【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（三） 含答案.doc，共(17)页，437.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（三）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个

结论：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若x，y∈R，a≠

0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．42．下列概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重

合的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1B．2C．3D．43．设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B．3C．2D．14．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a

·b)b，则|c|等于()A．42B．25C．8D．825．设α∥β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定

的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取样本量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是

()A．124B．136C．160D．167．一船从某河一岸驶向另一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则()A．|v1|<|v2|B．|v1|>|v2|C．|v1|≤|v2|D．|v1|≥|v2|8．一个三棱锥的

三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A．202πB．252πC．50πD．200π9．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．1B．3C．2D．21

0.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是()A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球11.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨

迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段12.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其

由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a（）A．23nk+B．()223nk++C．()()2222nk+++D．()()1222nk+++二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答

案填在题中的横线上)13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的

概率是____.14．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则cosθ＝____.15．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为____，虚部最大值为____.16．设△ABC的内角A，B，C的对边分

别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝____.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z1＝i(1－i)3.

(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(c－a)sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的

面积为63，求b.19．(本小题满分12分)根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在[6.5,7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭年收入在[7.5,8.5]万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为

了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2019年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示．(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值x－和方差s2；(2)用样本的

频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量．20．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平

面ACC1A1.21．(本小题满分12分)在人流量较大的街道，有一中年人吆喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随

机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．(1)求摸出的3个球都为白球的概率；(2)求摸出的3个球为2个黄球，1个白球的概率；(3)假

定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三

角形，F为AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，

请说明理由．2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（三）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，给出下列四个结论

：①存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)；②若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2；③若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的始点是原点O；④若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x

，y)．其中正确结论的个数是()A．1B．2C．3D．4(1)由平面向量基本定理，知①正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故②错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的始点是不是原点无关，故③错误；当a的

终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的起点是原点为前提的，故④错误．2．下列概率模型中，古典概型的个数为()①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A

重合的概率；④向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1B．2C．3D．4答案A解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于

硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A.3．设z＝3－i1＋2i，则|z|＝()A．2B．3C．2D．1答案C解析∵z＝3－i1＋

2i＝(3－i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝1－7i5＝15－75i，∴|z|＝152＋－752＝2.故选C.4．已知平面向量a＝(2,4)，b＝(－1,2)，若c＝a－(a·b)b，则|c

|等于()A．42B．25C．8D．82答案D解析易得a·b＝2×(－1)＋4×2＝6，所以c＝(2,4)－6(－1，2)＝(8，－8)，所以|c|＝82＋(－8)2＝82.5．设α∥β，A∈α，B∈β

，C是AB的中点，当A，B分别在平面α，β内运动时，得到无数个AB的中点C，那么所有的动点C()A．不共面B．当且仅当A，B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当A，B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．不论A，B如何移动，都共面答案D解

析如图所示，A′，B′分别是A，B两点在α，β上运动后的两点，此时AB的中点变成A′B′的中点C′，当AA′∥BB′时，易得CC′∥α，当AA′与BB′异面时，连接A′B，取A′B的中点E.连接CE，C′E，AA′，BB′，CC′，则CE∥AA′，∴CE∥α.∵C′E∥BB′，∴C′E∥β.又α∥

β，∴C′E∥α.∵C′E∩CE＝E，∴平面CC′E∥平面α.∴CC′∥α.所以不论A，B如何移动，所有的动点C都在过C点且与α，β平行的平面上．6．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用比例分配的分层随机抽样方法

从中抽取样本量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是()A．124B．136C．160D．16答案D解析在比例分配的分层随机抽样方法中，每个个体被抽取的可能性都相等，且为样本量总量，所以每个个体被抽取的可能性是20120＝16.7．一船从某河一岸驶向另

一岸，船速为v1、水速为v2，已知船垂直到达对岸，则()A．|v1|<|v2|B．|v1|>|v2|C．|v1|≤|v2|D．|v1|≥|v2|答案B解析速度是向量，要使船垂直到达对岸，则向量v1在水流方向上的分量

与向量v2大小相等，方向相反，由此即得|v1|>|v2|.8．一个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长分别为3,4,5，则它的外接球的表面积是()A．202πB．252πC．50πD．200π答案C解析因为这个三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，所以此三棱锥可视为一个长方

体的一个角(如图所示)，而且此长方体的外接球就是此三棱锥的外接球．设此三棱锥的外接球的半径为r，则有(2r)2＝32＋42＋52＝50，即4r2＝50，故它的外接球的表面积是S＝4πr2＝50π.9．已知正四棱

柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝22，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A．1B．3C．2D．2答案A解析如图，连接AC交BD于点O.在△CC1A中，易证OE∥AC1.又OE⊂平面BDE，AC1⊄平面BD

E，∴AC1∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离为点A到平面BED的距离．连接AE.在三棱锥E－ABD中，VE－ABD＝13S△ABD×EC＝13×12×2×2×2＝223.在三棱锥A－BDE中，BD＝22，BE＝6，DE＝6，∴S△EBD＝12×22×(6)2－(2)2＝22.设点

A到平面BED的距离为h，则VA－BDE＝13S△EBD×h＝13×22×h＝223h＝223，解得h＝1，故选A.10.袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则下列事件的概率为89的是()A．颜色相同B．颜色不全相同C．颜色全不相同D．无红球答案B解析有放回地取球3次

，共27种可能结果，其中颜色相同的结果有3种，其概率为327＝19；颜色不全相同的结果有24种，其概率为2427＝89；颜色全不相同的结果有6种，其概率为627＝29；无红球的结果有8种，其概率为827.故

选ACD.11.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B

1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，易知BD1⊥平面AB1C，故当点P在平面AB1C内时，总保持AP⊥BD1，又点P在侧面BCC1B1内，且B1C为平面AB1C和平面BCC1B1的交线，故点P一定位于线段B1C上．12.我校八角形校徽由两个正方形叠加变形而成，喻意“方方正正做人”，又寄托南

开人”面向四面八方，胸怀博大，广纳新知，锐意进取”之精神，如图，在抽象自“南开校徽”的多边形中，已知其由一个正方形与以该正方形中心为中心逆时针旋转45后的正方形组合而成，已知向量n，k，则向量a（）A．23nk+B．()223nk++C．()(

)2222nk+++D．()()1222nk+++【答案】D【解析】根据对称性可得线段的长度关系以及点共线，再由向量的加法法则可求解.根据题意可得nk=，由该图形是由正方形中心为中心逆时针旋转45后与原正方形组合而成，如图

由对称性可得ABBCCDDEEQQF=====,22CEEFFGABn====由对称性可得点,,,BCEQ共线，点,,QFG共线.所以()22BQBCCEEQk=++=+，()12QGQFFGn===+所以()()2

212aBQQGkn=+=+++故选：D二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134

等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是____.答案12解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位

自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12.14．设向量a与b的夹角为θ，且a＝(3,3)，2b－a＝(－1,1)，则c

osθ＝____.答案31010解析2b－a＝2b－(3,3)＝(－1,1)，∴2b＝(－1,1)＋(3,3)＝(2,4)，∴b＝(1,2)．cosθ＝a·b|a||b|＝(3，3)·(1，2)32＋32×12＋22＝

9310＝31010.15．已知复数z1＝cosθ－i，z2＝sinθ＋i，则z1·z2的实部最大值为____，虚部最大值为____.(本题第一空2分，第二空3分)答案322解析z1·z2＝(cosθ－i)·(sinθ＋i)＝(co

sθsinθ＋1)＋i(cosθ－sinθ)，实部cosθsinθ＋1＝1＋12sin2θ≤32，最大值为32，虚部cosθ－sinθ＝2cosθ＋π4≤2，最大值为2.16．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝35，cosB＝513，b＝3，则c＝____

.答案145解析∵cosA＝35，cosB＝513，∴sinA＝45，sinB＝1213.∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝5665.又sinC＝sin(π－C)＝sin(A＋B)，∴si

nC＝5665，由正弦定理，得bsinB＝csinC，∴c＝3×56651213＝145.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z1＝i(1－i)3.(

1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解(1)∵z1＝i(1－i)3＝i(1－i)(－2i)＝2－2i，∴|z1|＝22＋(－2)2＝22.(2)解法一：设z与z1对应的点分别为Z，Z1，∵|z|＝1，∴点Z在以原点为圆心，

1为半径的圆上，∵z1＝2－2i，∴Z1(2，－2)，∴|z－z1|为点Z1到圆上一点的距离，∴|z－z1|max＝|ZZ1|max＝22＋22＋1＝22＋1.解法二：∵|z|＝1，∴可设z＝cosθ＋isinθ(θ∈R)，∴|z－z1|＝|cosθ＋isinθ－2＋2i|＝(cosθ－2)2＋

(sinθ＋2)2＝9＋4(sinθ－cosθ)＝9＋42sinθ－π4.∴当sinθ－π4＝1时，|z－z1|取得最大值，最大值为9＋42＝22＋1.18．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsinB＝asinA＋(

c－a)sinC.(1)求B；(2)若3sinC＝2sinA，且△ABC的面积为63，求b.解(1)由bsinB＝asinA＋(c－a)sinC及正弦定理，得b2＝a2＋(c－a)c，即a2＋c2－b2＝ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b2

2ac＝ac2ac＝12.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)由(1)得B＝π3，所以△ABC的面积为12acsinB＝34ac＝63，得ac＝24.由3sinC＝2sinA及正弦定理，得3c＝2a，所以a＝6，c＝4.由余

弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝36＋16－24＝28，所以b＝27.19．(本小题满分12分)根据某市所在地区的收入水平、消费水平等情况，拟将家庭年收入低于1.5万元的家庭确定为“贫困户”，家庭年收入在[6.5,7.5)万元的家庭确定为“小康户”，家庭

年收入在[7.5,8.5]万元的家庭确定为“富裕户”，该市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖某县的100万户家庭中随机抽取200户家庭，对其2019年的全年收入进行调查，抽查结果的频率分布直方图如图所示．(1)求这200户家庭的全年收入的样本均值x－和方差

s2；(2)用样本的频率分布估计总体分布，估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量．解(1)这200户家庭的全年收入的样本均值x－＝1×0.06＋2×0.10＋3×0.14＋4×0.31＋5×0.30＋6×0.06＋7×0.02＋8×0.01＝4，方差s2＝(－3)2×0.06

＋(－2)2×0.10＋(－1)2×0.14＋02×0.31＋12×0.30＋22×0.06＋32×0.02＋42×0.01＝1.96.(2)由频率分布直方图可知，样本中“贫困户”的频率为0.06，所以估计该县100万户家庭中“贫困户”的数量为100×0

.06＝6(万户)．20．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：(1)平面AB1F1∥平面C1BF；(2)平面AB1F1⊥平面ACC1

A1.证明(1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1//AC，BB1//CC1.∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，∴C1F1//AF//12AC，FF1//CC1//BB1，∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，∴B1F1∥BF，AF1

∥C1F.∵B1F1⊄平面C1BF，BF⊂平面C1BF，∴B1F1∥平面C1BF.同理AF1∥平面C1BF，又B1F1∩AF1＝F1，∴平面AB1F1∥平面C1BF.(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平

面A1B1C1，又B1F1⊂平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1.又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1⊂平面AB1F1，∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.21．(本小题满分12分)在人流量较大的街道，有一中年人吆

喝“送钱”，只见他手拿一黑色小布袋，袋中有3个黄色、3个白色的乒乓球(各球的体积、质地完全相同)，旁边立着一块小黑板写着摸球方法：从袋中随机摸出3个球，若摸得同一颜色的3个球，摊主送给摸球者5元钱；若摸得非同一颜色的3个球，摸球者付给摊主1元钱．(1)求摸出的3个球都为白

球的概率；(2)求摸出的3个球为2个黄球，1个白球的概率；(3)假定一天中有100人参与摸球游戏，试从概率的角度估算一下这个摊主一个月(按30天计)能赚多少钱．解把3个黄色乒乓球分别标记为A，B，C,3个白色乒乓球分别标

记为1,2,3.从6个球中随机摸出3个球的样本空间Ω＝{ABC，AB1，AB2，AB3，AC1，AC2，AC3，BC1，BC2，BC3，A12，A13，A23，B12，B13，B23，C12，C13，C23

,123}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的．(1)设事件E＝{摸出的3个球都为白球}，则事件E包含的样本点有1个，即摸出123，则P(E)＝120＝0.05.(2)设事件F＝{摸出的3个球为2个黄球，1个白球}，则事件F包含的样本点有9个

，P(F)＝920＝0.45.(3)设事件G＝{摸出的3个球为同一颜色}＝{摸出的3个球都为白球或摸出的3个球都为黄球}，则事件G包含的样本点有2个，故P(G)＝220＝0.1.假定一天中有100人参与摸球游戏，由摸出的3个球为同一颜色的概率可估计事件“摊主送给摸球者

5元钱”发生10次，事件“摸球者付给摊主1元钱”发生90次，故可估计该摊主一天可赚90×1－10×5＝40(元)，每月可赚1200元．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝π3，△PAD是等边三角形，F为

AD的中点，PD⊥BF.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E在线段BC上，且EC＝14BC，能否在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱锥D－CEG的体积；若不存在，请说明理由．解(1)证明：连接PF，∵△PAD是等边三角形，∴PF⊥AD.∵底面ABCD是菱形，

∠BAD＝π3，∴BF⊥AD.又PF∩BF＝F，∴AD⊥平面BFP，又PB⊂平面BFP，∴AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一点G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，∵PD⊥BF，AD∩PD

＝D，∴BF⊥平面PAD.又BF⊂平面ABCD，∴平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，∴PF⊥平面ABCD.连接CF交DE于点H，过H作HG∥PF交PC于G，连接DG，EG.∴GH⊥平面ABCD

.又GH⊂平面DEG，∴平面DEG⊥平面ABCD.∵AD∥BC，∴△DFH∽△ECH，∴CHHF＝CEDF＝12，∴CGGP＝CHHF＝12，∴GH＝13PF＝33，∴VD－CEG＝VG－CDE＝13S△CDE·GH＝13×12DC·CE·sinπ3·GH＝112.