【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题.pdf，共(17)页，316.021 KB，由小赞的店铺上传

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-1-商丹高新学校2019-2020学年度第一学期高二年级期中考试数学试题（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，89，……，其中x的值为（）A.19B.21C

.23D.25【答案】C【解析】【分析】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前2个数的和，从而可得结果.【详解】根据所给数据的规律可知，从第三个数开始每个数都是前2个数的和，81321x，故选：C【点睛】归纳推理的一般步骤:一、通过观察个

别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）2.已知命题p：0x，总有(1)1xxe，则p﹁为()A.00x，使得00(1)1xxeB.00x，使得00(1)1xxeC.0x，

总有(1)1xxeD.0x，使得(1)1xxe【答案】B【解析】【分析】利用全称命题的否定进行求解，改变量词，否定结论.【详解】因为命题p：0x，总有(1)1xxe，所以p﹁：00x，使得00(1)1xxe.故选：B.

【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，改变量词，否定结论是这类问题求解的常用方法.侧重考查逻辑推理的核心素养.-2-3.已知在ABC中，1a，3b，6A，则B（）A.3B.2C.3或23D.23【答案】C【解析】【分析】由题意结合正弦定理求解角B的值即可.【详解】由正

弦定理sinsinabAB可得：3sinsin36sin12bABa，因为0,B所以角B等于3或23.故选：C【点睛】本题主要考查正弦定理及其应用，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转

化能力和计算求解能力.4.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分

配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（）A65B.184C.183D.176【答案】B【解析】分析：将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.详解：由题意可得，8个孩子所得的棉花构成公差为1

7的等差数列，且前8项和为996，设首项为1a，结合等差数列前n项和公式有：811878828179962Sada，解得：165a，则81765717184aad.即第八个孩子分得斤数为184.-3-本题选择B选项.点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用

，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.若22mn，则下列结论一定成立的是（）A.11mnB.mmnnC.ln0mnD.1mn【答案】B【解析】【分析】根据指数函

数的性质可得m＞n，再分类讨论即可.【详解】由22mn得到mn.当0mn时，由不等式同向可乘性知22mn，即mmnn；当0mn时，0mmnn；当0nm时，0nm，由不等式同向可乘性知22nm，故22nm，m

mnn.故选B【考点】不等式、指数、对数的基本性质，不等式性质.【点睛】本题考查了指数函数的图象与性质，不等式的基本性质，属于基础题．6.已知命题p：ABC中有一个内角为3，是ABC的三个内角成等差数列充要条件；命题q：“tantan”是“”的必要不充

分条件，则下列命题正确的是（）A.pqB.pqC.pqD.pq【答案】B【解析】【分析】首先分别判断出命题p和命题q的真假性，然后可得答案.【详解】由ABC中有一个内角为3，可得ABC的三个内角成等差数列，

反之也成立故命题p为真命题由tantan推不出，反过来，当2时，也推不出tantan-4-所以“tantan”是“”的既不充分也不必要条件，故命题q为假命题所以pq正确故选：B【

点睛】本题主要考查了命题真假性的判断和逻辑联结词，属于基础题.7.若等比数列na各项均为正数，且242632aaa，则212227logloglogaaa（）A.14B.12C.16D.20【答案】A【解析】

【分析】由条件求出44a，然后可得答案.【详解】因为数列na是等比数列，所以222644232aaaa，即2416a，因为40a，所以44a所以721222721272424logloglogloglog7log14aaaaaaaa

故选：A【点睛】本题考查的是等比数列的性质及对数的运算，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.8.设0x，0y，若2019x，2019，2019y成等比数列，则19xy的最小值为（）A.16B.12C.9D.8【答案】A【解析】【分析】由条件可得1xy

，然后可得1919919yxxyxyxyxy，利用基本不等式求解即可.-5-【详解】因为2019x，2019，2019y成等比数列所以2019201920192019xyxy，所以1xy所以1919919102916

yxxyxyxyxy当且仅当9yxxy，即13,44xy时等号成立故选：A【点睛】本题考查的是等比数列和基本不等式，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.9.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc.若ABC的面积为S，且1a

，2241Sbc，则ABC外接圆的面积为（）A.4B.2C.D.2【答案】D【解析】【分析】由余弦定理及三角形面积公式可得2222cosbcabcA和1sin2SbcA，结合条件2241S

bc，可得sincosAA，进而得4A，由正弦定理可得结果．【详解】由余弦定理得，2222cosbcabcA，1a所以2212cosbcbcA又1sin2SbcA，2241Sbc，所以有14sin2cos2bcAbcA，即sin

cosAA，所以4A，由正弦定理得，12sin4R，得22R所以ABC外接圆的面积为2．答案选D．【点睛】解三角形问题多为边角求值的问题，这就需要根据正弦定理、余弦定理结合已知条件，灵活选择

，它的作用除了直接求边角或边角互化之外，它还是构造方程（组）的重要依-6-据，把正、余弦定理，三角形的面积结合条件形成某个边或角的方程组，通过解方程组达到求解的目标，这也是一种常用的思路．10.若实数,xy满足121xyyx，则22x

y的取值范围是（）A.1[,13)2B.1[,13)4C.5[,13)5D.1[,13)5【答案】D【解析】【详解】根据实数,xy满足121xyyx，画出可行域如图所示22xy表示可行域内的点与坐标原点O距离的平方，O与直线AB：210xy距离

为220015521，O与(2,3)C的距离最大为222313，∵可行域不包含(2,3)C∴21135r，即22xy的取值范围是1[,13)5故选：D【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封

闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、-7-还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.11.两等差数列{}na和{}nb的前n项和分别是nnST、,已知73nnS

nTn,则55ab()A.7B.23C.278D.214【答案】D【解析】【详解】195519919551999()2792129()29342aaaaaaSbbbbbbT.故选：D.【点睛】等差数列的性质的灵活应用是解决此题的关键，等差数列是比

较重要的一类数列，也是高考中考查的重点内容.12.在R上定义运算:abadbccd，若不等式1211xaax对任意实数x恒成立，则实数a的最大值为（）A.12B.32C.12D.32【答案】

D【解析】【分析】根据定义,不等式转化为221xxaa对任意实数x恒成立，转化为求21yxx的最小值，再解不等式.【详解】由定义知，不等式1211xaax等价于2221xx

aa，所以221xxaa对任意实数x恒成立.因为221331244xxx，所以234aa，解得1322a，则实数a的最大值为32.故选：D.【点睛】本题考查函数新定义，一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，属于基础题

型.-8-二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.等差数列na中，若15939aaa，371127aaa，则数列na前11项的和为__________．【答案】121【解析】【分析】由等差数列的性质可得5=13a，7=9a，然后利用等差数列前n

项和公式求解即可.【详解】等差数列na中，由15953=39aaaa，可得5=13a，371173=27aaaa，可得7=9a，则数列na前11项的和11157111111=2112212122=aaaaS

,故答案为：121【点睛】本题考查等差数列性质的应用，考查等差数列前n项和公式的应用，属于基础题.14.某人在C点测得塔顶A在南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10m到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为________m.【答案】10【解析】如图，设塔高为h，在R

t△AOC中，∠ACO＝45°，则OC＝OA＝h.在Rt△AOD中，∠ADO＝30°，则OD＝3h.在△OCD中，∠OCD＝120°，CD＝10.由余弦定理得OD2＝OC2＋CD2－2OC·CDcos∠OCD，即(3h)2＝h2＋102－2h×10×cos120°，∴h2－5h－50＝0，解得

h＝10或h＝－5(舍)．15.某企生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需-9-要在,AB两种设备上加工，生产一件甲产品需用A设备2小时，B设备6小时；生产一件乙产品需用A设备3小时，B设备1

小时．,AB两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为__________千元．【答案】360【解析】【分析】设生产甲、乙两种产品分别为x件

、y件，然后写出约束条件，画出可行域，结合目标函数的几何意义可得答案.【详解】设生产甲、乙两种产品分别为x件、y件，由题意可得约束条件：2348069600,0,xyxyxyxNyN，原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2zxy的

最大值.绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点150,60B处取得最大值：max2215060360zxy千元.-10-故答案为：360【点睛】含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这

两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．16.若关于x的不等式2420xxa在区间1,4内有解，则实数a的取值范围是__________．【答案】,2【解析】【分析】不等式2420xxa

在区间1,4内有解等价于2max42axx，然后求出242fxxx的值域即可.【详解】不等式2420xxa在区间1,4内有解等价于2max42axx因

为函数242fxxx在()1,2上单调递减，在2,4单调递增，15,26,42fff所以fx的值域为6,2所以2a故答案为：,2【点睛】本题考查的是不等式存在性问题，考查了学生对基本方法的掌握情

况，较简单.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知na为等差数列，且36a，60a．（1）求na的通项公式；（2）若等比数列nb满足18b，2123baaa

，求数列nb的前n项和公式．【答案】(1)212nan;(2)4(13)nnS.【解析】-11-【详解】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用．、（1）设na公差为d，由已知得1126{50adad解得110{2a

d,212nan（2）21232324baaaa，等比数列nb的公比212438bqb利用公式得到和8(13)4(13)13nnnS．18.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且cos2coscosbCaBcB．（Ⅰ）求角

B的大小；（Ⅱ）若2BABC，且2b，求a和c的值．【答案】（1）3B，（2）14ac或41ac.【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得到sin2sincosAAB，再由(0,)A，则sin0A，即可求得

1cos2B，然后可得答案；（2）由（1）和2BABC，求得4ac，再利用余弦定理，求得4ac，进而得到a和c的值．【详解】（1）在ABC中，因为cos2coscosbCaBcB由正弦定理得，sincos2sincossincosBCABCB，可得sinco

ssincos2sincosBCCBAB，即sin()2sincosBCAB，可得sin2sincosAAB，-12-又因为(0,)A，则sin0A，所以1cos2B.因为(0,)B，所以3B（2）由2BA

BC，可得cos2acB，又1cos2B，故4ac①因为2b，根据余弦定理，可得2222cosbacacB，所以224acac所以2()16ac，即4ac②

由①②可解得14ac或41ac【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对

角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.19.解关于x的不等式：2220axax．（aR且0a）．【答案】0,a时，解集为：|1

xx或2xa；2,0a时，解集为：2|1xxa；2a时，解集为：1；,2a时，解集为：2|1xxa【解析】【分析】先将不等式因式分解，然后再对参数a分类讨论，最后求解不等式解集.【详解】因为2220

axax，所以210axx；若2a，解得：1x；若,2a，210xxa，解得：2|1xxa；若2,0a，210xxa

，解得：2|1xxa；-13-若0,a，210xxa，解得：|1xx或2xa；综上：0,a时，解集为：|1xx或2x

a；2,0a时，解集为：2|1xxa；2a时，解集为：1；,2a时，解集为：2|1xxa【点睛】本题考查一元二次不等式的解法问题，考查了分类讨论的

思想，属于中档题.20.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．（1）求渔船甲的速度；（2）求sin的值

．【答案】（1）14海里/小时；（2）.【解析】【详解】（1）12,20,120ABACBAC,∴∴,∴V甲海里/小时；（2）在中，-14-由正弦定理得∴∴.点评：主要是考查了正弦定理和余弦定理的运用，属于基础题.21.某房地产开发商投资81万元建一座写

字楼，第一年装修维护费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元.（1）若扣除投资和各种装修维护费，则从第几年开始获取纯利润？（2）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①纯利润总和最大时，以10万元出售该楼；②年平均利润最大时以46万元出售该楼，问

哪种方案更优？【答案】（1）从第4年（2）选择方案②【解析】【分析】（1）设第n年获取利润为y万元，根据题意，得到付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，表示出利润23081ynn，由0y，即可求出结果；（2）根据（1

）中求出的利润表达式，按照两种方案，分别求出利润，比较大小，即可得出结果.【详解】（1）设第n年获取利润为y万元，n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，n年内共付出装修费为2122nnnn，因此利润23081327ynnnn

，令0y解得3<<27n，所以从第4年开始获取纯利润；（2）方案①：纯利润总和22308115144ynnn，所以经过15年共获利润：144+10=154（万元）；-15-方案②：n年内年平均利润2

30818130nnWnnn，所以3028112W（当且仅当81nn，即9n时取等号），所以9年后共获利润：12×9+46=154（万元）.两种方案获利一样多，而方案②时间比较短，所以选择方案②【点睛

】本题主要考查等差数列的应用，以及基本不等式的应用，熟记等差数列的通项公式与求和公式，以及基本不等式即可，属于常考题型.22.数列na是公比为12的等比数列，且21a是1a与31a的等比中项，前n项和为nS；数列nb是等差数列，18b，其前n项和nT满足1nnTn

b（为常数，且1）．（Ⅰ）求数列na的通项公式及的值；（Ⅱ）比较1231111nTTTT与12nS的大小；（Ⅲ）设23log108nnnxba，求数列nx前n项和nF

关于n的表达式．【答案】（Ⅰ）*12nnanN，12；（Ⅱ）123111112nnSTTTT；（Ⅲ）229,14940,5nnnnFnnn*nN．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意可得221311a

aa，即可解出首项1a，得到数列na的通项公式，对1nnTnb进行赋值，令1,2nn得出两个等式，即可解出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112nnS，从而可得1214nS，又由41nTnn可得111141nTnn

，利用裂项相消法即可求出12311111111414nTTTTn，进而得出123111112nnSTTTT；-16-（Ⅲ）根据（Ⅰ）中，12nna，8nbn可得210nxn，按照4,5nn分类，分别求出数列

nx前n项和nF，即可解出．【详解】（Ⅰ）依题可得，221311aaa，即1112111124aaa，解得112a，所以*12nnanN．

因为1nnTnb，令1,2nn得，128bb，2382bb，设数列nb的公差为d，则88d，88282dd，解得128d或10d（舍去），故12

．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，*12nnanN，所以112nnS，则111112224nnS．而由（Ⅰ）知，8nbn，所以41nTnn，即111141nTnn．所以12311111111111114

223341nTTTTnn1111414n，故123111112nnSTTTT．（Ⅲ）

因为12nna，8nbn，所以23log102108nnnxban．因为219nnnxxx当4n时，0nx，2121+nnnFxxxxxx

9nn；当5n时，0nx，23451+nnFxxxxxx234156+nxxxxxxx2342112nxxxxxxx-17-2459nn2940nn．综上可得，229,14940,

5nnnnFnnn*nN．【点睛】本题主要考查等差数列，等比数列的通项公式的求法，等差数列，等比数列前n项和公式的应用，裂项相消法的应用，以及数列na的前n项和的求法，综合性较强，意在考查学生的数学运算能力，属于

较难题．