxfxx−=+C．()()22xxfxx−=−D．()22xxxfx−=+【答案】D【详解】

由图知()fx在0x=处有定义，排除A；对C，由图象知()fx为奇函数，而()()()()2222,xxxxfxxfxx−−=−=−=−−排除C；对于B，当x趋近于正无穷时，()fx趋近于正无穷，与图象所体现的几何直观不符，排除B；对于D，易知()fx

为奇函数，且当x趋近于正无穷时，()fx趋近于0，符合图象所体现的几何直观.故选：D.考点四：实际应用的图象问题例4．如图，ABC是边长为2的等边三角形，点E由点A沿线段AB向点B移动，过点E作AB的垂线l，设AEx=，记位于直线l左侧的图形的面积为y，那么y

与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【详解】因为ABC是边长为2的等边三角形，所以当AEx=时，设直线l与AC交点为F，当E点在AB中点左侧时，3EFx=，2133(01)22AEFSxxxx==，此时函数为开口向上的二次函数；

此时可排除BC，当E点在AB中点右侧时，213(2)3(2)(2)22BEFSxxx=−−=−，此时左侧部分面积为：2223332(2)(2)3(12)422ABCBEFSSxxx−=−−=−−+，此时函数为开口向下d额二次函数，此时可排除A，故选：D变式训练1．在我国大西北

，某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数()yfx=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】由题设(110%)1.1xxy=+=，由1.11，结合指数函数的图象知：D符合要求.故选：D变式训练2．杭州亚运

会火炬如图（1）所示，小红在数学建模活动时将其抽象为图（2）所示的几何体.假设火炬装满燃料，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，记剩余燃料的高度为h，则h关于时间t的函数的大致图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】由图可知，该火炬中间细，上下粗，燃烧时燃料以均匀的速度消耗，燃料在燃烧

时，燃料的高度一直在下降，刚开始时下降的速度越来越快，燃料液面到达火炬最细处后，燃料的高度下降得越来越慢，结合所得的函数图象，A选项较为合适.故选：A.变式训练3．如图，点P在边长为1的正方形ABCD上运动，设点M为CD的中点，当点P沿ABCM→→→运

动时，点P经过的路程设为x，APM△面积设为y，则函数()yfx=的图象只可能是下图中的（）A．B．C．D．【答案】A【详解】当点P在AB上时：111,0122==yxxx；当点P在BC上时：ABPADMPCMABCDySSSS=−−−正方形()(

)2111111311112,122222244xxxx=−−−−−=−+；当点P在CM上时：15155()1,222242=−=−+yxxx，所以1,01213,1244155,2242xxyxxxx=−+−+

，由函数解析式可知，有三段线段，又当点P在BC上时是减函数，故符合题意的为A.故选：A考点五：指数型函数的实际应用例5．目前，新冠疫情形势依然严峻，因防疫需要，某学校决定对教室采用药熏消毒法进行消毒，

药熏开始前要求学生全部离开教室．已知在药熏过程中，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）与药熏时间t（小时）成正比：当药熏过程结束，药物即释放完毕，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）达到最大值．此后，教室内每立方米空气

中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）的）函数关系式为2332tay−=（a为常数）．已知从药熏开始，教室内每立方米空气中的药物含量y（毫克）关于时间t（小时）的变化曲线如图所示．(1)从药熏开始，求每立方米空气中的药物含量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式；(2)据测

定，当空气中每立方米的药物含量不高于332毫克时，学生方可进入教室，那么从药薰开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)20.45,00.23,0.232tttyt−=；(2)0.7h【详解】（1）依题意，当0

0.2t时，可设ykt=，且10.2k=，解得5k=又由0.43132a−=，解得0.4a=，所以20.45,00.23,0.232tttyt−=（2）令20.4333232t−

，即20.41t−，解得0.7t，即至少需要经过0.7h后，学生才能回到教室.变式训练1．西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史．清乾隆游览杭州

西湖时，盛赞西湖龙井茶，把狮峰山下胡公庙前的十八棵茶树封为“御茶”．其外形扁平挺秀，色泽绿翠，内质清香味醇，泡在杯中，芽叶色绿，而泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在25C室温下，龙井用85C的水泡制，再等到茶水温度降至60C时饮用，可以产生最佳饮用口感．经过研究发现，设茶水温度从8

5C开始，经过x分钟后的温度为Cy且满足()25,01,0xykakax=+R．(1)求常数k的值；(2)经过测试可知0.9227a=，求在25C室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮

用口感?（结果精确到1分钟）（参考数据：lg20.3010，lg30.4771，lg70.8451，lg0.92270.0349−）【答案】(1)60k=；(2)刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感【详解】（1）因为茶

水温度从85C开始，即当0x=时，2585yk=+=，解得60k=.（2）当0.9227a=时，600.922725xy=+，当60y=时，600.92272560x+=，即70.922712x=，所以，0.92277lg7lg72lg2lg30.845120.30100

.477112log6.704912lg0.9227lg0.92270.0349x−−−−===−，所以，刚泡好的茶水大约需要放置7分钟才能达到最佳饮用口感.变式训练2．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎

累计确诊病例数()It（t的单位：天）的Logistic模型：()()0.231etbKIt−−=+，其中K为最大确诊病例数.已知目前疫情在该地区发生第53天，累计确诊病例数达最大确诊病例数的一半.(1)求b的值；(2)为了切实保障人民群众的基

本生活需要，目前政府需要根据疫情发展部署进一步强化生活必需品市场供应保障的工作.请你根据上述Logistic模型预测：①第54天单日新增确诊病例数；（结果用含K的代数式表示）②约多少天后累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%？请说明理由.参考数据：0.23e0.8−，ln994.6.【

答案】(1)53；(2)①18K；②20天，理由见解析【详解】（1）由题意，0t且为整数，在()()0.231etbKIt−−=+中，()()0.23535321ebKKI−−==+，∴()0.2353

e1b−−=，解得：53b=.（2）①由题意及（1）得，0t且为整数，在()()0.231etbKIt−−=+中，53b=，∴()()0.23531etKIt−−=+，∵()()0.230.2354535541e10.891eKKKKI−−−====+++，()1532I

K=，∴()()554539218KKKII−=−=，∴第54天单日新增确诊病例数为18K.②由题意，（1）及（2）①得，0t且为整数，在()()0.23531etKIt−−=+中，当累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%时，()0.23530.991etKK−−=

+，∴()0.23531001e99t−−+=，∴()0.2353e99t−=，∴()0.2353ln99t−=，∴()0.23534.6t−=，∴5320t−=，∴约20天后，累计确诊病例数为最大确诊病例数的99%.变式训练3．把物体放在冷空气中冷却，如果物体

原来的温度为1C，环境温度为()001C，那么经过mint后物体的温度()t（单位C），科学家在建立实际生活中有广泛应用需求的“物体冷却模型”的过程中，通过大量的实验对比，从幂函数模型、指数函数模型和对数函数模型中，筛选出指数模型：()ekttmn−=+，其中k是一

个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．(1)科学家最后确定了m，n这两个系数为010,,mn==−请你给出合理的解释；(2)现有55C的水杯中的水，放在15C的环境温度中冷却，10min以后的温度为35C，求k的值

（结果用对数表示，不要作近似计算）；(3)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85C的水泡制，等茶水降至60C时饮用，可以达到最佳饮用口感，那么在25C的环境温度下，用85C的水泡制该绿茶，需要

放置多少时间茶水才能达到最佳饮用口感？（单位：min，最后结果取整数）．（注：本题取值ln20.70,ln31.10,ln71.95）【答案】(1)答案见解析；(2)ln210k=；(3)需要放置8分钟才能达到最佳

饮用口感【详解】（1）当0=t时，01(0)emnmn=+=+=；当t→时，e0−→，则()emn−=+，有0m=，∴010,mn==−．∴()00()ektt−=+−．（2）由题意，103515(5515)

ek−=+−，∴10201e402k−==，∴110ln2k−=，∴ln210k=．（3）设刚泡好的茶水大约需要放置t分钟才能达到最佳饮用口感，由题意，可知1085,25,()60t===，∴ln2106

025(8525)et−−=−，∴ln2107e12t−=，∴1ln72ln1012t=，∴7lnln32ln2ln712110ln2ln2t+−==∴10(ln32ln2ln7)7.86ln2t+−=所以刚泡好的茶水大约需要放置8分钟才能达到最佳饮用口感考

点六：对数型函数的实际应用例6．候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模地迁徙,研究某种鸟类的专家发现,该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量M之间的关系为：315log10Mvab−=+，(其中a,b是实数)，据统计，该种鸟类在静止的时间其耗

氧量为45个单位，而其耗氧量为105个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位．【答案】（1）1,1ab=−=（2）285【详解】（1）由题意可得，345150log10ab

−=+，化简得，0ab+=①，3105151log10ab−=+，化简得，20ab+=②，联立①②，得1,1ab=−=．（2）由（1）得，3151log10Mv−=−+，根据题意可得，3151log210Mv−=−+，即315

log3,10M−即3315loglog2710M−，解得，285M．所以，若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要285个单位．变式训练1．每年红嘴鸥都从西伯利亚飞越数

千公里来到美丽的昆明过冬，科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以用函数301loglg2100xvx=−表示，v的单位是km/min，其中x表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，常数x0表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差.(1)若04x=，候鸟停下休息时，它每分钟的耗

氧量为多少个单位？（结果保留到整数位，参考数据：lg40.60，1.233.74）(2)若雄鸟的飞行速度为1.3km/min，雌鸟的飞行速度为0.8km/min，问雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的多少倍？【答案】(1)37

4；(2)3【详解】（1）将040xv==，，代入301loglg2100xvx=−，得310loglg42100x=−，则3log2lg41.2100x=，即1.233.74100x，解得374x，所以候鸟停下休息时，

它每分钟的耗氧量为：374个单位；（2）设雄鸟每分钟的耗氧量为1x个单位，雌鸟每分钟耗氧量为2x个单位，由题意得：13023011.3loglg210010.8loglg2100xxxx=−=−，两式相减得13210.5log2xx=，解

得123xx=，所以雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟耗氧量的3倍.变式训练2．近年来，得益于我国先进的运载火箭技术，我国在航天领域取得了巨大成就.2022年11月29日，神舟十五号载人飞船搭载航天员费俊龙、邓清明、张陆飞往中国空间站，与神舟十四航天员“会师

”太空，12月4日晚神舟十四号载人飞船返回舱成功着陆，航天员陈冬、刘洋、蔡旭哲安全顺利出舱，圆满完成飞行任务.据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可用公式0lnMvvm=计算火箭的最大速度()m/sv，其中()0m/sv是

喷流相对速度，()kgm是火箭(除推进剂外)的质量，()kgM是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知A型火箭的喷流相对速度为()500m/s.(1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；(2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对

速度提高到了原来的2倍，总质比变为原来的12，若要使火箭的最大速度至少增加()500m/s，求在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值.（参考数据:ln20.7，ln51.6，2.718e2.719）【答案】(1)2650m/s；(2)11【

详解】（1）由已知可得()()500ln200500ln2ln100500ln22ln2ln5v==+=++()5003ln22ln52650m/s=+.（2）设在材料更新和技术改进前总质比为x，且10ln500lnvvxx==，

21000ln2xv=，若要使火箭的最大速度至少增加500m/s，所以211000ln500ln5002xvvx−=−，即2lnln12xx−，2lnlnln124xxx−=，所以e4x，解得4ex，因为2.718e2.

719，所以10.8724e10.876，所以材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为11.变式训练3．我们知道，声音由物体的振动产生，以波的形式在一定的介质（如固体、液体、气体）中进行传播.在物理学中，声波在单位时间内作用在与其传递方向垂直的单位面积上的能量称为声强I（W/cm

2）.但在实际生活中，常用声音的声强级D（分贝dB）来度量，为了描述声强级D（dB）与声强I（W/cm2）之间的函数关系，经过多次测定，得到如下数据:组别1234567声强I（W/cm2）10-112×10-113×10-11

4×10-1110-10①9×10-7声强级D（dB）1013.0114.7716.022040②现有以下三种函数模型供选择:Dklb=+，2DaIc=+，lgDmIn=+.(1)试根据第1-5组的数据选出你认为符合实际的函数模型，简单叙述

理由，并根据第1组和第5组数据求出相应的解析式；(2)根据（1）中所求解析式，结合表中已知数据，求出表格中①、②数据的值（参考数据:lg30.477)；(3)已知烟花的噪声分贝一般在(90,100)，其

声强为1I；鞭炮的噪声分贝一般在(100,110)，其声强为2I；飞机起飞时发动机的噪声分贝一般在(135,145)其声强为3I，试判断13II与22I的大小关系，并说明理由.【答案】(1)lgDmIn=+，理由见解析，1

0lg120DI=+(2)810−，59.54(3)2132III，理由见解析【详解】（1）选择lgDmIn=+.由表格中的前四组数据可知，当自变量增加量为1110−时，函数值的增加量不是同一个常数，所以不应该选择一次函数；同时当自变量增加量为1110−

时，函数值的增加量从3.01变为1.76，后又缩小为1.25，函数值的增加量越来越小，也不应该选择二次函数；故应选择lgDmIn=+.由已知可得111010lg1020lg10mnmn−−=+=+

，即10112010mnmn=−+=−+，解得10120mn==，所以解析式为10lg120DI=+.（2）由（1）知10lg120DI=+，令10lg12040I+=，可得lg8I=−，810I−=，故①处应填810−；又当7910I−=时，10lg95020lg350200.

4775059.54D=+=+=+=，故②处应填59.54.（3）解：设烟花噪声、鞭炮噪声和飞机起飞时发动机噪声的声强级分别为123,,DDD，由已知12390100,100110,135145DDD，故有1

322DDD+，所以()13210lg12010lg120210lg120III++++，因此132lglg2lgIII+，即()2132lglgIII，所以2132III.【课堂小结】1．知识清单：(1)利用函数的相关图象和性质，确定复

合函数的图象；(2)应用已知函数模型解决实际问题；(3)指数型函数模型；(4)对数型函数模型．2．方法归纳：转化法，数形结合法．3．常见误区：实际应用题易忘记定义域和结论．【课后作业】1．“龟兔赛跑”讲述了

这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晩，乌龟还是先到达了终点…用1S、2S分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下图与故事情节相吻合的是（）A．B．C．D．【答案】C【详解】对于乌龟，其运动过

程分为两段：从起点到终点乌龟没有停歇，一直以匀速前进，其路程不断增加；到终点后，等待兔子那段时间路程不变；对于兔子，其运动过程分三段：开始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中间由于睡觉，速度为零，其

路程不变；醒来时追赶乌龟，速度变大，所以路程增加的快；但是最终是乌龟到达终点用的时间短.故选：C.2．已知函数()lnexfxx=−，则()fx的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D【详解】当1x=时，()1ln1ee0f=

−=−，排除A，B，C.故选：D.3．函数()222xxxfx−=−的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】因为()()()222xxxfxfx−−−==−−，又函数的定义域为0xx，故()fx为奇函数，排除AC；根据指数函

数的性质，2xy=在R上单调递增，当0x时，xx−，故22xx−，则()0fx，排除D.故选：B4．函数()()ee−=−xxfxx的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】()()ee()xxfxxfx−−=−−=，故()fx为偶函数，()()()ee

eexxxxfxx−−=−++，当0x时，()0fx，且随着x增大而增大，故()fx增长越来越快，故选：B5．已知1()ln(1)fxxx=+−，则()yfx=的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【详解】由已知得函数()fx的定义域为()()1

,00,−+，由此排除选项D,由于1110112elnln222f−==+，由此排除选项A和C,故选：B.6．函数()3lnexxxfx=的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】C【详解】因为()3lnexxxfx=，所以()fx的定义域为()(),00

,−+U．且关于原点对称.又()()33()lnlneexxxxxxfxfx−−−−==−=−，所以()fx是奇函数，则排除A，D．当01x时，()0fx，当1x时，()0fx，排除B，故选：C．7．函数()()1lnfxxx=−的图象可能为

（）A．B．C．D．【答案】A【详解】函数()()1lnfxxx=−的定义域为0xx，排除B；当12x=时，()11ln022fx=−，排除D；当x趋近负无穷时，10,lnxx−趋于正无穷，所以()()1ln0fxxx=−，排除C.故选：A.8．岭南古邑的番禺不仅拥有深厚的历史文化

底蕴，还聚焦生态的发展．下图1是番禺区某风景优美的公园地图，其形状如一颗爱心．图2是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在x轴上方的图象对应的函数解析式可能为（）A．2

4yxx=−B．24yxx=−C．22yxx=−+D．22yxx=−+【答案】C【详解】对于A，()22222244422xxyxxxx+−=−=−=（当且仅当224xx=−，即2x=时取等号），24yxx=−在()2,2−上的最大值为2，与图象不符，A错误；对于B，当()

2,0x−时，240yxx=−，与图象不符，B错误；对于C，()22211yxxx=−+=−−+，当1x=时，max1y=；又22yxx=−+过点()()()2,0,2,0,0,0−；由220xx−+得：()20xx−，解得：22x−，即函数定义域为22−,；

又()2222xxxx−−+−=−+，22yxx=−+为定义在22−,上的偶函数，图象关于y轴对称；当0,2x时，()22211yxxx=−+=−−+，则函数在()0,1上单调递增，在()1,2上单调递减；综上所述：22yxx=−+与图象相符，C正确；对于D

，由220xx−+得：02x，22yxx=−+不存在()2,0x−部分的图象，D错误.故选：C.9．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当(0,14t时，曲线是二次函数图象的一部分

，当14,45t时，曲线是函数()log583ayt=−+(0a且1a)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．(1)试求()pft=的函数关系式；(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．【答案】(1)()()(()(21

311282,0,144log583,14,45ttfttt−−+=−+(2)老师在()1222,32−这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析【详解】（1）由题意知，当(0,14t时，曲线是二次函数图象的一部分，抛物线顶点坐标为(12,82)

，且曲线过点(14,81)，设二次函数为()21282yat=−+，则()214128281a−+=，解得14a=−，则可得()()2112824ftt=−−+，(0,14t．又当14,45t时，曲线是函数()log583ayt=−+(0a且1a

)图象的一部分，且曲线过点()14,81，则log92a=−，即29a−=，解得13a=，则()()13log583ftt=−+，14,45t．则()()(()(21311282,0,144log583,14,45ttpfttt−−+==−+.（2

）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，当(0,14t时，令()()211282804ftt=−−+，解得：122214t−.当(14,45t时，令()()13log58380ftt=−+，解得：1432t.综上可得，1222,32t−.故

老师在()1222,32−这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．10．某医学研究所研发一种药物，据监测，如果成人在2h内按规定的剂量注射该药，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，每毫升血液

中的药物含量()yg与服药后的时间t（h）之间近似满足如图所示的曲线，其中OA是线段，曲线段AB是函数()2,0,,tykataka=是常数的图象，且()()2,8,4,2AB.(1)写出注射该药后每毫升血液中药物含量y关于时间t的函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中药物含量

不少于1g时治疗有效，如果某人第一次注射药物为早上8点，为保持疗效，第二次注射药物最迟是当天几点钟？(3)若按（2）中的最迟时间注射第二次药物，则第二次注射后再过1.5h，该人每毫升血液中药物含量为多少g（参考数据：21.4）？【答案】(1)4,021

32,22tttyt=；(2)13点；(3)()6.35g【详解】（1）当02t时，4yt=，当2t时，把()()2,8,4,2AB代入2yka=（2,0,,taka是常数）得：2482ka

ka==，解得：1232ak==，∴4,02132,22tttyt=.（2）设第一次注射药物后最迟过t小时注射第二次药物，其中2t.则13212t，解得：5t，∴第一次注射药物5h后开始第二次注射药物，即最迟13点注射药物.（3）第

二次注射药物1.5h后每毫升血液中第一次注射药物的含量：6.51123224y==每毫升血液中第二次注射药物的含量：241.56yg==，所以此时两次注射药物后的药物含量为：()266.354g+1

1．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.如果刚泡好的茶水温度是1C，环境温度是0C，那么t分钟后茶水的温度（单位：C）可由公式()()010ektt−=+−求得.现有某种刚泡好的红茶，茶水温度是85C，放在室

温25Co的环境中自然冷却，10分钟以后茶水的温度是55C.(1)求k的值；(2)经验表明，当室温为20C时，该种红茶用80C的水泡制，自然冷却至60C时饮用，可以产生最佳口感，那么，刚泡好的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感?（结果精确到0.1）（附：参考值

ln20.7,ln31.1）【答案】(1)ln210k=；(2)5.7分钟【详解】（1）依题意，()1055=，012585，==.则()10258525e55k−+−=化简，101e2k−=得，110ln2k−=，即：ln210k=.（2）由（1）得()ln2102060ett−=+

.令()60t=，即ln2102060e60t−+=.得ln2102e3t−=ln22ln103t−=得()()310ln10ln3ln2101.10.74025.7ln2ln20.77t−−====

.所以刚泡好的茶水大约需要放置5.7分钟才能达到最佳饮用口感.12．某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来利润y（百万元）与年投资成本x（百万元）变化的一组数据：年份2015201620172018

投资成本x35917…年利润y1234…给出以下3个函数模型：①yxb=−+；②xyab=（0,0ab，且1b）；③log()ayxb=+（0a，且1a）.(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求

出其解析式；(2)试判断该企业年利润不低于6百万元时，该企业是否要考虑转型.【答案】(1)可用③来描述x，y之间的关系，2log(1)yx=−(2)该企业要考虑转型.【详解】（1）由表格中的数据可知，年利润y是随着投资成本x的递增而递增，而①yxb=−+是单调递减，所以不符合题意；将()3,1，(

)5,2代入xyab=（0,0ab，且1b），得3512abab==，解得242ab==，∴()322224xxy−==.当9x=时，93228y−==，不符合题意；将()3,1，()5,2代入log()ayxb=+（0a，且1a），得1log(3)2log(5)aa

bb=+=+，解得21ab==−，∴2log(1)yx=−.当9x=时，2log83y==；当17x=时，2log164y==.故可用③来描述x，y之间的关系.（2）由题知2log(1)6x−，解

得65x.∵年利润610%65，∴该企业要考虑转型.13．在不考虑空气阻力的条件下，某飞行器的最大速度为v（单位：km/s）和所携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）的函数关系式近似满足2logMvabm=+．当携带的燃料的质量和飞行器（除橪料

外）的质量相等时，v约等于1.866km/s，当携带的燃料的质量是飞行器（除燃料外）的质量3倍时，v约等于3.732km/s．(1)求a，b的值；(2)问携带的燃料的质量M（单位kg）与飞行器（除燃料外）的质量m（单位kg）之比满足什么条件时，该飞行器最大速度超过

第二宇宙速度11.2km/s．（参考数据：0.00221）【答案】(1)1.866a=，1b=；(2)63Mm【详解】（1）当1Mm=时，()2log11.866vab=+=；当3Mm=时，()2log33.732vab=+=；解得()()22log32

log1bb+=+，即()231bb+=+，解得1b=或2b=−（舍去），则1.866a=；（2）由21.866log111.2Mvm=+，即2log16.002Mm+，即6.00260.0021222Mm+=，故63Mm，即

携带的燃料的质量与飞行器（除燃料外）的质量之比超过63时，该飞行器最大速度不小于第二宇宙速度11.2km/s．