【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题.doc，共(14)页，1022.000 KB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019-2020学年度第二学期高二年级期中考试数学（文科）试题一、选择题1.已知(1)zii=−（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点的位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】分析：把z化为(,)abia

bR+形式，得对应点为(,)ab，从而可在第几象限.详解：2(1)1ziiiii=−=−=+，对应点为(1,1)在第一象限.故选A.点睛：本题考查复数的几何意义，解题时需把复数化为标准形式，即(,)abiabR+的形式，它对应的点的坐标为(,)ab.2

.将点的极坐标2,4化为直角坐标为（）A.()1,0B.()1,1−C.()1,0-D.()1,1【答案】D【解析】【分析】根据互化公式cosx=，siny=可得．【详解】解：2=，4=，

2cos212x===，2sin212y===，极坐标2,4化为直角坐标为()1,1，故选：D．【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式，属于基础题．3.在极坐标系中，方程sin=表示的曲线是

（）A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【答案】B【解析】方程sin=，可化简为：2sin=，即22xyy+=.整理得2211(y)24x+−=，表示圆心为(0,1)2，半径为12的圆.故选B.4.双曲线221102xy−=的焦距为（）A.32B.42C.

33D.43【答案】D【解析】试题分析：由双曲线221102xy−=方程得2222210,2,10212,23,243abcabcc===+=+===即焦距为43，答案为D考点：双曲线的应用.5.某公司某件产品的定价x与销量y之

间的数据统计表如下，根据数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归直线方程为：6.517.5yx=+，则表格中n的值应为（）x24568y3040n5070A.45B.50C.55D.60【答案】D【解析】【分析】先计算出样本中心点（5，1905n

+），再把样本中心点的坐标代入回归方程即得n的值.【详解】由题得样本中心点（5，1905n+），所以1906.5517.5,605nn+=+=.故答案为D【点睛】(1)本题主要考查回归方程的性质和平均数的

计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2)回归方程经过样本中心点(,)xy.6.①已知332pq+=，求证2pq+，用反证法证明时，可假设2pq+；②设x，y，z都是正数，用反证法证明三个数1xy+，1yz+，1zx+至少有一个不小于2时，可假设1xy+，

1yz+，1zx+都大于2，以下说法正确的是（）A.①与②的假设都错误B.①与②的假设都正确C.①的假设正确，②的假设错误D.①的假设错误，②的假设正确【答案】C【解析】分析：反证法中假设是假设结论的反面成立，可分别写出结论反面，判断正误.详解：2

pq+的反面是2pq+，①正确，“至少有一个不小于2”的反面是“都小于2”，②错误，故选C．点睛：本题考查反证法，在反证法的假设中要注意，结论的反面是什么，特别是命题中有“至少”、“至少有一个”、“至多”、“至多有2个”、“都”

等词时，它的反面是什么，不能写错.7.如图所示，函数()yfx=的图像在点P处的切线方程是29yx=−+，则()()44ff+的值为（）A.0B.1C.－1D.2【答案】C【解析】【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果.【详解】切线方程为：29yx=−+，当4,1xy==，(

)4-2=f则()41=f，()(4)4-1+=ff故选：C【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.8.关于x的函数32()33fxxxxa=++−的极值点的个数有（）A.2个B.1

个C.0个D.由a确定【答案】C【解析】试题分析：因为，32()33fxxxxa=++−，所以，令2'()3630fxxx=++=，得，2(1)0x+=，在x=－1附近，导函数值不变号，所以，关于x的函数32()33fx

xxxa=++−的极值点的个数为0，选C．考点：导数计算．点评：简单题，应用()'''uvuvuv=+，熟记导数公式．先确定“驻点”的个数．9.无论为何值，方程222sin1xy+=所示的曲线必不是（）A.双曲线B.抛物线C.椭圆D.以上都不对【答案】B

【解析】【分析】由的范围可得2sin的取值范围，然后对其分类可得方程222sin1xy+=所表示的曲线．【详解】解：是任意实数，2sin2,2−，当2sin1=时，方程222sin1xy

+=所表示的曲线是圆；当2sin0且不等于1时，方程222sin1xy+=所表示的曲线是椭圆；当2sin0时，方程222sin1xy+=所表示的曲线是双曲线；当2sin0=时，方程222sin1xy+=所表示的曲线是两条直线．方程22

2sin1xy+=所表示的曲线一定不是抛物线．故选：B．【点睛】本题考查曲线与方程，考查了圆锥曲线的标准方程，体现了分类讨论的数学思想方法，属于基础题．10.在极坐标系下，圆心为3,6C，半径为3的圆的极坐标方程为（）A.6sin6

=−B.6cos6=−C.3sin3=−D.3cos6=−【答案】B【解析】【分析】设圆上任一点为(,)P，(6,)6A，则OP=，6POA=−，236OA==，RtOAP中，由cosOPOAPOA=，化简

可得圆的极坐标方程．【详解】设圆上任一点为(,)P，(6,)6A，则OP=，6POA=−，236OA==，RtOAP中，cosOPOAPOA=，6cos()6cos()66=−=−，故所求圆的极坐

标方程为6cos()6=−．故选：B．【点睛】本题考查求圆的极坐标方程的方法，同时考查计算能力．11.在极坐标系中，直线l的方程为2sin()42+=，则点3(2,)4A到直线l的距离为

()A.2B.22C.222−D.222+【答案】B【解析】【分析】先将极坐标化为直角坐标,利用点到直线的距离公式即可得.【详解】点3(2,)4A的直角坐标为(2−，2)，直线：2:sin()42l+=即sincos1+=，化为直角坐

标方程为10xy+−=．由点到直线的距离公式得|221|2211d−+−==+，故选B．【点睛】本题考查极坐标与直角坐标之间的互化,属于基本题型,解题中关键是运算的准确性.12.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，()()'0fxxfx+，若()20f=，则不

等式()0xfx的解集为（）A.()()2,00,2−B.()(),22,−−+C.()()2,02,−+D.()(),20,2−−【答案】D【解析】分析：由()'()0fxxfx+联想到构造函数()()gxxfx=，此函数是奇

函数，在0x时，)'(0gx，从而具有单调性，再结合已知可求得不等式解集．详解：设()()gxxfx=，则()()()()gxxfxxfxgx−=−−=−=−，∴()gx是奇函数，又0x时，'()()'()0gxfxxfx=+，因此此时()

gx是减函数，于是在0x时，()gx也是减函数，由(2)0f=，得(2)0f−=，∴()0gx的解集为(,2)(0,2)−−，故选D．点睛：构造新函数是导数的一个典型应用，难点是构造的新函数的形式，在解题中常常有这些构造法：()()gxxfx=，()()fxg

xx=，()()xgxefx=，()()xfxgxe=等等，平常学习中要注意总结．二、填空题13.已知,xyR，若i2ixy+=−，则xy−=．【答案】【解析】试题分析：由i2ixy+=−得1,2xy=−=，则12=3xy−=−−−.考点：复数的概念和运算.14.20201()1ii+−=_

_________【答案】1【解析】【分析】先对11ii+−化简得11iii+=−，从而可求出20201()1ii+−的值.【详解】解：因为221(1)121(1)(1)2iiiiiiii++++===

−−+，所以2020202045055050((11)1)1iiii=+=−==，故答案为：1【点睛】此题考查复数的运算，属于基础题.15.某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第6年的分枝数分别为1,1,2,3,5,8，则预计第10年树的分枝数为_________

_．【答案】55【解析】分析：观察6年数据，发现从第3年开始，每年的分枝数都前2年的分枝数的和．根据此规律可得结论．详解：记第n年分枝数为na，则121aa==，当3n时，12nnnaaa−−=+，所以75813a=+=，881321a=+=，91321

34a=+=，10213455a=+=，故答案为55．点睛：本题考查数列的递推公式，由前6项数据归纳出数列的递推公式为12(3)nnnaaan−−=+，由此递推公式可计算出第10年的数据，也考查了归纳推理能力，属于基础题．16.已知22()1xfxx=+，则111(

1)(2)(3)(4)234fffffff++++++=_________．【答案】72【解析】【分析】由已知得1()()1fxfx+=，由此能求出111(1)(2)(3)(4)234fffffff

++++++的值．【详解】解：22()1xfxx=+，222211()()1111xxfxfxxx+=+=++，()22111211f=+=所以111(1)(2)(3)(4)234fffffff

++++++111(1)(2)(3)(4)234fffffff=++++++1711122=+++=故答案为：72【点睛】本题考查函数值的求法，是基础题，解题

时要认真审题，注意1()()1fxfx+=的合理运用．三、解答题17.求下列函数的导数：（1）()()12yxx=−−；（2）221xyx=+.【答案】（1）23yx=−；（2）22222(1)xyx−=+【解析】【分析】（1）利用导数的乘法法则，即可求出

导数.（2）利用导数的除法法则，即可求出导数.【详解】（1）(1)(2)(1)(2)2123yxxxxxxx=−−+−−=−+−=−（2）2222222(1)2222(1)(1)xxxxyxx+−−==++【点睛】本题考查了导数的乘除运算，考查了运算能力，

属于基础题目.18.已知复数()3zbibR=+，且()13iz+为纯虚数.（1）求复数z；（2）若2iz=+，求复数以及模.【答案】（1）3iz=+;（2）7155i=−，2=【解析】【分析】(1)将()13iz+表示为abi+的形式，结

合纯虚数的定义即可求解；(2)将(1)的结果代入2iz=+化简为abi+的形式，结合复数的模长公式即可求解.【详解】(1)将3zbi=+代入()13iz+得()()()()13133339izibibbi+=++=−++

，因为()13iz+为纯虚数,所以330,90,bb−=+解得1b=，所以复数3iz=+.(2)由(1)知3iz=+，所以3(3)(2)772i2(2)(2)555ziiiiiiii++−−=====−+++−，2271255=+−=.【点

睛】本题主要考查复数的四则运算及纯虚数的概念、复数的模长公式，属于基础题.19.（1）求曲线2xyx=+在点()1,1−−处的切线方程.（2）求函数()316fxxx=+−过点()0,0的切线方程.【答案】（1）21yx=+；（2）13yx=【解析】【分析】（1）对函数求导，代入切点横坐标即可得

出斜率，进而可得结果.（2）设切点坐标3000(,16)+−Pxxx，用导数求出切线斜率，再用两点坐标求出斜率，列方程，即可求出切点坐标，进而求出切线方程.【详解】（1）()()222222xxyxx+−==++，1|2xky=−==切线方程为：(1

)2(+1)−−=yx，即2+1=yx（2）设切点为3000(,16)+−Pxxx2'()3+1=fxx，()32000001631xxkfxxx+−===+，解得0-2=x(-2,-26)P，切线方程为：(26)13(2)−−=+yx，即13yx=【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算

能力，属于基础题目.20.为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患

胃病者生活规律的共200人.（1）补充完整2×2列联表；患胃病未患胃病总计生活规律220生活不规律320总计540（2）判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律是否有关.()()()()()22nadbcabcdaccd−=++++【答案

】（1）列联表见解析；（2）有99.5%的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．【解析】【分析】（1）由已知作出22列联表即可；（2）由列联表，结合计算公式，求得2K，由此判断出两个量之间的关系．【详解】解：（1）由已知可列22列联表得：患胃病未患胃病合计生活规律202002

20生活不规律60260320合计80460540（2）由计算公式得2K的观测值为：22540(2026020060)9.63880460220320K−=，9.6387.879因此

，我们有99.5%的把握说40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关．【点睛】本题考查独立性检验的应用，解题的关键是给出列联表，再熟练运用公式求出卡方的值，根据所给的表格判断出有关的可能性．21.在直角坐标平面内，以坐标原点

O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点A、B的极坐标分别为()2,A，22,4B，曲线C的极坐标方程为2sin=.（1）求AOB的面积；（2）求直线AB被曲线C截得的弦长.【答案】（1）2；（2）2；【解析】【分析】（1）由题意可知3222,4，=

==OAOBAOB，利用三角形的面积公式，即可求出面积.（2）求出AB的直线方程220xy-+=和曲线C的直角坐标方程22(1)1yx+−=，进而可求出弦长.【详解】（1）3222,4，===O

AOBAOB12222222==VAOBS（2）在平面直角坐标系中，(2,0),(2,2)−AB，AB的直线方程为：1(2)2202=+−+=yxxy22222=2sin2sin2(1)1=+=

+−=xyyxy直线过圆心(0,1)，弦长即为直径2【点睛】本题考查了三角形的面积公式、极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.22.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为63，且经过点(0,1)．（1）求椭圆C的方程；（2）过点()0

,2P的直线交椭圆C于,AB两点，求AOB面积的最大值.（O为坐标原点）【答案】（1）椭圆C的方程是2213xy+=;(2)AOB面积取得最大值32.【解析】分析：（1）由离心率得63ca=，从而得13ba=，再由椭圆过(0,1)得1b=，解得a后得方程；（2）直线AB的斜率存在，设其方程

为2,ykx=+，与椭圆方程联立后消去y得x的一元二次方程，设()()1122,,,AxyBxy，应用韦达定理得1212,xxxx+，结合图形得12OABOPBOPASSSxx=−=−，可把它表示为k的函数，22236(1)(31)OABkS

k−=+，可用换元法（设21tk=−）后结合基本不等式求得最值．详解：（1）由222222213abbeaa−==−=，得13ba=，①由椭圆C经过点()0,1，得1b=，②联立①②，解得3,a=所以椭圆C的方程是2213xy+=.（2）已知直线AB的斜率存在，设其方程为2,ykx=+将直线A

B的方程与椭圆C的方程联立得，22132xyykx+==+，消去y得()22131290kxkx+++=，令()2214436130,kk=−+得21k，设()()1122,,,AxyBxy，则121222129,,1313kxxxxkk+=−=++所以1

21212,2AOBPOBPOASSSxxxx=−=−=−因为()()221212124xxxxxx−=+−=()()2222223611236,131313kkkkk−−−=+++设()210ktt−=

则()212xx−=()23636363,16416349242924tttttt==+++++当且仅当169tt=，即43t=时等号成立，此时27,3k=AOB面积取得最大值32.点睛：直线与椭圆相交的最值问题，常常采用“设而不求”思想，即直线A

B的斜率存在，设其方程为ykxb=+,，与椭圆方程联立后消去y得x的一元二次方程，设()()1122,,,AxyBxy，应用韦达定理得1212,xxxx+，再把已知的条件用坐标1122(,),(,)xyxy表示，象三角形的面积可利用弦长公式2121ABkxx=+−求得弦长AB，由点到

直线的距离公式求出O到AB的距离即三角形的高，从而可把面积表示为k的函数，最后由函数知识求得最值．