【文档说明】2023年新高一数学暑假精品课程（人教A版2019） 第四十三讲 函数零点问题（原卷版）.docx，共(14)页，1.409 MB，由小赞的店铺上传

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第四十三讲：函数零点问题【教学目标】1.了解函数的零点、方程的解与图象交点三者之间的联系；2.会借助函数零点存在定理判断函数的零点所在的大致区间；3.能借助函数单调性及图象判断零点个数；4.了解二分法的原理及其适用条件，并掌握二分法的实施步骤；5.体会二分法中蕴含的

逐步逼近与程序化思想；6.进一步应用函数零点存在定理，已知零点(方程的解)的情况求参数范围；7.掌握一元二次方程的根的分布情况．【基础知识】一、函数零点的概念1．概念：对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．函数的零点、函数的图象与x轴的交

点、对应方程的解的关系：注意点：(1)零点不是点，是函数图象与x轴交点的横坐标；(2)求零点可转化为求对应方程的解；(3)不能用公式求解的方程，可以与函数联系起来，利用函数的图象和性质找零点，然后得到方程的解．二、函数零点存在定理如果函数y＝f

(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的

解．注意点：(1)定理要求函数在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)<0；(2)闭区间[a，b]上的连续函数y＝f(x)，f(a)·f(b)<0是函数有零点的充分不必要条件；(3)该定理是用来判断函数的变号零点，比如y＝x2，有零点为0，但是该零点的两侧函数值的符号相同，称为

不变号零点．三、二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．注意点：(1)二分法的求解

原理是函数零点存在定理；(2)用二分法只能求变号零点，即零点左右两侧的函数值的符号相反，比如y＝x2，该函数有零点为0，但不能用二分法求解．四、精确度的计算给定精确度ε，用二分法求函数y＝f(x)零点x0的近似值的步骤1．确

定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.2．求区间(a，b)的中点c.3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间：(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点；(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c

；(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.【题型目录】考点一：零点区间考点二：已知单调零点区间求参考点三：一次函数零点区间求参考点四：二次函数

零点求参考点五：判断函数的正负考点六：二分法考点七：数形结合判断零点个数考点八：零点个数求参（常数）考点九：零点个数求参（一次截距）考点十：零点个数问题求参（参变分离）考点十一：零点根的关系考点十二：零点大小的比

较考点十三：复合函数零点【考点剖析】考点一：零点区间例1．函数()exfxx=+零点所在的区间为（）A．1,02−B．11,2−−C．10,2D．1,12变式训练1．用二分法求函数()2lnfxxx=−的零点时，初始区间大致可选在（）A

．()1,2B．()2,3C．()3,4D．()e,+变式训练2．已知函数()33fxxx=+−，则()fx的零点存在于下列哪个区间内（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4变式训练3．函数()ln47fxxx=+−的零

点所在的区间是（）A．()0,1B．()1,2C．()2,3D．()3,4考点二：已知单调零点区间求参例2．函数22()logfxxxm=++在区间()2,4上存在零点，则实数m的取值范围是（）A．(),18−−B．(

5,)+C．(5,18)D．()18,5−−变式训练1．函数1()lnfxxx=−的零点为0x，且)0,1xkk+，Zk，则k的值为（）A．1B．2C．0D．3变式训练2．函数()22logfxxxm=++在区间()1,2存在零点．则实数m

的取值范围是（）A．(),5−−B．()5,1−−C．()1,5D．()5,+变式训练3．函数()132xfxax−=−+的一个零点在区间()1,2内，则实数a的取值范围是（）A．()1,+B．5,12−C．()5,1,2

−−+D．52−−,考点三：一次函数零点区间求参例3．若函数()1fxmxm=−+在区间[0,1]上无零点，则m取值范围为（）A．01mB．1mC．0mD．1m变式训练1．当||1x时，函数21yaxa=++的值有正

也有负，则实数a的取值范围是（）A．1,3−+B．(,1]−−C．11,3−−D．11,3−−变式训练2．已知函数()312fxaxa=−−在区间(1,1)−上存在零点，则（）A．115aB．15aC．15a

−或1aD．15a−变式训练3．已知函数()312fxaxa=−−在区间()1,1−上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．1(,1),5−−+B．1,5+C．1,(1,)5−−+D．1,5−−

考点四：二次函数零点求参例4．函数()2232fxxax=−+有两个零点，且分别在()2,1−−与()1,0−内，则实数a的取值范围是（）A．5433a−B．53a−或43aC．5433a−−D．4533a变式训练1．已知函

数2()65fxxxm=−+−的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是（）A．)4,3−−B．(4,3−−C．()4,3−−D．()(),43,−−−+变式训练2．关于x的方程2(2)210xmxm+−+−=恰有一根属

于(0,1)，则实数m的取值范围是（）A．12,23B．12,23C．1,22D．122(,)(,2)233变式训练3．设12,xx是关于x的方程()2120xaxa+−++=的根．若1211,12xx−，则实数a的取值

范围是（）A．4,13−−B．31,42−C．()2,1−D．()2,1−−考点五：判断函数的正负例5．设0x是函数21()log3xfxx=−的零点，若00ax，则()fa的值满足（

）A．()0fa=B．()0faC．()0faD．()fa的符号不确定变式训练1．已知a是函数()220.5logxfxxx=−−的零点，若00xa，则（）A．()00fx=B．()00fxC．()00fxD．()0fx的符号不确定变式

训练2．已知0x是函数()21xfxx=+−的一个零点，若()101,xx−，()20,xx+，则（）A．()()120,0fxfxB．()()120,0fxfxC．()()120,0fxfxD．()()120,0fxfx

变式训练3．若函数()fx唯一零点同时在(0,4)，(0,2)，(1,2)，3(1,)2内，则与(0)f符号相同的是（）A．(4)fB．(2)fC．(1)fD．3()2f考点六：二分法例6．若函数3222fxx

xx（）=+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:()12f=-(1.5)0.625f=(1.25)0.984f=−(1.375)0.260f=−(1.4375)0.162f=(1.40625)0.054f=−那么方程3222fxxx

x（）=+--的一个近似解（误差不超过0.025）可以是（）A．1.25B．1.39C．1.42D．1.5变式训练1．用二分法求函数()fx在(,)ab内的唯一零点时，精度为0.001，则经过一次二分就结束计算

的条件是（）A．||0.2ab−B．||0.002ab−C．||0.002ab−D．||0.002ab−=变式训练2．用二分法求方程1ln0xx−=在1,2上的解时，取中点1.5c=，则下一个有解区间为（）A．1,1.25B．1,1

.5C．1.25,1.5D．1.5,2变式训练3．若函数()3222fxxxx=+−−的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下:(1)2f=−(1.5)0.625f=(1.25)0.984f=−(1.375

)0.260f=−(1.4375)0.162f=(1.40625)0.054f=−那么方程32220xxx+−−=的一个近似解（误差不超过0.02）为（）A．1.4375B．1.375C．1.25D．1.422考点七：

数形结合判断零点个数例7．函数()1elnxfxx=−的零点个数是（）A．0B．1C．2D．3变式训练1．方程lg20xx+−=的解的个数是（）A．0B．1C．2D．3变式训练2．若函数22,0()1,0xxfxxx−=+，则函数()()2gxfx=−

的零点的个数是（）A．1B．2C．3D．4变式训练3．已知函数()221,02,0xxfxxxx−=−−，若实数(0,1m，则函数()()gxfxm=−的零点个数为（）A．0或1B．1或2C．1或3D．2或3考点八：零点个数求参（常数）例8．已知函数()22log

,04,0xxfxxxx=−−，若()()gxfxa=−有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．()0,4B．()0,3C．()0,2D．()0,1变式训练1．已知函数(),1ln1,1axxfxxx−=−有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．1aB．1aC．1aD．1

a变式训练2．设()33,0log,0xxfxxx=，若()0fxa−=有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（）A．(1,2]B．(0,1]C．(2,)+D．[1,)+变式训练3．已知()()e1,1ln1,1xxf

xxx−=−，若方程()0fxa−=有3个不等实根，则实数a的取值范围是（）A．()0,1B．()e1,−+C．)1,+D．1,e1−考点九：零点个数求参（一次截距）例9．已知函数()e,0ln,0xxfxxx=，()()

gxfxxa=++.若()gx存在2个零点，则a的取值范围是（）A．)1,0−B．)0,+C．)1,−+D．)1,+变式训练1．已知函数()e,0ln,0xxfxxx=，()()2gxfxxa=++，

若()gx存在2个零点，则实数a的取值范围是（）A．1,2−+B．)0,+C．1,02−D．1,2−+变式训练2．已知22,0()log,0xxfxxx=，若(

)()gxfxxm=++存在两个零点，则实数m的取值范围是（）A．)1,−+B．)1,0−C．)0,+D．)1,+变式训练3．设cR，函数,0,()22,0.xxcxfxcx−=−若()fx恰有一个零点，则c的取值范围是（

）A．(0,1)B．{0}[1,)+UC．1(0,)2D．1{0}[,)2+U考点十：零点个数问题求参（参变分离）例10．已知R，函数()22,2,xxfxxxx−=+−，若方程()0fx=恰有2个实数解，则的取值范围是（）

A．()2,1−B．(()2,12,−+C．()2,12,−+D．())2,12,−+变式训练1．已知函数25,()68,xxfxxxx−=−+()R，若函数()fx恰有2个零点，则实数的取值范围是（）A．

(2,4][5,)+B．()(2,4]5,+C．()(2,4]6,+D．()(3,4]6,+变式训练2．已知函数()()()21,12,1xxfxxaxax−=−−，若()fx恰有两个零点，则正数a的取值范围是（）A．10

2，B．1,22C．1,12D．()1,2变式训练3．设函数()()254fxxxax=−−+，若函数()fx恰有4个零点，则实数a的取值范围为（）A．250,26B．()

0,1C．25,126D．()1,25考点十一：零点根的关系例11．已知函数21,0()log,0xxfxxx+=，若方程()()Rfxaa=有四个不同的解1234,,,xxxx，且1234xxxx，则()124xxx+的取值范围是（）A．[4

,2)−−B．[4,2]−−C．(4,2)−−D．(4,2]−−变式训练1．设函数()243,023,0xxxfxxx−+=+，若互不相等的实数1x、2x、3x，满足()()()123fxfxfx==，则123xxx++的取值范围是（）A．5,62

B．5,42C．()2,4D．()2,6变式训练2．已知函数()2log,021,0xxfxxx=+−，若函数()1yfxm=−+数有四个零点a，b，c，d(abcd)则abcd++的值是（）A．1−B．1C．3−D．4−变式训

练3．若12,xx分别是方程e20230xx+−=，ln20230xx+−=的根，则12xx+=（）A．2022B．2023C．2023D．20231+考点十二：零点大小的比较例12．已知,,abc满足3222,log2,20a

abbcc−=++=−−−=，则,,abc的大小关系为（）A．bacB．abcC．acbD．cba变式训练1．已知方程30,e0,ln0xxxxxx+=+=+=的根分别为123,,xxx，则下列式子正确的是（）A．123xxxB．

231xxxC．312xxxD．213xxx变式训练2．已知eemm+=，5enn+=，则下列选项正确的是（）A．01mnB．01nmC．1emnD．1enm变式训练3．已知函数()21xfxx=++，

()2log1gxxx=++，()31hxxx=++的零点分别为a，b，c，则（）A．()()()fafbfcB．()()()fbfcfaC．()()()fcfafbD．()()()fbfafc考点十三：复合函数零点例13．已知函数()231,21024,

2xxfxxxx−=−+，函数()()()()233gxfxmfxm=−++有6个零点，则非零实数m的取值范围是（）A．()3,024−，B．()3,24C．)2,16D．)3,24变

式训练1．已知函数()21ln,04,0xxfxxxxx−=+，则函数()()4yffx=+的零点的个数是（）A．3B．4C．5D．6变式训练2．已知函数222,0()2,0xxxfxxxx−+=+，

若关于x的不等式2[()]()0fxafx+恰有1个整数解，则实数a的最大值是（）A．2B．3C．5D．8变式训练3．已知函数()11,02ln,0xxfxxx+=，若函数()()()()24433gxfxtfxt=−+

+有七个不同的零点，则实数t的取值范围是（）A．1,12B．10,2C．1,2+D．10,12【课堂小结】1．知识清单：(1)函数的零点定义．(2)函数的零点与方程的解的关系．(3)函数零点存在定理．

(4)函数零点个数的判断．(5)二分法的定义．(6)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．(7)根据零点情况求参数的取值范围．(8)一元二次方程根的分布．2．方法归纳：定理法、方程法、数形结合法、逼近法、判别式法．3．常见误区：零点理解成点；零点个数问题不能转化成函数图象交点个数的

问题；二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点，且函数图象在零点附近是连续的；不能把函数、方程问题相互灵活转化．【课后作业】1．函数()243xfxx=+−的零点所在的区间是（）A．1,04−

B．10,4C．11,42D．13,242．函数()2elnfxxx=−，（常数e2.718）的零点所在区间为（）A．()23,eeB．()2e,eC．()0,1D．()1,e3．已知函数()1

2lgfxxx=−−在区间(),1nn+上有唯一零点，则正整数n=（）A．8B．9C．10D．114．设函数()32logxfxax+=−在区间()1,2内有零点，则实数a的取值范围是（）A．()31,l

og2−−B．()30,log2C．()3log2,1D．()31,log45．若函数2()fxxxm=++的零点在区间(1,2)内，则m的取值范围为（）A．[6,2]−−B．(6,2)−−C．(,6][2,

)−−−+D．(,6)(2,)−−−+6．函数221yxaxa=−+−在(0,1)上存在零点，则实数a的取值范围是（）A．01aB．0a或1aC．1aD．1a−或0a7．下列图象中，不能用二

分法求函数零点的是（）A．B．C．D．8．已知()338xfxx=+−，用二分法求方程3380xx+−=在区间()1,2内的近似解的过程中得到()10f，()1.50f，()1.250f，则方程的解落在区间（）A．1,1.25B．1.25,1.5C．

1.5,2D．不能确定9．已知函数()exfxx−=−的部分函数值如下表所示：那么函数()fx的一个零点的近似值（精确度为0.1）为（）x10.50.750.6250.5625()fx0.63210.1065−0.27760.08970.007−A．0.55B．0.57C．0.65D．0.71

0．函数12()2fxx=−的零点个数为（）A．0B．1C．2D．311．已知函数51,2()24,2xxfxxx−=−，则函数()()gxfxx=−的零点个数为（）A．1B．2C

．3D．412．已知()()221,ln,fxxxgxx=−++=则方程()()0fxgx−=的实根个数为（）A．0B．1C．2D．313．已知函数()e,0,ln,0.xxfxxx=，()gxxa=+，()()()Fx

fxgx=+．若()Fx恰有2个零点，则实数a的取值范围是（）A．)1,0−B．)0,+C．)1,−+D．)1,+14．已知函数()2(1),0,lg,0,xxfxxx+=若函数()()gx

fxb=−有四个不同的零点，则实数b的取值范围为（）A．(0,1B．0,1C．()0,1D．()1,+15．已知函数21,2()3,21xxfxxx−=−若方程()fxk=有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（）A．0kB．13kC．01kD．

03k16．已知函数()22,01,04xxfxxxx=+，则关于x的方程23()7()20fxfx−+=实数解的个数为（）A．4B．5C．3D．217．函数()()2ln23fxxxx=−−在区间22−,上的零点个数是（）A．3B．4C．5D．61

7．已知函数2()21,()log1xfxxgxxx=++=++的零点分别为a，b，则（）A．1ab+=−B．0ab+=C．1ab+=D．2ab+=18．已知函数21,0()log,0xxfxxx+=，若123123()(

)(),(,,fxfxfxxxx==互不相等），则123xxx++的取值范围是（）A．(2,0]−B．(1,0)−C．(1,0]−D．(2,0)−19．已知函数()2lg,033,0xxfxxxx

=++，若关于x的方程()0fxm−=有4个不同的实根1234,,,xxxx，且1234xxxx，则1234xxxx++=（）A．2−B．12−C．32−D．3220．已知函数24(1),0()log

,0xxfxxx+=，若()fxa=有四个不同的解1234,,,xxxx且1234xxxx，则4122343()xxxxx++的最小值为（）A．26−B．294−C．274−D．314−21．已知函数3()23fxxx=+，2()lngxxx=+，()35xhxx=+−的零

点分别为123,,xxx，则（）A．231xxxB．321xxxC．123xxxD．312xxx22．设m是不为0的实数，已知函数()231,21024,2xxfxxxx−=−+，若函数()()()()22

Fxfxmfx=−有7个零点，则m的取值范围是（）A．()()2,00,16−B．()0,16C．()0,2D．()()2,00,−+