【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十讲 对数及其运算性质（原卷版）.docx，共(14)页，1.085 MB，由小赞的店铺上传

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第四十讲：对数及其运算性质【教学目标】1.了解对数、常用对数、自然对数的概念；2.会进行对数式与指数式的互化；3.掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立的条件；4.掌握换底公式及其推论；5.能熟练运用对数的运算性质进行

化简求值．【基础知识】一、对数的定义一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意点：(1)对数是由指数转化而来，则底数a、指数或对数x、幂或真数N的范围不变，只是位置和名称发生了

变换；(2)logaN的读法：以a为底N的对数．二、两类特殊对数(1)以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lgN；(2)以无理数e＝2.71828…为底的对数称为自然对数，并把logeN记为lnN.三、对数的性质(1)l

oga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．(4)对数恒等式：logaNa＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．四、对数的运算如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么(1)loga(MN)＝

logaM＋logaN.(2)logaMN＝logaM－logaN.(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．注意点：(1)性质的逆运算仍然成立；(2)公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2

(－3)都没有意义；(3)性质(1)可以推广为：loga(N1·N2·…·Nk)＝logaN1＋logaN2＋…＋logaNk，其中Nk>0，k∈N*.五、换底公式1．logab＝logcblogca(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．2．对数换底公式的重要推论(

1)logaN＝1logNa(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)．(2)lognmab＝mnlogab(a>0，且a≠1，b>0)．(3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)．注意点：(1)公式成立的

条件要使每一个对数式都有意义；(2)在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝lgblga或logab＝lnblna.【题型目录】考点一：对数的概念考点二：对数式有意义考点三：对数与指数相互转化考点四：简单对数性质的计算考点五：利用对数性质求值考点六：对数运算公式的简单计算

考点七：对数运算公式的应用考点八：对数运算公式的化简和求值考点九：对数换底公式的应用考点十：对数运算公式的综合应用考点十一：实际问题中的对数运算【考点剖析】考点一：对数的概念例1．有下列说法：①以10为底的对数叫作常用对数；②任

何一个指数式都可以化成对数式；③以e为底的对数叫作自然对数；④零和负数没有对数.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4变式训练1．给出下列说法:①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫作常用对数;④以e为

底的对数叫作自然对数.其中正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4变式训练2．下列说法中错误的是（）A．零和负数没有对数B．任何一个指数式都可化为对数式C．以10为底的对数叫做常用对数D．以e为底的对数叫做自然对数变式训练3．对于下列说法：（1）零和负数没

有对数；（2）任何一个指数式都可以化成对数式；（3）以10为底的对数叫做自然对数；（4）以e为底的对数叫做常用对数．其中错误说法的个数为（）A．1B．2C．3D．4考点二：对数式有意义例2．使()log23aa−有意义的实数a的取值范围是（）A．()1,+B．()(

)0,11,+C．20,3D．2,3+变式训练1．使对数log(21)aa−+有意义的a的取值范围为（）A．12a且1aB．102aC．0a且1aD．12a变式训练2．已知对数式()12log

4aa+−有意义，则a的取值范围为（）A．()1,4−B．()()1,00,4−C．()()4,00,1−D．()4,1−变式训练3．使式子()211log2xx−−有意义的x的取值范围是（）A．()2,+B．1,22C．(),2−D．()1,11

,22考点三：对数与指数相互转化例3．已知函数()221log1xxfxxx=，则()()2ff=（）A．0B．-1C．1D．2变式训练1．将2193−=转化为对数形式，正确的是（）A．91log23=−；B．()13log29−=；C．13log92=−；D．(

)91log23−=．变式训练2．已知2log3x=，则x的值为（）A．2B．4C．6D．8变式训练3．已知函数()2log,021,0xxxfxx=+，则12ff的值为（）A．12

B．32C．3D．5考点四：简单对数性质的计算例4．有以下四个结论：①()lglg100=；②()lnlne0=；③若10lgx=，则10x=；④若elnx=，则2ex=．其中正确的是（）A．①③B．②④C．①

②D．③④变式训练1．有以下四个结论，其中正确的是（）A．()lglg101=B．()lglne0=C．若elnx=，则2ex=D．()lnlg10=变式训练2．有以下四个结论：①()lglg100=；②()lnlge0=；③若10lgx=，则

10x=；④若elnx=，则2ex=，其中正确的是（）A．①②B．②④C．①③D．③④变式训练3．下列各式：①()lglg100=；②()lgln0e=；③若10lgx=，则10x=；④若251log2x=，则5x=.其中正确的个数有（

）A．1个B．2个C．3个D．4个考点五：利用对数性质求值例5．若32log(log)1x=，则12x−等于（）A．13B．123C．122D．133变式训练1．已知32loglog(0)x=，那么x=（）A．1B．2C．

3D．4变式训练2．设5log(21)525x−=，则x的值等于（）A．10B．13C．100D．1001变式训练3．若20.52log[log(log)]0x=，则x的值是（）A．2B．2C．12D．1考点六：对数运算公式的简单计算例6．求下列各式的值．(1)7524log2

（）；(2)5lg100；变式训练1．化简151lg2lg222−+−的值得（）A．2B．2−C．1D．1−变式训练2．计算：0ln228241.1elog1lg10lnelog+−+++的值（）A．0B．152C．2D．3变式训练3．2ln23lg5lg20lg2

e+−的值为（）A．0B．1C．13D．53考点七：对数运算公式的应用例7．设3log4a=，3log5b=，则3log10=（）A．24ab+B．42ab−C．12ab+D．1142ab+变式训练1．已知lg2a=，lg3b=，那么lg18用a，b表示应为（）A．2abB．3abC．

2+abD．3ab+变式训练2．已知lg2,lg3ab==，则4log75=（）A．22aba−+B．222baa−+C．22baa−+D．222aba−+变式训练3．已知2823,log9xy==，则2xy+=（）A．3B．5C．22log3D．32考点八：对数

运算公式的化简和求值例8．计算下列各式的值：(1)()()()62034π13−+−−；(2)lg32lg2lg2510lne++−.变式训练1．计算：(1)1222312732482−−−+；(2)43232

7loglg25lg4log3log43++−.变式训练2．计算(1)12038110.25()lg162lg5()2722−−+−−+.(2)()()2lg1112log432162lg20lg2log2log3(21)9−++−−

+−.变式训练3．计算：(1)()2lg2lg2lg50lg25++;(2)23log3312514log8lglg25lglne162−+−+−−考点九：对数换底公式的应用例9．已知25a=，则lg40=（）A．31aa++B

．131aa++C．13aa++D．311aa++变式训练1．()()45log125log32的值为（）A．12B．1C．152D．15变式训练2．设3484log4log8loglog16m=，那么m等于（）A．92B．9C．18D．27变式训练

3．若ln2a=，ln3b=，则8log18=（）A．33aba+B．23aba+C．32aba+D．33aba+考点十：对数运算公式的综合应用例10．已知0.150log2,log2ab==，则21a

b+=（）A．-2B．-1C．1D．2变式训练1．已知43xym==，且122xy+=，则m=（）.A．3B．6C．12D．18变式训练2．已知34,abm==1122ab+=，则m的值为（）A．36B．6C．6D．46变式训练3．已知实数,ab满足()lglglg2abab+=

+，则2ab+的最小值是（）A．5B．9C．13D．18考点十一：实际问题中的对数运算例11．某科研小组研发一种抗旱小麦品种，已知第1代有40粒种子，若之后各代每粒种子可收获下一代15粒种子，则所得种子重

量首次超过1吨（约2400万粒）的是（）()lg20.3,lg30.48A．第6代种子B．第7代种子C．第8代种子D．第9代种子变式训练1．某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%，则该公司全年投入的研发

资金开始超过600万元的年份是（）（参考数据：lg20.301=，lg30.477=，lg50.699=，lg111.041=）A．2027年B．2028年C．2029年D．2030年变式训练2．标准的围棋共19行19列,361个格点，每个点上可

能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况，而我国北宋学者括在他的著作《梦溪笔谈》中，也论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”，即5210000，下列数据最接近3615231000的()lg30.477»是

（）A．3710−B．3610−C．3510−D．3410−变式训练3．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”我们可以把()36511%+看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是()36511%37.7834+；而把()36511%−看作是每天“退步”率都是1%，

一年后是()36511%0.0255−．若经过200天，则“进步”的值大约是“退步”的值的（）（参考数据：lg1012.0043，lg991.9956，0.87107.41）A．40倍B．45倍C．50倍D．55倍【课堂小结】1．知识清单：(1)对数的概念．(2)自然对数、常用对数

．(3)指数式与对数式的互化．(4)对数的运算性质．(5)利用对数的运算性质化简、求值．(6)换底公式．(7)对数的实际应用．2．方法归纳：转化法．3．常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围；要注意对数的换底公式的结构形式，易混淆【课后作业】1．已知函数()()2log6f

xx=−，则()2f=（）A．0B．1C．2D．32．已知23x=，则x=（）A．2log3B．3log2C．3D．323．已知函数()lnxfex=，若()0fa=，则=a（）A．0B．eC．1D．ee4．设lg525x=，则x的值等于（）A．10B．0.01C．100D．10005

．有下列说法:①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④log(5)35−=−成立.其中正确命题的个数为（）A．1B．2C．3D．46．在等式()2()log5aba−=−中，实数a的取值范

围是（）A．{5|aa或2}aB．{|23aa或35}aC．5|2aaD．{|34}aa7．方程()()2lg1lg22xx−=+的根为（）A．3−B．3C．1−或3D．1或3−8．下列对数式中，与指数式79x=等价的是（）A．7log9x=B．9log7x=−C．7lo

g9x=D．log97x=9．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A．0e1=与ln10=B．13182−=与811log23=−C．3log92=与1293=D．7log71=与177=10．已知25a=，8log3b=，

则32ab−=（）A．25B．5C．259D．5311．已知43x=，823y=，那么2xy+的值为（）A．8B．3C．1D．2log312．方程()3lnlog0x=的解是（）A．1B．2C．eD．313．下列算式计算正确的

是（）A．32213=B．22440−=C．32log81=D．lg3lg5lg15=14．若2lg(2)lglgxyxy−=+（20xy），则yx的值为（）A．4B．1或14C．1或4D．1415．已知函数()()222log2,23,2xxxf

xx−+−=，则()()30log36ff+=（）A．4B．5C．6D．716．解答下列各题．(1)计算：21log64；()3.1215loglog15．(2)已知43log2x=−，()

32loglog1y=，求xy的值．17．（1）已知18log9a=，185b=，求18log45.（用,ab表示）（2）已知9log4a=，95b=，求36log45.（用,ab表示）18．（1）计算331log2327lg50lg2+++；（2）已知23loglog

(lg)1x=，求实数x的值．19．求下列各式的值：(1)()10.52332770.02721259−＋－；(2)55557log352loglog7log1.83−+−.20．计算:(1)341lg2lg

3lg5log2log94−+−；(2)21log32531lglog3log2log5lne2100+−++.21．（1）求值：04133224245−−++；（2）若346xyz==，求212xyz+−的值.22．计算：(1)lg8lg125lg2lg5

lg10lg0.1+−−；(2)()()223666661log2log33log2log18log23++−23．计算与化简：(1)453log27log8log25(2)12271112333662228ababab−−−

−.(3)10220.51392(0.01)54−+−(4)222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++.