【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（六） 含答案.doc，共(18)页，642.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（六）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝2i1＋i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．某学校有

高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为()A．68B．38C．32D．303．已知a＝

(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在

0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A．10B．20C．8D．165．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A.32π3B．4πC．2πD．4π36．甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机

出拳，则一次游戏两人平局的概率为()A.13B．23C．14D．297．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则A＝()A.π6B．π4C．π2D．2π38．正方体ABCD－A

1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A.12B．32C．33D．639．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：918990929487939691858993889893则下列关于这组数据的说法中正确的是()A．第60百分位数为92.

5B．第60百分位数为92C．第90百分位数为94D．第90百分位数为9510.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面11BDC且面积为3时，线段AP的长为（

）A．2B．1C．3D．3211.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1个低于15%−

的概率为（）A．310B．12C．35D．71012.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中

不正确的是（）A．线段BM的长度是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB平面A1DE二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量a＝(x,2

)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝____.14．已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为____.15．甲、乙

、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为____.16．在△ABC中，∠ABC

＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝____；cos∠ABD＝____.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a，b，c是同

一平面的三个向量，其中a＝(1，3)．(1)若|c|＝4，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝1，且(a＋b)⊥a－52b，求a与b的夹角θ.18．(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

已知C＝π6，a＝2，△ABC的面积为3，F为边AC上一点．(1)求c；(2)若CF＝2BF，求sin∠BFC.19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝22AB.求证：(1)AD∥平

面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD.20．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，

处罚时，得到如下数据：若用表中数据所得频率代替概率．(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B类是其他员工．现对A类与B类员工按比例分配的分层随机

抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？21．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[3

5,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？处罚金额x(单位：元)

50100150200迟到的人数y5040200(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第5组志愿者被抽中的概率．22．(本小题满分12分)如图，在三棱锥ABCD−中，,EF分别为棱,BCCD上的中点，,BDCDAE⊥⊥平面BCD（1）求证：//EF

平面ABD；（2）求证：平面AEF⊥平面ACD．（3）若△BCD为正三角形，且边长为2，3AF=，求三棱锥EACF−的体积．2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（六）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60

分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设复数z＝2i1＋i(其中i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案A解析∵z＝2i1＋i＝2

i(1－i)(1＋i)(1－i)＝2i(1－i)2＝1＋i，∴其对应的点(1,1)位于第一象限．故选A.2．某学校有高中学生1000人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为320,300,380.为调

查学生参加“社区志愿服务”的意向，现采用比例分配的分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为100的样本，那么应抽取高二年级学生的人数为()A．68B．38C．32D．30答案D解析由题意可得，比例分配的分层随机抽样在各层中的抽样比为100

1000＝110.则应抽取高二年级学生的人数为300×110＝30.故选D.3．已知a＝(2，－3)，b＝(1，－2)，且c⊥a，b·c＝1，则c的坐标为()A．(3，－2)B．(3,2)C．(－3，－2)D．(－3,2)答案C解析设c＝(x，y)，则由c⊥a，b·c＝1可得2x－

3y＝0，x－2y＝1.解得x＝－3，y＝－2.所以c＝(－3，－2)，故选C.4．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生在普通高校招生体检中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如图所示，若某专业对视力要求在0.9及以上，则该班学生中能报该专业的人数为()A．

10B．20C．8D．16答案B解析由频率分布直方图，可得视力在0.9及以上的频率为(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.4，人数为0.4×50＝20.故选B.5．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为()A.32π3B．4πC．2πD．4π3答案

D解析因为正四棱柱的各顶点均在同一球面上，所以该正四棱柱的体对角线即为球的直径．由题意可得该正四棱柱的体对角线长为12＋12＋(2)2＝2.所以球的半径为1.所以该球的体积为4π3.故选D.6．甲、乙两个

人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，两人都随机出拳，则一次游戏两人平局的概率为()A.13B．23C．14D．29答案A解析甲、乙两个人进行“剪子、包袱、锤”的游戏，所以可能出现的结果列表如下：甲乙锤剪子包袱锤(锤，锤)(锤，剪子)(锤，包袱)剪子(剪子，锤)(剪子

，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，锤)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因为由表格可知，共有9种等可能情况．其中平局的有3种：(锤，锤)，(剪子，剪子)，(包袱，包袱)．设事件A为“甲和乙平局”，则P(A)＝39＝13.7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△A

BC的面积为S，且a＝1,4S＝b2＋c2－1，则A＝()A.π6B．π4C．π2D．2π3答案B解析由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccosA，又a＝1，所以b2＋c2－1＝2bccosA，又S＝12bcsinA,4S

＝b2＋c2－1，所以有4×12bcsinA＝2bccosA，即sinA＝cosA，又0＜A＜π，所以A＝π4.故选B.8．正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为()A.12B．3

2C．33D．63答案C解析如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AD与B1C1平行，则直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值即为B1C1与平面A1BC1所成角的正弦值．因为△A1BC1为等边三角形，则B1在平面A1BC1上的投影即为△A1BC1的中心O，则∠B1C1O

为B1C1与平面A1BC1所成角．可设正方体边长为1，显然BO＝33×2＝63，因此B1O＝1－632＝33，则sin∠B1C1O＝B1OB1C1＝33.9．某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：918990929487939691858993889893则下列关于这组

数据的说法中正确的是()A．第60百分位数为92.5B．第60百分位数为92C．第90百分位数为94D．第90百分位数为95答案A解析将这组数据由小到大排列为85,87,88,89,89,90,91,91,92,93,

93,93,94,96,98.因为15×60%＝9,15×90%＝13.5，所以这组数据的第60百分位数为92＋932＝92.5，第90百分位数为96.故选A.10.已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为

2，点P在棱AD上，过点P作该正方体的截面，当截面平行于平面11BDC且面积为3时，线段AP的长为（）A．2B．1C．3D．32【答案】A【详解】解：如图，过点P作DB，1AD的平行线，分别交棱AB，1AA于点Q，R，连接QR，BD，因为11//BDBD，所以11//PQBD，1

1BD面11BDC，PQ面11BDC，所以//PQ面11BDC因为11//ADBC，所以1//PRBC，1BC面11BDC，PR面11BDC，所以//PR面11BDC又PQPRP=，,PQPR面PQR，所以面//PQR面11BDC，则PQR为截面，易知PQR是等边三角形，则2133

22PQ=，解得2PQ=，∴222APPQ==.故选：A.11.在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季度GDP同比增长率至少有1

个低于15%−的概率为（）A．310B．12C．35D．710【答案】D【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于15%−，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC，AD，AE

，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于15%−有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为710.故选：D.12.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△A

DE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（）A．线段BM的长度是定值B．点M在某个球面上运动C．存在某个位置，使DE⊥A1CD．存在某个位置，使MB平面A1DE【答案】C【详解】解：取CD中点N，连接MN，BN，则MNDA1，BNDE，所以平面MBN平面A1DE，所以MB平面A1D

E，故D正确；由∠A1DE＝∠MNB，MN＝12A1D＝定值，NB＝DE＝定值，由余弦定理可得2222?·MBMNNBMNNBcosMNB=+−，所以MB是定值，故A正确；因为B是定点，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，故B正确；连接

AN,EN,设AN,DE交点为F,连接1AF，易知ADNE为正方形，,BDAN⊥又在折叠过程中1AFDE⊥始终不变，直线DE⊥平面1AAN,平面1AAN⊥平面ABCD,根据面面垂直的性质定理可得A1在平面ABCD中的射影O在线段AN上，A1C在平面ABCD中的射影为OC，由于CFD

是直角，所以OC与DE不垂直，DE⊥A1C不可能，可得C不正确.故选：C.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知向量a＝(x,2)，b＝(2,1)，c＝(3，x)，若a∥b，则|b＋c|＝____.答案52解析因为a∥b，所以x－

2×2＝0，解得x＝4，则b＋c＝(2,1)＋(3,4)＝(5,5)，所以|b＋c|＝52.14．已知三棱锥P－ABC，若PA⊥平面ABC，PA＝AB＝AC＝BC，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为____.答案24解析过B作BD∥AC，且BD＝AC，连接

AD，则四边形ADBC为菱形，如图所示，∴∠PBD(或其补角)即为异面直线PB与AC所成角．设PA＝AB＝AC＝BC＝a，∴AD＝a，BD＝a，∵PA⊥平面ABC，∴PB＝PD＝PA2＋AD2＝2a，∴cos∠PBD＝

PB2＋BD2－PD22×PB×BD＝2a2＋a2－2a22×2a×a＝24.∴异面直线PB与AC所成角的余弦值为24.15．甲、乙、丙三人向同一飞机射击，设击中的概率分别为0.4,0.5,0.8，若只有1人击中，则

飞机被击落的概率为0.2，若2人击中，则飞机被击落的概率为0.6，若3人击中，则飞机一定被击落，则飞机被击落的概率为____.答案0.492解析设甲、乙、丙三人击中飞机为事件A，B，C，依题意，A，B，C相互独立，故所求事件概率为P＝[P(AB－C－)＋P(A－BC－)＋P(

A－B－C)]×0.2＋[P(ABC－)＋P(A－BC)＋P(AB－C)]×0.6＋P(ABC)＝(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8)×0.2＋(0.4×0.5×0.2＋0.6×0.5×0.8＋0.4×0.5×0.8)×0.6＋0.4×

0.5×0.8＝0.492.16．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上，若∠BDC＝45°，则BD＝____；cos∠ABD＝____.(本题第一空2分，第二空3分)答案122

57210解析在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsin∠BAC，而AB＝4，∠ADB＝135°，AC＝AB2＋BC2＝5，sin∠BAC＝BCAC＝35，cos∠BAC＝ABAC＝45，所以BD＝1225，cos∠ABD＝cos(∠BDC－∠BAC

)＝cosπ4cos∠BAC＋sinπ4·sin∠BAC＝7210.三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a，b，c是同一平面的三个向量，其中a＝(1，3)．(1)若|c|＝

4，且c∥a，求c的坐标；(2)若|b|＝1，且(a＋b)⊥a－52b，求a与b的夹角θ.解(1)因为c∥a，所以存在实数λ(λ∈R)，使得c＝λa＝(λ，3λ)，又|c|＝4，即λ2＋3λ2＝4，解得λ＝±2.所以c＝(2,23)或c＝(－2，－23)．(2)

因为(a＋b)⊥a－52b，所以(a＋b)·a－52b＝0，即a2－32a·b－52b2＝0，所以4－32×2×1×cosθ－52＝0，所以cosθ＝12，因为θ∈[0，π]，所以θ＝π3.18．(本小题满分12

分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝π6，a＝2，△ABC的面积为3，F为边AC上一点．(1)求c；(2)若CF＝2BF，求sin∠BFC.解(1)因为S△ABC＝12absinC＝12×2b×sinπ6＝3，

所以b＝23.由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋12－2×2×23×cosπ6＝4，所以c＝2.(2)由(1)得a＝c＝2，所以A＝C＝π6，∠ABC＝π－A－C＝2π3.在△BCF中，由正弦定理，得

CFsin∠CBF＝BFsin∠BCF，所以sin∠CBF＝sinπ6·CFBF.又因为CF＝2BF，所以sin∠CBF＝22，又因为∠CBF≤2π3，所以∠CBF＝π4，所以sin∠BFC＝sin(∠CBF＋∠BCF)＝sinπ4＋π6＝2＋64.19

．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，BC∥平面PAD，∠ABC＝90°，PA＝PB＝22AB.求证：(1)AD∥平面PBC；(2)平面PBC⊥平面PAD.证明(1)∵

BC∥平面PAD，而BC⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面PAD＝AD，∴BC∥AD.∵AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AD∥平面PBC.(2)∵PA＝PB＝22AB，满足PA2＋PB2＝AB2

，∴PA⊥PB.由∠ABC＝90°知BC⊥AB.又∵平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥平面PAB.又∵PA⊂平面PAB，∴BC⊥PA.又∵PB∩BC＝B，PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC.又∵PA⊂

平面PAD，∴平面PBC⊥平面PAD.20．(本小题满分12分)某集团公司为了加强企业管理，树立企业形象，考虑在公司内部对迟到现象进行处罚，现在员工中随机抽取200人进行调查，当不处罚时，有80人迟到，处罚时，得到如下数据：处罚金额

x(单位：元)50100150200迟到的人数y5040200若用表中数据所得频率代替概率．(1)当处罚金额定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低多少？(2)将选取的200人中会迟到的员工分为

A，B两类：A类员工在罚金不超过100元时就会改正行为：B类是其他员工．现对A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷，则前两位均为B类员工的概率是多少？解(1)设“当罚金定为100元时，某员工迟到”为事件A，则P(A)＝40200＝15，不处罚时，某员工迟到的概率

为80200＝25.∴当罚金定为100元时，员工迟到的概率会比不进行处罚时降低15.(2)由题意知，A类员工和B类员工各有40人，分别从A类员工和B类员工各抽出两人，设从A类员工抽出的两人分别为A1，A2，从B类员工抽出的两人分别为B1，

B2，设“从A类与B类员工按比例分配的分层随机抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M，则事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，

B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种，故事件M共有4×6＝24(种)基本事件，设“抽取4人中前两位均为B类员工”为事件N，则事件N有(B1

，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种基本事件，∴P(N)＝424＝16，∴抽取4人中前两位均为B类员工的概率是16.21．(本小题满分

12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所

示．(1)若从第3,4,5组中用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，

求第5组志愿者被抽中的概率．解(1)第3组的人数为0.3×100＝30，第4组的人数为0.2×100＝20，第5组的人数为0.1×100＝10，因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用按比例分配的分层随机抽样的方法在

60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：3060×6＝3；第4组：2060×6＝2；第5组：1060×6＝1.所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人．(2)设“第5组的志愿者被抽中”为事件A.记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的

2名志愿者为B1，B2，第5组的1名志愿者为C1，则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B

1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15种等可能情况．其中第5组的志愿者被抽中有5种情况，所以P(A)＝515＝13.所以第5组的志愿者被抽中的概率为13.22．(本小题满分12分)如图，在三棱锥ABCD−中，,EF分别为棱,BCCD上的中点

，,BDCDAE⊥⊥平面BCD（1）求证：//EF平面ABD；（2）求证：平面AEF⊥平面ACD．（3）若△BCD为正三角形，且边长为2，3AF=，求三棱锥EACF−的体积．（1）∵,EF分别为棱,BCCD上的中点，∴//EFBD，而BD面ABD，EF面ABD，∴/

/EF平面ABD；（2）∵BDCD⊥，而//EFBD，∴EFCD⊥，又∵AE⊥平面BCD，CD平面BCD，∴AECD⊥，又AEEFE=，∴CD⊥面AEF，而CD面ACD，∴平面AEF⊥平面ACD．（3）由题意知：EACFAEFCVV−−=，且AE是三棱锥AEFC−底面上的高，△EFC为

底面，∴13sin24EFCSCFCEFCE==，由（2）知：在Rt△AEF中，2AEF=，1EF=，3AF=，则22AE=，∴1636EACFAEFCEFCVVAES−−===.【点睛】关键点点睛：综合应用线面平行、垂直的判定或性质，及面面垂直的判定证明线面平行、面面垂直，由等体

积知EACFAEFCVV−−=求三棱锥的体积.