【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题.doc，共(17)页，1.215 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019-2020学年度第一学期高二年级期中考试数学试题（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，89，……，其中x的值为（）A.19B.21C.23D.25【

答案】C【解析】【分析】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前2个数的和，从而可得结果.【详解】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前2个数的和，81321x=+=，故选：C【点睛】归纳推理的一般步骤:一、通

过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）2.已知命题p：0x，总有(1)1xxe+，则p﹁为()A.00x，使得00(1)1xxe+B.00x，使得

00(1)1xxe+C.0x，总有(1)1xxe+D.0x，使得(1)1xxe+【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定进行求解，改变量词，否定结论.【详解】因为命题p：0x，总有(1)1xxe+，所以p﹁：00x，使得00(1)1xxe+.故选：B.【点睛】本题主要

考查含有量词的命题的否定，改变量词，否定结论是这类问题求解的常用方法.侧重考查逻辑推理的核心素养.3.已知在ABC中，1a=，3b=，6A=，则B=（）A.3B.2C.3或23D.23【答案】C【解析】【分析】由题

意结合正弦定理求解角B的值即可.【详解】由正弦定理sinsinabAB=可得：3sinsin36sin12bABa===，因为()0,B所以角B等于3或23.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，

直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A65B.184C.183D.176【答案】B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算

即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为17的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a，结合等差数列前n项和公式有：811878828179962Sada=+=+=，解得：165a=，则81765717184aad=+=+=.即第八个孩子分得斤数为184

.本题选择B选项.点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若22mn，则下列结论一定成立的是（）A.11mnB.mmnnC.()ln0mn−D.1mn−【答案】B【解

析】【分析】根据指数函数的性质可得m＞n，再分类讨论即可.【详解】由22mn得到mn.当0mn时，由不等式同向可乘性知22mn，即mmnn；当0mn时，0mmnn；当0nm时，0nm−−，由不等式同向可乘性知22nm，故22nm−−，mmnn.故选B【考点】不等式

、指数、对数的基本性质，不等式性质.【点睛】本题考查了指数函数的图象与性质，不等式的基本性质，属于基础题．6.已知命题p：ABC中有一个内角为3，是ABC的三个内角成等差数列充要条件；命题q：“tantan=”是“=”的必要不充分条件，则下列命题正确的是

（）A.pqB.()pqC.()()pqD.()pq【答案】B【解析】【分析】首先分别判断出命题p和命题q的真假性，然后可得答案.【详解】由ABC中有一个内角为3，可得ABC的三个内角成等差数列，反之也成立故命题p

为真命题由tantan=推不出=，反过来，当2==时，也推不出tantan=所以“tantan=”是“=”的既不充分也不必要条件，故命题q为假命题所以()pq正确故选：B【点睛】本题主要考查了命题真假性的判断和逻辑联结词，属于基础

题.7.若等比数列na各项均为正数，且242632aaa+=，则212227logloglogaaa+++=（）A.14B.12C.16D.20【答案】A【解析】【分析】由条件求出44a=，然后可得答案.【详解】因为数列na是

等比数列，所以222644232aaaa+==，即2416a=，因为40a，所以44a=所以()721222721272424logloglogloglog7log14aaaaaaaa+++====故选：A【点睛】本题考查的是等比数列的性质及对数的运算，考查了学生对基础知识的掌握情

况，较简单.8.设0x，0y，若2019x，2019，2019y成等比数列，则19xy+的最小值为（）A.16B.12C.9D.8【答案】A【解析】【分析】由条件可得1xy+=，然后可得()1919919yxxyxyxyxy+=++

=+++，利用基本不等式求解即可.【详解】因为2019x，2019，2019y成等比数列所以2019201920192019xyxy+==，所以1xy+=所以()1919919102916yxxyx

yxyxy+=++=++++=当且仅当9yxxy=，即13,44xy==时等号成立故选：A【点睛】本题考查的是等比数列和基本不等式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.9.在ABC中，内角,,ABC的对边分

别为,,abc.若ABC的面积为S，且1a=，2241Sbc=+−，则ABC外接圆的面积为（）A.4B.2C.D.2【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面积公式可得2222cosbcabcA+−=和1sin2SbcA=，结合条件

2241Sbc=+−，可得sincosAA=，进而得4A=，由正弦定理可得结果．【详解】由余弦定理得，2222cosbcabcA+−=，1a=所以2212cosbcbcA+−=又1sin2SbcA=，2241S

bc=+−，所以有14sin2cos2bcAbcA=，即sincosAA=，所以4A=，由正弦定理得，12sin4R=，得22R=所以ABC外接圆的面积为2．答案选D．【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活

选择，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．10.若实数,xy满足121x

yyx−+−，则22xy+的取值范围是（）A.1[,13)2B.1[,13)4C.5[,13)5D.1[,13)5【答案】D【解析】【详解】根据实数,xy满足121xyyx−+−，画出可行域如图所示22xy+表示可行域内的点与坐标原点O距离的平方，O与

直线AB：210xy+−=距离为220015521+−=+，O与(2,3)C的距离最大为222313+=，∵可行域不包含(2,3)C∴21135r，即22xy+的取值范围是1[,13)5故选：D【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还

是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11.两等差数列{}na和{}nb的前n项和分别是nnST、,已知73nnSnTn=+,则55ab=()

A.7B.23C.278D.214【答案】D【解析】【详解】195519919551999()2792129()29342aaaaaaSbbbbbbT++======+++.故选：D.【点睛】等差数列的性质的

灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容.12.在R上定义运算:abadbccd=−，若不等式1211xaax−−+对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（）A.12−B.32−C.12D.3

2【答案】D【解析】【分析】根据定义,不等式转化为221xxaa−+−对任意实数x恒成立，转化为求21yxx=−+的最小值，再解不等式.【详解】由定义知，不等式1211xaax−−+等价于()2221xxaa−−−−，所以221xxaa

−+−对任意实数x恒成立.因为221331244xxx−+=−+，所以234aa−，解得1322a−，则实数a的最大值为32.故选：D.【点睛】本题考查函数新定义，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题型.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20

分．13.等差数列na中，若15939aaa++=，371127aaa++=，则数列na前11项的和为__________．【答案】121【解析】【分析】由等差数列的性质可得5=13a，7=9a，然后利用等

差数列前n项和公式求解即可.【详解】等差数列na中，由15953=39aaaa++=，可得5=13a，371173=27aaaa++=，可得7=9a，则数列na前11项的和()()11157111111=2112212122=aaaaS++==,故答案为：121【点睛】本题

考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.14.某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为_____

___m.【答案】10【解析】如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋10

2－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5(舍)．15.某企生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在,AB两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；

生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1小时．,AB两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为__________千元．【答案】360【解析】【分析】设生产甲、乙

两种产品分别为x件、y件，然后写出约束条件，画出可行域，结合目标函数的几何意义可得答案.【详解】设生产甲、乙两种产品分别为x件、y件，由题意可得约束条件：2348069600,0,xyxyxyxNyN++，原问题等价于在上述约束条件下求解目

标函数2zxy=+的最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()150,60B处取得最大值：max2215060360zxy=+=+=千元.故答案为：360【点睛】含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的

两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．16.若关于x的不等式2420xxa−−−在区间()1,4内有解，则实数a的取值范围是__________．【答案】(),2−−

【解析】【分析】不等式2420xxa−−−在区间()1,4内有解等价于()2max42axx−−，然后求出()242fxxx=−−的值域即可.【详解】不等式2420xxa−−−在区间()1,4内有

解等价于()2max42axx−−因为函数()242fxxx=−−在()1,2上单调递减，在()2,4单调递增，()()()15,26,42fff=−=−=−所以()fx的值域为()6,2−−所以2a−故答案为：(),2−−【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了

学生对基本方法的掌握情况，较简单.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知na为等差数列，且36a=−，60a=．（1）求na的通项公式；（2）若等比数列

nb满足18b=−，2123baaa=++，求数列nb的前n项和公式．【答案】(1)212nan=−;(2)4(13)nnS=−.【解析】【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、（1）设na公差为d，由已知得1126{50adad

+=−+=解得110{2ad=−=,212nan=−（2）21232324baaaa=++==−，等比数列nb的公比212438bqb−===−利用公式得到和8(13)4(13)13nnnS−−==

−−．18.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且cos2coscosbCaBcB=−．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若2BABC=，且2b=，求a和c的值．【答案】（1）3B=，（2）14ac==或41ac==.【解析】【分

析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到sin2sincosAAB=，再由(0,)A，则sin0A，即可求得1cos2B=，然后可得答案；（2）由（1）和2BABC=，求得4ac=，再利用余弦定理，求得4ac+=，进而得到a和c的值．【详解】（1）在ABC中，因为cos

2coscosbCaBcB=−由正弦定理得，sincos2sincossincosBCABCB=−，可得sincossincos2sincosBCCBAB+=，即sin()2sincosBCAB+=，可得

sin2sincosAAB=，又因为(0,)A，则sin0A，所以1cos2B=.因为(0,)B，所以3B=（2）由2BABC=，可得cos2acB=，又1cos2B=，故4ac=①因为2b=，根据余弦定理，可得2222cosbacacB=+−，所以224aca

c=+−所以2()16ac+=，即4ac+=②由①②可解得14ac==或41ac==【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理

、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.解关于x的不等式：()2220axax+−−．（aR且0a）．【答案】()0,a+时，解集为：|1xx−或2xa

；()2,0a−时，解集为：2|1xxa−；2a=−时，解集为：1−；(),2a−−时，解集为：2|1xxa−【解析】【分析】先将不等式因式分解，然后再对参数a分类讨论，最后求解不等式解集.【详解】因为()2220axax+−−，所以()()

210axx−+；若2a=−，解得：1x=−；若(),2a−−，()210xxa−+，解得：2|1xxa−；若()2,0a−，()210xxa−+，解得：2|1xxa−

；若()0,a+，()210xxa−+，解得：|1xx−或2xa；综上：()0,a+时，解集为：|1xx−或2xa；()2,0a−时，解集为：2|1xxa−；2a=−时，解集为：1−；(),2a

−−时，解集为：2|1xxa−【点睛】本题考查一元二次不等式的解法问题，考查了分类讨论的思想，属于中档题.20.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的

速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值．【答案】（1）14海里/小时；（2）.【解析】【详解】（1）12,20,120ABACBAC

===,∴∴,∴V甲海里/小时；（2）在中，由正弦定理得∴∴.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.21.某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修维护费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和各种

装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼，问哪种方案更优？【答案】（1）从第4年（2）选择方案②

【解析】【分析】（1）设第n年获取利润为y万元，根据题意，得到付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，表示出利润23081ynn=−−，由0y，即可求出结果；（2）根据（1）中求出的利润表达式，按照两种方案，分

别求出利润，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，n年内共付出装修费为()2122nnnn−+=，因此利润()()23081327ynnnn=−−=−−−，

令0y解得3<<27n，所以从第4年开始获取纯利润；（2）方案①：纯利润总和()22308115144ynnn=−−=−−+，所以经过15年共获利润：144+10=154（万元）；方案②：n年内年平均利润230818130nnWnnn−−==−+

，所以3028112W−=（当且仅当81nn=，即9n=时取等号），所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）.两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②【点睛】本题主要考查等差数列的应用，以及基本不等式的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可

，属于常考题型.22.数列na是公比为12的等比数列，且21a−是1a与31a+的等比中项，前n项和为nS；数列nb是等差数列，18b=，其前n项和nT满足1nnTnb+=（为常数，且1）．（Ⅰ）求数列

na的通项公式及的值；（Ⅱ）比较1231111nTTTT++++与12nS的大小；（Ⅲ）设23log108nnnxba=+−，求数列nx前n项和nF关于n的表达式．【答案】（Ⅰ）()*12nnanN=，12=；（Ⅱ）123111112nnSTTTT++++；（

Ⅲ）229,14940,5nnnnFnnn−=−+()*nN．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得()()221311aaa−=+，即可解出首项1a，得到数列na的通项公式，对1nnTnb+=进行赋值，令1,2nn==得出两个等式，即可解

出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nnS=−，从而可得1214nS，又由()41nTnn=+可得111141nTnn=−+，利用裂项相消法即可求出12311111111414nTTTTn++++=−+，进而得出123111112n

nSTTTT++++；（Ⅲ）根据（Ⅰ）中，12nna=，8nbn=可得210nxn=−，按照4,5nn分类，分别求出数列nx前n项和nF，即可解出．【详解】（Ⅰ）依题可得，()()221311aaa−=

+，即1112111124aaa−=+，解得112a=，所以()*12nnanN=．因为1nnTnb+=，令1,2nn==得，128bb==，2382bb+=，设数列n

b的公差为d，则()88d+=，()88282dd++=+，解得128d==或10d==（舍去），故12=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()*12nnanN=，所以112nnS=−，则111112224nnS=−

．而由（Ⅰ）知，8nbn=，所以()41nTnn=+，即111141nTnn=−+．所以12311111111111114223341nTTTTnn++++=−+−+−++−+1111414n=−+

，故123111112nnSTTTT++++．（Ⅲ）因为12nna=，8nbn=，所以23log102108nnnxban=+−=−．因为()219nnnxxx+++=−当4n时，0nx，()2121+nnnFxxxxxx=++=−+++()9nn=−；当5n时，0n

x，23451+nnFxxxxxx=+++++()()234156+nxxxxxxx=−++++++()()2342112nxxxxxxx=−+++++++()()2459nn=−−+−2940nn=−+．综上可得，229,14940,5nnnnFnnn−=−+()

*nN．【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，等差数列，等比数列前n项和公式的应用，裂项相消法的应用，以及数列na的前n项和的求法，综合性较强，意在考查学生的数学运算能力，属于较难题．