【文档说明】吉林省白山市抚松县第一中学2020-2021学年高一下学期暑假综合复习数学试题（四） 含答案.doc，共(17)页，499.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（四）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,

7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝(4，－6)2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？()A．事件A，B同时发

生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生3．已知复数z＝－i3(－1＋2i)2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△AB

C是直角三角形，则k的值不可能为()A．－23B．113C.3±132D．235．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行6．为了研究近年我国高等教育发展状况，小

明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是()A．通过调查获取数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据7．已知|a|＝23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10

B．10C．2D．228．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．4839．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和

π6.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶310.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手

气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的概率是()A.13B．310C.25D．3411.如图所示，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成

三棱锥A′－DEF，则HG与IJ所成的角的大小为()A．90°B．60°C．45°D．0°12.在锐角ABC中，若coscossinsin3sinACBCacA+=，且3sincos2CC+=，则+ab的取值范围是（）A．(6,23B．(0,43C．(23,43

D．(6,43二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E

发生的概率是____.14．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为____.15．复数－35＋2i2＋35i＋21＋i＝____.16．在△ABC中，

a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a－cc＝tanBtanC，则角B的大小为____.三．解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知z是复数，z＋2i，z2－

i均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．18．(本小题满分12分)．已知向量33cos,sin,cos,sin2222xxaxxb==−，且0,2x，求：（1）ab及||ab+；（2）若()

2||fxabab=−+的最小值为32−，求实数的值．19．(本小题满分12分)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过4

00千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽

样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中求得的数据计算用电量的75%分位数．20．(

本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1

OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为362，求a的值．21．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13，且三人是否通过测试互不影响．求

：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过体能测试的概率．22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，

PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P－CD－A的余弦值．2020—2021学年（下）高一数学暑假综合复习题（四）一．选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是()A．a＝(0,0)，b＝(1，－2)B．a＝(－1,2)，b＝(5,7)C．a＝(3,5)，b＝(6,10)D．a＝(2，－3)，b＝

(4，－6)答案B解析A中，a＝(0,0)与b＝(1，－2)共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；C中，a＝(3,5)与b＝(6,10)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向量的基底；D中，a＝(2，－3)与b＝(4，－6)＝2a共线，不能作为表示它们所在平面内所有向

量的基底．故选B.2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？()A．事件A，B同时发生B．事件A，B至少有一个发生C．事件A，B至多有一个发生D．事件A，B都不发生答案C解析P(A)P

(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率．3．已知复数z＝－i3(－1＋2i)2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案C解析因为z＝i－

3－4i＝i(－3＋4i)(－3－4i)(－3＋4i)＝－4－3i25＝－425－325i，所以z在复平面内所对应的点在第三象限，故选C.4．在△ABC中，AB→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，则k的值不可能为()A．－23B．113C.3±132D．23答案D解析∵A

B→＝(2,3)，AC→＝(1，k)，∴BC→＝AC→－AB→＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则AB→·AC→＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－23；若∠B＝90°，则AB→·BC→＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，

∴k＝113；若∠C＝90°，则AC→·BC→＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，∴k＝3±132.故所求k的值为－23或113或3±132.5．平面α与平面β平行的条件可以是()A．α内的一条直线与β平行B．α内的两条直线与β

平行C．α内的无数条直线与β平行D．α内的两条相交直线分别与β平行答案D解析若两个平面α，β相交，设交线是l，则有α内的直线m与l平行，得到m与平面β平行，从而可得A是不正确的；而B中两条直线可能是平行于

交线l的直线，也不能判定α与β平行；C中的无数条直线也可能是一组平行于交线l的直线，因此也不能判定α与β平行．由平面与平面平行的判定定理可得D项是正确的．6．为了研究近年我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是()A．通过调查获取

数据B．通过试验获取数据C．通过观察获取数据D．通过查询获得数据[答案](1)D7．已知|a|＝23，|b|＝2，向量a，b的夹角为30°，则以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角线的长度为()A．10B．10C．2D．22答案C解析以向量a，b为邻边的平

行四边形的对角线为a＋b与a－b.|a＋b|＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝12＋2×23×2×32＋4＝28＝27，|a－b|＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝12－2×23×2×32＋4＝2.所以以向量a，b为邻边的平行四边形的一条对角

线长度为27或2.故选C.8．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为32π3，那么这个正三棱柱的体积是()A．963B．163C．243D．483答案D解析设正三棱柱的底面边长为a，则球的半

径R＝13×32a＝36a，正三棱柱的高为33a.又V球＝43πR3＝4π3×(3)363a3＝32π3.∴a＝43.∴V柱＝34×(43)2×33×43＝483.9．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为π4和π6.过A，B分别作两平面交线的

垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于()A．2∶1B．3∶1C．3∶2D．4∶3答案A解析如图，连接AB′，A′B，由已知得AA′⊥平面β，∠ABA′＝π6，BB′⊥平面α，∠BAB′＝π4.设AB＝a，则B

A′＝32a，BB′＝22a，在Rt△BA′B′中，A′B′＝12a，∴AB∶A′B′＝2∶1.10.甲邀请乙、丙、丁三人加入了微信群“兄弟”，为庆祝兄弟相聚，甲发了一个9元的红包，被乙、丙、丁三人抢完，已知三人均抢到整数元，且每人至少抢到2元，则丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不

少于其他任何人)的概率是()A.13B．310C.25D．34答案C解析列出乙、丙、丁三人分别得到的钱数，有(2,2,5)，(2,3,4)，(2,4,3)，(2,5,2)，(3,2,4)，(3,3,3)，(3,4,2)，(4,2,3)，(4

,3,2)，(5,2,2)，共有10种等可能的情况．而丙获得“手气最佳”(即丙领到的钱数不少于其他任何人)的情况有(2,4,3)，(2,5,2)，(3,3,3)，(3,4,2)，共4种，故所求概率为410＝25，故选C.11.如图所示

，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥A′－DEF，则HG与IJ所成的角的大小为()A．90°B．60°C

．45°D．0°答案B解析如图所示，在三棱锥A′－DEF中，因为G，H，I，J分别为A′F，A′D，A′E，DE的中点，所以IJ∥A′D，HG∥DF，故HG与IJ所成的角与A′D与DF所成的角相等，显然A′D与DF所成的角的

大小为60°，所以HG与IJ所成的角的大小为60°.故选B.12.在锐角ABC中，若coscossinsin3sinACBCacA+=，且3sincos2CC+=，则+ab的取值范围是（）A．(6,23B．(0,

43C．(23,43D．(6,43【答案】D【解析】由3sincos2sin()26CCC+=+=，可得3C=；再结合正弦定理余弦定理，将coscossinsin3sinACBCacA+=中的角化边，化简整理后可求得23c=；根据锐角ABC和3C=，可推出(6A，)2，

再根据可得4sinaA=，4sinbB=，于是24(sinsin)4[sinsin()]3abABAA+=+=+−，最后结合正弦的两角差公式、辅助角公式和正弦函数的图象与性质即可得解．由3sincos2sin()26CCC+=+=，得262Ck

+=+，kZ，(0,)2C，3C=．由正弦定理知，sinsinBbAa=，由余弦定理知，222cos2bcaAbc+−=，coscossinsin3sinACBCacA+=，2221132232bcabbcaca+−+=，化简整理得，(23)0bc−=，

0b，23c=，由正弦定理，有234sinsinsin32abcABC====，4sinaA=，4sinbB=，锐角ABC，且3C=，(0,)2A，2(0,)32BA=−，解得(6A，)2，2314(sinsin)4[sinsin()]4(sincossin)4

3sin()3226abABAAAAAA+=+=+−=++=+，(6A，)2，(63A+，2)3，3sin()(62A+，1]，ab+的取值范围为(6，43]．故选：D．二．填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题

中的横线上)13．设a是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是__

__.答案512解析事件E发生包含的样本点是分别从两个集合中取一个数字，共有12种等可能的结果，满足条件的样本点是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共

有3＋2＝5个，所以根据古典概型的概率公式得到概率是512.14．已知向量a，b满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为____.答案π3解析设a与b的夹角为θ，依题意有(a＋2b)·(a－b)＝a2＋a·b－2b2＝－7＋2cosθ＝－6，所以co

sθ＝12，因为0≤θ≤π，故θ＝π3.15．复数－35＋2i2＋35i＋21＋i2020＝____.答案i－1解析－35＋2i2＋35i＋21＋i2020＝i(35i＋2)2＋35i＋1i1010＝i－1.16．在△

ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2a－cc＝tanBtanC，则角B的大小为____.答案60°解析∵2a－cc＝tanBtanC，根据正弦定理，得2sinA－sinCsinC＝tanBt

anC＝sinBcosCsinCcosB.化简，得2sinAcosB－cosBsinC＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)．在△ABC中，sin(B＋C)＝sinA，∴cosB＝12.∵0°<B<180°，∴B＝60°.三．解答题(本题共

6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知z是复数，z＋2i，z2－i均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解设z＝x＋yi(x，y∈R)

，因为z＋2i＝x＋(y＋2)i，且z＋2i为实数，所以y＝－2，z＝x－2i.所以z2－i＝x－2i2－i＝15(x－2i)(2＋i)＝15(2x＋2)＋15(x－4)i，又因为z2－i为实数，所以x＝4，所以z＝4－2i，所以(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，根据条件

，可知12＋4a－a2>0，8(a－2)>0，解得2<a<6，所以实数a的取值范围是(2,6)．18．(本小题满分12分)已知向量33cos,sin,cos,sin2222xxaxxb==−，且

0,2x，求：（1）ab及||ab+；（2）若()2||fxabab=−+的最小值为32−，求实数的值．【答案】（1）cos2abx=，||2cosabx+=（2）12=.【解析】（1）

利用向量的数量积和向量的模的坐标运算公式，直接运算，即可求解；（2）由（1）求得函数2()2cos4cos1,[0,]2fxxxx=−−，令cos[0,1]tx=，得到2241,[0,1]yttt=−−，结合二次函数的性质，即可求解.（1）由题意，

向量33cos,sin,cos,sin2222xxaxxb==−，可得33333cos,sincos,sincoscossinsincos()cos22222222222xxxxxxabxxxxx=−=−=+=，又由222233cossin

1,(cos)(sin)12222xxaxxb=+==+−=所以22||2112cos222cos22cosabababxxx+=++=++=+=.（2）由（1）可得()2||cos24cos,[0,]2fxababxx

x=−+=−，即2()cos24cos2cos4cos1,[0,]2fxxxxxx=−=−−，令cos[0,1]tx=，所以2241,[0,1]yttt=−−，对称轴为tλ=，若0，则min1y=−，不符合

题意；若1，则min3142y=−=−，解得58=（舍去）；若01，则2min3122y=−−=−，解得12=，综上可得：12=.19．(本小题满分12分)某市为了鼓励居民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分

为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费．(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关

于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图．若这100户居民中，今年1月份用电费用低于260元的占80%，求a，b的值；(3)根据(2)中

求得的数据计算用电量的75%分位数．解(1)当0≤x≤200时，y＝0.5x；当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×(x－200)＝0.8x－60；当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x－4

00)＝x－140.所以y与x之间的函数解析式为y＝0.5x，0≤x≤200，0.8x－60，200＜x≤400，x－140，x＞400.(2)由(1)可知，当y＝260时，x＝400，即用电量低于400千瓦时的占80%，结合

频率分布直方图可知0.001×100＋2×100b＋0.003×100＝0.8，100a＋0.0005×100＝0.2，解得a＝0.0015，b＝0.0020.(3)设75%分位数为m，因为用电量低于300千瓦时的所占

比例为(0.001＋0.002＋0.003)×100＝60%，用电量低于400千瓦时的占80%，所以75%分位数m在[300,400)内，所以0.6＋(m－300)×0.002＝0.75，解得m＝375(千瓦时)，即用电量的75%分位数为375千瓦时．20．(本小题满分12分)如图

①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝π2，AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD

⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为362，求a的值．解(1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝12AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝π2，所以BE⊥AC.即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，

又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.因为BC//12AD//ED，所以四边形BCDE为平行四边形，所以CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，

又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由图①知，A1O＝22AB＝22a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝13S·A1O＝13×a2×22a＝26a3.由26a3＝362，得a＝6.2

1．(本小题满分12分)已知在某次1500米体能测试中，甲、乙、丙3人各自通过测试的概率分别为25，34，13，且三人是否通过测试互不影响．求：(1)3人都通过体能测试的概率；(2)只有2人通过体能测试的概率；(3)只有1人通过

体能测试的概率．解设事件A＝“甲通过体能测试”，事件B＝“乙通过体能测试”，事件C＝“丙通过体能测试”，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.(1)设M1表示“甲、乙、丙3人都通过体能测试”，即M1＝ABC，则由A，B，C相互独立，可得P(M1)＝P(A)P(B)P(C)＝25

×34×13＝110.(2)设M2表示“只有2人通过体能测试”，则M2＝ABC－＋AB－C＋A－BC，由于事件A与B，A与C，B与C均相互独立，且事件ABC－，AB－C，A－BC两两互斥，则P(M2)＝P(ABC－∪

AB－C∪A－BC)＝P(ABC－)＋P(AB－C)＋P(A－BC)＝25×34×1－13＋25×1－34×13＋1－25×34×13＝15＋130＋320＝2360.(3)设M3表示事件“只有1人通过体能测试”．则M3＝AB－C－＋A－BC－＋A－B

－C，由于事件A、B－、C－，A－、B、C－，A－、B－、C均相互独立，并且事件AB－C－，A－BC－，A－B－C两两互斥，所以所求的概率为P(M3)＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C)＝25×

1－34×1－13＋1－25×34×1－13＋1－25×1－34×13＝512.22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面AB

CD是直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝1，AD＝2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成45°角，点E是PD的中点．(1)求证：BE⊥PD；(2)求二面角P－CD－A的余弦值．解(1)证明：连接AE.因为PA⊥底面ABCD，所以∠PDA是PD与底面ABCD所成的

角，所以∠PDA＝45°.所以PA＝DA.又因为点E是PD的中点，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，所以PA⊥AB.因为∠BAD＝90°，所以BA⊥DA.又因为PA∩AD＝A，所以BA⊥平面PDA.又因为PD⊂平面PDA，所以BA⊥PD.又因为BA∩AE＝A，所以PD⊥

平面ABE.因为BE⊂平面ABE，所以BE⊥PD.(2)连接AC，在直角梯形ABCD中，因为AB＝BC＝1，AD＝2，所以AC＝CD＝2.因为AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，又因为PA⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC∩PA＝A，所以CD⊥平面P

AC.又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥CD，所以∠PCA为二面角P－CD－A的平面角．在Rt△PCA中，PC＝PA2＋AC2＝22＋(2)2＝6.所以cos∠PCA＝ACPC＝26＝33.所以所求二面角的余弦值为33.