【文档说明】福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期5月周练（12）数学试题含答案.docx，共(14)页，654.060 KB，由小赞的店铺上传

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平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期数学周练（12）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设,是两个不同平面，,mn是两条直线，下列命题中正确的是（）A．如果mn⊥，m⊥，n//，那么

⊥B．如果mn⊥，m⊥，n⊥，那么//C．如果//mn，m⊥，n⊥，那么//D．如果//，m与所成的角和n与所成的角相等，那么//mn2．不同的直线m和n，不同的平面，，，下列条件中能推出//的是（）A．n=，m=，//nmB．⊥，

⊥C．//nm，n⊥，m⊥D．//n，//m，//nm3．如图所示，已知PA⊥平面ABC，120ABC=，6PAABBC===，则PC等于（）A．6B．4C．12D．1444．在正方体1111ABCDABCD−中

，M是正方形ABCD的中心，则直线1AD与直线1BM所成角大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°5．直三棱柱111ABCABC−中，1ABACAA==，60BAC=，则1AC与面11BCCB成角的正弦值为（）A．64B．3

4C．63D．336．如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1BC上的动点，下列说法不正确的是（）A．对任意点P，//DP平面11ABDB．三棱锥11PADD−的体积为16C．线段D

P长度的最小值为62D．存在点P，使得DP与平面11ADDA所成角的大小为37．如图所示，AB是⊙O的直径，VA垂直于⊙O所在的平面，点C是圆周上不同于A，B的任意一点，M，N分别为VA，VC的中点，则下列结论正确的是（）A．MN//ABB．MN与BC所成的角为45

°C．OC⊥平面VACD．平面VAC⊥平面VBC8．如图，在透明塑料制成的长方体1111ABCDABCD−容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈

棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱11AD始终与水面EFGH平行；④当1EAA时，AEBF+是定值．其中正确说法的是（）A．②③④B．①②④C．①③④D．①②③二、多选题9．设m，n是两条不

同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论正确的是（）A．若m⊥α，n⊥α，则m∥nB．若m∥n，m∥α，则n∥αC．若m⊂α，n⊂β，则m，n是异面直线D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线10

．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点.现在沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，下列说法正确的是（）A．AG⊥平面

EFHB．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEHD．HG⊥平面AEF三、填空题11．3个不同的平面最多将空间分成a部分，最少将空间分成b部分，则ba−=__．12．定义侧面与底面垂直的棱柱为直棱柱，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1

中（如右图），当底面四边形ABCD满足条件_________时，有BD1⊥A1C1．（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）13．如图所示，在三棱柱111ABCABC−中，过1A，B，1C的平面与平面ABC的交线为l，则l与直线11AC的位置关系为__．14．已知△ABC为等腰

直角三角形，P为空间一点，且AC＝BC＝52，PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB的中点为M，则PM与平面ABC所成的角为________．四、解答题15．如图：已知平面//平面,点A、B在平面内，点C、D在内，直线AB与CD是异面直线，点E、

F、G、H分别是线段AC、BC、BD、AD的中点，求证：（Ⅰ）E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）平面EFGH//平面.16．如图，四棱锥PABCD−的底面是边长为2的菱形，PD⊥底面ABCD.（1）求证：AC⊥平面PBD；（2）若2PD=，直线PB与平面ABCD所成的角为45°，求四棱

锥PABCD−的体积.17．如图，四棱锥PABCD−中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：//PB平面AEC；（2）设1AP=，3AD=，四棱锥PABCD−的体积为1，求证

：平面PAC⊥平面PBD．参考答案1．C【分析】A.由mn⊥，m⊥，得到//n或n，再利用平行于同一直线的两平面的位置关系判断；B.由mn⊥，m⊥，得到//n或n，再利用面面垂直的判定定理判断；C.由//mn，m⊥，得到n⊥

，再利用垂直于同一直线的两平面平行判断；D.利用空间直线的位置关系判断．【详解】A.因为mn⊥，m⊥，所以//n或n，又n//，则,位置不确定，故错误；B.因为mn⊥，m⊥，所以//n或n，又n⊥，所以⊥，故错误；C.因为//mn

，m⊥，所以n⊥，又n⊥，所以//，故正确；D.如果//，m与所成的角和n与所成的角相等，那么//mn，相交或异面，故错误．故选：C2．C【分析】利用平面与平面的位置关系判断.【详解】由不同的直线m和n，不同的平面，，

，知：若n=，m=，//nm，则与相交或平行，故A不正确；若⊥，⊥，则与相交或平行，故B不正确；若//nm，n⊥，m⊥，则由平面平行的判定定理知//，故C正确；若//n，//m

，//nm，则与相交或平行，故D不正确.故选：C.3．C【分析】由余弦定理求得AC，由线面垂直的性质定理得线线垂直，由勾股定理求得PC．【详解】连接PB，PC，6PAABBC===，由余弦定理可得13636266()632AC=+−−=，PA⊥平面ABC，A

C平面ABC，PAAC⊥，3610812PC=+=．故选：C．4．A【分析】如图，连接1BC，MC，MB，利用余弦定理可求1CBM的值，从而可得直线1AD与直线1BM所成角大小.【详解】设正方体的棱长为2a，连接1B

C，MC，MB，因为11//BCAD，故1CBM或其补角为直线1AD与直线1BM所成角.而122BCa=，2MCa=，222211426BMBBBMaaa=+=+=，故22211BCBMCM=+，所以1MBCM⊥，所以163cos222aCBMa==，因为1CBM为锐角，故1

30CBM=，故选：A.5．A【分析】过A作AMBC⊥,可证AM⊥平面11BBCC，连接1CM,可知1ACM即为所求线面角，计算即可求解.【详解】如图，过A作AMBC⊥，连接1CM，在直三棱柱111ABC

ABC−中，因为11,BBAMBCBBB⊥=所以AM⊥平面11BBCC，故1AC在平面11BBCC上的射影为1MC,所以1ACM为直线1AC与平面11BBCC所成的角，设1ABACAAa===，又60BAC=所以13,22AMaACa==故1362sin42aACMa==故选：A【点

睛】方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；（2）向量法：建系用空间向量公式求解.6．D【分析】连接DB，证得平面1//DBC平面11ABD，可判定A正确；

根据11111PADDCADDVV−−=，可判定B正确；当点P为线段1BC的中点时，求得线段DP的长度最小值，可判定C正确；求得DP与平面11ADDA所成角的正切值的取值范围，可判定D错误.【详解】连接D

B，由11//BBDD且11BBDD=，可得四边形11BDDB为平行四边形，所以11//DBDB，又由DB平面11ABD，且11DB平面11ABD，所以//BD平面11ABD，同理可得1//DC平面11ABD

，又1BDDCD=，可得平面1//DBC平面11ABD，所以对于任意点1PBC，则//DP平面11ABD，所以A正确；由11111111111326PADDCADDVV−−===，所以B正确；当点P为线段1B

C的中点时，可得1DPBC^，此时线段DP的长度最小，最小值为22261()22+=，所以C正确；当点P在线段1BC上运动时，DP长度的最小值为62，最大值为2，又由PC长度的取值范围为2[,1]2，而点P到平面11ADDA的距离为定值1，因为平面11//ADDA平面11

BCCB，所以DP与平面11ADDA所成角与DP与平面11BCCB所成角相等，又由DC⊥平面11BCCB，可得DP在平面11BCCB射影为PC，所以DP在平面11BCCB所成角的正切值为12tan[,

1]2CP=，即DP与平面11ADDA所成角的正切值的取值范围为2[,1]2，其最大值小于3，则不存在点P使得DP与平面11ADDA所成角的大小为3，所以D错误.故选：D.【点睛】1、对面面平行判定定理的条件“面内两相交直线”认识不清导致错解；2、等体积法：等体积法也称积转化或等积

变形，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.3、求解直线与平面所成角时，根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值.7．D【分析】由中位线性质，平移异面直线即可判断MN不与AB

平行，根据异面直线平面角知MN与BC所成的角为90°，应用反证知OC不与平面VAC垂直，由面面垂直的判定知面VAC⊥面VBC，即可知正确选项.【详解】M，N分别为VA，VC的中点，在△VAC中有//MNAC，在面ABC中ABACA=

，MN不与AB平行；ACBCC=，知：MN与BC所成的角为90BCA=；因为OC面VACC=，OC与平面内交线,ACVC都不垂直，OC不与平面VAC垂直；由VA⊥面ABC，BC面ABC即VABC⊥，

而90BCA=知ACBC⊥，ACVAA=有BC⊥面VAC，又BC面VBC，所以面VAC⊥面VBC；故选：D【点睛】本题考查了异面直线的位置关系、夹角，以及线面垂直的性质，面面垂直判定的应用，属于基础题.8．C【分析】①由平面11AABB平行平面

11CCDD判断；②由四边形EFGH为矩形，EF变化而EH不变判断；③由11AD始终与EH平行判断；④由水的体积是定值，高不变，底面面积不变判断.【详解】①由棱柱的特征知：平面11AABB平行平面11CCDD，故正确；②因

为四边形EFGH是矩形，EF的长度变化，EH长度不变，所以面积是改变的，故错误；③因为11//ADEH，11AD平面EFGH，EH平面EFGH，所以11//AD平面EFGH，故正确；④因为水的体积是定值，高不变，所

以底面面积不变，所以1EAA时，AEBF+是定值．故正确．故选：C．9．AD【分析】利用线面垂直的判定，线面平行的判定，线线的位置关系及面面平行的性质逐一判断即可.【详解】由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，得：对于A，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的性质定理

得m∥n，故A正确；对于B，若m∥n，m∥α，则n∥α或n⊂α，故B错误；对于C，若m⊂α，n⊂β，则m，n相交、平行或异面，故C错误；对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m，n是异面直线，故D正确.故选：AD.【点睛】本题主要考查了线面垂直

的性质，线面平行的判定和面面平行的性质.10．BC【分析】由题意可得，AH⊥HE，AH⊥HF，HF⊥HE，从而利用线面垂直的判定定理可得AH⊥平面EFH，HF⊥平面AHE，进而可得答案【详解】解：由题意可得：AH⊥HE，AH⊥

HF.∴AH⊥平面EFH，而AG与平面EFH不垂直.∴B正确，A不正确.又HF⊥HE，∴HF⊥平面AHE，C正确.HG与AG不垂直，因此HG⊥平面AEF不正确.D不正确.故选：BC.【点睛】此题考查线面垂

直的判定，考查折叠问题，属于基础题11．4−【分析】对平面的位置关系分类讨论，即可得到答案.【详解】当三个不同的平面互相平行时，最少将空间分成4部分，即4b=，当三个平面三维放置时，最多将空间分成8部分，即8a=，所以484ba−=−=−．故答案为：4−

【点睛】方法点睛：对平面分空间为几个部分问题，要有画图的意识，结合空间想象能力全方位、多角度地去考虑问题，作出判断．12．对角线垂直（底面是菱形、正方形皆可）．【解析】试题分析：：∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直棱柱，∴1

11BDAA⊥，若111ACBD⊥，则11BD⊥平面11AACC，∴11BD⊥AC，又由11BD∥BD，则有BD⊥AC，反之，由BD⊥AC亦可得到111ACBD⊥考点：空间中直线与直线之间的位置关系13．平行【分析】利用线面平行的判定定理和线面平行的性质定理，即

可判断出l与直线11AC平行．【详解】在三棱柱111ABCABC−中，11//ACAC，11AC平面ABC，AC平面ABC，所以11//AC平面ABC,又因为11AC平面11ABC，且平面11ABC平面=ABCl，所以11//

ACl．故答案为：平行14．45°【分析】由线面垂直找出AM在面ABC内射影得线面角，在△PCM中计算而得.【详解】∵PC⊥AC，PC⊥BC，AC∩BC＝C，∴PC⊥平面ABC，∴PM在平面ABC内的射

影为CM，故∠PMC为PM与平面ABC所成的角．∵AC＝BC＝52，∠ACB＝90°，而AB的中点为M，∴CM＝5，又PC＝5，∴△PCM为等腰直角三角形，∴∠PMC＝45°，即PM与平面ABC所成的角为45°．故答案为：45°15．（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，∴EF∥AB

,又∵G、H是线段BD、AD的中点，∴GH∥AB,∴EF∥GH,因此：E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）∵平面//平面,点A、B在平面内，∴AB//平面设平面ABC与平面的交线为CP,∵直线AB与CD是异面直线,∴CP与CD是交线，∵AB//平面

,∴AB//CP,又EF∥AB,∴EF//CP,∴EF∥平面，∵点E、H是线段AC、AD的中点，∴EH∥CD,∴EH∥平面，因此：平面EFGH//平面【解析】考点：平面与平面平行的判定．分析：（Ⅰ）根据中位

线定理可知EF∥AB，GH∥AB，从而EF∥GH，根据公理可知两平行线确定一平面，则E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）根据平面α∥平面β，点A、B在平面α内，则AB∥平面α，设平面ABC与平面β的交线为CP，根据AB∥平

面α，则AB∥CP，又EF∥AB，则EF∥CP，根据线面平行的判定定理可知EF∥平面β，根据中位线定理可知EH∥CD，从而EH∥平面β，最后根据面面平行的判定定理可平面EFGH∥平面β．解答：证：（Ⅰ）∵点E、F是线段AC、BC的中点，∴EF∥AB，又∵G、H是线段BD、AD的中点，

∴GH∥AB，∴EF∥GH，因此：E、F、G、H四点共面；（Ⅱ）∵平面α∥平面β，点A、B在平面α内，∴AB∥平面α设平面ABC与平面β的交线为CP，∵直线AB与CD是异面直线，∴CP与CD是交线，∵AB∥平面α，∴AB∥CP，又EF∥AB，∴EF∥CP，∴EF∥平面β，∵点E、H是线

段AC、AD的中点，∴EH∥CD，∴EH∥平面β，因此：平面EFGH∥平面β．点评：本题考查证明两个平面平行的方法：在一个平面内找到两条条相交的直线和另一个平面平行，属于基础题．16．（1）证明见解析；（2）433【分析】（1）通过AC⊥BD与PD⊥AC可得A

C⊥平面PBD；（2）由题先得出∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，即∠PBD=45°，则可先求出菱形ABCD的面积，进而可得四棱锥P-ABCD的体积.【详解】解：（1）因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，又因为PD⊥平面A

BCD，AC平面ABCD，所以PD⊥AC，又PDBDD=，故AC⊥平面PBD；（2）因为PD⊥平面ABCD，所以∠PBD是直线PB与平面ABCD所成的角，于是∠PBD=45°，因此BD=PD=2.又AB=AD=2，所以菱形AB

CD的面积为sin6023SABAD==，故四棱锥P-ABCD的体积14333VSPD==.17．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）设BD与AC的交点为O，连接EO，通过直线与平面平行的判定定理证明//P

B平面AEC；（2）通过体积得到底面为正方形，再由线面垂直得到面面垂直即可.【详解】（1）连接BD交AC于点O，连结EO,因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点,又E为PD的中点，所以//EOPB,EO平面AEC，PB平面AEC，所以//PB平面AEC.（2）因为113PABCD

VABADAP−==,所以3AB=，所以底面ABCD为正方形，所以BDAC⊥，因为PAABCD⊥，所以BDPA⊥，且ACPAA=，所以BD⊥平面PAC，又BD平面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD.【点睛】本题主要考查了

立体几何及其运算，要证明线面平行先证明线线平行，要证明面面垂直，先证明线面垂直，考查了学生的基础知识、空间想象力.