【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题.doc，共(16)页，1.245 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019-2020学年度第二学期高二年级期中考试数学试题（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若i是虚数单位，则复数11ii+=−（）A.-1B.1

C.i−D.i【答案】D【解析】()()()21121112iiiiiii++===−−+，本题选择D选项.2.已知:1px，1:1qx则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由不等

式11x，解得1x或0x，再结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解，得到答案.【详解】由题意，可得不等式11x，可转化为1110xxx−−=，解得1x或0x，所以p是q的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查

了分式不等式的求解，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟记分式不等式的解法，以及充分条件和必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.设函数()33fxax=+，()13f=，则a

等于（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】C【解析】【分析】对()fx求导数，令()13f=，即可求出a的值.【详解】∵()33fxax=+，∴()23fxax=；又∵()133fa==，∴1a=，故选：C

．【点睛】本题主要考查了由导数值求参数的值，属于基础题.4.关于x的函数32()33fxxxxa=++−的极值点的个数有（）A.2个B.1个C.0个D.由a确定【答案】C【解析】试题分析：因为，32()33fxxxxa=++−

，所以，令2'()3630fxxx=++=，得，2(1)0x+=，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于x的函数32()33fxxxxa=++−的极值点的个数为0，选C．考点：导数计算．点评：简单题，

应用()'''uvuvuv=+，熟记导数公式．先确定“驻点”的个数．5.已知命题2000:,2+30pxRxx−的否定是2,2+30xRxx−，命题:q双曲线221xy−=的离心率为2，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pqC.pqD.

pq【答案】A【解析】分析：写出p中命题的否定和求出双曲线的离心率可知命题,pq的真假，从而得出结论.详解：命题2000,2+30xRxx−的否定是2,2+30xRxx−，命题p为真，双曲线221xy−=中1ab==，则2c=，即离心率为2cea==

，命题q为假，因此只有pq为真，故选A.点睛：要判断复合命题的真假，首先必须判断简单命题的真假，再由真值表确定复合命题真假，本题中简单命题的真假只要根据其定义求解即可知.6.如图所示的是()yfx=的图象，则()Afx与()Bfx的大小关系是()A.()()ABfxfxB.()()

ABfxfxC.()()ABfxfx=D.不能确定【答案】B【解析】试题分析：由函数图像可知函数在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知()()ABfxfx成立考点：导数的几何意义7.已知()()11

1123nnnf+=++++NL，证明不等式()22nnf时，()12kf+比()2kf多的项数是（）A.12k−项B.12k+项C.2k项D.以上都不对【答案】C【解析】【分析】利用1(2)(2)kkff+−111212222kkkk=++++++即可判断出结果

.【详解】因为11111(2)1232kkf++=++++，111(2)1232kkf=++++，所以1(2)(2)kkff+−111212222kkkk=++++++，所以()12kf+比()2kf多的项数是2k.故选：C

.【点睛】本题考查了对数学归纳法的正确理解，作差1(2)(2)kkff+−判断是解题关键，属于基础题.8.若()()21ln22fxxbx=−++在)1,−+上是减函数，则b的取值范围是（）A.)1,−

+B.(,1−−C.)1,+D.(,1−【答案】B【解析】【分析】先对函数进行求导，根据导函数小于0时原函数单调递减即可得到答案【详解】由题意可知()02bfxxx−++=，在)1x−+，上恒成立，即()2bxx+在)1x−+，上恒成立，由于()2yxx=+

在)1,−+上是增函数且最小值为1−，所以1b−，故选：B.【点睛】本题主要考查导数的正负和原函数的增减性的问题，属于中档题.9.函数lnxxyx=的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分类0x和0x进行讨论

，根据单调性即可判断结果.【详解】函数lnxxyx=为奇函数，当0x时，lnyx=，函数单调递增，当0x时，()lnyx=−−，函数单调递增，故选：B.【点睛】本题考查了函数的图象的识别，得到函数的单调性是解题的关键，属于中档题.10.某学校举

办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛，该项目只设置一个一等奖．在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：小张说：“甲或乙团队获得一等奖”；小王说：

“丁团队获得一等奖”；小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”；小赵说：“甲团队获得一等奖”．若这四位同学中有且只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是（）A甲B.乙C.丙D.丁【答案】D【解析】1

.若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符;2.若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符;3.若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符;4.若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,

小张、小赵的预测错误,符合题意，故选D.【思路点睛】本题主要考查演绎推理的定义与应用以及反证法的应用，属于中档题.本题中，若甲获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测都正确,与题意不符；若乙获得一等奖,则只有小张的预测正确,与题意不符；若丙获得一等奖,则四人的预测都错误,与题意不符；

若丁获得一等奖,则小王、小李的预测正确,小张、小赵的预测错误,符合题意.11.函数()fx的定义域为R，()12f−=，对任意xR，()2fx，则()24fxx+的解集为（）A.()1,1−B.()1,−+C.(),1−−D.(),−+【答案】B【解析】【分析】构造函

数()()24gxfxx=−−，利用导数判断出函数()ygx=在R上的单调性，将不等式()24fxx+转化为()()1gxg−，利用函数()ygx=的单调性即可求解.【详解】依题意可设()()24gxfxx=−−，所以()()20gxfx=−.所以函

数()ygx=在R上单调递增，又因为()()11240gf−=−+−=.所以要使()()240gxfxx=−−，即()()1gxg−，只需要1x−，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，

考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.已知函数()fx对定义域R内的任意x都有()()22fxfx+=−，且当2x时其导函数()fx满足()()2xfxfx，若24a则（）A.()()()223logafffaB.()()()23log2affa

fC.()()()2log32afaffD.()()()2log23afaff【答案】C【解析】【分析】由()fx=(4)fx−得到函数的对称性，(2)()0xfx−得到函数的单调性，结合关系即可得到结论.【详解】由于函数()

fx对定义域R内的任意x都有()fx=(4)fx−，可知函数关于2x=对称，根据条件2x时，有()2(),xfxfx得(2)()0xfx−，当2x时()fx递增，当2x时()fx单调递减，因为24a所以4216a，21log2a，因为2x=是对称轴，所以22log3a

，所以22log32aa，所以2(log)(3)(2)afaff，故选：C.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据导数判断函数的单调性，再利用对称性、单调性比较大小.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.()1

0xxedx−=__________.【答案】32e−【解析】【分析】直接根据微积分基本定理即可得出结果.【详解】()()121001131222xxxedxxeee−=−=−−−=−，故答案为：32e−.【点睛】本题主要

考查了定积分的计算，求出原函数是解题的关键，属于基础题.14.一电路图如图所示，从A到B共有__________条不同的线路可通电.【答案】8【解析】【分析】根据电路图分三类相加即可得解.【详解】根据电路图可知，共有22138++=条不同的线路可通电.故答

案为：8【点睛】本题考查了分类加法计数原理和分步计数原理的应用，属于基础题.15.抛物线()2:20Mypxp=与椭圆()2222:10xyNabab+=有相同的焦点F，抛物线M与椭圆N交于,AB

，若,,FAB共线，则椭圆N的离心率等于．【答案】21−【解析】试题分析：由题意，知(,0)2pF，2pc=，即2pc=．由抛物线与椭圆的对称性知，两曲线的公共点的连线和x轴垂直，所以22||||||bABAFBFa=+=，又由抛物线的定义知||2ABp=，所以224bca

=，即2220caca+−=，2210ee+−=，解得21e=−．考点：1、椭圆的几何性质；2、圆锥曲线间的位置关系．【方法点睛】在抛物线中，与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一

定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛物线上的点到准线距转化为该点到焦点的距离；（2）将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.16.若函数24()1xfxx=+在区间(21

)mm+，上是单调递增函数，则实数m的取值范围是．【答案】【解析】2222224(1)84(1)(1)()(1)(1)xxxxfxxx+−−+==++，令'()0fx，得11x−，即函数()fx的单调递增区间为(1,1)−，又因为函数()241xfxx=+在

区间(),21mm+上单调递增，所以121121mmmm−++，解得10m−；故填(1,0]−.点睛：已知函数()fx在所给区间上单调递增，求有关参数的取值范围，往往采用以下两种方法：①求出函数的单调递增区间，通过所给区间是该函数

的单调递增区间的子集进行求解；②将问题转化为'()0fx在所给区间上恒成立进行求解.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数()xfxxe=.（1）求曲线()yfx=在点()(

)0,0f处的切线方程；（2）讨论函数()fx的单调性.【答案】（1）yx=；（2）增区间(1,)−+，减区间(,1)−−.【解析】【分析】（1）先求出(0),f再由求导公式和法则求出导数,再求出切线的斜率(0)f的值,求出切线方

程；（2)由(1)求出(),fx再令()0fx,求得函数的单调递增区间，令()0fx,求得函数的单调递减区间.【详解】（1）由题意得(0)0f=，则切点为(0,0)，又()(1)xxxfxexexe=+=+，则(0)1f=，则切线的斜率1k=，故在点(0

,(0))f处的切线方程为yx=（2）()fx的定义域为R，由（1）知,()(1)xfxxe=+令()0fx得10x+,即1x−，则函数()fx单调递增区间是(1,)−+，令()0fx得10x+,即1x−，则函数()fx单调递减区间是(,1)−−，故()fx的单调递增区间

是(1,)−+，单调递减区间是(,1)−−.【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求曲线的切线方程，利用导数求函数的单调性，属于基础题.18.三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，可有多

少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？【答案】（1）4320（2）14400（3）14400【解析】【分析】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列；（2）先排五个男生，再将三个女生插进去；（3）两端先排女生，其余位

置随便排.【详解】（1）将女生捆绑在一起当个元素使用，与五个男生共6个元素作全排列，故有3636AA4320=种；（2）先排五个男生，再将三个女生插进去，故有535614400AA=种；（3）两端先排女生，其余位

置随便排，故有265614400AA=种.【点睛】本题考查了捆绑法、插空法，考查了有限制条件的排列，属于基础题.19.已知函数()1lnfxaxx=−−，aR.（1）1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若函

数()fx在1x=处取得极值，且对()0,x+，()2fxbx−恒成立，求实数b的取值范围.【答案】（1）()fx的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+.（2）21be−−【解析】【分析】（1）求导后，利用()0fx可得单调递增区间，()0fx

可得单调递减区间；（2）求导后，利用()01f=可得1a=，将()2fxbx−转化为1ln1xbxx+−，构造函数1ln()1xgxxx=+−，利用导数求出()gx的最小值即可得解.【详解】（1）函数()fx的定义域为(0,)+，因为1a=，所以()1ln=−−fxxx，所以

1()1fxx=−1xx−=，令()0fx，得1x，令()0fx，得01x，所以()fx的单调递减区为(0,1)，单调递增区间为[1,)+.（2）因为11()axfxaxx−=−=，且函数()fx在1x=处取得极值，所以()01f=，即10a−=，解得1a

=，由（1）知，1a=满足题意，所以()1ln=−−fxxx，由已知对()0,x+，()2fxbx−恒成立，得1ln2xxbx−−−，即1ln1xbxx+−对()0,x+恒成立，，令1ln()1xgxxx=+−，则2211ln()xgx

xx−=−−2ln2xx−=，令()0gx，得2xe，令()0gx，得20xe，所以()gx在2(0,)e上递减，在2[,)e+上递增，所以当2xe=时，()gx取得最小值，最小值为22222121()111geeeee−=+−=−=−，所以21be−−.【点睛】本题考

查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用函数的极值求参数，考查了利用导数处理不等式恒成立，属于中档题.20.在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为2的菱形，60ABC=，PBPCPD==.（I）证明：PA⊥平面ABCD；（II

）若2PA=，求二面角APDB−−的余弦值.【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)155.【解析】【详解】试题分析：（1）连接AC，取BC中点E，连接AEPE，，然后根据等腰三角形的性质得出BCAE⊥，BCPE⊥，从而

推出BC⊥平面PAE，进而利用线面垂直的性质定理结合判定定理可使问题得证；（2）以A为原点，建立空间直角坐标系，然后求得相关点的坐标与向量，由此求得平面PBD与平面PAD的法向量，从而利用空间夹角公式求解.试题解析：（1）连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E

，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB＝PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，又PA⊂平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD＝C，所以PA⊥平面AB

CD．（2）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，则B（3，﹣1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），PD=（0，2，﹣2），BD=（3−，3，0），设平面PBD的法向量为m=（x，y，z），则220330PDmyzB

Dmxy=−==−+=，取x3=，得m=（311，，），取平面PAD的法向量n=（1，0，0），则cos155mnmnmn==＜，＞，所以二面角A﹣PD﹣B的余弦值是155．考点：1

、线面垂直的判定；2、二面角；3、空间向量的应用.【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型，（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；（3

）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.21.已知椭圆：22221(0)xyabab+=，12e=，其中是椭圆的右焦点，焦距为，直线l与椭圆交于点，，点，的中点横坐标为14，且AFFB=（其中1）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求实数的值．【答案】（1）2214

3xy+=；（2）352+=．【解析】试题分析：（1）运用离心率公式和椭圆的，，的关系，解得，，即可得到椭圆方程；（2）运用向量共线的知识，设出直线的方程，联立椭圆方程，消去，运用判别式大于，以及韦达定理和中点坐标公式，计算得

到，的横坐标，即可得到所求值．试题解析：（1）由条件可知，1c=，，故2223bac=−=，椭圆的标准方程是22143xy+=；4分（2）由AFFB=，可知，，三点共线，设点11(,)Axy，点22(,)Bxy，若直线A

Bx⊥轴，则121xx==，不合意题意，当所在直线l的斜率k存在时，设方程为(1)ykx=−，由22(1){143ykxxy=−+=，消去得()22223484120kxkxk+−+−=①由①的判别式4222644(43)(412)144(1)0kkkk=−+−=+

，∵21222122843{41243kxxkkxxk+=+−=+，6分∴212281432kxxk+==+，214k=，8分将214k=代入方程①，得242110xx−−=，解得1354x=，10分又∵11(1,)AFxy=−−，22(1,)FBxy=−，A

FFB=，1212xx−=−，352+=．12分考点：1．椭圆的方程和性质；2．直线与椭圆的位置关系；3．中点坐标公式．22.设函数2()lnfxaxbx=−(1)若函数()fx在1x=处与直线12y=-相切,求函数()fx在1,ee上的最大值．(2)当0b=时,若不

等式()fxmx+对所有的(230,,1,2axe都成立，求实数m的取值范围．【答案】（Ⅰ）max1()(1)2fxf==−；（Ⅱ）2me−．【解析】试题分析：（Ⅰ）题意告诉我们函数()fx在1x

=处的导数值为0，函数值为12−，由此可得,ab，在1[,]ee上确定'()0fx和'()0fx的解集，从而得出函数的单调性，得极大值；（Ⅱ）本小题是不等式恒成立问题，解题的关键是问题转化．不等式()fxmx+对所有的(230,,1,2axe都成立，

则lnaxmx+对所有的(230,,1,2axe都成立，即lnmaxx−对所有的都成立，这里有两个参数，先选取a作为主元，则lnyaxx=−是a的一次函数，在ln0x时，它是增函数，因此0a=时它

取得最小值x−，因此问题又化为mx−对2(1,]xe恒成立，易得2me−．令()lnhaaxx=−，则()ha为一次函数，min()mha试题解析：（Ⅰ）由题知'()2afxbxx=−函数()fx

在1x=处与直线12y=−相切(1)20{1(1)2fabfb=−==−=−解得1{12ab==22111()ln,()2xfxxxfxxxx−=−=−=当1xee时，令'()0fx得11xe；令'()0fx，得1;xe1(),1fxe在上单调递增，

在[1，e]上单调递减，max1()(1)2fxf==−（Ⅱ）当0b=时，()lnfxax=若不等式()fxmx+对所有的(230,,1,2axe都成立，则lnaxmx+对所有的(230,,1,2axe

都成立，即lnmaxx−对所有的都成立，令()lnhaaxx=−，则()ha为一次函数，min()mha(21,xeln0x3()[0,]2haa在上单调递增min()(0)hahx==−mx−对所有的(21,xe都

成立221,1,xeex−−−2min()mxe−=−，(2me−−即实数的取值范围是，（注：也可令()ln,()hxaxxmhx=−则对所有的(21,xe都成立，分类讨论得2min()2mhxae=−对所有的3[0,]2a都成立，22min(2)mae

e−=−，酌情给分）考点：导数与切线，导数与函数的最值，不等式恒成立．