【文档说明】【精准解析】陕西省商洛市商丹高新学校2019-2020学年高二上学期期末考试理科数学试题.doc，共(20)页，1.277 MB，由小赞的店铺上传

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商丹高新学校2019-2020学年度第一学期高二年级期末模拟考试数学（理）试题一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.抛物线216yx=−的准线方程为（）A.32y=B.124y=C.32x=D.124x=【答案】A【解析

】【分析】由抛物线的标准方程可得2p，进而得到准线方程．【详解】解：因为216yx=−，所以26xy=−，所以322p=可得准线方程是32y=．故选：A．【点睛】熟练掌握抛物线的标准方程及其性质是解题的关键，属于基础题．2

.已知空间向量(,1,2),(,1,1)ab=−=，则“1=”是“ab⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.【详解】当1=时，(1,1,2),(1,1,1)ab=−=

，所以0ab=，即ab⊥，故充分；当ab⊥时，0ab=，即2120+−=解得1=，故不必要；故选：A【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断以及空间向量的数量积运算，属于基础题.3.若椭圆22199xym+=+的离心率是12，则m的值等于（）A.94

−B.14C.94−或3D.14或3【答案】C【解析】试题分析：先看当焦点在y轴和x轴时，根据方程分别求得a和c，进而根据离心率求得m．当m+9>9，即m>0时，焦点y轴，199,,329mcmmemm=+−====+；当m+9<9时，即m<0时，1999,

324mcmmem−=−−=−===−，，故选C考点：椭圆的简单性质4.两不重合平面的法向量分别为1(1,0,1)v=−，()22,0,2v=−，则这两个平面的位置关系是（）A.平行B.相交不垂直C.垂直D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】根据平面

的法向量与平面垂直的性质，只要判断法向量的位置关系，可得平面的位置关系．【详解】解：由已知，两不重合平面的法向量分别为1v=（1，0，﹣1），2v=（﹣2，0，2），所以1212vv=−，所以两不重合平面的法向量平

行，所以这两个平面的位置关系是平行；故选：A．【点睛】本题考查了法向量的运用；如果不重合的平面的法向量平行，则这两个平面也平行．5.在四面体OABC中,MN分别是,OABC的中点，P是MN的三等分点（靠近点N）

，若,,OAaOBbOCc===，则OP=（）A.111366abc++B.111633abc++C.111263abc++D.111623abc++【答案】B【解析】【分析】利用空间向量的基本定理求解.【详解】如图所示：23OPOMOMMPMN=+

=+，()12121112323222OAONOMOAOBOCOA=+−=++−，111633OAOBOC=++111633abc=++.故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理的应用，还考查了数形结合的思想

方法，属于基础题.6.给出下列说法：①命题“存在xR使得213xx+”的否定是“任意xR有213xx+”；②已知,pq为两个命题若“p或q”为假命题则“非p且非q”为真命题；③“01a„”是“05a”的既不充分也不必要条件；④

“若0xy=，则0x=且0y=”的逆否命题为真命题.其中正确的说法有（）A.3个B.2个C.1个D.0个【答案】B【解析】【分析】①根据含有一个量词命题的否定的定义判断；②根据命题的否定判断；③利用集合法判断；④利用等价命题判断.

【详解】①命题“存在xR使得213xx+”的否定是“任意xR有213xx+”，故错误；②已知,pq为两个命题若“p或q”为假命题，由命题的否定知“非p且非q”为真命题，故正确；③因为“01a„”推不

出“05a”，“05a”推不出“01a„”所以既不充分也不必要，故正确；④“若0xy=，则0x=或0y=”所以原命题是假命题，故其逆否命题为假命题，故错误.故选：B【点睛】本题主要考查命题的真假判断，还考查了理解辨析的能力，属于基

础题.7.已知双曲线C的渐近线方程是2xy=，焦点在坐标轴上且实轴长为4，则双曲线C的标准方程为（）A.2214xy−=B.221416yx−=C.2214xy−=或221416yx−=D.221164xy−=或22116

64yx−=【答案】C【解析】【分析】根据双曲线C的渐近线方程是2xy=，设双曲线C的方程是()2204xy−=，然后根据焦点在坐标轴上且实轴长为4，分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种情况讨论求解.【详解】

因为双曲线C的渐近线方程是2xy=，所以设双曲线C的方程是()2204xy−=，即2214xy−=，焦点在坐标轴上且实轴长为4，当焦点在x轴上时，44=，解得1=，所以双曲线的方程为：2214xy−=，当焦点在y轴上时，4−=，解得4=−，所以双曲线的方程

为：221416yx−=，故选：C【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了分类讨论的思想，属于基础题.8.已知12,FF是椭圆221925xy+=的两个焦点，A为椭圆上一点，则12AFF△的周长为（）A10B.14C.16

D.18【答案】D【解析】【分析】由题意，三角形12AFF的周长即点A到两焦点的距离和加上焦距，由椭圆的性质即可求得其周长【详解】解：由题意，12210AFAFa+==，2594=−=c，即128FF=所以三角形12AFF的周长为10818+=故选：D．【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质

，利用三角形12AFF的位置是解答的关键，属于基础题.9.已知直三棱柱111CC−中，C120=，2=，1CCC1==，则异面直线1与1C所成角的余弦值为（）A.32B.155C.105D.33【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱1111ABCDABCD

−，则所求角为21111,2,21221cos603,5BCDBCBDCDAB==+−===，易得22211CDBDBC=+，因此111210cos55BCBCDCD===，故选C．平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题

化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形；④取舍：由异面直线所成的角的取值范

围是(0,]2，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．10.已知双曲线221kxy−=的一条渐近线与直线210xy++=垂直，则该双曲线的离心率为（）A.52B.72C.43D.5

【答案】A【解析】【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，利用a，b，c的关系，求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线221kxy−=的渐近线的一条渐近线与直线210xy++=垂直，渐近线的斜率为12，12ba=，2

2214caa−=，52e=．故选：A．【点睛】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用，属于基础题．11.抛物线28xy=焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl⊥，A为垂足，如果直线AF的倾斜角等于60，那么PF等于()

A.23B.43C.83D.3【答案】C【解析】【分析】根据抛物线几何性质及三角函数关系，结合等腰三角形性质即可求得PF.【详解】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：抛物线28xy=焦点为F，则(

)0,2F，准线方程为2x=−，直线AF的倾斜角等于60，即60FAB=，而PAl⊥，所以30FAP=，由抛物线定义可知PFPA=，因而30FAPPFA==，作FEPA⊥于E，则4EA=，60FPE=，所以43tan303EFEA==，所以在F

EP中，4383sin60332EFPF===，故选：C.【点睛】本题考查了抛物线标准方程及几何性质的简单应用，属于基础题.12.若直线ykx2=+与双曲线22xy6−=的右支交于不同的两点，则k的取

值范围是()A.1515,33−B.150,3C.15,03−D.15,13−−【答案】D【解析】【分析】由直线与双曲线联立得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由2121210000kxxxx−

+，，，结合韦达定理可得解.【详解】解析：把y＝kx＋2代入x2－y2＝6，得x2－(kx＋2)2＝6，化简得(1－k2)x2－4kx－10＝0，由题意知2121210000kxxxx−+，，，即()2222

1640104011001kkkkk+−−−−，，，解得153−＜k＜－1.答案：D.【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合0,{03}1xAxBxxx==

−，那么“mA”是“mB”的_______条件.（在“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选一个）【答案】充分不必要【解析】【分析】先化简集合A，再利用集合法判断即可.【详解】因为001,{03}1xAxxxBxxx

===−，所以AB，所以“mA”是“mB”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要【点睛】本题主要考查集合法判断逻辑条件以及分式不等式的解法，属于基础题.14.双曲线221(0

)xymnmn−=的离心率为2，有一个焦点与抛物线24yx=的焦点重合，则mn的值为___________【答案】316【解析】【分析】由题即可求得1c=，对,mn的正负分类，即可表示出22,ab，再利

用双曲线离心率为2列方程，即可求得,mn，问题得解．【详解】由题可得：抛物线24yx=的焦点坐标为()1,0，所以双曲线中1c=方程()2210xymnmn−=表示双曲线所以,mn同号.当,mn同正时，54ab=−

，则12ceam===，解得：14m=则222314nbcam==−=−=，此时1334416mn==.当,mn同负时，22,anbm=−=−，则12cean===−，解得：14n=−则222314mbcan−==−

=+=，此时1334416mn=−−=综上所述：316mn=【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，还考查了双曲线的简单性质及分类思想，考查双曲线标准方程的,,abc的识别，考查计算能力，属于中档题．15

.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1=2,E是侧棱BB1的中点,则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为_____.【答案】90【解析】【分析】建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标后，求

出直线AE的方向向量AE=(0,1,1)和平面A1ED1的法向量()0,1,1n=r，然后利用向量的共线可得直线AE与平面A1ED1垂直，于是得所求角为90．【详解】以D为原点,以DA,DC,DD1分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),E(1,1,1),

A1(1,0,2),D1(0,0,2),于是AE=(0,1,1),1AE=(0,1,-1),11AD=(-1,0,0)．设平面A1ED1的法向量为(),,nxyz=，则1110,0,nAEyznADx=−==−=得,0,

yzx==令1z=，得()0,1,1n=r．所以AE∥n,故直线AE与平面A1ED1垂直,即所成角为90°.故答案为90°【点睛】本题考查空间位置关系的向量解法，将几何问题转化为数的运算的问题处理，解题的关键是建立适当的空间直角坐标系、

正确地求出直线的方向向量和平面的法向量，由于解题时需要进行数的运算，因此还要注意计算的准确性．16.已知直线1yx=−+与椭圆22221(0)xyabab+=相交于,AB两点，且线段AB的中点M在直线20xy

−=上，则椭圆的离心率为_______.【答案】22【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得线段AB的中点M的坐标，根据点M在直线20xy−=上求解.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，由2222

11yxxyab=−++=得()222222220abxaxaab+−+−=，由韦达定理得22221221222222,,10abxxyyababab+=+==+->++，所以线段AB的中点M22

2222,ababab骣琪琪琪琪++桫，又M在直线20xy−=上，所以22222220ababab-=++，即2222222abac==−，所以222ac=，解得22e=故答案为：22【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，离心率的求法以及弦中点问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.三、解答

题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知22:114xypmm+=−−表示双曲线，22:124xyqmm+=−−表示椭圆.（1）若p为真命题，求实数m的取值范围.（2）判断“p为真命题”是“q为真命题”的什么条件？【答案】（1）()1,4；（2）必要不

充分条件.【解析】【分析】（1）由题意可得出()()140mm−−，进而可求得实数m的取值范围；（2）求得当命题q为真命题时，实数m的取值范围，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】（1）当命题

p为真命题时，22114xymm+=−−表示双曲线，则()()140mm−−，解得14m，因此，实数m的取值范围是()1,4；（2）若命题q为真命题，则22124xymm+=−−表示椭圆，则204024mmmm−−−−

，解得24m且3m.14mm24mm且3m，因此，“p为真命题”是“q为真命题”的必要不充分条件.【点睛】本题考查利用椭圆和双曲线的标准方程求参数，同时也考查了必要不充分条件的判断，考

查计算能力与推理能力，属于中等题.18.设直线24yx=−被抛物线24yx=截得的弦为AB，以AB为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当PAB△的面积为9时，求点P的坐标.【答案】(5,0)或(1,0)−【解析】【分析】设出A、B点的坐标，联立方程根据根与系数的关系求出弦

长AB，再设0(Px，0)，先求点0(Px，0)到:240ABxy−−=距离d，根据面积为9，代入可求P得坐标；【详解】解：2424yxyx==−2420160xx−+=由有22044160−设1(Ax，12)(yBx

，2)y，125xx+=则124xx=，2222221212121212121212||()()()4()4(12)[()4]35ABxxyyxxxxyyyyxxxx=−+−=+−++−=++−=，设0(Px，0)则点0(Px，0)到:240ABxy−−=距离0|24|5xd−=，

依题意1||92ABd=，1321532d=0|24|595x−=，解得05x=或1−，P点坐标(5,0)或(1,0)−；【点睛】本题主要考查了直线与抛物线相交求解弦长，关键是根据方程的根与系数的关系表示，属于中档题．19

.在如图所示的实验装置中，正方形框架ABCD和ABEF的边长都是1，且两平面互相垂直.活动弹子,MN分别在正方形的对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度相等，记||||(02)CMBNaa==.（1）求MN的长.（2）当a为何值时MN的

长最小？【答案】（1）22122MNa=−+；（2）22a=.【解析】【分析】（1）作//,//MPABNQAB，分别交BC，BE于点P，Q，易得MPNQ是平行四边形，结合||||(02)CMBNaa==，由比例性质得到22,22CPaBQa==，

然后由()22MNPQBCCPBQ==−+求解.（2）由（1）知222222112222MNaaa=−+=−+，然后利用二次函数性质求解.【详解】（1）如图所示：作//,//MPA

BNQAB，分别交BC，BE于点P，Q，因为||||(02)CMBNaa==，所以//MPNQMPNQ=，MPNQ是平行四边形，所以MNPQ=，,1122CPaBQa==，所以22,22CPaBQa==，所以222222112222MNPQaa

a==−+=−+.（2）由（1）知222222112222MNaaa=−+=−+，所以当22a=时，即M，N分别为AC，BF的中点时，MN取得最

小值22【点睛】本题主要考查线线平行，比例性质以及二次函数性质的应用，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.20.已知25m且2523,()23,()log5mmfxxxgxx−=++=，:p当xR时，()fxm恒成立，:()qgx在(0,)+上是增

函数.（1）若q为真命题，求m的取值范围；（2）若p为真命题，求m的取值范围；（3）若在“p且q”和“p或q”中有且仅有一个是真命题，求m的取值范围.【答案】（1）3,5+；（2）233,(,

2)555；（3）23,[2,)55+.【解析】【分析】（1）根据q为真命题，由对数函数的底数大于1求解；（2）根据p为真命题，则由min()fxm求解；（3）根据在“p且q”和“p或q”中有且仅有一个是真命题，则分p真q假，p假q真两种情况讨论求解.【详解】（

1）因为q为真命题，所以521m−，解得35m，又25m，且35m，所以m的取值范围是3,5+；（2）因为p为真命题，所以min()fxm而()22()23122fxxxx=+

+=++，所以2m，又25m，且35m，所以m的取值范围是233,(,2)555；（3）若在“p且q”和“p或q”中有且仅有一个是真命题，则可能有两种情况，p真q假，p假q真，当p真q假时，233,(,2)555m，

且23,55m，所以23,55m，当p假q真时，[2,)m+，且3,5m+，所以[2,)m+，综上：m的取值范围是23,[2,)55+【点睛】本题主要考查命题真假的应用以及对数函数的单调性，不等式恒成立问题，还考查了逻

辑推理的能力，属于中档题.21.在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M、N分别为AB、SB的中点．（1）证明：AC⊥SB；（2）求二面角N-CM-B的正切值大小；（3）求点B到平面CMN的距离．【答案】(1)见解析；(2

)见解析；(3)见解析.【解析】【详解】⑴取AC中点O，连结OS、OB∵平面平面ABC，平面SAC平面ABC=AC∴SO⊥平面ABC，SO⊥BO如图建立空间直角坐标系O—xyz：则⑵由⑴得设为平面CMN的一个法向量，

则，取则又为平面ABC的一个法向量⑶由⑴⑵得为平面CMN的一个法向量∴点B到平面CMN的距离【点睛】本题的关键是由已知条件找到建立空间直角坐标系的合适位置，进而找到相关点，向量的坐标，代入线面角点面距的向量计算公式求解，有一定的难度22.已知椭圆:C22221(0)xyabab+=的

离心率为53，定点(2,0)M，椭圆短轴的端点是1B、2B，且12MBMB⊥.（1）求椭圆C的方程；（2）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点.试问x轴上是否存在定点P，使PM平分APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）221

94xy+=；（2）9,02P.【解析】【分析】（1）利用离心率为53，可得23ba=，由椭圆短轴的端点是1B，2B，且12MBMB⊥，可得△12MBB是等腰直角三角形，由此可求椭圆C的方程；（2）设线AB的方程与椭圆

C的方程联立，利用韦达定理，结合PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，建立方程，即可求得结论．【详解】解：（1）由222222519abbeaa−===−，得23ba=．依题意△12MBB是等腰直角三角形，从而

2b=，故3a=．所以椭圆C的方程是22194xy+=．（2）设1(Ax，1)y，2(Bx，2)y，直线AB的方程为2xmy=+．将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得22(49)16200mymy++−=．所以1

221649myym−+=+，1222049yym−=+．若PM平分APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以0PAPBkk+=．设(,0)Pa，则有12120yyxaxa+=−−．将112xmy=+，222xmy=+代入上式，整理得1212122(2)()0(2

)(2)myyayymyamya+−+=+−+−，所以12122(2)()0myyayy+−+=．将1221649myym−+=+，1222049yym−=+代入上式，整理得(29)0am−+=.由于上式对任意实数m都成立，所以92a=．综上，存在定点9(,0)2P，使PM平分APB．

【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查存在性问题的探究，属于中档题．