【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十三讲 函数零点问题 Word版含解析.docx，共(39)页，3.378 MB，由小赞的店铺上传

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第四十三讲：函数零点问题【教学目标】1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；3.能借助函数单调性及图象判断零点个数；4.了解二分法的原理及其适用条件，并掌握二分法的实施步骤；5.体会二分

法中蕴含的逐步逼近与程序化思想；6.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围；7.掌握一元二次方程的根的分布情况．【基础知识】一、函数零点的概念1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y

＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交点、对应方程的解的关系：注意点：(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)求零点可转化为求对应方程的解；(3)不能用公式求解的方程，可以与函

数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．二、函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是

方程f(x)＝0的解．注意点：(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理

是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为不变号零点．三、二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做

二分法．注意点：(1)二分法的求解原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解．四、精确度的计算给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的

步骤1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)

<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.【题型目录】考点一：零点区间考点二：已知单调零点区间求

参考点三：一次函数零点区间求参考点四：二次函数零点求参考点五：判断函数的正负考点六：二分法考点七：数形结合判断零点个数考点八：零点个数求参（常数）考点九：零点个数求参（一次截距）考点十：零点个数问题求参（参变分离）考点十一：零点根的关系考点十二：零点大小的比较考点十三：复合函数零点【考点剖析】

考点一：零点区间例1．函数()exfxx=+零点所在的区间为（）A．1,02−B．11,2−−C．10,2D．1,12【答案】B【详解】由()exfxx

=+，则函数图像是连续的且单调递增，则()1111e10ef−−=−+=−+，121111e0222ef−−=−+=−+，由函数零点存在定理可得函数零点所在区间为11,2−−.故选：B变式训练1．用二分法求函数()

2lnfxxx=−的零点时，初始区间大致可选在（）A．()1,2B．()2,3C．()3,4D．()e,+【答案】B【详解】由函数()2lnfxxx=−，可得()fx为单调递增函数，又由()()()

2120,2ln210,3ln303fff=−=−=−，即()()230ff，所以函数()2lnfxxx=−零点的初始区间大致为()2,3.故选：B.变式训练2．已知函数()33fxxx=+−，则(

)fx的零点存在于下列哪个区间内（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4【答案】B【详解】∵3()3fxxx=+−，∴(0)30,(1)10,(2)70,(3)270,(4)650fffff=−=−===

，∴(1)(2)0ff，又3yx=与3yx=−在R上单调递增，所以()fx在R上单调递增，∴函数()fx的零点所在的一个区间为(1,2)．故选：B.变式训练3．函数()ln47fxxx=+−的零点所在的区间是（）A．

()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4【答案】B【详解】由题意，函数()ln47fxxx=+−，可得函数()fx在()0,+为单调递增函数，又由()13f=−，()2ln210f=+，可

得()()120ff，所以函数()fx的零点所在的区间是()1,2.故选：B.考点二：已知单调零点区间求参例2．函数22()logfxxxm=++在区间()2,4上存在零点，则实数m的取值范围是（）A．(),18−−B．(5,)+C．(5,18)D．()18,5−−【答案

】D【详解】由零点存在定理可知，若函数22()logfxxxm=++在区间()2,4上存在零点，显然函数为增函数，只需满足(2)(4)0ff<，即()()5180mm++<，解得185m−−<<，所以实数m的取值范围是()18,5−−.故选：D变式训练1．函数1()

lnfxxx=−的零点为0x，且)0,1xkk+，Zk，则k的值为（）A．1B．2C．0D．3【答案】A【详解】因为1()lnfxxx=−在()0,+上单调递增，又()1211,(2)ln2ln02eff=−=−=，所以)01,2x，故选：A变式训练2．函数()22logfx

xxm=++在区间()1,2存在零点．则实数m的取值范围是（）A．(),5−−B．()5,1−−C．()1,5D．()5,+【答案】B【详解】由12logyx=在()0,+上单调递增，22yxm=+在()0,

+上单调递增，得函数()22logfxxxm=++在区间()0,+上单调递增，因为函数()22logfxxxm=++在区间()1,2存在零点，所以()()1020ff，即2222log

110log220mm++++，解得51m−−，所以实数m的取值范围是()5,1−−.故选：B.变式训练3．函数()132xfxax−=−+的一个零点在区间()1,2内，则实数a的取值范围是（）A．()1,+B．5,12−C．()

5,1,2−−+D．52−−,【答案】B【详解】2xy=和3yx=−在()0,+上是增函数，()32xfxax=−+在()0,+上是增函数，只需()()120ff即可，即()5102aa−

++，解得512a−．故选：B.考点三：一次函数零点区间求参例3．若函数()1fxmxm=−+在区间[0,1]上无零点，则m取值范围为（）A．01mB．1mC．0mD．1m【答案】

D【详解】当0m=时，则()1fx=，此时()fx无零点，符合题意，当0m时，令()0fx=，则1mxm−=，故10mxm-=<或11mxm-=>,解得01m或0m，综上可知()1fxmxm=−+在区间[0,1]上无零点，则1m，故选：

D变式训练1．当||1x时，函数21yaxa=++的值有正也有负，则实数a的取值范围是（）A．1,3−+B．(,1]−−C．11,3−−D．11,3−−【答案】C【详解】||111xx−.当0a=时，1y=，函数值恒为

正，不符合题意；当0a时，要想函数()21fxaxa=++的值有正也有负，只需(1)(1)0ff−，即1(21)(21)(31)(1)013aaaaaaa++−++=++−−.综上所述：113a−−.故选：C变式训练2．已知函数()312fxaxa=−

−在区间(1,1)−上存在零点，则（）A．115aB．15aC．15a−或1aD．15a−【答案】C【详解】∵()312fxaxa=−−在区间(1,1)−上单调且存在零点，∴(1)(1)(312)(312)(51)(1

)0ffaaaaaa−=−−−−−=−−−，∴1a或15a−．故选：C变式训练3．已知函数()312fxaxa=−−在区间()1,1−上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．1(,1),5−−+B．1,5+C．1,(1,)5−−+

D．1,5−−【答案】C【详解】因为函数()312fxaxa=−−为一次函数，要使其在区间11-（，）上存在零点，要保证其两端点分别在x轴的两侧，所以()()110ff−即(1)(1)(312)(312)0ffaaaa−=

−−−−−，解得15a−或1a，故选C项.考点四：二次函数零点求参例4．函数()2232fxxax=−+有两个零点，且分别在()2,1−−与()1,0−内，则实数a的取值范围是（）A．5433a−B．53a−或43aC．54

33a−−D．4533a【答案】C【详解】由题意可得：()()()()()()()2186223201023220ffaaffa−−=++++−=++，解得5433a−−.故选：C.变式训练1．已知函数2()65fxxxm=−+

−的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（）A．)4,3−−B．(4,3−−C．()4,3−−D．()(),43,−−−+【答案】C【详解】因为二次函数图象的开口向上，对称轴32x=，函数2()65fxxxm=−+−的两个零点都大于2，所以(

)()Δ3645020mf=−−，解得43m−−.故选：C变式训练2．关于x的方程2(2)210xmxm+−+−=恰有一根属于(0,1)，则实数m的取值范围是（）A．12,23B．12,23C．1,22D．122(,)(

,2)233【答案】B【详解】方程2(2)210xmxm+−+−=对应的二次函数设为：2()(2)21fxxmxm=+−+−，因为方程2(2)210xmxm+−+−=恰有一根属于(0,1)，则需要满足：①(0)(1)0ff或

者②函数()fx有一个零点刚好经过点(0,0)或者(1,0)，另一个零点属于(0,1)，解①得：(21)(32)0mm−−，解得：1223m解②得：把点(0,0)代入2()(2)21fxxmxm=+−+−，解得：12m=

，此时方程为2302xx−=，两根为0，32，而3(0,1)2，不合题意，舍去，把点(1,0)代入2()(2)21fxxmxm=+−+−，解得：23m=，此时方程为23410xx−+=，两根为1，13，而1(0,1

)3，故符合题意，综上：实数m的取值范围为12(,23]故选：B变式训练3．设12,xx是关于x的方程()2120xaxa+−++=的根．若1211,12xx−，则实数a的取值范围是（）A．4,13−−B．31,42−C．()2,1−D．()2,1−−【答案】A【

详解】由题意知，函数()()212fxxaxa=+−++开口方向向上，若1211,12xx−，则函数须同时满足三个条件：当=1x−时，()2120xaxa+−++，代入解得40，恒成立；当1x=时，()2120xaxa+−++，代入解得22

0,1aa+−；当2x=时，()2120xaxa+−++，代入解得4340,3aa+−，综上，实数a的取值范围是4,13−−.故选：A.考点五：判断函数的正负例5．设0x是函数21()log3xfxx=−

的零点，若00ax，则()fa的值满足（）A．()0fa=B．()0faC．()0faD．()fa的符号不确定【答案】C【详解】∵0x是函数21()log3xfxx=−的零点，∴00201()log03xfxx=−=，因为13xy=

是单调递减函数，2logyx=是单调递增函数，所以函数21()log3xfxx=−是单调减函数，故当00ax时，则0()()0fafx=，故选：C．变式训练1．已知a是函数()220.5logxfxxx=−−的零点，若00xa，则（）A．()00fx=B．()0

0fxC．()00fxD．()0fx的符号不确定【答案】B【详解】函数的定义域为()0,+，已知函数0.5xy=，2logyx=−，2yx=−在()0,+上是减函数，所以可判断函数()220.5logxfxxx=−−

在()0,+上是减函数，又因为a是函数()220.5logxfxxx=−−的零点，即()0fa=，根据单调性可得，当00xa，()0()0=fxfa.故选：B.变式训练2．已知0x是函数()21xfxx=+−的一个零点，若()101,xx−，()20,xx+，则（）A．(

)()120,0fxfxB．()()120,0fxfxC．()()120,0fxfxD．()()120,0fxfx【答案】B【详解】由于函数2xy=、1yx=−在R上均为增函数，所以，函数()21xfxx=+

−在R上为增函数，因为()101,xx−，()20,xx+，()()100fxfx=，()()200=fxfx.故选：B.变式训练3．若函数()fx唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，3(1,)2内，则与(0)f符号相同的是（）A．(4)fB．(2)fC．(1)

fD．3()2f【答案】C【分析】根据零点存在定理判断，注意零点的唯一性．【详解】由题意()fx的唯一零点在3(1,)2上，因此(1)f与(0)f符号相同，3()2f，(2)f，(4)f符号相同且与(0)f符号相

反，故选：C．考点六：二分法例6．若函数3222fxxxx（）=+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:()12f=-(1.5)0.625f=(1.25)0.984f=−(1.375)0.260f=−(1.4375)0.162f=(1.40625)0.054f=−那么方程3

222fxxxx（）=+--的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（）A．1.25B．1.39C．1.42D．1.5【答案】C【详解】依据题意，(1.4375)0.162f=，(1.40625)0.054f=−，所以方程的一个近似解为1.42，

满足误差不超过0.025，故选：C.变式训练1．用二分法求函数()fx在(,)ab内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算的条件是（）A．||0.2ab−B．||0.002ab−C．||0.002ab−D．||0.002ab−=【答案】

B【详解】根据二分法的步骤知，经过一次计算，区间长度变为2ab−，当0.0012ab−时，结束计算，故||0.002ab−，故选：B.变式训练2．用二分法求方程1ln0xx−=在1,2上的解时，取中点1.5c=，则下一个有解区间为（）A．1

,1.25B．1,1.5C．1.25,1.5D．1.5,2【答案】D【详解】令1()lnfxxx=−，易得()fx为增函数，又因为(1)10f=−，()112212ln2ln2ln2ln4ln2ln202flne=−=−−=−=，32(1.5)ln

23f=−32lnlne23=−32131ln()lne323=−()21271lnlneln420383=−−，所以下一个有根区间为1.5,2故选：D变式训练3．若函数()3222fxxx

x=+−−的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:(1)2f=−(1.5)0.625f=(1.25)0.984f=−(1.375)0.260f=−(1.4375)0.162f=(1.40625)0.054f=−

那么方程32220xxx+−−=的一个近似解（误差不超过0.02）为（）A．1.4375B．1.375C．1.25D．1.422【答案】D【详解】设近似解为00x，由零点存在性定理及二分法计算数据：因为(1)2f=−，(1.5)0.625f=，所以

0(1,1.5)x，又(1.25)0.9840f=−，所以0(1.25,1.5)x，又(1.375)0.2600f=−，所以0(1.375,1.5)x，又(1.4375)0.1620f=，所以0(1.375

,1.4375)x，又(1.40625)0.0540f=−，所以0(1.40625,1.4375)x，因为1.4221.406250.02,1.43751.4220.02−−，所以可取01.422

x=故选：D考点七：数形结合判断零点个数例7．函数()1elnxfxx=−的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】由()0fx=可得lnexx−=，作出函数lnyx=与exy−=的图象如下图所示：由图可知，函数lnyx=与exy−=的图象的

交点个数为2，故函数()fx的零点个数为2.故选：C.变式训练1．方程lg20xx+−=的解的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】由lg20xx+−=得lg2xx=−，在同一平面直角坐标系内作出lgy

x=与2yx=−的图象，两个函数的图象有两个交点，所以方程有两个解，故选：C.变式训练2．若函数22,0()1,0xxfxxx−=+，则函数()()2gxfx=−的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【详解】由题意函数

22,0()1,0xxfxxx−=+，则函数()()2gxfx=−的零点个数即()2fx=的解的个数，当0x时,令212+=x，即1x=，符合题意；当0x时，令22x−=，得=1x−，符合题意，故()()2gxfx=−的零点有

2个，故选：B.变式训练3．已知函数()221,02,0xxfxxxx−=−−，若实数(0,1m，则函数()()gxfxm=−的零点个数为（）A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3【答案】D【详解】函数()()gxfxm=−的零点个数即函数()yfx=与ym=的函数图象交点个数

问题，画出()221,02,0xxfxxxx−=−−的图象与ym=，(0,1m的图象，如下：故函数()()gxfxm=−的零点个数为2或3.故选：D考点八：零点个数求参（常数）例8．已知函数()22log,04,0xxfxxxx=−−，若()()g

xfxa=−有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．()0,4B．()0,3C．()0,2D．()0,1【答案】A【详解】画出()yfx=的图象如下图所示，()()gxfxa=−有4个零点，即()yfx=与ya=有4个公共点，所以a的取值范围是()0,4.故选：A变

式训练1．已知函数(),1ln1,1axxfxxx−=−有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aD．1a【答案】A【详解】令ln10x−=，得e1x=，所以e是函数()fx的一个零点，又函数(),1ln1,1axxfx

xx−=−有两个零点，0ax−=在(),1−上有解，1a.故选：A.变式训练2．设()33,0log,0xxfxxx=，若()0fxa−=有三个不同的实数根，则实数a的

取值范围是（）A．(1,2]B．(0,1]C．(2,)+D．[1,)+【答案】B【详解】因为()0fxa−=有三个不同的实数根，等价于()yfx=与ya=有3个不同的交点，画出()33,0log,0xxfxxx=与ya=的图象，所以01a，即实数a的取值范围是(0,1.故选

：B.变式训练3．已知()()e1,1ln1,1xxfxxx−=−，若方程()0fxa−=有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．()e1,−+C．)1,+D．1,e1−【答案】D【详解】当0x时，e11xy=−

−，由()0fxa−=可得()fxa=作出函数()fx、ya=的图象如下图所示：由图可知，当1e1a−时，直线ya=与函数()fx的图象有三个交点.故实数a的取值范围是1,e1−.故选：D.考点九：零点个数求参（一次截距）例9．已知函数

()e,0ln,0xxfxxx=，()()gxfxxa=++.若()gx存在2个零点，则a的取值范围是（）A．)1,0−B．)0,+C．)1,−+D．)1,+【答案】C【详解】()()gxfxxa=++存在2个零点，令()0fxxa++=，即()

fxxa=−−，故函数()yfx=的图象与直线yxa=−−有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线yx=−，可以看出当且仅当1a−，即1a−时，直线yxa=−−与函数()yfx=的图象有2个交点.故选：C.变式训练1．

已知函数()e,0ln,0xxfxxx=，()()2gxfxxa=++，若()gx存在2个零点，则实数a的取值范围是（）A．1,2−+B．)0,+C．1,02−D．1,2−+【答案】D

【详解】()()2gxfxxa=++存在2个零点，故函数()yfx=的图像与直线2yxa=−−有2个交点，画出函数图像，如图，平移直线yx=−，可以看出当且仅当21a−，即12a−时，直线2yxa=−−与函数()yfx=的图像有

2个交点.故选：D变式训练2．已知22,0()log,0xxfxxx=，若()()gxfxxm=++存在两个零点，则实数m的取值范围是（）A．)1,−+B．)1,0−C．)0,+D．)1

,+【答案】A【详解】()()0gxfxxm=++=，即()fxxm=−−，画出函数()yfx=和yxm=−−的图形，如图所示：根据图像知：图像要有两个交点，即1m−，即1m−.故选：A变式训练3．设

cR，函数,0,()22,0.xxcxfxcx−=−若()fx恰有一个零点，则c的取值范围是（）A．(0,1)B．{0}[1,)+UC．1(0,)2D．1{0}[,)2+U【答案】D【详解】画出函数

(),02,0xxxgxx=的图象如下图所示：函数,0,()22,0.xxcxfxcx−=−可由,0,()2,0.xxxgxx=分段平移得到，易知当0c=时，函数()fx恰有一个零点，满足题意；当0c时，代表图象往上平移，显然没有零

点，不符合题意；当0c时，图象往下平移，当021c时，函数有两个零点；当21c时，()fx恰有一个零点，满足题意，即12c；综上可得c的取值范围是10[,)2+.故选：D考点十：零点个数问题求参（参变分离）例10．已

知R，函数()22,2,xxfxxxx−=+−，若方程()0fx=恰有2个实数解，则的取值范围是（）A．()2,1−B．(()2,12,−+C．()2,12,−+D．()

)2,12,−+【答案】B【详解】由2yx=−在R上有零点2x=，且定义域上递增；22yxx=+−在R上有零点2x=−、1x=，开口向上，对称轴为12x=−；()fx的函数图象如下：要使方程()0fx=恰有2个实数解，由图知：21−或2.故选：B变式训练1．

已知函数25,()68,xxfxxxx−=−+()R，若函数()fx恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A．(2,4][5,)+B．()(2,4]5,+C．()(2,4]6,+D．()(3,4]6,+【答案

】B【详解】画出函数25,68yxyxx=−=−+的图象如下图所示，依题意25,()68,xxfxxxx−=−+有2个零点，所以实数的取值范围是()(2,4]5,+.故选：B变式训练2．已知

函数()()()21,12,1xxfxxaxax−=−−，若()fx恰有两个零点，则正数a的取值范围是（）A．102，B．1,22C．1,12D．()1,2【答案】C【详解】当1x时，210x−

=，得0x=成立，因为函数()fx恰有两个零点，所以1x时，()()20xaxa−−=有1个实数根，显然a小于等于0，不合要求，当0a时，只需满足12aa，解得：112a.故选：C变式训练3．设函数()()254fxxxax=−−+，若函数

()fx恰有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．250,26B．()0,1C．25,126D．()1,25【答案】B【详解】由题意，令()25gxxx=−，()()4hxax=+，函数()fx恰有4个零点，等价于函数()gx与()hx的图象恰有4个不同的交点

，作出两个函数的图象，易知0a.因为()yhx=的图象过()4,0−，则只需保证(4)yax=+和2(5)yxx=−−的图象有两个交点，则函数()gx与()hx的图象恰有4个不同的交点，又由()()254yxxyax=−−=+，得()2540

xaxa+−+=，由()2Δ5160aa=−−，得1a或25a（舍去），故01a，即实数a的取值范围为()0,1.故选：B.考点十一：零点根的关系例11．已知函数21,0()log,0xxfxxx+=，若方程()()Rfxaa=有四个不

同的解1234,,,xxxx，且1234xxxx，则()124xxx+的取值范围是（）A．[4,2)−−B．[4,2]−−C．(4,2)−−D．(4,2]−−【答案】A【详解】由题意作函数21,0()log,0xxfxxx+=与ya=的图象如下，∵方程()fxa=有四个不

同的解1234,,,xxxx，且1234xxxx，∴12,xx关于=1x−对称，即122xx+=−，当2log1x=得2x=或12，则412x，故1244()2xxx−+−，故选：A.变式训练

1．设函数()243,023,0xxxfxxx−+=+，若互不相等的实数1x、2x、3x，满足()()()123fxfxfx==，则123xxx++的取值范围是（）A．5,62B．5,42C．()2,4D．()2,6【

答案】C【详解】设123xxx，作出函数()fx的图象如下图所示：设()()()123fxfxfxm===，当0x时，()()2243211fxxxx=−+=−−−，由图象可知，13m−，则(

)()11231,3fxx=+−，可得120x−，由于二次函数243yxx=−+的图象的对称轴为直线2x=，所以，234xx+=，因此，12324xxx++.故选：C.变式训练2．已知函数()2log,021,0xxfxxx=+−，若函数()1yfxm=−

+数有四个零点a，b，c，d(abcd)则abcd++的值是（）A．1−B．1C．3−D．4−【答案】C【详解】画出函数()2log,021,0xxfxxx=+−的图象，函数()1yfxm=−+有四个零点，即函数()yfx=与1ym=−有

四个交点，因为()01f=，所以()10,1m−，由图象可得4ab+=−，所以22loglogcd−=，所以1cd=，所以413abcd++=−+=−，故选：C变式训练3．若12,xx分别是方程e20230xx+

−=，ln20230xx+−=的根，则12xx+=（）A．2022B．2023C．2023D．20231+【答案】B【详解】由题意可得1x是函数exy=的图象与直线2023yx=−+交点A的横坐标，2x是函

数lnyx=图象与直线2023yx=−+交点B的横坐标，因为exy=的图象与lnyx=图象关于直线yx=对称，而直线2023yx=−+也关于直线yx=对称，所以线段AB的中点就是直线2023yx=−+与yx=的交点，由2023yxyx==−+，得2023220

232xy==，即线段AB的中点为20232023(,)22，所以12202322xx+=，得122023xx+=，故选：B考点十二：零点大小的比较例12．已知,,abc满足3222,log2,20aabbcc−=++=−−−=，则,

,abc的大小关系为（）A．bacB．abcC．acbD．cba【答案】B【详解】由题意知：把a的值看成函数12xy−=与22yx=+图像的交点的横坐标，因为()1212−−−+，0202+，易知10a−；把b的值看成函数32logyx=与42yx=−−

图像的交点的横坐标，2log112−−，易知01b；把c的值看成函数35yx=与62yx=+图像的交点的横坐标，3112+，与3222+，易知12c.所以abc.故选：B.变式训练1．已知方程30,e0,ln0xxxxxx+=+=+=的根分别为123,,xxx，则下列式子

正确的是（）A．123xxxB．231xxxC．312xxxD．213xxx【答案】C【详解】依题意得3,e,lnxyxyyx===的图象与yx=−的图象的交点的横坐标依次为123,,xxx,作图可知

:2130xxx=.故选：C.变式训练2．已知eemm+=，5enn+=，则下列选项正确的是（）A．01mnB．01nmC．1emnD．1enm【答案】B【详解】构造函数()exfxx=+，()5xgxx=+，()eemfmm=+

=，()5engnn=+=，易知函数()fx，()gx为增函数.函数()fx，()gx与函数ey=的图象，如下图所示：由图可知，0nm.又(1)1e()ffm=+，(1)15>()ggn=+，所以1,1mn.综上，01nm.故选：B变式训练3．已知函数()21x

fxx=++，()2log1gxxx=++，()31hxxx=++的零点分别为a，b，c，则（）A．()()()fafbfcB．()()()fbfcfaC．()()()fcfafbD．()(

)()fbfafc【答案】B【详解】由()210xfxx=++=，得21xx=−−，所以a为2xy=与=1yx−−图象交点的横坐标，由()2log1gxxx=++，得2log1xx=−−，所以b为2logyx=

与=1yx−−图象交点的横坐标，由()310hxxx=++=，得31xx=−−，所以c为3yx=与=1yx−−图象交点的横坐标，分别作出322,log,xyyxyx===和=1yx−−的图象，则由图象可得acb，因为2xy=和1yx=+在R上

单调递增，所以()21xfxx=++在R上单调递增，所以()()()fbfcfa，故选：B考点十三：复合函数零点例13．已知函数()231,21024,2xxfxxxx−=−+，函数()()()()233gxfxmfxm=

−++有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A．()3,024−，B．()3,24C．)2,16D．)3,24【答案】B【详解】作出函数()fx的图像如下：数()()()()233gxfxmfxm=−++，且函数()Fx有6个零点

等价于(3())(()1)0fxmfx−−=有6个解，等价于()1fx=或3()mfx=共有6个解等价于函数()yfx=与,13myy==共有6个交点，由图可得()yfx=与1y=有三个交点，所以()yfx

=与3my=有三个交点则直线3my=应位于1,8yy==之间，所以183243mm故选：B.变式训练1．已知函数()21ln,04,0xxfxxxxx−=+，则函数()()4yffx=+的零点的个数是（）A．3B．4C．5D．6

【答案】D【详解】令()()21ln4,042,0xxxtfxxx−+=+=+．①当0t时，1()lnfttt=−，则函数()ft在(0,)+上单调递增，由于1(1)10,(2)ln202ff=−=−

，由零点存在定理可知，存在1(1,2)t，使得()10ft=；②当0t时，2()4fttt=+，由2()40fttt=+=，解得24t=−，30t=．作出函数()4tfx=+，直线1=tt，4t=−，0=t的图象如下图所示：由图象可知，直线1=tt与函数()4tfx=+的图象有三个交点；直

线0=t与函数()4tfx=+的图象有两个交点；直线4t=−与函数()4tfx=+的图象有且只有一个交点．综上所述，函数()1yffx=+的零点个数为6．故选：D．变式训练2．已知函数222,

0()2,0xxxfxxxx−+=+，若关于x的不等式2[()]()0fxafx+恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2B．3C．5D．8【答案】D【详解】函数()fx，如图所示()()()()(

)200fxafxfxfxa++当0a时，()0afx−，由于关于x的不等式()()20fxafx+恰有1个整数解因此其整数解为3，又()3963f=−+=−∴30a−−，()4

8af−=−，则38a当0a=时，()20fx，则0a=不满足题意；当0a时，()0fxa−当01a−时，()0fxa−，没有整数解当1a−时，()0fxa−，至少有两个整数解

综上，实数a的最大值为8故选：D变式训练3．已知函数()11,02ln,0xxfxxx+=，若函数()()()()24433gxfxtfxt=−++有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．1,12B．10,2

C．1,2+D．10,12【答案】D【分析】先以()fx为整体分析可得：()34fx=和()fxt=共有7个不同的根，再结合()fx的图象分析求解.【详解】令()()()()244330gxfxtfxt=−++=，解得()34fx=或(

)fxt=，作出函数()yfx=的图象，如图所示，()yfx=与34y=有4个交点，即方程()34fx=有4个不相等的实根，由题意可得：方程()fxt=有3个不相等的实根，即()yfx=与yt=有3个交点，故实数t的取值范围是10,12.故选：D.【

课堂小结】1．知识清单：(1)函数的零点定义．(2)函数的零点与方程的解的关系．(3)函数零点存在定理．(4)函数零点个数的判断．(5)二分法的定义．(6)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．(7)根据零点情况求参数的取值范围

．(8)一元二次方程根的分布．2．方法归纳：定理法、方程法、数形结合法、逼近法、判别式法．3．常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的问题；二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的；不能把函数、方程问题相互灵活转

化．【课后作业】1．函数()243xfxx=+−的零点所在的区间是（）A．1,04−B．10,4C．11,42D．13,24【答案】C【详解】函数()243xfxx=+−的图象是连续不间断的，根据增函数加增函数为增函数的结论知()fx在定义域

R上为增函数,412204f=−，12102f=−，故函数()243xfxx=+−的零点所在区间是11,42.故选：C.2．函数()2elnfxxx=−，（常数e2.718）的零点所在区间为（）A．()2

3,eeB．()2e,eC．()0,1D．()1,e【答案】B【详解】因为lnyx=与2eyx=−在()0,+上单调递增，所以()2elnfxxx=−在()0,+上单调递增，又()elne210f=−=−，()()2222e12eelne

0eef−=−=，所以()fx在()2e,e上有唯一零点，所以()fx的零点所在区间为()2e,e.故选：B.3．已知函数()12lgfxxx=−−在区间(),1nn+上有唯一零点，则正整数n=（）A．8B．9C．10D．11【答案】C【详解】函数(

)12lgfxxx=−−的定义域为()0,+，且在()0,+上是减函数；易得()111211lg111lg110f=−−=−，()101210lg1010f=−−=，∴()()11100ff，根据零点

存在性定理及其单调性，可得函数()fx的唯一零点所在区间为()10,11，∴10n=．故选：C．4．设函数()32logxfxax+=−在区间()1,2内有零点，则实数a的取值范围是（）A．()31,log2−−B．()30,log2C．()3log2,1D．()31

,log4【答案】C【详解】令()0fx=得32logxax+=，令()3322loglog1xhxxx+==+，由复合函数单调性可知，当()1,2x时，()hx单减，()32log2h=，()31log31h==，故()()3

log2,1hx，要使()32logxfxax+=−在区间()1,2内有零点，即()3log2,1a.故选：C5．若函数2()fxxxm=++的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为（）A．[6,2]−−B．(6,2)−−C．(

,6][2,)−−−+D．(,6)(2,)−−−+【答案】B【详解】因为()fx在(1,2)上单调递增，且()fx的图象是连续不断的，所以(1)110(2)420fmfm=++=++，解得62m−−．故选：B.6

．函数221yxaxa=−+−在(0,1)上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．01aB．0a或1aC．1aD．1a−或0a【答案】B【详解】令2()21fxxaxa=−+−，因为222144(1)4(1)4302aaaaa=−−=−+=−+，所以函数图象与x轴有

两个交点，因为函数2()21fxxaxa=−+−在(0,1)上存在零点，且函数图象连续，所以(0)(1)0ff，或(0)0(1)001ffa，所以(1)()0aa−−，或10001aaa−−，解得0a或1a故选：B7．下列图象中，不能用二分

法求函数零点的是（）A．B．C．D．【答案】A【详解】根据零点存在定理，对于A，在零点的左右附近，函数值不改变符号，所以不能用二分法求函数零点.故选：A．8．已知()338xfxx=+−，用二分法求方程3380xx+−=在区间(

)1,2内的近似解的过程中得到()10f，()1.50f，()1.250f，则方程的解落在区间（）A．1,1.25B．1.25,1.5C．1.5,2D．不能确定【答案】B【详解】由题意可得()338xfx

x=+−为增函数，且()1.250f，()1.50f，故方程的解落在区间1.25,1.5.故选：B9．已知函数()exfxx−=−的部分函数值如下表所示：那么函数()fx的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（）x1

0.50.750.6250.5625()fx0.63210.1065−0.27760.08970.007−A．0.55B．0.57C．0.65D．0.7【答案】B【详解】易知()fx在[0,1]上单调递增，由表格得(0.5625)(0.625)0ff，且|

0.6250.5625|0.1−，∴函数零点在(0.5625,0.625)，∴一个近似值为0.57．故选:B．10．函数12()2fxx=−的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【详解】由题意可知函数()fx的定义域为[0,)+，且函数12()2fxx=−是单调递增函数，(

0)(9)(2)10ff=−，所以函数()fx有且仅有一个零点.故选：B11．已知函数51,2()24,2xxfxxx−=−，则函数()()gxfxx=−的零点个数为（）A

．1B．2C．3D．4【答案】C【详解】令()0gx=得()fxx=，在同一直角坐标系中作出()fx（图中细实线所示），yx=（图中粗实线所示）的大致图象如下：由图象可知，函数()yfx=与yx=的图象有3个交点，即函数()gx有3个零点，故选：C.12．已知()()221,ln,fxxxgxx=

−++=则方程()()0fxgx−=的实根个数为（）A．0B．1C．2D．3【答案】C【详解】在同一平面直角坐标系内作出()(),fxgx的图像，如图所示：两个函数的图像有两个交点，所以方程()()0fxgx−=有两个实根，故选

:C.13．已知函数()e,0,ln,0.xxfxxx=，()gxxa=+，()()()Fxfxgx=+．若()Fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．)1,0−B．)0,+C．)1,−+D．)1,+【答案】C【详解】()()()Fxfxgx=

+恰有2个零点，则有()0fxxa++=，即()fxxa=−−，故函数()yfx=的图象与直线yxa=−−有2个交点，画出函数图象，如图，平移直线yx=−，可以看出当1a−，即1a−时，直线yxa=−−与函数()yf

x=的图象有2个交点．故选：C．14．已知函数()2(1),0,lg,0,xxfxxx+=若函数()()gxfxb=−有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A．(0,1B．0,1C．()0,1D．()1,+【答案】A【

详解】依题意，函数()()gxfxb=−有四个不同的零点，即()fxb=有四个解，转化为函数()yfx=与yb=图象由四个交点，由函数函数()yfx=可知，当(),1x−−时，函数为单调递减函数，)0,y+；当(1,0x−时，函数为单调递增函数，(0

,1y；当()0,1x时，函数为单调递减函数，()0,y+；当)1,x+时，函数为单调递增函数，)0,y+；结合图象，可知实数b的取值范围为(0,1.故选：A15．已知函数21,2()3,21xxfxxx−=

−若方程()fxk=有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．0kB．13kC．01kD．03k【答案】B【详解】解：因为21,2()3,21xxfxxx−=−，所以()fx的函数图象如下所示：因为方程()fxk=有且仅

有两个不等实根，所以()yfx=与yk=有两个交点，由图可知13k.故选：B16．已知函数()22,01,04xxfxxxx=+，则关于x的方程23()7()20fxfx−+=实数解的个数为（）A．4B．5C．3D．2【答

案】A【详解】因为23()7()20fxfx−+=，解之得()13fx=或2，当0x时，()0fx；当0x时，()211111124442xfxxxxxx+==+=，当且仅当1x=时等号成立，所以()fx，2y=，13y=

的图象如图：由图可知使得()13fx=或()2fx=的点有4个.故选：A.17．函数()()2ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【详解】求函数()()²ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点

个数，转化为方程()2ln230xxx−−=在区间22−,上的根的个数.由()2ln230xxx−−=，得20xx−=或ln230x−=，解得：0x=或1x=或2x=，所以函数()()²ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数为3.

故选：A.17．已知函数2()21,()log1xfxxgxxx=++=++的零点分别为a，b，则（）A．1ab+=−B．0ab+=C．1ab+=D．2ab+=【答案】A【详解】由已知得22,logxyyx==的图象

与直线y=-x-1的交点横坐标分别为a，b，又22,logxyyx==的图象关于直线y=x对称，且y=-x-1与y=x交点横坐标为12−，故a+b=-1.故选：A.18．已知函数21,0()log,0xxfxxx+=，若123123()()(),(

,,fxfxfxxxx==互不相等），则123xxx++的取值范围是（）A．(2,0]−B．(1,0)−C．(1,0]−D．(2,0)−【答案】C【分析】做出函数图像，由图象得出三个交点的横坐标关系，以及交点横坐标的取值范围，即可求解.【详解】做出函数()fx

的图象如图，设()()()123===fxfxfxa，则01a，因此12232(1)2,0log1+=−=−xxx,得312x于是12310−++xxx，故选:C.19．已知函数()2lg,033

,0xxfxxxx=++，若关于x的方程()0fxm−=有4个不同的实根1234,,,xxxx，且1234xxxx，则1234xxxx++=（）A．2−B．12−C．32−D．32【答案】A【详解】()

0fxm−=有4个不同实根等价于()fx与ym=有4个不同交点.在平面直角坐标系中作出()fx与ym=图象如下图所示：由图象可知，12,xx关于32x=−对称，123xx+=−.34lglgxx=，则34lglgxx=−，3434lglglg0xxxx+==，341xx=，12342xx

xx++=−.故选：A.20．已知函数24(1),0()log,0xxfxxx+=，若()fxa=有四个不同的解1234,,,xxxx且1234xxxx，则4122343()xxxxx++的最小值为（）A．26−B．294−C．274−

D．314−【答案】B【详解】当0x时，2()(1)fxx=+；当01x时，4()logfxx=−；当1x时，4()logfxx=；作出函数()fx的图象如下，则由图象可知，()fx的图象与1y=有4个交点，分别为1(2,1),(0,1),(,1

),(4,1)4−，因为()fxa=有四个不同的解1234,,,xxxx且1234xxxx，所以01a，且12210xx−−，且122xx+=−，341144xx，又因为433444(),(),loglogfxxfxx−==所以4344loglog,xx−=即4344

0loglogxx+=，所以341xx=，所以4124234433()2xxxxxxx++=−+，且414x，构造函数3()2gxxx=−+在(1,4x单调递减，所以min329()(4)844gxg==−+=

−，故选:B.21．已知函数3()23fxxx=+，2()lngxxx=+，()35xhxx=+−的零点分别为123,,xxx，则（）A．231xxxB．321xxxC．123xxxD．312xxx【答案】B【

详解】令32()23(23)0fxxxxx=+=+=，得0x=，即10x=；因为2()ln,0gxxxx=+，易知()gx在(0,)+上单调递增，又因为211()()10,(1)10eegg=−=，所以21(,1)ex；()35,Rxhxxx=+−，易知()hx在R上单调递增，

又因为(1)31510h=+−=−，(2)92560h=+−=，所以3(1,2)x；所以321xxx.故选：B.22．设m是不为0的实数，已知函数()231,21024,2xxfxxxx−=−+

，若函数()()()()22Fxfxmfx=−有7个零点，则m的取值范围是（）A．()()2,00,16−B．()0,16C．()0,2D．()()2,00,−+【答案】C【详解】()fx的图象如图所示由()()()()20Fxfxfxm=−=，得()0fx=或()20fxm−=，

当()0fx=时，()fx有3个零点，当()20fxm−=时，()2mfx=，即()yfx=与2my=有4个交点，所以012m，解得02m，故选：C.