【文档说明】新教材2021-2022学年人教A版数学选择性必修第一册课时检测：1.4.2 第一课时　用空间向量研究距离问题含解析.docx，共(8)页，237.053 KB，由小赞的店铺上传

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课时跟踪检测(十一)用空间向量研究距离问题[A级基础巩固]1．若O为坐标原点，OA―→＝(1，1，－2)，OB―→＝(3，2，8)，OC―→＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为()A.1652B．214C.53D.532解析：选D∵OP―→＝12(OA―→＋OB―

→)＝12(4，3，6)＝2，32，3，OC―→＝(0，1，0)，∴PC―→＝OC―→－OP―→＝－2，－12，－3，∴|PC―→|＝4＋14＋9＝532.2．已知棱长为1的正方体ABCD-EFGH，若点P到正方体内部且

满足AP―→＝34AB―→＋12AD―→＋23AE―→，则点P到直线AB的距离为()A.56B.18112C.10306D.56解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则AP―→＝34(1，0，0)＋12(0，1，0

)＋23(0，0，1)＝34，12，23.又AB―→＝(1，0，0)，∴AP―→在AB―→上的投影向量的长度为AP―→·AB―→|AB―→|＝34，∴点P到AB的距离为|AP―→|2－AP―→·AB―→|AB―→|2＝56.3．如图，已知正方

形ABCD的边长为4，E，F分别是AB，AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为()A.1010B.21111C.35D．1解析：选B以C为坐标原点，CD―→所在直线为x轴，CB―→所在直线为y轴，CG―→所在直

线为z轴，建立空间直角坐标系(图略)，则F(4，2，0)，E(2，4，0)，G(0，0，2)，B(0，4，0)，∴BE―→＝(2，0，0)，FE―→＝(－2，2，0)，EG―→＝(－2，－4，2)．设平面EFG的法向量为m＝(x，y，z)，则m·FE―→＝0，m·EG―→＝0

，即－2x＋2y＝0，－2x－4y＋2z＝0.令x＝1，则y＝1，z＝3，则m＝(1，1，3)，∴点B到平面EFG的距离d＝|BE―→·m||m|＝21111.4．已知A(2，2，0)，B(1，4，2)，C(0，0，1)，则原点O到平面ABC的距离为___

_____．解析：由题意得AB―→＝(－1，2，2)，AC―→＝(－2，－2，1)，设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AB―→＝－x＋2y＋2z＝0，n·AC―→＝－2x－2y＋z＝0，解得x＝－2y，z＝－2y.令y＝－

1，得x＝z＝2.∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，－1，2)．又OA―→＝(2，2，0)，∴原点O到平面ABC的距离为d＝|OA―→·n||n|＝23.答案：235.如图，P为矩形ABCD所在平面外一点，PA⊥平面ABCD.若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，则点P到直线

BD的距离为________．解析：如图，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，∴PB―→＝(3，0，－1)，BD―→

＝(－3，4，0)，∴点P到直线BD的距离d＝|PB―→|2－PB―→·BD―→|BD―→|2＝10－－952＝135，∴点P到直线BD的距离为135.答案：1356.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1＝3，

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，则点B1到平面A1BC的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，0)，A1(1，0，3)，B1(0，1，3)，C1

(0，0，3)，∴A1B―→＝(－1，1，－3)，A1C―→＝(－1，0，－3)，A1B1―→＝(－1，1，0)．设平面A1BC的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B―→＝0，n·A1C―→＝0，即－x＋y－3

z＝0，－x－3z＝0.令z＝1得x＝－3，y＝0，∴n＝(－3，0，1)．∴点B1到平面A1BC的距离d＝|n·A1B1―→||n|＝32.答案：327.如图，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，C1C的中点，G为线

段DD1上的点，且DG＝13DD1，过E，F，G的平面交AA1于点H，则A1D1到平面EFGH的距离为________．解析：以点D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．则E1，1，12，F0，1，12，G0，

0，13，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，∴EF―→＝(－1，0，0)，FG―→＝0，－1，－16，D1A1―→＝(1，0，0)，∴D1A1―→∥EF―→.又∵EF⊂平面EFGH，D1A1⊄平面EFGH，∴D1A1∥平面EFGH.∴A1D

1到平面EFGH的距离，即为点D1到平面EFGH的距离．设平面EFGH的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·EF―→＝0，n·FG―→＝0，即－x＝0，y＋16z＝0，令z＝6，则y＝－1，∴n＝(0，－1，6)，n的单位向量n0＝0，－137，637.又∵D1

F―→＝0，1，－12，∴点D1到平面EFGH的距离d＝|D1F―→·n0|＝0，1，－12·0，－137，637＝43737，∴A1D1到平面EFGH的距离为43737.答案：437378.如图，正方体ABCD-A1B1C

1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD的距离．解：如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)．∴E

F―→＝(2，2，0)，MN―→＝(2，2，0)，AM―→＝(－2，0，4)，BF―→＝(－2，0，4)，∴EF―→＝MN―→，BF―→＝AM―→，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.∴平面AMN∥平面

EFBD.设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，则n·MN―→＝2x＋2y＝0，n·AM―→＝－2x＋4z＝0，解得x＝2z，y＝－2z.取z＝1，则x＝2，y＝－2，得n＝(2，－2，1)．平面AM

N到平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离．∵AB―→＝(0，4，0)，∴平面AMN与平面AMN间的距离d＝|n·AB―→||n|＝83.9.如图，已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．(1)求点D到

平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离．解：(1)建立以D为坐标原点，DA―→，DC―→，DP―→分别为x轴、y轴、z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示．则P(0，0，1)，A(1，0，0)，

C(0，1，0)，E1，12，0，F12，1，0，所以EF―→＝－12，12，0，PE―→＝1，12，－1，DE―→＝1，12，0，设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)

，则n·EF―→＝0，n·PE―→＝0，即－12x＋12y＝0，x＋12y－z＝0.取x＝2，则y＝2，z＝3，所以n＝(2，2，3)，所以点D到平面PEF的距离d＝|DE―→·n||n|＝|2＋1|4＋4＋9＝31717，因此点D到平面PEF的距离为31717.(2)因为E，F

分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC.又因为AC⊄平面PEF，EF⊂平面PEF，所以AC∥平面PEF.因为AE―→＝0，12，0，所以点A到平面PEF的距离d＝|AE―→·n||n|＝117＝1

717.所以直线AC到平面PEF的距离为1717.[B级综合运用]10．已知向量OX―→＝(1，0，0)，OI―→＝(0，2，0)，OY―→＝(4，3，3)，对任意的实数a，b，当向量n＝OY―→－(aOX―

→＋bOI―→)的长度最小时，求a，b的值．解：如图OM―→＝aOX―→＋bOI―→，n＝OY―→－(aOX―→＋bOI―→)，要使向量n＝OY―→－(aOX―→＋bOI―→)的长度最小，也就是线段MY的长度最短．由点到平面距离的定义，当且仅当n⊥平面Oxy时，线段MY的长度最短．这时，

n·OX―→＝0，n·OI―→＝0.由n＝OY―→－(aOX―→＋bOI―→)＝(4－a，3－2b，3)，OX―→＝(1，0，0)，OI―→＝(0，2，0)，得（4－a，3－2b，3）·（1，0，0）＝0，（4－a，3－2b，3）·（

0，2，0）＝0.即4－a＝0，6－4b＝0.解得a＝4，b＝32.所以当n＝OY―→－(aOX―→＋bOI―→)的长度最小时，a＝4，b＝32.11．设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F，M分别为B1C1，C1D1，A1B1的中点，求异面直线EF与A

M的距离．解：设N为A1D1的中点，连接MN，AN，BE，FD，BD，易证平面BEFD∥平面AMN，于是问题转化成A点到平面BEFD的距离．如图，以C为坐标原点，CB，CD，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设P为平面BEFD内任一点，由P，B，D，E四点共面

，则有：AP―→＝aAB―→＋bAD―→＋cAE―→＝a(0，－1，0)＋b(－1，0，0)＋c－12，－1，1＝－b－12c，－a－c，c，且a＋b＋c＝1，∴|AP―→|2＝b＋12c2＋(a＋c)2＋c2≥2b＋12c＋a＋c22＋c2＝

98c＋292＋49≥49，∴|AP―→|≥23，∴异面直线EF与AM的距离为23.[C级拓展探究]12.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD＝2，底面ABCD为

直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD＝2AB＝2BC＝2，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为32？若存在，求出AQQD的值；若不存在，说明理由．解：取AD的中点O，在△PAD中，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又侧面P

AD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.建立如图所示的空间直角坐标系，易得A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)，则CP―→＝(－1，0，1)，CD―→＝(－1，1，0)．假设存

在点Q，使它到平面PCD的距离为32，设Q(0，y，0)(－1≤y≤1)，则CQ―→＝(－1，y，0)．设平面PCD的法向量为n＝(x0，y0，z0)，则n·CP―→＝0，n·CD―→＝0，∴

－x0＋z0＝0，－x0＋y0＝0，即x0＝y0＝z0，取x0＝1，则平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，1)．∴点Q到平面PCD的距离d＝|CQ―→·n||n|＝|－1＋y|3＝32，∴y＝－1

2或y＝52(舍去)．此时AQ―→＝0，12，0，QD―→＝0，32，0，则|AQ―→|＝12，|QD―→|＝32.∴存在点Q满足题意，此时AQQD＝13.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com