【文档说明】福建省福州市平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期5月数学补习练（10）试题含答案.docx，共(16)页，964.227 KB，由小赞的店铺上传

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平潭县新世纪学校2020-2021学年高一下学期数学补习练（10）一、单选题1．平面与平面平行的条件可以是（）A．内有无穷多条直线与平行B．内的任何直线都与平行C．直线a在平面内，直线b在平面内，且//a，//bD．直线//a，直线//a2．下

列命题中，错误的是（）A．平行于同一直线的两个平面互相平行B．平行于同一平面的两个平面互相平行C．若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线与另一个平面也相交D．夹在两平行平面间的平行线段相等3．如图

，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是平行四边形，点F，G分别是PB，PD的中点，点E在线段PC上，且3CEEP=，则（）A．//PDEFB．直线PA与直线GF相交C．//PAEGD．//PA平面EFG4．若,是两个不同的平面，

l，m，n是三条不同的直线，则l⊥成立的充分不必要条件是A．,,,lmlnmna⊥⊥B．,//lmm⊥C．,//l⊥D．//,lmm⊥5．在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为（）A．90°B．45

°C．60°D．30°6．如图所示，将无盖正方体纸盒展开，直线AB、CD在原正方体中的位置关系是()A．平行B．相交且垂直C．异面直线D．相交成60°角7．如图，已知三棱柱111ABCABC−的各条棱长都相等，且1CC⊥底面ABC，M是侧棱1CC

的中点，则异面直线1AB和BM所成的角为()A．2B．C．D．38．如图1，直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，将梯形CDEF沿边EF翻折，如图2，在翻折过程中（平面ABFE和平面CDEF不重

合），下列说法正确的是（）A．在翻折过程中，恒有直线//AD平面BCFB．存在某一位置，使得//CD平面ABFEC．存在某一位置，使得//BFCDD．存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE二、填空题9．如图，在边长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点P是该正方体对角线1BD上的动点，给

出下列四个结论：①1ACBP⊥②APC△面积的最大值是23③APC△面积的最小值是2④当233BP=时，平面//ACP平面11ACD其中所有正确结论的序号是___________.10．已知a，b是平面外的两条不同直线，给出

下列三个论断：①ab⊥rr；②a⊥；③//b．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：11．如图，在四面体ABCD−中，ACBDa==，AC与BD所成的角为60，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长为________．12．如图所示，正方体1111

ABCDABCD−的棱长为2，,EF为1,AAAB的中点，M点是正方形11ABBA内的动点，若1//CM平面1CDE，则M点的轨迹长度为______．三、解答题13．如图，在四棱锥OABCD−中，底面ABCD是矩形．（1）设

M为OA上靠近A的三等分点，N为BC上靠近B的三等分点．求证：//MN平面OCD．（2）设E是OD上靠近点D的一个三等分点，试问：在OD上是否存在一点F，使//BF平面ACE成立？若存在，请予以证明；若不存在，说明理由．14．如图，矩形ABCD中，2,1ABBC==，E为CD的中点，把ADE

沿AE翻折，使得平面ADE⊥平面ABCE．（1）求证：ADBE⊥（2）在CD上确定一点F，使//AD平面BEF；（3）求四棱锥FABCE−的体积．15．如图，在四棱锥ABCDE−中，//BECD，2ABBCCDDE====，4BE=，AEAB⊥

．（1）求证：BEAC⊥．（2）若2AC=，求直线BE与平面ABC所成角的正弦值．参考答案1．B【分析】利用平面与平面的位置关系判断.【详解】若内有无穷多条直线与平行，则平面与平面相交或平行，故A不正确；若内的任何直线都与平行，则//，故B正确；若直线a在平面

内，直线b在平面内，且//a，//b，则平面与平面相交或平行，故C不正确；若直线//a，直线//a，则平面与平面相交或平行，故D不正确.故选：B2．A【分析】根据面面、线面、线线关系，结合面面平行的性质及平行线的性质，判断空间中线面、面面的位置关系，及线段的数量关系.【

详解】A：平行于同一直线的两平面可能平行，也可能相交，不正确；由面面平行的性质、及平行线的性质可知B、C、D正确；故选：A.3．D【分析】在CD上取一点H，使得3CHDH=，证得//PDEH，即可证得直线PD不与EF平行；构造经过直线PA的平面，确定该平面与平面EFG的交线，

判断PA与交线的位置关系，即可判断选项B，C，D．【详解】如图，在CD上取一点H，使得3CHDH=，连接EH，HF，又3CEEP=，所以//PDEH，则直线PD不与EF平行．连接AC，BD，交于点O，由四边形ABCD是平行四边形得O为AC，BD的中点．因为F，G分别为PB，PD的中点，所

以//GFBD，连接PO，交GF于点M，于是PMMO=，在线段EC上取点Q，使得2CQQE=，连接OQ，因为11333PEECEQEQ===，所以E为PQ的中点，又PMMO=，连接ME，则//MEOQ．因为PQ

QC=，AOOC=，所以//PAOQ，于是//PAME，因此直线PA与GF异面，不与直线EG平行，//PA平面EFG，故选：D．4．D【分析】根据直线平面间的位置关系或线面垂直的判定定理判断各选项．【详解】解：A：根据面面垂直的判定，当直线m，n相交时，才有l⊥，∴A错误．B

：当,//lmm⊥时，直线l与平面α可能平行，∴B错误．C：当,//l⊥时，直线l与平面α可能平行，也可能在平面α内，∴C错误．D：当//,lmm⊥时，根据两条平行线中的一条与平面垂直，则另一条也和这个

平面垂直，∴l⊥，但反之不一定成立，∴D正确．故选：D．5．D【分析】取AD的中点G，连接EG，FG，可得∠FEG或其补角为EF与CD所成的角，在EFG中，通过计算可得答案．【详解】取AD的中点G，连接EG，FG.∵E，F分别为AC，BD的中点，∴FG1//2AB，EG1//2

CD，∠FEG或其补角为EF与CD所成的角．∵EF⊥AB，∴在EFG中，EF⊥FG，∴sin∠FEG＝FGEG＝12，∴∠FEG＝30°.故选：D6．D【分析】把展开图还原成正方体可得,ABCD的位置关系．【详解】把展开图

恢复成如图所示的正方体，其中，ABC为等边三角形，所以60ABC=．选D．【点睛】已知空间几何体的平面展开图求原几何体中点线面的位置关系，可先选定一个底面，然后把展开图还原成空间几何体，在空间几何体中看指定的几何对象的位置关系，此类问题忌凭空想象．7．A【分析】由题意设棱长为a，补正三棱柱

ABC-A2B2C2，构造直角三角形A2BM，解直角三角形求出BM，利用勾股定理求出A2M，从而求解．【详解】设棱长为a，补正三棱柱ABC-A2B2C2（如图）．平移AB1至A2B，连接A2M，∠MBA2即为AB1与BM

所成的角，在△A2BM中，22252()22aABaBMaa==+=，，222313()22aAMaa=+=，222222,2ABBMAMMBA+==，．故选A．【点睛】本题主要考查了异面直线及其所成的角

和勾股定理的应用，计算比较复杂，要仔细的做．8．A【分析】根据翻折过程中，始终//DECF，//AEBF，利用面面平行的判定定理及性质，即可判定A正确；根据题中条件，得到CD与EF相交，可判断B错；根据题中条

件，判定直线BF与平面CDEF相交，即可判定C错；根据题中条件，得到DE与EF不垂直，即可判定D错.【详解】对于A，由题意得：//DECF，//AEBF，∵AEDEE=，BFCFF=，∴平面//ADE平面BCF，∵AD平面A

DE，∴在翻折过程中，恒有直线//AD平面BCF，故A正确；对于B，∵直线EF将矩形ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF，∴CD与EF相交，∴不存在某一位置，使得//CD平面ABFE，故B错误；对于C，∵平面CDEF平面BFCEF

=，BF平面BFC，=BFEFF，所以直线BF与平面CDEF相交；∴不存在某一位置，使得//BFCD，故C错误；对于D，∵四边形DEFC是梯形，DECD⊥，∴DE与EF不垂直，∴不存在某一位置，使得DE⊥平面ABFE，故D错误．故选：A．【点睛】思路点睛：

判断线线、线面位置关系时，一般需要结合相关概念，以及判定定理与性质定理，由题中条件，进行判断即可.9．①②④【分析】通过证明AC⊥平面11BDDB来证明1ACBP⊥；将APC△的面积表示出来，等价于求PE长度的最值，从

而在1RtBDD中分别求得最大值和最小值；通过证明1BD⊥平面APC且1BD⊥平面11ACD来证明平面//ACP平面11ACD.【详解】在正方体1111ABCDABCD−中，11,,ACBDACDDBDDDD⊥⊥=，故AC⊥平面11BDD

B，又111BPBDDB，则1ACBP⊥，①正确；连接BD交AC与E，由11EPBDDB，则ACEP⊥，122APCSACPEPE==，则求APC△的面积的最值等价于求PE长度的最值.在1RtBDD中，

当1PEBD⊥时，PE最小，易知22BD=，123BD=，1113sin3DDDBDBD==，此时136sin233PEBEDBD===，此时，APC△的面积的最小值为6232233PE==，故③错

误；当EP与1ED重合时，PE最大，易知2DE=，()221226ED=+=，此时，APC△的面积的最大值为22623PE==，故②正确；当233BP=时，在BPE中，2BE=，116cos3DBDBDBD==，则2222323662cos222

3333PEBPBEBPBEPBE=+−=+−=，则PEPB⊥，又,ACPBACPEE⊥=，故1BD⊥平面APC，由正方体体对角线性质，易知11111,DABBDCAD⊥⊥，即1BD⊥平面11ACD，故平面//AC

P平面11ACD，④正确；故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：利用正方体内的线线，线面，面面关系，来证明问题所求的线面，面面关系.10．若a⊥，//b，则ab⊥rr．【分析】设过b有一个平面，使得c=，则由//b结合线面平行的

性质可得//bc，由a⊥结合线面垂直的性质可得ac⊥，从而可得ab⊥rr【详解】若a⊥，//b，则ab⊥rr．理由：设过b有一个平面，使得c=，//b，b，c=，//bc，又a⊥，c，可得ac⊥

，又//bc，可得ab⊥rr．故答案为：若a⊥，//b，则ab⊥rr．11．2a或32a【分析】取BC的中点E，连接EM、EN，求出MEN的值，利用余弦定理可求得线段MN的长.【详解】取BC的中点E，连接EM、EN，M、E分别为AB、BC的中点，//MEAC且122

aMEAC==，同理可得EN//BD且122aENBD==，MEN为异面直线AC与BD所成的角或其补角，则60MEN=或120.在MEN中，2aEMEN==.若60MEN=，则MEN为等边三角形，此时，2aMN=

；若120MEN=，由余弦定理可得2232cos1202MNEMENEMENa=+−=.综上所述，2aMN=或32a.故答案为：2a或32a.【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移

：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2，当所作的

角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．12．2【分析】取11AB的中点H，1BB的中点G，连接11,,,,GHCHCGEGHF，可得四边形11EGCD是平行四边形，可得11//CDDE，同理可得1//CHCF，可得面面平行，进而得

出M点轨迹为GH．【详解】如图所示，11AB的中点H，1BB的中点G，连接11,,,,GHCHCGEGHF.可得四边形11EGCD是平行四边形，∴11//CGDE，又1CG平面1CDE，1DE平面1CDE，可得1//

CG平面1CDE.同理可得1//CHCF，1//CH平面1CDE，又111CHCGC=，∴平面1//CGH平面1CDE.∵M点是正方形11ABBA内的动点，1//CM平面1CDE，∴点M在线段GH上．∴M点的轨迹

长度为22112GH=+=.故答案为：2.13．（1）证明见解析；（2）在OD上是存在OE中点F，使//BF平面ACE成立，证明见解析.【分析】（1）取AD上靠近A的三等分点G，连接MGNG，，可得//MGOD，进而证明//MG平面O

CD，同理证明//NG平面OCD，得出面//MNG平面OCD即可证明；（2）存在OE中点F，连BFBD，，使=BDACP，连PE，得出//PEBF即可证明.【详解】（1）如图，取AD上靠近A的三等分点G，连接MGNG，，AOD△中，:1

:2:=1:2AMMOAGGD=，，则//MGOD，又MG平面OCD，OD平面OCD，//MG平面OCD，同理，//NG平面OCD，又=MGNGG，∴平面//MNG平面OCD，又MN平面MNG，∴//MN平面OCD．（2）存在OE中点F，使//

BF平面ACE成立．取OE中点F，连BFBD，，使=BDACP，连PE．ABCD是矩形，P是BD的中点，又E是OD上靠近点D的一个三等分点，且F是OE中点，E是FD的中点，BDF中，//PEBF，又PEQ平面ACE，BF平面ACE，//BF平面ACE，故在OD上是

存在OE中点F，使//BF平面ACE成立．【点睛】关键点睛：本题考查线面平行的证明，解题的关键是正确理解线面平行的判定定理以及面面平行的性质.14．（1）证明见解析；（2）线段CD上取CD的三等分点F（靠近C）；（3）26．【分析】（1）先由勾股定理证明BEAE⊥，再由面面垂直的性质得出BE⊥平面

DAE，进而由线面垂直的性质得出线线垂直；（2）作辅助线并证明//ADFG，再由线面平行的判定定理求解即可；（3）先由面面垂直的性质得出DO⊥平面ABCE，进而确定四棱锥FABCE−的高，最后得出体积.【详解】（1）证明

：∵平面ADE⊥平面ABCE，平面ADE平面ABCEAE=又由已知可得2AEBE==，2AB=，∴BEAE⊥，则BE⊥平面DAE∵AD平面DAE，∴BEAD⊥，故ADBE⊥；（2）连接AC交BE于G，则12CGCEGAAB==，在线段CD上取CD的三等分点F（靠近C），

连接FG，则13CFCGCDCA==，可得//ADFG而AD平面,BEFFG平面BEF，则//AD平面BEF；（3）取AE中点O，连接DO，则DOAE⊥又平面ADE⊥平面ABCE，且平面ADE平面ABCEAE=∴DO⊥平面ABCE，在RtADE△中，可得22DO

=∵F为CD的三等分点F（靠近C），∴F到平面ABCE的距离为122326=．可得四棱锥FABCE−的体积为1122(12)23266+=．【点睛】关键点睛：在第三问中，要求四棱锥FABCE−的体积，关键是想到四棱锥FABCE−和四棱锥DABCE−同底面，高成比例，从而得出四棱锥FABCE

−的体积.15．（1）证明见解析；（2）63．【分析】（1）取AC的中点O，连接OB，OE，EC，证明OBAC⊥，OEAC⊥，再利用线面垂直的判定定理证出AC⊥平面OBE，即证.（2）过点E作EFOB⊥于点F，得出EOB为直线B

E与平面ABC所成的角，在OBE△中，利用余弦定理即可求解.【详解】（1）如图，取AC的中点O，连接OB，OE，EC，∵ABBC=，∴OBAC⊥．∵//BECD，2ABBCCDDE====，4BE=，∴四边形CDEB为等腰梯形，且23CE=．∵AEAB⊥，2AB=，4BE=，∴AE23=，∴AE

CE=，∴OEAC⊥．∵OE，OB平面OBE，OEOBO=，∴AC⊥平面OBE，又BE平面OBE，∴BEAC⊥．（2）由（1）知AC⊥平面OBE，又AC平面ABC，∴平面ABC⊥平面OBE．∵平面ABC平面OBEOB=，∴过点E作EFOB⊥于点F，则EF⊥平面ABC，∴EOB为直线BE与平

面ABC所成的角．在等边三角形ABC中，易得3OB=．在ACE中，23AECE==，2AC=，∴2211OEAEAO=−=．又4BE=，∴在OBE△中，222316113cos23234OBBEOEEBOOBBE+−+−===，∴26sin1cos3EBOEBO=−=，即直线B

E与平面ABC所成角的正弦值为63．【点睛】方法点睛：证明线线垂直常由线面垂直的性质推理得到，一条直线和一个平面垂直，这条直线就垂直于这个平面内的所有直线，这是证明线线垂直的重要方法，若已知条件中含边的长度，则可根据线段间的数量

关系，利用勾股定理的逆定理或三角形三线合一的性质来证明线线垂直．