【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（一） 含答案.doc，共(16)页，775.500 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（一）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a，b，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．若|a·b|＝|a||b|，则a与b共

线C．若a≠0且b≠0，则a·b≠0D．|a·b|≤|a||b|2．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是()A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥

D．任何两个都不互斥3．i是虚数单位，则i1＋i的虚部是()A．12iB．－12iC．12D．－124．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线

段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)5．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α

相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m，n共面，那么m∥n6．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A．简单随机

抽样B．抽签法C．随机数法D．比例分配的分层随机抽样7．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，AO→＝12(AB→＋AC→)，且|OA→|＝|AB→|，则BA→·BC→＝()A．1B．3C．－1D．－38．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为()A

．24πB．6πC．324πD．36π9．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为

23和34，两人加工的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B．512C．14D．1611.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN

，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A．2B．98C．3D．6212.如图，△ABC是边长为23的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP→·BP→的取值范围是()A．[1,13]B．(1,13)C．(4,10)D．[4

,10]二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为____.14．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为

锐角，则实数λ的取值范围是____.15．复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于____.16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C=___.三．解答题(本题共6小题，共70分

．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝(2＋i)m2－6m1－i－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．18．(本小题满分12分)如图，观测站C

在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．19．(本小题满分12分)某幼儿园根据部分同年龄段女童

的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的

人数是36，求出样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数．20．(本小题满分12分)如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形、BDEF是矩形，ED⊥面A

BCD，60BAD=．（1）求证：平面//BCF平面AED；（2）若BFBDa==，求四棱锥ABDEF−的体积．21．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表

(单位：人)：参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机

选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．22．(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E

是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（一）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个

选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知向量a，b，下列选项中错误的是()A．|a|＝a·aB．若|a·b|＝|a||b|，则a与b共线C．若a≠0且b≠0，则a·b≠0D．|a·b|≤|a||b|答案C解析由向量数量积的性质可知A

，B，D均正确，C错误．故选C.2．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是()A．A与C互斥B．B与C互斥C．任何两个都互斥D．任何两个都不互斥答案D解析由题意

知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥．3．i是虚数单位，则i1＋i的虚部是()A．12iB．－12iC．12D．－12答案C解析i1＋i＝i(1－i)(1＋i)(1－i)＝1＋i2＝12＋12i.故选C.4．设向量a＝(1

，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d为()A．(2,6)B．(－2,6)C．(2，－6)D．(－2，－6)答案D解析由题意，得4a＋4b－2c＋2(a－c)＋d＝0，则d＝－4a－4b＋

2c－2(a－c)＝－6a－4b＋4c＝(－2，－6)．5．对于直线m，n和平面α，下列命题中正确的是()A．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m，n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α

，m，n共面，那么m∥n答案C解析对于A，如图①所示，此时n与α相交，则A不正确；对于B，如图②所示，此时m，n是异面直线，而n与α平行，故B不正确；对于D，如图③所示，m与n相交，故D不正确．故选C.6．某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康状况，从男生中任意抽

取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是()A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数法D．比例分配的分层随机抽样答案D解析从男生500人中抽取25人，从女生400人中抽取20人，抽取的比例相同，因此用的是比例分配的分层随机抽样．7．△ABC的外接圆的圆心

为O，半径为1，AO→＝12(AB→＋AC→)，且|OA→|＝|AB→|，则BA→·BC→＝()A．1B．3C．－1D．－3答案A解析由题意知，O为BC的中点，且∠ABC＝60°，|BC→|＝2，|AB→|＝1，∴BA→·BC→＝1×2×12＝1.8．已知棱长

为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为()A．24πB．6πC．324πD．36π答案D解析设球O的半径为r，则43πr3＝23，解得r＝36π.9．直线l垂直于梯形ABCD的两腰AB和CD，直线m垂直于AD和BC，则l

与m的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．不确定答案D解析根据题意，l⊥平面ABCD，m可能在平面ABCD内，也可能垂直平面ABCD，还可能在平面ABCD外但不垂直于平面ABCD，所以直线l与m可能平行、相交或

异面，故选D.10.甲、乙两个实习生每人加工一个零件，加工的零件为一等品的概率分别为23和34，两人加工的零件是否为一等品互不影响，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为()A.12B．512C．14D．16答案B解析设事件A＝“甲实习生加工的零件为一等品”，事件B＝“乙实习生加工的零件为一等品

”，则P(A)＝23，P(B)＝34，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为P(AB－)＋P(A－B)＝P(A)P(B－)＋P(A－)P(B)＝23×1－34＋1－23×34＝512.11.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的

中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为()A．2B．98C．3D．62答案B解析取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接DP，BQ，B1D1，NP，PQ.易知MN∥B1D1

∥BD，AD∥NP，AD＝NP，∴四边形ANPD为平行四边形，∴AN∥DP，又BD和DP为平面DBQP的两条相交直线，MN，AN为平面AMN的两条相交直线，∴平面DBQP∥平面AMN，即平面DBQP的面积即为所求．∵PQ∥DB，PQ＝12BD＝22，∴四边形DBQP为梯形，高为h＝12＋

122－242＝324，∴S＝12(PQ＋BD)·h＝98，故选B.12.如图，△ABC是边长为23的正三角形，P是以C为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP→·BP→的取值范围是()A．[1,13]B．(1,13)C．(4,10)D．[4,10]答案A解

析以C为坐标原点，平行于AB的直线为x轴，垂直于AB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．因为△ABC是边长为23的正三角形，所以A(－3，－3)，B(3，－3)．设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0,2π)，则AP→·BP→＝(cosθ＋3，si

nθ＋3)·(cosθ－3，sinθ＋3)＝cos2θ－3＋(sinθ＋3)2＝6sinθ＋7.因为－1≤sinθ≤1，所以1≤6sinθ＋7≤13.所以AP→·BP→∈[1,13]．故选A.二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案

填在题中的横线上)13．口袋中有形状和大小完全相同的五个球，编号分别为1,2,3,4,5，若从中一次随机摸出两个球，则摸出的两个球的编号之和大于6的概率为____.答案25解析画树状图如下：共20种等可能的结果，其中摸出的两个球的编号之和大于6的结果有8种

，故所求概率为820＝25.14．已知a＝(1,3)，b＝(2＋λ，1)，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____.答案λ>－5且λ≠－53解析因为a与b的夹角为锐角，则cos〈a，b〉>0，且cos〈a，b〉≠1，即a·b＝2＋λ＋3>0，且b≠ka，则λ>－5且λ≠－53.1

5．复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β，则tan(α＋β)等于____.答案1解析∵复数2＋i和－3－i的辐角的主值分别为α，β.∴tanα＝12，tanβ＝13，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαt

anβ＝1.16．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a,3sinA＝5sinB，则角C＝____.答案2π3解析由已知条件和正弦定理，得3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝5b3，c＝2a－b＝7b3，cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12

，又0＜C＜π，因此角C＝2π3.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知复数z＝(2＋i)m2－6m1－i－2(1－i)．求实数m取什么值时，复数z是(1)零

；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．解由于m∈R，所以复数z＝(2＋i)m2－3m(1＋i)－2(1－i)＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i.(1)当2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2＝0，即m＝2时，

z为零．(2)当m2－3m＋2≠0，即m≠2且m≠1时，z为虚数．(3)当2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，即m＝－12时，z为纯虚数．(4)当2m2－3m－2＝－(m2－3m＋2)，即m

＝0或m＝2时，z是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数．18．(本小题满分12分)如图，观测站C在目标A的南偏西20°方向，经过A处有一条南偏东40°走向的公路，在C处观测到与C相距31km的B处有一人正沿此公路向

A处行走，走20km到达D处，此时测得C，D相距21km，求D，A之间的距离．解由已知，得CD＝21km，BC＝31km，BD＝20km.在△BCD中，cos∠BDC＝CD2＋BD2－BC22CD·BD＝－17.设∠ADC＝α，则cos

α＝17，sinα＝437.在△ACD中，由正弦定理，得ADsin∠ACD＝CDsin∠CAD，即ADsin(60°＋α)＝21sin60°，所以AD＝423sin(60°＋α)＝4233

2cosα＋12sinα＝15km，即所求的距离为15km.19．(本小题满分12分)某幼儿园根据部分同年龄段女童的身高数据绘制了以下频率分布直方图，其中身高的变化范围是[96,106](单位：厘米)，样本数据分组为[96

,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]．(1)求x的值；(2)已知样本中身高小于100厘米的人数是36，求出样本量N的数值；(3)根据频率分布直方图提供的数据及(2)中的条件，求出样

本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数．解(1)由题意，得(0.050＋0.100＋0.150＋0.125＋x)×2＝1.解得x＝0.075.(2)设样本中身高小于100厘米的频率为p1，∴p1＝(0.050＋0.100)×2＝0.300，而p1＝36N，∴N＝3

6p1＝360.300＝120.(3)样本中身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的频率为p2＝(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.750，∴身高大于或等于98厘米并且小于104厘米的人数为n＝p2N＝120×0.

750＝90.20．(本小题满分12分)如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形、BDEF是矩形，ED⊥面ABCD，60BAD=．（1）求证：平面//BCF平面AED；（2）若BFBDa==，求四棱锥ABDEF−的体积．【答案】（1）证明见解析；（

2）336a.【解析】（1）根据菱形的性质、矩形的性质，结合线面平行的判定定理、面面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据线面垂直的判定定理，结合线面垂直的性质、棱锥的体积公式进行求解即可.证明：（1）由ABCD是菱形∴//BCAD∵BC面ADE，AD面ADE∴//BC面AD

E由BDEF是矩形∴//BFDE∵BF面ADE，DE面ADE∴//BF面ADE∵BC面BCF，BF面BCF，BCBFB=∴面//BCF面ADE（2）连接AC，ACBDO=由ABCD是菱形，∴ACBD⊥由ED⊥面A

BCD，AC面ABCD∴EDAC⊥∵ED，BD面BDEF，EDBDD=∴AO⊥面BDEF，则AO为四棱锥ABDEF−的高由ABCD是菱形，60BAD=，则ABD△为等边三角形，由BFBDa==；则ADa=，32AOa=，2B

DEFSa=，23133326ABDEFVaaa−==21．(本小题满分12分)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表(单位：人)：参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团85未参加演讲

社团230(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．解(1)设“该同学至

少参加上述一个社团”为事件A，则P(A)＝8＋2＋545＝13.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为13.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的所有样本点有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3

)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A4，B3)，(A5，B1)，(A5，B2)，(A5，B3)，共15个，且这15个样本点发生的可能性是相等的．其中A1被选中且B1未被选中的

有(A1，B2)，(A1，B3)共2个，所以A1被选中且B1未被选中的概率为P＝215.22．(本小题满分12分)如图所示，正四棱锥PABCD−中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为62．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中

点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）60；（2）2105；（3）点F为AD的四等分点.【解析】（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连,MOP

M，则PMO为二面角的平面角，利用解直角三角形可求其正切值．（2）连OE，则OEA为异面直线PD与AE所成的角，根据勾股定理求得PD，进而求得OE后可求tanOEA的值．（3）可证点F为AD的四等分点．（1）取AD中点M，设PO⊥面ABCD，连,MOMP，则PMO为二面角的平面角

，PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角，6tan2PAO=，设2,2ABaAOa==，3tan2POAOPAOa==，tan3POPMOMO==，∴60PMO=．（2）连,//OEOEPD，OEA为异面直线PD与AE所成的角．因为,AOBDAOP

O⊥⊥，BDPOO=，所以AO⊥平面PBD.OE平面PBD，所以AOOE⊥.∵22115224OEPDPODOa==+=,∴210tan05AOAEOE==。（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连EG、MG．因为BCMN⊥，BCPN

⊥，MNPNN=，故BC⊥平面PMN，因BC平面PBC，故平面PMN⊥平面PBC，又,60PMPNPMN==，故PMN为等边三角形，所以MGPN⊥，由MG平面MGPN⊥，故BCMG⊥因为B

CPNN=，所以MG⊥平面PBC.取AM的中点F，∵//EGMF，∴12MFMAEG==，∴四边形EGMF为平行四边形，所以//MGEF∴EF⊥平面PBC．即F为四等分点【点睛】本题考查考查空间中的垂直关系以及空间角的计算，解题时注意三种垂直关系的转化，空间角的计算需构造空间角，把空间角放置在可解

的三角形中来讨论，本题为难题.